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专题4.4全等三角形—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（　　）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
2． 如图， 在△ABC中， ∠ABC=68°， BD平分∠ABC， P为线段BD上一动点， Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APQ的度数为(　　)
A．34° B．68° C．56° D．90°
3．如图，在等边三角形ABC中，点 D，E 分别在边 AC，BC上，连结DE，∠ADE的平分线过△ABC的内心O，交AB 于点 F，连结 EF.若要知道△ABC的周长，则只需要知道下列哪个三角形的周长 该三角形是 (　　)
A．△CDE B．△ADF C．△BEF D．△DEF
4．如图，已知正方形和正方形，且A、B、E三点在一条直线上，以为边构造正方形，交于点M，，．若点Q、B、F三点共线，，则（　　）
A． B． C． D．
5．老师布置的作业中有这样一道题：
甲同学认为AB，AC，AD这三条线段不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决；丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需取 AB 的中点构造三角形的中位线，就可以解决.关于三位同学的思考过程，你认为正确的是 (　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙
二、填空题
6．如图， 在四边形ABCD中， ∠ABC=60°， CD=3， AD=BD=8， 点 E在边AB上， 连接CE.若∠ADE=2∠CBD， 且BD平分∠CDE， 则CE的长为　 　.
7．如图，点是内部的一点，点到三边，，的距离，若，则的度数为　 　．
8．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F.其中结论正确的是　 　 .（填序号）
①∠AFC=120°；②若AB=2AE，则CE⊥AB；③CD+AE=AC；④S△AEF：S△FDC=AF：FC.
9．如图，在中，，平分，，点是的中点，连接，则的长为　 　．
10． 如图2是某款台灯（图 1）的示意图，处于水平位置的棤杆 E F 可以绕着点 转动，当 O F 分别转到 O M， O N 的位置时， 测得 ， 点 M， N 的高度差为 ， 点 ， 的水平距离 ， 点 M， F 的水平距离 ， 若该台灯的底座高度 ，垂直于底座的灯柱长 O A 与 O F 长度一样，从 点射出的光线与桌面成 ，则光线所照区域最大范围 B P 为　 　 cm .
三、解答题
11．如图，在菱形ABCD中，点E， F分别在BC， CD上，且CE=CF．求证： AE=AF．
12．已知如图，在中，，．
（1）作的平分线，交于点；作的中点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，求证：．
13．如图，中，，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接与交于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
14．“草长莺飞二月天，扶梯杨柳醉春烟，儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．星期天，小明和小伙伴准备自制风筝到公园去放，小明将正方形纸片和菱形纸片按照如图所示制作，顶点B和顶点N重合，菱形的对角线经过点D，点E，F分别在，上．
（1）求证：；
（2）若，点E在的中点上，求的长度.
15． 如图，是正方形对角线，的交点，平分，交于点，于点，分别交，于点，．
（1）证明；
（2）是等腰三角形吗？请说明理由；
16．在如图所示的方格纸中，是格点三角形，请按以下要求画格点三角形．
（1）在图1中画一个，使得和全等．
（2）在图2中画一个等腰，使得和的面积相等．
17．已知，如图，于点于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
18．如图，在正方形中，点E，F分别为和上的点，与交于点，现提供三个关系：①；②；③．
（1）从三个关系中选择一个作为条件，剩下的两个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题；
（2）选择其中的一个真命题进行证明．
19．如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
20．课本56页中有这样一道题：证明．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，
（1）小玲在思考这道题时．画出图形，写出已知和求证．
已知：在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，．
求证：．
请你帮她完成证明过程．
（2）小玲接着提出了两个猜想：
①如果两个三角形有两条边和第三边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等；
②如果两个三角形有两条边和第三边上的高分别相等，那么这两个三角形全等；
请你分别判断这两个猜想是否正确，如果正确，请予以证明，如果不正确，请举出反例．
21．如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．
（1）在图中，作的高线；
（2）在图中．
在边上画一点，使平分的面积；
点是边上任意一点，在的条件下，在上画一点，使，并说明理由．
（3）在图中，在边上画一点F，使．
22．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按要求画图．要求：
（1）在图①中画一个，使是一个轴对称图形；
（2）在图②中画一个，使它与全等；
（3）在图③中画一个，使它与的周长相等．
23．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．
（1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是_____；（每个小正方形的边长为1）
（2）是格点三角形．
①在图2中画出2个与全等且有一条公共边的格点三角形；
②在图3中画出2个与全等且有一个公共点的格点三角形．
24．小嘉与小兴一起研究一个尺规作图问题：
如图1，是平分线上一点，是AB上一点。用直尺和圆规作，其中点在AC上。
小嘉：如图2，以为圆心，AE长为半径作弧，交AC于点，连接DE，DF，则。
小兴：以为圆心，DE长为半径作弧，交AC于点，连接DE，DF，则。小嘉：小兴，你的作法有问题。
小兴：哦……我明白了！
（1）给出小嘉作法中的证明。
（2）指出小兴作法中存在的问题。
25．如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点 P，连结PB， PD.
（1）求证： PB=PD.
（2）将线段 DP 绕点 P 逆时针旋转，使点 D 落在 BA 的延长线上点 Q 处，求∠DPQ 的度数.
26．如图，在中，是上一点，为外部一点，连接交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
27．如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，AP 为伞柄，伞圈D 能沿着伞柄AP 滑动，伞骨AB=AC，E，F分别是伞骨上两个定点，且满足
（1）求证：
（2）当伞完全撑开后，点B，D，C在同一条直线上，已知AB=55cm，AD=33cm，两个身体宽度40 cm的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔10 cm，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到
28．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图①，在和中，，，，连接．直接写出与的数量关系是：______；
（2）类比探究：如图②，在和中，，，，连接请猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B、E、F在一条直线上，过点A作，垂足为M．请直接写出之间的数量关系．
29．图1是一张三角形纸片，，，，沿垂直于斜边的方向裁剪一刀（裁剪线为），会分得两个图形．
情境：（1）当裁剪线恰好经过顶点B时，如图2，直接写出的长；
操作：（2）要使经过沿裁剪的三角形纸片，分得的其中一个图形为轴对称图形，
①嘉嘉想出了如下作法：先作出了的平分线交于N，如图3，再过点N沿垂直于的方向裁剪，得到的四边形一定是轴对称图形．在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点N作出的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）；
②试对与相等进行说理，并直接写出裁剪线的长．
探究：（3）在（2）的情形中，淇淇说：“裁剪线还应有另一个不同的值．”请直接写出淇淇所说的的长．
30．【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
31．综合与实践
（1）问题提出：
如图1，点E为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：．
（2）尝试应用：
如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N、M，与交于K，若，．求证：．
（3）问题拓展：
如图3，P是内一点，，D在边上，连接，，过P作，垂足为E，若，，求的长．
32．已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．
（1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系；
【模型应用】
（2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长．
33．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力．
【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明．
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，中，，是斜边上的中线．求证：．
分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：．
请你按材料中的分析写出完整的证明过程；
【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：；
【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数．
34． 【阅读材料】
问题 如图，AB，CD 相交于点O，O 是 AB 的中点，AC∥BD，求证：O是CD 的中点.
问题分析 由条件易证△AOC≌△BOD，从而得到OC=OD，即O是CD 的中点.
方法提取 构造“平行8字形”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法.
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题.
【基础应用】
已知在△ABC中，. 点 E 在边 AB 上，点F 在边 BC的延长线上，连结EF交AC 于点 D.
（1）如图①，若AB=BC，AE=CF，求证：D是EF的中点；
（2）如图②，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD 与 BE 之间的数量关系；
（3）【灵活应用】
如图③，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，E 是AB 上一点，点 F 在 BC 的延长线上， 当点C从点B运动到点A，点D运动的路径长为　 　，CF 扫过的面积为　 　.
35． 请阅读下面的材料.
（1）问题： 如图1，若∠A =60°，∠ACB =90°，CD平分∠ACB，探究图中线段BC，AC，AD之间的数量关系.
小明同学的思路是：如图2，在BC上截取CE =CA，连接DE，先证 可得AD=DE，再证BE=DE，可得出结论，他的结论是　 　(直接写出结论，不需要证明).
（2）变式：如图3，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，若AE平分 请你探究图中线段AB，AD，CD之间的数量关系并证明.
（3） 拓展： 如图4，在△ABC中，和 的平分线交于点P，点M，N分别为AB，AC上的点，且点P为MN中点，若BM=8，CN=1.5，MN=7，求BC的值.
36．【阅读材料】
“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题．
【问题解决】
（1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由；
（3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由．
37．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置.如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O1的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转.
（1）【问题发现】
①线段AE，BF之间的数量关系是　 　.
②在①的基础上，连接EF，则线段AE，CF，EF之间的数量关系是　 　.
（2）【类比迁移】
如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O1的一个顶点，A1O与边AB相交点E，C1O与边BC相交于点F，连接EF，延长C1O交AD于点P，连接EP，AC，矩形A1B1C1O1可绕点O旋转.判断线段AE，CF，EF之间的数量关系并证明.
（3）【拓展应用】
如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕点D旋转.当AE=4时，请直接写出线段BF的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：O为、的中点，
，，
（对顶角相等），
在与中，
，
，
，
故选：A．
【分析】根据线段中点可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】解：在边BC上截取BE=BQ，连接PE，如图所示：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=34°。
在△BQP和△BEP中：
∴△BQP≌△BEP，
因此PQ=PE。
此时AP+PQ=AP+PE，
当A、P、E三点共线且AE⊥BC时，AP+PE取得最小值，即AP+PQ最小。此时∠AEB=90°。
由∠CBD=34°可得：
∠BPE=90°-34°=56°，
根据全等性质，∠BPQ=∠BPE=56°。
∠APQ=180°-∠BPQ-∠BPE=180°-56°-56°=68°。
故答案为：68°.
【分析】在BC上截取BE=BQ，连接PE，利用SAS可证得△BQP≌△BEP，于是可得PQ=PE，∠BPQ=∠BPE，根据垂线段最短可知，当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE的值最小，即AP+PQ的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果.
3．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥AC，OH⊥DE，OM⊥BC，连结OE、OC
∵DF平分∠ADE ∴易证得OG=OE（角平分线的性质定理）
∵点O是△ABC的内心，即三角形角平分线的交点 ∴易证得OG=OM
∴OG=OE=OM
∴ ，
∴DH=DG，HE=EM
∵CG=CD+DG，CM=CE+EM
∴CG=CD+DH，CM=CE+EH，即CG+CM=CD+DE+EH=
∵三角形ABC为等边三角形
∴G、M为边AC、BC的中点
∴，A正确.
故答案为：A .
【分析】根据角平分线的性质定理和三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，做辅助线过点O作OG⊥AC，OH⊥DE，OM⊥BC，利用全等三角形的判定和性质，得到DH=DG，HE=EM，从而计算得到△CDE的周长AC，进而得到。
4．【答案】A
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—边角关系；旋转全等模型；同侧一线三垂直全等模型；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：过点Q作于N，连接Q、B、F，
四边形、四边形是正方形，
，，
，
点Q、B、F三点共线，
，
、都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，，
，
，
设，
则，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
在中，
，
在中，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】
过点Q作于N，连接QF，由于Q、B、F三点共线，则由正方形的性质借助一线三垂直全等模型可证明，则有QN=BE、EN=CB，又BE=BG，即有点G平分CB，则QN等于BN等于AB的一半；再由正方形的性质借助旋转全等模型可证明，则DP=BE，即点P平分AD，则AP=QM，再利用倍长中线全等模型可证，则有AM等于NM等于AN的一半，即AB的四分之一，再解直角三角形分别求得和，则的值可得．
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：对于乙，如图，
倍长AD至点A'，连接BA'，
∵BD=DC，AD=A'D，
又∵∠ADC=∠BDA'，
∴△ADC≌△A'DB，
∴A'B=AC=3，AA'=2AD=8，
在△ABA'中，
AA'-A'B∴5故乙正确；
对于丙，如图，
取AB中点M，连接MD，
∵M，D分别为AB和BC中点，
∴MD=0.5AC=1.5，
在△AMD中，
AD-MD∴2.5∴5故丙正确.
故答案为：D.
【分析】对于乙，利用倍长中线，构造△ADC≌△A'DB，根据全等的性质得到△ABA'中的两边的长；对于丙，取AB中点，利用三角形中位线的性质，得到△AMD中两边的长度，最后根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得结论.
6．【答案】7
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】解：如图， 过点B分别作BM⊥DE于点M， BN⊥DC交DC的延长线于点N，
∵BD平分∠CDE，
∴BM = BN， ∠BDE =∠BDN，
设∠CBD=x，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABD=60°-x，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=60°-x，
∵∠ADE=2∠CBD=2x， ∠A+∠ABD+∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠BDE=180°-2(60°-x)-2x=60°，
∴∠BDN=60°，
∴∠CDM =120°，∵BN⊥DC，
∴∠DBN =30°，
∵CD=3，
∴CN=DN-DC=1，
在四边形NDMB中， ∠MBN=360°-∠CDM-∠BMD-∠BND=360°-120°-90°-90°=60°，
∴∠MBN=∠ABC，
∴∠MBE=∠NBC，
在△BEM和△BCN中，
∴△BEM≌△BCN(ASA)，
∴BE=BC =7，
故答案为：7.
【分析】过点B分别作于点M， 交DC的延长线于点N，根据角平分线的性质求出BM=BN， ，结合多边形内角和定理求出 ，根据直角三角形的性质、勾股定理求出DN ，利用ASA证明 ，根据全等三角形的性质求解即可.
7．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵点P到三边的距离，
∴是的角平分线，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】先证出是的角平分线，利用角平分线的定义可得再利用角的运算和等量代换可得，最后求出∠BAC的度数即可.
8．【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①在中，，
，
∵平分，平分，
，，
，故①正确；
②如图，延长至G，使，连接，
，
，
，
，
，，
为角平分线，
，
，
，
，
，故②正确；
③如图，作作的平分线交于点G，
由①得：，
，
，
，
，，
，，
，，
，故③正确；
④过G作，于点G，H，
由④知，为的角平分线，
，
，
，，
，故④正确．
综上所述：正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠AFC判断①；延长至G，使，连接，根据SAS得到，即可得到，利用三线合一判断②；作的平分线交于点G，可得，根据ASA得到，，即可得到，判断③；过G作，于点G，H，由③知，为的角平分线，即可得到，进而得到，根据，判断④解答即可．
9．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
∵平分，，
∴，
在 ADC和 ADF中
∴
∴，
∴
又∵是的中点
∴
故答案为：．
【分析】延长交于点，结合已知，用角边角可证明，由全等三角形的对应边相等可得，，然后根据三角形的中位线等于斜边的一半得DE=BF可求解．
10．【答案】
【知识点】全等三角形的实际应用；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过N作NK⊥BP交EF于J点，延长GM交EB于L点，
由题易得△ELM≌△EJN，
设LM=JN=x，则EJ=x+16-2=x+14，EL=FG=34-x，
∵EJ=EL，
∴x+14=34-x，解得x=10，
则BK=10+16-2=24cm，
∵OA=OF=10+16=26cm，
∴NK=3+26+10=39cm，
在Rt△NKP中，∠P=60°，
∴KP==cm，
故BP=cm，
故答案为：.
【分析】本题根据△ELM≌△EJN，利用对应边相等列方程求解出相关线段，结合含60°的直角三角形三边关系求解即可.
11．【答案】证明：∵在菱形ABCD中， AB=AD， CB=CD， ∠B=∠D；
已知CE=CF，
∴CB-CE=CD-CF，即BE=DF；
∴在△ABE和△AFD中
∴△ABE≌△AFD (AAS)
∴AE=AF
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据菱形的性质，利用AAS得到△ABE≌△AFD，再根据全等三角形的对应边相等得到结论即可.
12．【答案】（1）解：如下图，点D、E即为所求作；
（2）证明：∵，平分，
，
，
∴，
∴，
在和中，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据角平分线定义可得∠ABD，根据等角对等边可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：如下图，点D、E即为所求作；
（2）证明：∵，平分，
，
，
∴，
∴，
在和中，
∴.
13．【答案】（1）证明：由作图知：．
在和中，
．
（2）解： ∵，，
∴，
则．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）由基本尺规作图知AD垂直平分BC，则AC＝AC、DB＝DC，再利用证明即可；
（2）利用等边对等角即可得，再结合三角形内角和定理即可求解．
（1）证明：由作图知：．
在和中，
．
（2）解： ∵，，
∴，
则．
14．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴
（2）连接，交于点O，可知．
根据（1）得，
∴．
∵点E是的中点，，
∴．
在中，，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得．
根据勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和菱形的性质得到，即可得出，利用得到两三角形全等；
（2）连接，交于点O，即可得出，根据全等三角形的对应边相等得到，根据勾股定理求出和长，进而求出OD长，最后根据线段的和差解答即可．
15．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
∵平分，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即是等腰三角形．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明两三角形全等即可；
（2）根据角平分线的定义可得，再根据正方形的性质可得，然后根据外角可得，然后根据等角对等边证明结论即可．
16．【答案】（1）解：如图，即为所作：
（2）解：如图，等腰即为所作
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】本题考查全等三角形判定(SSS)与等腰三角形，等面积三角形的构造：
全等构造：依据三边对应相等则三角形全等，通过格点作等长边确定顶点；
等腰与等面积：利用平行线间距离相等(同底等高面积相等)，结合等腰三角形两边相等的定义作图，体现几何直观与实践操作素养，核心是对三角形全等，等腰及面积关系的综合运用
(1)根据可作，使得和全等；
(2)过点C作的平行线，即可作等腰，同样，在的另一侧也可作等腰.
17．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
在和中，
，
，
（2）证明：由（1）可知：，
，
，，
，
在和中，
，
，
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接，根据SSS得到，再根据全等三角形的对应角相等得到结论即可；
（2）由（1）可得，再根据角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用HL得到，根据全等三角形的对应边相等得到结论即可．
18．【答案】（1）解：命题一：若①，则②，③；
命题二：若②，则①，③；
命题三：若③，则①，②．
三个命题都是真命题.
（2）证明：命题一：证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
，
，
，
∴，
，
.
命题二：证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
，
，
∴，
∴，
，
.
命题三：证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）命题一，①为条件，②③为结论；命题二，②为条件，①③为结论，命题三，③为条件，①②为结论；
（2）命题一证明：由正方形的性质可得，再利用证明，得到，再导角证明，即可证明；
命题二证明：利用证明，得到，整理可证明；
命题三证明：导角证明，再利用ASA证明，即可得到.
（1）解：命题一：若①，则②，③；
命题二：若②，则①，③；
命题三：若③，则①，②．
命题一证明如下：
由正方形的性质，得，
，
，
，
，
，
，
；
命题二证明如下：由正方形的性质，得，
，
，
∴，
，
，
，
；
命题三证明如下：由正方形的性质，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：命题一证明如下：
由正方形的性质，得，
，
，
，
，
，
，
；
命题二证明如下：由正方形的性质，得，
，
，
∴，
，
，
，
；
命题三证明如下：由正方形的性质，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．【答案】①（或②）
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：当选取①时，
∵ ， ， ，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
证明：当选取②时，
∵ ， ， ，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
当选 ③ 时，无法证明出 ，进而无法推出 。
故答案为：①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定．
选择①或②，首先利用SSS或SAS证明出，然后得出对应角度相等和对应边长相等，进一步证明出，此时即可得出，最后根据“内错角相等、两直线平行”即可得出。
20．【答案】（1）证明：∵是边上的中线，是边上的中线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：命题①正确，证明如下：
已知：在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，且.
求证：.
证明：如图，延长到，使，连接，延长到，使，连接，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可得，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴；
命题②不正确，反例如下：
如图3、图4，
在和中，，，边上的高线为，边上的高线为，，与不全等．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）求出，从而得，得，进而；
（2）①延长到，使，连接，延长到，使，连接，证明，得，，同理得，，从而得，，进而证明，得，，于是得，，即可证明；
②如图3、图4，一个是锐角三角形，一个是钝角三角形， 举出反例，即可得到结论不成立．
21．【答案】（1）解：如图所示，
线段即为所求；
（2）解：如图所示，
线段即为所求；
如图所示，点即为所求，
理由：∵线段AB与线段A'B关于BC对称，
∴AB=A'B，∠EBN=∠E'BN，
∵点E与点E'分别为AB、A'B的中点，
∴BE=BE'，
∴在△BEN和△BE'N中，
，
∴△BEN≌△BE'N（SAS），
∴∠ENB=∠E'NB，
∵∠E'NB=∠MNC，
∴∠ENB=∠MNC.
（3）解：如图所示，
点即为所求.
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）首先选择格点，然后连接，并将该连线延长至与相交于点，CD即为所求；
（） 找到的中点，连接即可；
先作出关于的对称线段，取其中点。然后连接与相交于点，最后连接即可；
（）选取格点构造等腰直角三角形，再取格点和，连接与相交于点，连接并延长使其与相交于点，点即为所求.
（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：如图中，线段即为所求；
如图中，点即为所求；
（3）解：如图中，点即为所求，
理由：由网格可知：，
∴，
∴点即为所求．
22．【答案】（1）解：如图①，即为所求；
（2）解：如图②，即为所求；
（3）解：如图③，即为所求．
【知识点】三角形全等及其性质；轴对称图形；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此利用方格纸的特点作一个等腰△BCD即可；
（2）根据成轴对称的两个图形一定全等，利用方格纸的特点作出点A关于BC的对称点E，再连接BE、CE即可；
（3）根据全等三角形周长相等，利用方格纸的特点作出点B关于AC垂直平分线的对称点F，再连接AF、CF即可.
（1）解：如图①，即为所求；
（2）解：如图②，即为所求；
（3）解：如图③，即为所求．
23．【答案】（1）6
（2）解：①如图2中，、即为所求作（答案不唯一）．
②如图3中，、即为所求作（答案不唯一）．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】（1）解：如图1中，，
故答案为：6．
【分析】（1）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可；
（2）①利用全等三角形的判定及三角形的作图方法作出图形即可；
②利用旋转和全等三角形的判定以及三角形的作图方法作出图形即可.
（1）解：如图1中，，
故答案为：6．
（2）①如图2中，、即为所求作（答案不唯一）．
②如图3中，、即为所求作（答案不唯一）．
24．【答案】（1）解：在和中，
（SAS），
（2）解：小兴作法中，若以为圆心，DE长为半径作弧，该弧与AC的交点可能有2个，即点的位置不唯一确定，因此不能确定
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质和SAS证明出，从而得出；
（2）可以实践用圆规操作画图，可以发现若以为圆心，DE长为半径作弧，该弧与AC的交点可能有2个，即点的位置不唯一确定，从而无法判断。
25．【答案】（1）证明：正方形ABCD，
∴∠DAC=∠BAC=45°，AB=AD，
∵AP=AP，
∴△DAP≌△BAP(SAS)，
∴PB=PD；
（2）解：∵PB=PD， PD=PQ，
∴PB=PQ，
∴∠PBQ=∠PQB，
∵△DAP≌△BAP(SAS)，
∴∠PDA=∠PBQ=∠PQB，
∵， ∠QMA+∠MQA=90°，
∴∠DMP+∠ADP=90°，
∴∠DPQ=90°.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；余角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据正方形的性质，利用SAS得到，根据全等三角形的对应边相等得到结论即可；
（2）根据SAS得到△DAP≌△BAP，即可得到，进而求出，得到结论即可．
26．【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
∴；
（2）解：，，
，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；补角
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，则，再根据补角即可求出答案.
（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
∴；
（2）解：，，
，，
，
．
27．【答案】（1）证明：
∴AE=AF，
在△ADE 和△ADF 中，
∴ △ADE≌△ADF (SSS).
（2）解：如图，连接，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
他们会被垂直滴下的雨水淋到．
答：他们会被垂直滴下的雨水淋到．
【知识点】全等三角形的实际应用；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先根据三等分点可得，然后根据SSS证明两个三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，根根据勾股定理求出的长度，然后利用三线合一求出BC长判断解答即可．
28．【答案】（1）
（2）解：，
理由如下：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵和都是等腰三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（3）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得，再求出，最后利用线段的和差及等量代换可得 .
（1）解：∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：∵和都是等腰三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
29．【答案】（1）；
（2）
①尺规作图如图所示，
②；
（3）MN＝3.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1），，，
，
，
，
，
；
（2）
②平分，，，
，
又，
，
设，则，，
，
在中，由勾股定理，得，
解得：，
裁剪线的长为；
（3）如图，四边形是轴对称图形，
与关于成轴对称，
，，，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
解得：，
【分析】
（1）先利用勾股定理斜边AC的长，再利用等面积法求出MN即可；
（2）①先利用尺规作图作的平分线交AB于点N，再过点N作AC的垂线交AC于点M即可；
②先由角平分线的性质定理可得NB=NM，再利用HL证明，则CM=CB=8，再设，则，，再利用由勾股定理列方程并求解即可；
（3）同理可先作的平分线交BC于点N，再过点N作AC的垂线段NM即可，再参照上述方法求解即可．
30．【答案】解：（1）在△AMD和△AND中，
，
∴△AMD≌△AND（SSS），
∴∠AMD=∠AND；
（2）选择①为条件，②为结论，
在AC取点N，使AN=AM，连接DN，如图所示：
∵AD平分∠MAN，
∴∠MAD=∠NAD，
在△AMD和△AND中，
，
∴△AMD≌△AND（SAS），
∴∠AMD=∠AND，MD=ND，
∵∠AMD=2∠C，
∴∠AND=2∠C，
∵∠AND=∠NDC+∠C，
∴∠NDC=∠C，
∴ND=NC，
∴CN=MD，
∵AC=AN+CN，
∴AC=AM+MD；
选择②为条件，①为结论
在AC取点N，使AN=AM，连接DN，如图所示：
∵AD平分∠MAN，
∴∠MAD=∠NAD，
在△AMD和△AND中，
，
∴△AMD≌△AND（SAS），
∴∠AMD=∠AND，MD=ND，
∵AC=AN+CN，
又∵AC=AM+MD，
∴CN=MD，
∴CN=DN，
∴∠NDC=∠C，
∵∠AND=∠NDC+∠C=2∠C，
∴∠AMD=2∠C；
（3）连接BD，取AE的中点F，连接BF，如图所示，
∵∵，
∴AB=BC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AC为的直径，
∴∠ABC=90°，
∵点F是AE的中点，
∴AE=2AF=2BF，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF，
∵∠BAF=∠BCD，∠DBC=∠DAC，
∴∠BAF=∠ABF=∠BCD=∠DBC=∠DAC，
在△ABF和△BCD中，
，
∴△ABF≌△CBD（AAS），
∴AF=CD，
∴AE=2CD.
【知识点】全等三角形的实际应用；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）直接利用证明△AMD≌△AND即可得出结论；
（2）选择①为条件，②为结论：在AC取点N，使AN=AM，连接DN，先根据SAS证明△AMD≌△AND可得∠AMD=∠AND，MD=ND，再结合∠AMD=2∠C可得∠NDC=∠C即可得出ND=NC，进而即可得出结论；选择②为条件，①为结论：在AC取点N，使AN=AM，连接DN，先根据SAS证明△AMD≌△AND可得∠AMD=∠AND，MD=ND，再根据AC=AM+MD即可得出ND=NC，进而得到∠NDC=∠C，即可得出结论；
（3）连接BD，取AE的中点F，连接BF，根据，可得，根据AC为的直径，
∠ABC=90°，根据中点定义和直角三角形的性质可得∴AE=2AF=2BF，根据圆周角定理可得∠BAF=∠ABF=∠BCD=∠DBC=∠DAC，进而可证明△ABF≌△CBD，从而得到AF=CD，即可得出结论．
31．【答案】（1）证明：∵是以、为腰的等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴。
（2）证明：延长至G，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴。
（3）解：如图，延长交于点F，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
在中，∠AEF=∠CEF=90°，EF=EF，，
∴，
∴，。
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先结合等腰三角形的性质得出，然后结合图形进行角度计算得出，最后利用证即可；
（2）做辅助线，结合条件逐步推出，此时利用SAS证明，从而得出；然后结合直角三角形锐角互余，列示推出，利用“含30°直角三角形的特点”得出，最后计算即可；
（3）做辅助线，结合平角的特点以及三角形内角和，推出，再结合等腰三角形判定及性质综合得出，此时利用SAS证明，得出，，；再利用ASA证明，即可得出答案．
（1）证明：∵是以、为腰的等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：延长至G，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，延长交于点F，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
可证，
∴，，
32．【答案】（1），，
（2）；
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得，，，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴；
（3）线段的长为或
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：（1），；
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
则，即；
（3）过点C作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
若点E在线段上，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转，得到，
∴，，
∵，
∴，
若点E在的延长线上时，
同理，，
∴，
同理，，
综上，线段的长为或．
【分析】（1）根据正方形性质可得，，，则，再根据旋转性质可得，，，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，由旋转得，，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点C作于点H，根据矩形性质可得，，，根据勾股定理可得BD，再根据三角形面积可得CH，根据勾股定理可得DH，分情况讨论：若点E在线段上，根据边之间的关系可得EH，根据旋转性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案；若点E在的延长线上时，根据边之间的关系可得EH，再根据勾股定理即可求出答案.
33．【答案】【模型证明】证明：如图所示：延长到，使得，连接．
在和中，
，
∴，
，，
∴（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
，
，
在和中，
，
∴，
．
∴，
【模型应用】 证明：连接．
，且为的中点，
，
，
，
，
，
∴，
；
【模型构造】 解：如图所示，过作于，连接．
，且，
∴．
∴．
∵．
∴，
∴，
∴为等边三角形．
，，
∵
∴．
∴，
∴．
∴．
∴为等腰直角三角形．
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；直角三角形斜边上的中线；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】【模型证明】延长到，使得，连接，利用“SAS”证明，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得，，由内错角相等，二直线平行得AE∥BC，由二直线平行，同旁内角互补推出∠ABC=∠BAE=90°，从而用“SAS”证明，由全等三角形的对应边相等得，即可得证；
【模型应用】 连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半及已知得到，由等边对等角得∠E=∠CDE及∠B=∠BCD，然后根据三角形外角性质得出∠B=∠BCD=2∠E；
【模型构造】 作于点H，连接CH，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得HC=BC=CD，由等边对等角得出∠CHB=∠B=30°，由角的构成推出∠CHD=60°，根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△DCH是等边三角形，得CH=DH，∠HCD=60°，根据三角形外角性质及角的构成求出，由等角对等边得，根据等腰直角三角形的性质及角的构成可得的结论．
34．【答案】（1）证明：∵AB=BC，∠B=90°，∴∠A=∠ACB=45°.
如图①，过点 E 作 EG∥BF，交 AC于点G，
则∠DGE=∠DCF，∠AEG=∠B=90°.
∴△AEG是等腰直角三角形，则AE=GE.
∵AE=CF，∴GE=CF.
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF.
∴DE=DF.∴D是EF 的中点
（2）解：如图②，过点 E 作EG∥BF，交AC于点G，则△AEG∽△ABC，
∴AE=2EG.
∵AE=2CF，∴EG=CF.
∵EG∥BF，
∴∠DGE=∠DCF，∠AEG=∠B=90°.
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF(AAS).
∴CD=DG.
∵AE=2EG，
（3）；
【知识点】弧长的计算；等腰直角三角形；截长补短构造全等模型；A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】（3）
∵AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，
∴∠ACB=90°，
过点E作EG∥BF，则△AEG∽△ABC，
∴
∵，
∴EG=CF，
∵EG∥BF，
∴∠AGE=∠ACB=90°，
∴∠DGE=∠DCF=90°，
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF（AAS），
∴CD=DG，
过点D作DM∥BF，则，∠ADM=90°，
∴EM=BM，
∵AB=8，AE=2，
∴BE=6，则EM=BM==3，
∴AM=AE+EM=5，
∴点D在以AM为直径的半圆上运动，
∴D运动的路径长为：
过点F作FH∥AC，则
∵
∴AE=AH=2，
∴BH=AH+AB=10，
∴点F在以BH为直径的半圆上运动，
则CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，
即：CF扫过的面积为
【分析】(1) 过点E作EG∥BF，证△DGE≌△DCF，即可得点D是EF的中点.
(2) 过点E作EG∥BF，可证△AEG∽△ABC，得，再证△DGE≌△DCF，得CD=DG ，由平行线平分线段成比例，得 由AE=2EG，得AG=5EG ，AGAE=52，AGAE=2CDBE=52，从而可得CD=54BE.
（3）由题意可得∠ACB=90°，过点E作EG∥BF，则△AEG∽△ABC，可 进而可得EG=CF，易证△DGE≌△DCF，可知CD=DG，过点D作DM∥BF，则， ∠ADM=90°，易知点D在以AM为直径的半圆上运动，可求得D运动的路径长度，过点F作FH∥AC，则 易知点F在以BH为直径的半圆上运动，可知CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，即可求得答案.
35．【答案】（1）BC =AC+AD
（2）解：AD =AB+CD， 理由如下：
在AD上截取AF =AB， 连接EF， 如图，
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE =∠FAE
∵AE = AE
∴△BAE≌△FAE(SAS)
∴∠AEF =∠AEB， BE =EF
∵E是BC的中点
∴CE = BE = EF
∵∠AED=90°
∴∠AEF+∠DEF =90°，∠AEB +∠DEC =90°
∴∠DEF =∠DEC
∵DE = DE
∴△DEF≌△DEC(SAS)
∴DF = DC
∴AD=AF+DF
∴AD =AB+CD
（3）解：在BC上截取CG=CN， BH =BM， 连接PG， PH， 如图，
∵CP平分∠ACB， BP平分∠ABC
∵∠A +∠ABC+∠ACB = 180°
∴∠CPN +∠BPM =60°
易证： △CPN≌△CPG， △BPM≌△BPH
∴∠CPN=∠CPG，∠BPM=∠BPH， PN =PG， PM=PH， CN =CG =1.5，BM =BH =8
∴∠CPG +∠BPH = 60°
∴∠GPH =∠BPC-(∠CPG+∠BPH)=60°
∴△GPH为等边三角形
∵P为MN中点
∴PG=PH = GH =3.5
∴BC=BH+GH+CG=BM+GH+CN=8+3.5+1.5=13
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】
解：（1）在CB上截取CE=AC，连接DE，如图，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD，
又∵CD=CD，
∴△ECD≌△ACD（SAS），
∴EC=AC，DE=AD，∠CED=∠A=60°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
又∵∠CED=∠EDB+∠B，
∴∠EDB=60°-30°=30°，
∴∠EDB=∠B，
∴BE=DE，
∴BE=AD，
∵BC=EC+BE，
∴BC=AC+AD；
【分析】 （1）证△ECD≌△ACD（SAS），得EC=AC，DE=AD，∠CED=∠A=60°，再证BE=DE，则BE=AD，即可得出结论；
（2）在AD上截取AF=AB，连接EF，证明△BAE≌△FAE（SAS），得∠AEF=∠AEB，BE=EF，再证明△DEF≌△DEC（SAS），得DF=DC，进而得出结论；
（3）在BC上截取CG=CN，BH=BM，连接PG，PH，证明∠CPN+∠BPM=60°，结合（1）知：△CPN≌△CPG，△BPM≌△BPH，得∠CPN=∠CPG，∠BPM=∠BPH，PN=PG，PM=PH，然后证明△GPH为等边三角形，得GH=PG=PH=3.5，进而得出结论．
36．【答案】解：（1），理由如下：
如图 ① ，
在上截取，连接，
为的角平分线，
，
∵，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∴.
（2），理由如下：
如图②，
在上截取，连接，
平分，
，
∵，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
∴.
（3）不成立， 新数量关系为：，理由如下：
如图③，
在的延长线上取一点，使，连接，
是的平分线，
，
∵，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型；角平分线构造全等模型
【解析】【分析】（1）在上截取，连接，根据角平分线定义得，再根据，可证明，推出，，再求得，据此即可得到.
（2）在上截取，连接，根据角平分线定义得，再根据，可证明，推出，，同（1）即可求解.
（3）在的延长线上取一点，使，连接，根据角平分线定义得，再根据，可证明，同理可证明．
37．【答案】（1）AE=BF；AE2+CF2=EF2
（2）解：AE2+CF2=EF2，理由如下：
∵四边形ABCD，四边形A1B1C1O1均为矩形，矩形ABCD的中心为O
∴OA=OC，∠DAB=∠A1OC1=90°，AD∥BC
∴∠PAO=∠FCO
在△OAP和△OCF中
∴△OAP≌△OCF(ASA)
∴AP=CF，OP=OF
∵∠A1OC1=90°
∴EP=EF
在Rt△PAE中，由勾股定理可得：AE2+AP2=EP2
∴AE2+CF2=EF2
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD，四边形A1B1C1O1均为正方形
∴AB=BC，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠A1OC1=90°，OA=OB
∴∠AOE=∠BOF=90°-∠EOB
在△AOE和△BOF中
∴△AOE≌△BOF(ASA)
∴AE=BF
故答案为：AE=BF
②在Rt△EBF中，BF2+BE2=EF2
∵AE=BF，BE=CF
∴AE2+CF2=EF2
故答案为：AE2+CF2=EF2
（3）解：①当点E在边AC上时
由（2）可得，AE2+BF2=EF2
在Rt△CEF中，由勾股定理可得：CE2+CF2=EF2
即CE2+CF2=AE2+BF2
设BF=x，则CF=8-x，
∵CE=AC-AE=2
∴22+(8-x)2=42+x2
解得：，即
②当点E在C延长线上时，将Rt△ABC补成矩形ACBM，延长FD交AM延长线于点P，连接EP
同理可得，AE2+BF2=EF2
在Rt△CEF中，由勾股定理可得：CE2+CF2=EF2
即CE2+CF2=AE2+BF2
设BF=x，则CF=x-8
∵CE=AC+AE=10
∴102+(x-8)2=42+x2
解得：，即
综上所述，BF的长为或
【分析】（1）①根据正方形性质可得AB=BC，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠A1OC1=90°，OA=OB，则∠AOE=∠BOF=90°-∠EOB，根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②根据勾股定理及边之间的关系即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得OA=OC，∠DAB=∠A1OC1=90°，AD∥BC，则∠PAO=∠FCO，再根据全等三角形判定定理可得△OAP≌△OCF(ASA)，则AP=CF，OP=OF，再根据勾股定理及边之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：①根据勾股定理可得CE2+CF2=AE2+BF2，设BF=x，则CF=8-x，建立方程，解方程即可求出答案；②当点E在C延长线上时，将Rt△ABC补成矩形ACBM，延长FD交AM延长线于点P，连接EP，根据勾股定理可得CE2+CF2=AE2+BF2，设BF=x，则CF=x-8，建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1专题4.4全等三角形—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（　　）
A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例
D．两点之间线段最短
【答案】A
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：O为、的中点，
，，
（对顶角相等），
在与中，
，
，
，
故选：A．
【分析】根据线段中点可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
2． 如图， 在△ABC中， ∠ABC=68°， BD平分∠ABC， P为线段BD上一动点， Q为边AB上一动点，当AP+PQ的值最小时，∠APQ的度数为(　　)
A．34° B．68° C．56° D．90°
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】解：在边BC上截取BE=BQ，连接PE，如图所示：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=34°。
在△BQP和△BEP中：
∴△BQP≌△BEP，
因此PQ=PE。
此时AP+PQ=AP+PE，
当A、P、E三点共线且AE⊥BC时，AP+PE取得最小值，即AP+PQ最小。此时∠AEB=90°。
由∠CBD=34°可得：
∠BPE=90°-34°=56°，
根据全等性质，∠BPQ=∠BPE=56°。
∠APQ=180°-∠BPQ-∠BPE=180°-56°-56°=68°。
故答案为：68°.
【分析】在BC上截取BE=BQ，连接PE，利用SAS可证得△BQP≌△BEP，于是可得PQ=PE，∠BPQ=∠BPE，根据垂线段最短可知，当点A、P、E在同一直线上，且AE⊥BC时，AP+PE的值最小，即AP+PQ的值最小，然后根据各角之间的和差关系即可求出结果.
3．如图，在等边三角形ABC中，点 D，E 分别在边 AC，BC上，连结DE，∠ADE的平分线过△ABC的内心O，交AB 于点 F，连结 EF.若要知道△ABC的周长，则只需要知道下列哪个三角形的周长 该三角形是 (　　)
A．△CDE B．△ADF C．△BEF D．△DEF
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：过点O作OG⊥AC，OH⊥DE，OM⊥BC，连结OE、OC
∵DF平分∠ADE ∴易证得OG=OE（角平分线的性质定理）
∵点O是△ABC的内心，即三角形角平分线的交点 ∴易证得OG=OM
∴OG=OE=OM
∴ ，
∴DH=DG，HE=EM
∵CG=CD+DG，CM=CE+EM
∴CG=CD+DH，CM=CE+EH，即CG+CM=CD+DE+EH=
∵三角形ABC为等边三角形
∴G、M为边AC、BC的中点
∴，A正确.
故答案为：A .
【分析】根据角平分线的性质定理和三角形的内心是三个内角的角平分线的交点，做辅助线过点O作OG⊥AC，OH⊥DE，OM⊥BC，利用全等三角形的判定和性质，得到DH=DG，HE=EM，从而计算得到△CDE的周长AC，进而得到。
4．如图，已知正方形和正方形，且A、B、E三点在一条直线上，以为边构造正方形，交于点M，，．若点Q、B、F三点共线，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；解直角三角形—边角关系；旋转全等模型；同侧一线三垂直全等模型；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：过点Q作于N，连接Q、B、F，
四边形、四边形是正方形，
，，
，
点Q、B、F三点共线，
，
、都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，，
，
，
设，
则，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
在中，
，
在中，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】
过点Q作于N，连接QF，由于Q、B、F三点共线，则由正方形的性质借助一线三垂直全等模型可证明，则有QN=BE、EN=CB，又BE=BG，即有点G平分CB，则QN等于BN等于AB的一半；再由正方形的性质借助旋转全等模型可证明，则DP=BE，即点P平分AD，则AP=QM，再利用倍长中线全等模型可证，则有AM等于NM等于AN的一半，即AB的四分之一，再解直角三角形分别求得和，则的值可得．
5．老师布置的作业中有这样一道题：
甲同学认为AB，AC，AD这三条线段不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决；丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需取 AB 的中点构造三角形的中位线，就可以解决.关于三位同学的思考过程，你认为正确的是 (　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：对于乙，如图，
倍长AD至点A'，连接BA'，
∵BD=DC，AD=A'D，
又∵∠ADC=∠BDA'，
∴△ADC≌△A'DB，
∴A'B=AC=3，AA'=2AD=8，
在△ABA'中，
AA'-A'B∴5故乙正确；
对于丙，如图，
取AB中点M，连接MD，
∵M，D分别为AB和BC中点，
∴MD=0.5AC=1.5，
在△AMD中，
AD-MD∴2.5∴5故丙正确.
故答案为：D.
【分析】对于乙，利用倍长中线，构造△ADC≌△A'DB，根据全等的性质得到△ABA'中的两边的长；对于丙，取AB中点，利用三角形中位线的性质，得到△AMD中两边的长度，最后根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得结论.
二、填空题
6．如图， 在四边形ABCD中， ∠ABC=60°， CD=3， AD=BD=8， 点 E在边AB上， 连接CE.若∠ADE=2∠CBD， 且BD平分∠CDE， 则CE的长为　 　.
【答案】7
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】解：如图， 过点B分别作BM⊥DE于点M， BN⊥DC交DC的延长线于点N，
∵BD平分∠CDE，
∴BM = BN， ∠BDE =∠BDN，
设∠CBD=x，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABD=60°-x，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=60°-x，
∵∠ADE=2∠CBD=2x， ∠A+∠ABD+∠ADE+∠BDE=180°，
∴∠BDE=180°-2(60°-x)-2x=60°，
∴∠BDN=60°，
∴∠CDM =120°，∵BN⊥DC，
∴∠DBN =30°，
∵CD=3，
∴CN=DN-DC=1，
在四边形NDMB中， ∠MBN=360°-∠CDM-∠BMD-∠BND=360°-120°-90°-90°=60°，
∴∠MBN=∠ABC，
∴∠MBE=∠NBC，
在△BEM和△BCN中，
∴△BEM≌△BCN(ASA)，
∴BE=BC =7，
故答案为：7.
【分析】过点B分别作于点M， 交DC的延长线于点N，根据角平分线的性质求出BM=BN， ，结合多边形内角和定理求出 ，根据直角三角形的性质、勾股定理求出DN ，利用ASA证明 ，根据全等三角形的性质求解即可.
7．如图，点是内部的一点，点到三边，，的距离，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵点P到三边的距离，
∴是的角平分线，
∴
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】先证出是的角平分线，利用角平分线的定义可得再利用角的运算和等量代换可得，最后求出∠BAC的度数即可.
8．如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F.其中结论正确的是　 　 .（填序号）
①∠AFC=120°；②若AB=2AE，则CE⊥AB；③CD+AE=AC；④S△AEF：S△FDC=AF：FC.
【答案】①②③④
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；三角形全等的判定；角平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①在中，，
，
∵平分，平分，
，，
，故①正确；
②如图，延长至G，使，连接，
，
，
，
，
，，
为角平分线，
，
，
，
，
，故②正确；
③如图，作作的平分线交于点G，
由①得：，
，
，
，
，，
，，
，，
，故③正确；
④过G作，于点G，H，
由④知，为的角平分线，
，
，
，，
，故④正确．
综上所述：正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出∠AFC判断①；延长至G，使，连接，根据SAS得到，即可得到，利用三线合一判断②；作的平分线交于点G，可得，根据ASA得到，，即可得到，判断③；过G作，于点G，H，由③知，为的角平分线，即可得到，进而得到，根据，判断④解答即可．
9．如图，在中，，平分，，点是的中点，连接，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
∵平分，，
∴，
在 ADC和 ADF中
∴
∴，
∴
又∵是的中点
∴
故答案为：．
【分析】延长交于点，结合已知，用角边角可证明，由全等三角形的对应边相等可得，，然后根据三角形的中位线等于斜边的一半得DE=BF可求解．
10． 如图2是某款台灯（图 1）的示意图，处于水平位置的棤杆 E F 可以绕着点 转动，当 O F 分别转到 O M， O N 的位置时， 测得 ， 点 M， N 的高度差为 ， 点 ， 的水平距离 ， 点 M， F 的水平距离 ， 若该台灯的底座高度 ，垂直于底座的灯柱长 O A 与 O F 长度一样，从 点射出的光线与桌面成 ，则光线所照区域最大范围 B P 为　 　 cm .
【答案】
【知识点】全等三角形的实际应用；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过N作NK⊥BP交EF于J点，延长GM交EB于L点，
由题易得△ELM≌△EJN，
设LM=JN=x，则EJ=x+16-2=x+14，EL=FG=34-x，
∵EJ=EL，
∴x+14=34-x，解得x=10，
则BK=10+16-2=24cm，
∵OA=OF=10+16=26cm，
∴NK=3+26+10=39cm，
在Rt△NKP中，∠P=60°，
∴KP==cm，
故BP=cm，
故答案为：.
【分析】本题根据△ELM≌△EJN，利用对应边相等列方程求解出相关线段，结合含60°的直角三角形三边关系求解即可.
三、解答题
11．如图，在菱形ABCD中，点E， F分别在BC， CD上，且CE=CF．求证： AE=AF．
【答案】证明：∵在菱形ABCD中， AB=AD， CB=CD， ∠B=∠D；
已知CE=CF，
∴CB-CE=CD-CF，即BE=DF；
∴在△ABE和△AFD中
∴△ABE≌△AFD (AAS)
∴AE=AF
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】根据菱形的性质，利用AAS得到△ABE≌△AFD，再根据全等三角形的对应边相等得到结论即可.
12．已知如图，在中，，．
（1）作的平分线，交于点；作的中点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，求证：．
【答案】（1）解：如下图，点D、E即为所求作；
（2）证明：∵，平分，
，
，
∴，
∴，
在和中，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据角平分线定义可得∠ABD，根据等角对等边可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：如下图，点D、E即为所求作；
（2）证明：∵，平分，
，
，
∴，
∴，
在和中，
∴.
13．如图，中，，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接与交于点E．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：由作图知：．
在和中，
．
（2）解： ∵，，
∴，
则．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】
（1）由基本尺规作图知AD垂直平分BC，则AC＝AC、DB＝DC，再利用证明即可；
（2）利用等边对等角即可得，再结合三角形内角和定理即可求解．
（1）证明：由作图知：．
在和中，
．
（2）解： ∵，，
∴，
则．
14．“草长莺飞二月天，扶梯杨柳醉春烟，儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．星期天，小明和小伙伴准备自制风筝到公园去放，小明将正方形纸片和菱形纸片按照如图所示制作，顶点B和顶点N重合，菱形的对角线经过点D，点E，F分别在，上．
（1）求证：；
（2）若，点E在的中点上，求的长度.
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即，
∴
（2）连接，交于点O，可知．
根据（1）得，
∴．
∵点E是的中点，，
∴．
在中，，根据勾股定理，得，
在中，根据勾股定理，得．
根据勾股定理，得，
即，
解得，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和菱形的性质得到，即可得出，利用得到两三角形全等；
（2）连接，交于点O，即可得出，根据全等三角形的对应边相等得到，根据勾股定理求出和长，进而求出OD长，最后根据线段的和差解答即可．
15． 如图，是正方形对角线，的交点，平分，交于点，于点，分别交，于点，．
（1）证明；
（2）是等腰三角形吗？请说明理由；
【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
∵平分，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，即是等腰三角形．
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，利用证明两三角形全等即可；
（2）根据角平分线的定义可得，再根据正方形的性质可得，然后根据外角可得，然后根据等角对等边证明结论即可．
16．在如图所示的方格纸中，是格点三角形，请按以下要求画格点三角形．
（1）在图1中画一个，使得和全等．
（2）在图2中画一个等腰，使得和的面积相等．
【答案】（1）解：如图，即为所作：
（2）解：如图，等腰即为所作
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】本题考查全等三角形判定(SSS)与等腰三角形，等面积三角形的构造：
全等构造：依据三边对应相等则三角形全等，通过格点作等长边确定顶点；
等腰与等面积：利用平行线间距离相等(同底等高面积相等)，结合等腰三角形两边相等的定义作图，体现几何直观与实践操作素养，核心是对三角形全等，等腰及面积关系的综合运用
(1)根据可作，使得和全等；
(2)过点C作的平行线，即可作等腰，同样，在的另一侧也可作等腰.
17．已知，如图，于点于点．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
在和中，
，
，
（2）证明：由（1）可知：，
，
，，
，
在和中，
，
，
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）连接，根据SSS得到，再根据全等三角形的对应角相等得到结论即可；
（2）由（1）可得，再根据角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用HL得到，根据全等三角形的对应边相等得到结论即可．
18．如图，在正方形中，点E，F分别为和上的点，与交于点，现提供三个关系：①；②；③．
（1）从三个关系中选择一个作为条件，剩下的两个作为结论，形成一个真命题，写出所有的真命题；
（2）选择其中的一个真命题进行证明．
【答案】（1）解：命题一：若①，则②，③；
命题二：若②，则①，③；
命题三：若③，则①，②．
三个命题都是真命题.
（2）证明：命题一：证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
，
，
，
∴，
，
.
命题二：证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
，
，
∴，
∴，
，
.
命题三：证明如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【分析】（1）命题一，①为条件，②③为结论；命题二，②为条件，①③为结论，命题三，③为条件，①②为结论；
（2）命题一证明：由正方形的性质可得，再利用证明，得到，再导角证明，即可证明；
命题二证明：利用证明，得到，整理可证明；
命题三证明：导角证明，再利用ASA证明，即可得到.
（1）解：命题一：若①，则②，③；
命题二：若②，则①，③；
命题三：若③，则①，②．
命题一证明如下：
由正方形的性质，得，
，
，
，
，
，
，
；
命题二证明如下：由正方形的性质，得，
，
，
∴，
，
，
，
；
命题三证明如下：由正方形的性质，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：命题一证明如下：
由正方形的性质，得，
，
，
，
，
，
，
；
命题二证明如下：由正方形的性质，得，
，
，
∴，
，
，
，
；
命题三证明如下：由正方形的性质，得，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
19．如图，已知，点，在线段上，且．
请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．
你添加的条件是：__________（只填写一个序号）．
添加条件后，请证明．
【答案】①（或②）
【知识点】平行线的判定；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】证明：当选取①时，
∵ ， ， ，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
；
证明：当选取②时，
∵ ， ， ，
，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
；
当选 ③ 时，无法证明出 ，进而无法推出 。
故答案为：①（或②）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定．
选择①或②，首先利用SSS或SAS证明出，然后得出对应角度相等和对应边长相等，进一步证明出，此时即可得出，最后根据“内错角相等、两直线平行”即可得出。
20．课本56页中有这样一道题：证明．如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等，
（1）小玲在思考这道题时．画出图形，写出已知和求证．
已知：在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，．
求证：．
请你帮她完成证明过程．
（2）小玲接着提出了两个猜想：
①如果两个三角形有两条边和第三边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等；
②如果两个三角形有两条边和第三边上的高分别相等，那么这两个三角形全等；
请你分别判断这两个猜想是否正确，如果正确，请予以证明，如果不正确，请举出反例．
【答案】（1）证明：∵是边上的中线，是边上的中线，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：命题①正确，证明如下：
已知：在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，且.
求证：.
证明：如图，延长到，使，连接，延长到，使，连接，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
同理可得，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴；
命题②不正确，反例如下：
如图3、图4，
在和中，，，边上的高线为，边上的高线为，，与不全等．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】（1）求出，从而得，得，进而；
（2）①延长到，使，连接，延长到，使，连接，证明，得，，同理得，，从而得，，进而证明，得，，于是得，，即可证明；
②如图3、图4，一个是锐角三角形，一个是钝角三角形， 举出反例，即可得到结论不成立．
21．如图是由边长为的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺在网格中完成下列作图．
（1）在图中，作的高线；
（2）在图中．
在边上画一点，使平分的面积；
点是边上任意一点，在的条件下，在上画一点，使，并说明理由．
（3）在图中，在边上画一点F，使．
【答案】（1）解：如图所示，
线段即为所求；
（2）解：如图所示，
线段即为所求；
如图所示，点即为所求，
理由：∵线段AB与线段A'B关于BC对称，
∴AB=A'B，∠EBN=∠E'BN，
∵点E与点E'分别为AB、A'B的中点，
∴BE=BE'，
∴在△BEN和△BE'N中，
，
∴△BEN≌△BE'N（SAS），
∴∠ENB=∠E'NB，
∵∠E'NB=∠MNC，
∴∠ENB=∠MNC.
（3）解：如图所示，
点即为所求.
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】（1）首先选择格点，然后连接，并将该连线延长至与相交于点，CD即为所求；
（） 找到的中点，连接即可；
先作出关于的对称线段，取其中点。然后连接与相交于点，最后连接即可；
（）选取格点构造等腰直角三角形，再取格点和，连接与相交于点，连接并延长使其与相交于点，点即为所求.
（1）解：如图，线段即为所求；
（2）解：如图中，线段即为所求；
如图中，点即为所求；
（3）解：如图中，点即为所求，
理由：由网格可知：，
∴，
∴点即为所求．
22．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按要求画图．要求：
（1）在图①中画一个，使是一个轴对称图形；
（2）在图②中画一个，使它与全等；
（3）在图③中画一个，使它与的周长相等．
【答案】（1）解：如图①，即为所求；
（2）解：如图②，即为所求；
（3）解：如图③，即为所求．
【知识点】三角形全等及其性质；轴对称图形；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此利用方格纸的特点作一个等腰△BCD即可；
（2）根据成轴对称的两个图形一定全等，利用方格纸的特点作出点A关于BC的对称点E，再连接BE、CE即可；
（3）根据全等三角形周长相等，利用方格纸的特点作出点B关于AC垂直平分线的对称点F，再连接AF、CF即可.
（1）解：如图①，即为所求；
（2）解：如图②，即为所求；
（3）解：如图③，即为所求．
23．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．
（1）在图1中计算格点三角形ABC的面积是_____；（每个小正方形的边长为1）
（2）是格点三角形．
①在图2中画出2个与全等且有一条公共边的格点三角形；
②在图3中画出2个与全等且有一个公共点的格点三角形．
【答案】（1）6
（2）解：①如图2中，、即为所求作（答案不唯一）．
②如图3中，、即为所求作（答案不唯一）．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】（1）解：如图1中，，
故答案为：6．
【分析】（1）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可；
（2）①利用全等三角形的判定及三角形的作图方法作出图形即可；
②利用旋转和全等三角形的判定以及三角形的作图方法作出图形即可.
（1）解：如图1中，，
故答案为：6．
（2）①如图2中，、即为所求作（答案不唯一）．
②如图3中，、即为所求作（答案不唯一）．
24．小嘉与小兴一起研究一个尺规作图问题：
如图1，是平分线上一点，是AB上一点。用直尺和圆规作，其中点在AC上。
小嘉：如图2，以为圆心，AE长为半径作弧，交AC于点，连接DE，DF，则。
小兴：以为圆心，DE长为半径作弧，交AC于点，连接DE，DF，则。小嘉：小兴，你的作法有问题。
小兴：哦……我明白了！
（1）给出小嘉作法中的证明。
（2）指出小兴作法中存在的问题。
【答案】（1）解：在和中，
（SAS），
（2）解：小兴作法中，若以为圆心，DE长为半径作弧，该弧与AC的交点可能有2个，即点的位置不唯一确定，因此不能确定
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质和SAS证明出，从而得出；
（2）可以实践用圆规操作画图，可以发现若以为圆心，DE长为半径作弧，该弧与AC的交点可能有2个，即点的位置不唯一确定，从而无法判断。
25．如图，在正方形ABCD中，对角线AC上有一点 P，连结PB， PD.
（1）求证： PB=PD.
（2）将线段 DP 绕点 P 逆时针旋转，使点 D 落在 BA 的延长线上点 Q 处，求∠DPQ 的度数.
【答案】（1）证明：正方形ABCD，
∴∠DAC=∠BAC=45°，AB=AD，
∵AP=AP，
∴△DAP≌△BAP(SAS)，
∴PB=PD；
（2）解：∵PB=PD， PD=PQ，
∴PB=PQ，
∴∠PBQ=∠PQB，
∵△DAP≌△BAP(SAS)，
∴∠PDA=∠PBQ=∠PQB，
∵， ∠QMA+∠MQA=90°，
∴∠DMP+∠ADP=90°，
∴∠DPQ=90°.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；余角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据正方形的性质，利用SAS得到，根据全等三角形的对应边相等得到结论即可；
（2）根据SAS得到△DAP≌△BAP，即可得到，进而求出，得到结论即可．
26．如图，在中，是上一点，为外部一点，连接交于点，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
∴；
（2）解：，，
，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；补角
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，则，再根据补角即可求出答案.
（1）证明：，
，
，
在和中，
，
，
∴；
（2）解：，，
，，
，
．
27．如图1所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图2，AP 为伞柄，伞圈D 能沿着伞柄AP 滑动，伞骨AB=AC，E，F分别是伞骨上两个定点，且满足
（1）求证：
（2）当伞完全撑开后，点B，D，C在同一条直线上，已知AB=55cm，AD=33cm，两个身体宽度40 cm的人共撑这把伞并排站立，两人之间间隔10 cm，问他们是否会被垂直滴下的雨水淋到
【答案】（1）证明：
∴AE=AF，
在△ADE 和△ADF 中，
∴ △ADE≌△ADF (SSS).
（2）解：如图，连接，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
他们会被垂直滴下的雨水淋到．
答：他们会被垂直滴下的雨水淋到．
【知识点】全等三角形的实际应用；勾股定理；三角形全等的判定-SSS；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）先根据三等分点可得，然后根据SSS证明两个三角形全等即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，根根据勾股定理求出的长度，然后利用三线合一求出BC长判断解答即可．
28．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图①，在和中，，，，连接．直接写出与的数量关系是：______；
（2）类比探究：如图②，在和中，，，，连接请猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B、E、F在一条直线上，过点A作，垂足为M．请直接写出之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：，
理由如下：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵和都是等腰三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（3）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得，再求出，最后利用线段的和差及等量代换可得 .
（1）解：∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：∵和都是等腰三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
29．图1是一张三角形纸片，，，，沿垂直于斜边的方向裁剪一刀（裁剪线为），会分得两个图形．
情境：（1）当裁剪线恰好经过顶点B时，如图2，直接写出的长；
操作：（2）要使经过沿裁剪的三角形纸片，分得的其中一个图形为轴对称图形，
①嘉嘉想出了如下作法：先作出了的平分线交于N，如图3，再过点N沿垂直于的方向裁剪，得到的四边形一定是轴对称图形．在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点N作出的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）；
②试对与相等进行说理，并直接写出裁剪线的长．
探究：（3）在（2）的情形中，淇淇说：“裁剪线还应有另一个不同的值．”请直接写出淇淇所说的的长．
【答案】（1）；
（2）
①尺规作图如图所示，
②；
（3）MN＝3.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1），，，
，
，
，
，
；
（2）
②平分，，，
，
又，
，
设，则，，
，
在中，由勾股定理，得，
解得：，
裁剪线的长为；
（3）如图，四边形是轴对称图形，
与关于成轴对称，
，，，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
解得：，
【分析】
（1）先利用勾股定理斜边AC的长，再利用等面积法求出MN即可；
（2）①先利用尺规作图作的平分线交AB于点N，再过点N作AC的垂线交AC于点M即可；
②先由角平分线的性质定理可得NB=NM，再利用HL证明，则CM=CB=8，再设，则，，再利用由勾股定理列方程并求解即可；
（3）同理可先作的平分线交BC于点N，再过点N作AC的垂线段NM即可，再参照上述方法求解即可．
30．【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
【答案】解：（1）在△AMD和△AND中，
，
∴△AMD≌△AND（SSS），
∴∠AMD=∠AND；
（2）选择①为条件，②为结论，
在AC取点N，使AN=AM，连接DN，如图所示：
∵AD平分∠MAN，
∴∠MAD=∠NAD，
在△AMD和△AND中，
，
∴△AMD≌△AND（SAS），
∴∠AMD=∠AND，MD=ND，
∵∠AMD=2∠C，
∴∠AND=2∠C，
∵∠AND=∠NDC+∠C，
∴∠NDC=∠C，
∴ND=NC，
∴CN=MD，
∵AC=AN+CN，
∴AC=AM+MD；
选择②为条件，①为结论
在AC取点N，使AN=AM，连接DN，如图所示：
∵AD平分∠MAN，
∴∠MAD=∠NAD，
在△AMD和△AND中，
，
∴△AMD≌△AND（SAS），
∴∠AMD=∠AND，MD=ND，
∵AC=AN+CN，
又∵AC=AM+MD，
∴CN=MD，
∴CN=DN，
∴∠NDC=∠C，
∵∠AND=∠NDC+∠C=2∠C，
∴∠AMD=2∠C；
（3）连接BD，取AE的中点F，连接BF，如图所示，
∵∵，
∴AB=BC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AC为的直径，
∴∠ABC=90°，
∵点F是AE的中点，
∴AE=2AF=2BF，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF，
∵∠BAF=∠BCD，∠DBC=∠DAC，
∴∠BAF=∠ABF=∠BCD=∠DBC=∠DAC，
在△ABF和△BCD中，
，
∴△ABF≌△CBD（AAS），
∴AF=CD，
∴AE=2CD.
【知识点】全等三角形的实际应用；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】（1）直接利用证明△AMD≌△AND即可得出结论；
（2）选择①为条件，②为结论：在AC取点N，使AN=AM，连接DN，先根据SAS证明△AMD≌△AND可得∠AMD=∠AND，MD=ND，再结合∠AMD=2∠C可得∠NDC=∠C即可得出ND=NC，进而即可得出结论；选择②为条件，①为结论：在AC取点N，使AN=AM，连接DN，先根据SAS证明△AMD≌△AND可得∠AMD=∠AND，MD=ND，再根据AC=AM+MD即可得出ND=NC，进而得到∠NDC=∠C，即可得出结论；
（3）连接BD，取AE的中点F，连接BF，根据，可得，根据AC为的直径，
∠ABC=90°，根据中点定义和直角三角形的性质可得∴AE=2AF=2BF，根据圆周角定理可得∠BAF=∠ABF=∠BCD=∠DBC=∠DAC，进而可证明△ABF≌△CBD，从而得到AF=CD，即可得出结论．
31．综合与实践
（1）问题提出：
如图1，点E为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：．
（2）尝试应用：
如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N、M，与交于K，若，．求证：．
（3）问题拓展：
如图3，P是内一点，，D在边上，连接，，过P作，垂足为E，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是以、为腰的等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴。
（2）证明：延长至G，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴。
（3）解：如图，延长交于点F，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
在中，∠AEF=∠CEF=90°，EF=EF，，
∴，
∴，。
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）先结合等腰三角形的性质得出，然后结合图形进行角度计算得出，最后利用证即可；
（2）做辅助线，结合条件逐步推出，此时利用SAS证明，从而得出；然后结合直角三角形锐角互余，列示推出，利用“含30°直角三角形的特点”得出，最后计算即可；
（3）做辅助线，结合平角的特点以及三角形内角和，推出，再结合等腰三角形判定及性质综合得出，此时利用SAS证明，得出，，；再利用ASA证明，即可得出答案．
（1）证明：∵是以、为腰的等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：延长至G，使，连接，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，延长交于点F，连接，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∵，
可证，
∴，，
32．已知线段是正方形的一条对角线，点E在射线上运动，连接，将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，连接．
（1）如图1，若点E在线段上，请直接写出线段与线段的数量关系与位置关系；
【模型应用】
（2）如图2，若点E在线段的延长线上运动，请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，已知线段是矩形的一条对角线，，，点E在射线上运动，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，在上截取线段，连接，若，直接写出线段的长．
【答案】（1），，
（2）；
理由：∵四边形是正方形，
∴，，
由旋转得，，，
∴，
即，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴；
（3）线段的长为或
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：（1），；
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵将线段绕点C顺时针旋转，得到线段，
∴，，，
∴，
∴，
∴，，
则，即；
（3）过点C作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
若点E在线段上，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点C顺时针旋转，得到，
∴，，
∵，
∴，
若点E在的延长线上时，
同理，，
∴，
同理，，
综上，线段的长为或．
【分析】（1）根据正方形性质可得，，，则，再根据旋转性质可得，，，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，由旋转得，，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过点C作于点H，根据矩形性质可得，，，根据勾股定理可得BD，再根据三角形面积可得CH，根据勾股定理可得DH，分情况讨论：若点E在线段上，根据边之间的关系可得EH，根据旋转性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案；若点E在的延长线上时，根据边之间的关系可得EH，再根据勾股定理即可求出答案.
33．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力．
【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明．
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，中，，是斜边上的中线．求证：．
分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：．
请你按材料中的分析写出完整的证明过程；
【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：；
【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数．
【答案】【模型证明】证明：如图所示：延长到，使得，连接．
在和中，
，
∴，
，，
∴（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
，
，
在和中，
，
∴，
．
∴，
【模型应用】 证明：连接．
，且为的中点，
，
，
，
，
，
∴，
；
【模型构造】 解：如图所示，过作于，连接．
，且，
∴．
∴．
∵．
∴，
∴，
∴为等边三角形．
，，
∵
∴．
∴，
∴．
∴．
∴为等腰直角三角形．
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；直角三角形斜边上的中线；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】【模型证明】延长到，使得，连接，利用“SAS”证明，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得，，由内错角相等，二直线平行得AE∥BC，由二直线平行，同旁内角互补推出∠ABC=∠BAE=90°，从而用“SAS”证明，由全等三角形的对应边相等得，即可得证；
【模型应用】 连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半及已知得到，由等边对等角得∠E=∠CDE及∠B=∠BCD，然后根据三角形外角性质得出∠B=∠BCD=2∠E；
【模型构造】 作于点H，连接CH，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得HC=BC=CD，由等边对等角得出∠CHB=∠B=30°，由角的构成推出∠CHD=60°，根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△DCH是等边三角形，得CH=DH，∠HCD=60°，根据三角形外角性质及角的构成求出，由等角对等边得，根据等腰直角三角形的性质及角的构成可得的结论．
34． 【阅读材料】
问题 如图，AB，CD 相交于点O，O 是 AB 的中点，AC∥BD，求证：O是CD 的中点.
问题分析 由条件易证△AOC≌△BOD，从而得到OC=OD，即O是CD 的中点.
方法提取 构造“平行8字形”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法.
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题.
【基础应用】
已知在△ABC中，. 点 E 在边 AB 上，点F 在边 BC的延长线上，连结EF交AC 于点 D.
（1）如图①，若AB=BC，AE=CF，求证：D是EF的中点；
（2）如图②，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD 与 BE 之间的数量关系；
（3）【灵活应用】
如图③，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，E 是AB 上一点，点 F 在 BC 的延长线上， 当点C从点B运动到点A，点D运动的路径长为　 　，CF 扫过的面积为　 　.
【答案】（1）证明：∵AB=BC，∠B=90°，∴∠A=∠ACB=45°.
如图①，过点 E 作 EG∥BF，交 AC于点G，
则∠DGE=∠DCF，∠AEG=∠B=90°.
∴△AEG是等腰直角三角形，则AE=GE.
∵AE=CF，∴GE=CF.
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF.
∴DE=DF.∴D是EF 的中点
（2）解：如图②，过点 E 作EG∥BF，交AC于点G，则△AEG∽△ABC，
∴AE=2EG.
∵AE=2CF，∴EG=CF.
∵EG∥BF，
∴∠DGE=∠DCF，∠AEG=∠B=90°.
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF(AAS).
∴CD=DG.
∵AE=2EG，
（3）；
【知识点】弧长的计算；等腰直角三角形；截长补短构造全等模型；A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】（3）
∵AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，
∴∠ACB=90°，
过点E作EG∥BF，则△AEG∽△ABC，
∴
∵，
∴EG=CF，
∵EG∥BF，
∴∠AGE=∠ACB=90°，
∴∠DGE=∠DCF=90°，
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF（AAS），
∴CD=DG，
过点D作DM∥BF，则，∠ADM=90°，
∴EM=BM，
∵AB=8，AE=2，
∴BE=6，则EM=BM==3，
∴AM=AE+EM=5，
∴点D在以AM为直径的半圆上运动，
∴D运动的路径长为：
过点F作FH∥AC，则
∵
∴AE=AH=2，
∴BH=AH+AB=10，
∴点F在以BH为直径的半圆上运动，
则CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，
即：CF扫过的面积为
【分析】(1) 过点E作EG∥BF，证△DGE≌△DCF，即可得点D是EF的中点.
(2) 过点E作EG∥BF，可证△AEG∽△ABC，得，再证△DGE≌△DCF，得CD=DG ，由平行线平分线段成比例，得 由AE=2EG，得AG=5EG ，AGAE=52，AGAE=2CDBE=52，从而可得CD=54BE.
（3）由题意可得∠ACB=90°，过点E作EG∥BF，则△AEG∽△ABC，可 进而可得EG=CF，易证△DGE≌△DCF，可知CD=DG，过点D作DM∥BF，则， ∠ADM=90°，易知点D在以AM为直径的半圆上运动，可求得D运动的路径长度，过点F作FH∥AC，则 易知点F在以BH为直径的半圆上运动，可知CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，即可求得答案.
35． 请阅读下面的材料.
（1）问题： 如图1，若∠A =60°，∠ACB =90°，CD平分∠ACB，探究图中线段BC，AC，AD之间的数量关系.
小明同学的思路是：如图2，在BC上截取CE =CA，连接DE，先证 可得AD=DE，再证BE=DE，可得出结论，他的结论是　 　(直接写出结论，不需要证明).
（2）变式：如图3，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，若AE平分 请你探究图中线段AB，AD，CD之间的数量关系并证明.
（3） 拓展： 如图4，在△ABC中，和 的平分线交于点P，点M，N分别为AB，AC上的点，且点P为MN中点，若BM=8，CN=1.5，MN=7，求BC的值.
【答案】（1）BC =AC+AD
（2）解：AD =AB+CD， 理由如下：
在AD上截取AF =AB， 连接EF， 如图，
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE =∠FAE
∵AE = AE
∴△BAE≌△FAE(SAS)
∴∠AEF =∠AEB， BE =EF
∵E是BC的中点
∴CE = BE = EF
∵∠AED=90°
∴∠AEF+∠DEF =90°，∠AEB +∠DEC =90°
∴∠DEF =∠DEC
∵DE = DE
∴△DEF≌△DEC(SAS)
∴DF = DC
∴AD=AF+DF
∴AD =AB+CD
（3）解：在BC上截取CG=CN， BH =BM， 连接PG， PH， 如图，
∵CP平分∠ACB， BP平分∠ABC
∵∠A +∠ABC+∠ACB = 180°
∴∠CPN +∠BPM =60°
易证： △CPN≌△CPG， △BPM≌△BPH
∴∠CPN=∠CPG，∠BPM=∠BPH， PN =PG， PM=PH， CN =CG =1.5，BM =BH =8
∴∠CPG +∠BPH = 60°
∴∠GPH =∠BPC-(∠CPG+∠BPH)=60°
∴△GPH为等边三角形
∵P为MN中点
∴PG=PH = GH =3.5
∴BC=BH+GH+CG=BM+GH+CN=8+3.5+1.5=13
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】
解：（1）在CB上截取CE=AC，连接DE，如图，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ACD，
又∵CD=CD，
∴△ECD≌△ACD（SAS），
∴EC=AC，DE=AD，∠CED=∠A=60°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
又∵∠CED=∠EDB+∠B，
∴∠EDB=60°-30°=30°，
∴∠EDB=∠B，
∴BE=DE，
∴BE=AD，
∵BC=EC+BE，
∴BC=AC+AD；
【分析】 （1）证△ECD≌△ACD（SAS），得EC=AC，DE=AD，∠CED=∠A=60°，再证BE=DE，则BE=AD，即可得出结论；
（2）在AD上截取AF=AB，连接EF，证明△BAE≌△FAE（SAS），得∠AEF=∠AEB，BE=EF，再证明△DEF≌△DEC（SAS），得DF=DC，进而得出结论；
（3）在BC上截取CG=CN，BH=BM，连接PG，PH，证明∠CPN+∠BPM=60°，结合（1）知：△CPN≌△CPG，△BPM≌△BPH，得∠CPN=∠CPG，∠BPM=∠BPH，PN=PG，PM=PH，然后证明△GPH为等边三角形，得GH=PG=PH=3.5，进而得出结论．
36．【阅读材料】
“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题．
【问题解决】
（1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由；
（3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由．
【答案】解：（1），理由如下：
如图 ① ，
在上截取，连接，
为的角平分线，
，
∵，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∴.
（2），理由如下：
如图②，
在上截取，连接，
平分，
，
∵，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
∴.
（3）不成立， 新数量关系为：，理由如下：
如图③，
在的延长线上取一点，使，连接，
是的平分线，
，
∵，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型；角平分线构造全等模型
【解析】【分析】（1）在上截取，连接，根据角平分线定义得，再根据，可证明，推出，，再求得，据此即可得到.
（2）在上截取，连接，根据角平分线定义得，再根据，可证明，推出，，同（1）即可求解.
（3）在的延长线上取一点，使，连接，根据角平分线定义得，再根据，可证明，同理可证明．
37．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置.如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O1的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转.
（1）【问题发现】
①线段AE，BF之间的数量关系是　 　.
②在①的基础上，连接EF，则线段AE，CF，EF之间的数量关系是　 　.
（2）【类比迁移】
如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O1的一个顶点，A1O与边AB相交点E，C1O与边BC相交于点F，连接EF，延长C1O交AD于点P，连接EP，AC，矩形A1B1C1O1可绕点O旋转.判断线段AE，CF，EF之间的数量关系并证明.
（3）【拓展应用】
如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕点D旋转.当AE=4时，请直接写出线段BF的长.
【答案】（1）AE=BF；AE2+CF2=EF2
（2）解：AE2+CF2=EF2，理由如下：
∵四边形ABCD，四边形A1B1C1O1均为矩形，矩形ABCD的中心为O
∴OA=OC，∠DAB=∠A1OC1=90°，AD∥BC
∴∠PAO=∠FCO
在△OAP和△OCF中
∴△OAP≌△OCF(ASA)
∴AP=CF，OP=OF
∵∠A1OC1=90°
∴EP=EF
在Rt△PAE中，由勾股定理可得：AE2+AP2=EP2
∴AE2+CF2=EF2
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD，四边形A1B1C1O1均为正方形
∴AB=BC，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠A1OC1=90°，OA=OB
∴∠AOE=∠BOF=90°-∠EOB
在△AOE和△BOF中
∴△AOE≌△BOF(ASA)
∴AE=BF
故答案为：AE=BF
②在Rt△EBF中，BF2+BE2=EF2
∵AE=BF，BE=CF
∴AE2+CF2=EF2
故答案为：AE2+CF2=EF2
（3）解：①当点E在边AC上时
由（2）可得，AE2+BF2=EF2
在Rt△CEF中，由勾股定理可得：CE2+CF2=EF2
即CE2+CF2=AE2+BF2
设BF=x，则CF=8-x，
∵CE=AC-AE=2
∴22+(8-x)2=42+x2
解得：，即
②当点E在C延长线上时，将Rt△ABC补成矩形ACBM，延长FD交AM延长线于点P，连接EP
同理可得，AE2+BF2=EF2
在Rt△CEF中，由勾股定理可得：CE2+CF2=EF2
即CE2+CF2=AE2+BF2
设BF=x，则CF=x-8
∵CE=AC+AE=10
∴102+(x-8)2=42+x2
解得：，即
综上所述，BF的长为或
【分析】（1）①根据正方形性质可得AB=BC，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠A1OC1=90°，OA=OB，则∠AOE=∠BOF=90°-∠EOB，根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②根据勾股定理及边之间的关系即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得OA=OC，∠DAB=∠A1OC1=90°，AD∥BC，则∠PAO=∠FCO，再根据全等三角形判定定理可得△OAP≌△OCF(ASA)，则AP=CF，OP=OF，再根据勾股定理及边之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：①根据勾股定理可得CE2+CF2=AE2+BF2，设BF=x，则CF=8-x，建立方程，解方程即可求出答案；②当点E在C延长线上时，将Rt△ABC补成矩形ACBM，延长FD交AM延长线于点P，连接EP，根据勾股定理可得CE2+CF2=AE2+BF2，设BF=x，则CF=x-8，建立方程，解方程即可求出答案.
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