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专题4.5特殊三角形—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．如图， ∠AOB=150°， OC平分∠AOB， P为OC上一点， PD∥OA交OB于点 D， PE⊥OA 于点 E.若 PD=4，则 PE的长为(　　)
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵PD∥OA，∠AOB=150°，
∴∠PDO+∠AOB=180°，
∴∠PDO=30°，
过P作PF⊥OB于F，
∵PD=4，
∴PF=×PD=2，
∵PE⊥OA，OC平分∠AOB，
∴FO=PE=2，
故选：A．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠PDO的度数，过P作PF⊥OB于F，30°的直角三角形的性质求出PF的长，然后根据角平分线的性质解答即可.
2．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上.若∠A=34°，则∠ADE的大小是(　　)
A．35° B．37° C．39° D．41°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=34°
∴
∵将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上
∴∠DEC=∠B=73°
∴∠ADE=∠DEC-∠A=39°
故答案为：C
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据折叠性质可得∠DEC=∠B=73°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
3．如图1，在中，．某数学兴趣小组将三个与全等的三角形，摆放得到图2所示，连接，则的长度是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：，
且，
，且为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由题意知，即是等边三角形；再由全等的性质结合三角形的内角和知，即也是等边三角形；再由三角形全等的性质结合已知可得AF＝AC，再由等边对等角结合三角形外角的性质可得，则，再解直角三角形可得.
4．如图，在△ABC中，BE⊥AC，∠EBC=45°，在BC上取一点D，使得AB=AD，求CD和AE的数量关系是（　　）
A． B．CD=2AE C． D．CD=1.5AE
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，∠EBC=45°
∴∠C=90°-45°=45°
过点D作DG⊥AC于点G
∴∠DGC=90°
在Rt△DGC中，
∵∠C=45°
∴△DGC是等腰直角三角形
∴CD=DG
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（AAS）
∴AE=DG
∴CD=AE
故答案为：C
【分析】通过作辅助线（垂线）构造等腰直角三角形△DGC，得到线段CD，DG的关系，再利用AAS判定证明△ABE≌△ADG，由全等三角形的性质可证明AE=DG，从而得到CD与AE的长度关系。
5．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B， C的对应点分别为点D， E， DE的延长线与边BC相交于点F，连接CE.若AC=4， CF=2，则线段CE的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接交于G，如图所示：
根据旋转可得：，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】连接，根据旋转可得，，再在中根据勾股定理求出AF长，利用HL得到，即可得到，然后得到垂直平分，进而可得，根据三角形面积公式求出求出CG长，根据三线合一解答即可．
6．如图，在中，．将绕点旋转至，使，交边于点，则的长是（　　）
A．4 B． C．6 D．5
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
∵将绕点旋转至，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据旋转的性质得，进一步得与相等，再根据直角三角形两锐角互余可证，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合勾股定理即可得的长为5.
7．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（　　）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，，，
，
在中，
，，
．
故答案为：C．
【分析】由等腰三角形的三线合一得出BD=BC=18cm，在Rt△ABD中，根据正切函数定义，结合∠ABC的正切函数值可算出AD的长.
8．在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（　　）
A．x2=102+（x-5-1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102
C．x2＝102+（x+1-5）2 D．x2＝（x+1）2+102
【答案】C
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】根据题意做出简图如下：
其中AC=x，BC=10，AB=x+1-5
中，由得，
故选C．
【分析】根据题意做出简图如下，寻找三边之间的数量关系，在中应用勾股定理即可．
9．如图，某同学用一个等边三角形和一个正五边形设计了一个宝石徽章，其中为两个图形的公共边，连接，交于点，下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．是等腰三角形 D．垂直平分
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：A、五边形是一个正五边形，且是一个等边三角形，
内角和为，，，
，
，
，
不垂直于，此选项错误，但符合题意；
B、由A选项得，
，
，
，此选项正确，但不符合题意；
C、如图，连接、，
五边形是一个正五边形，且是一个等边三角形，
，，
，
∴；
同理可证，
∴，
，
，
由B选项得，
，
，
是等腰三角形．
此选项正确，但不符合题意；
D、，
，
∵，
是的垂直平分线．
此选项正确，但不符合题意．
故选：A．
【分析】本题以等边三角形与正五边形拼接成的徽章图案为背景，考查了正多边形的内角计算、平行线的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及垂直平分线的判定等多个几何知识点。解题时需逐一验证四个选项：A选项通过计算正五边形内角及等腰三角形底角，判断AC与CF是否垂直；B选项利用同旁内角互补推出平行；C选项通过构造全等三角形得到角度相等，进而利用等角对等边证得等腰；D选项根据到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上进行判断。综合运用这些定理是准确找出错误说法的关键。
10．如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从A地运动到B地，他们所走的路程分别记为l ， l2， l4。对于l ， l2， l4，它们之间的关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：设AB＝a，
对于图甲：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝a，
∴l甲＝AC＋BC＝2a；
对于图乙：
∵△ADE和△EFB都是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，EF＝EB＝BF，
∴l乙＝AD＋DE＋EF＋FB
＝2AE＋2BE
＝2AB
＝2a；
对于图丙：延长AG和BH交于点P，则△ABP是等边三角形，
∴AP＝BP＝AB＝a，
∵GH＜PG＋PH，
∴AG＋GH＋BH＜AG＋PG＋PH＋BH，
∴AG＋GH＋BH＜AP＋BP，
∴l丙＜2a，
∴对于l甲，l乙，l丙，它们之间的关系是l甲＝l乙＞l丙，
故答案为：D．
【分析】根据等边三角形的性质，以及三角形的三边关系进行计算，即可解答．
二、填空题
11．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图：
∵是正三角形，
∴，
∴的长为： ，
∴“莱洛三角形”的周长=．
故答案为：．
【分析】根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．
12．在中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作的角平分线交于点D；然后作线段的垂直平分线交于点E，交于点F．据此，我们可以推出：线段与线段的关系为　 　．
【答案】互相垂直平分
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设线段与线段交于H，
∵线段的垂直平分线交于点E，交于点F，
∴，
∵的角平分线交于点D，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴线段与线段的关系为互相垂直平分．
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质得到垂直关系，再结合角平分线的性质，通过证明三角形全等得出线段相等关系，从而确定两条线段的关系.
13．如图，在中，，，点为上一点，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，若，，则的长度为　 　．
【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在线段上截取，连接，
，CF⊥BD
，
，
，
在和中，
，
，
，，
∠BAC=∠BAH+∠HAC=∠FAC+∠HAC=∠HAF
∴三角形HAF是等腰直角三角形
∴AE=HF=EF=3
HF=6
，
故答案为：．
【分析】在线段上截取，连接，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据等腰直角三角形性质可得HF，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．如图，在中，，，是边上的任意一点，连接，是上一点，连接，使得，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：取中点，连接、，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵中，当在上时，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【分析】取中点，连接、，则，根据勾股定理可得CF，根据角之间的关系可得，根据直角三角形斜边上的中线可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案.
15． 如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， 分别以边AC， BC，AB为直径画圆. 记两个月牙形图案 ADCE和CGBF 面积之和（图中阴影部分) 为S1， △ABC的面积为S2， 则S1　 　S2（填“>”， “=”或“<”).
【答案】=
【知识点】三角形的面积；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中
∵BC2+AC2=AB2
∴
∴S1=S2
故答案为：=
【分析】根据勾股定理可得BC2+AC2=AB2，再根据割补法，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
16．如图，点 D、E、F是等边三角形ABC边上的点，满足 连接DE、EF、FD，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：　 　.
【答案】AF=BD=CE， △ADF≌△BED≌△CFE， △DEF 是等边三角形（答案不唯一)
【知识点】等式的基本性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，
∵
∴AB-AD=BC-BE=CA-CF，即BD=CE=AF；
∵∠A=∠B=∠C=60°（等边三角形三个内角都是60°），
∴△ADF≌△BED≌△CFE，（SAS）
∴DF=FE=ED，
∴△DEF 是等边三角形
故答案为：BD=CE=AF；△ADF≌△BED≌△CFE；△ADF≌△BED≌△CFE.（答案不唯一）
【分析】根据等边三角形的性质可得出AB=BC=CA，结合已知条件，利用等式的性质可得出BD=CE=AF；进而根据SAS可证得△ADF≌△BED≌△CFE，进而可得出DF=FE=ED，根据等边三角形的判定，可得出△DEF 是等边三角形。
17．约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为　 　．
【答案】或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∵与互为“完美关联角”，
∴，
即或，
解得或．
在中，或．
故答案为：或．
【分析】
先由等腰三角形三线合一知，再由等边对等角可得，由角平分线的概念可得，再由直角三角形两锐角互余结合对顶角相等可得，再结合已知可得关于的绝对值方程并求解，最后再由直角三角形两锐角互余即可得．
18．南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC．若AC＝4.8m，∠C＝30°，则EF的长为　 　 m．
【答案】1.2
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是中点，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：1.2.
【分析】先求出的长，然后根据含30°的直角三角形的性质得到的长.
19． 一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过点C作 于点Q，
由勾股定理可得：
即离门铃 米远的地方，门铃恰好自动响起.
故答案为：
【分析】过C作 于点Q，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答.
三、解答题
20．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知格点（网格线的交点）．
（1）画出关于轴对称的；
（2）在所给的网格图中确定格点，使得点组成以为直角边的直角三角形，并写出所有点的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）解：如图，点即为所求，理由如下：
∵，，
，
∴，，
∴，
∴ 点的坐标为或 .
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；坐标与图形变化﹣对称；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，再顺次链接A1、B1、C1即可；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理分别算出AC12、AD12、AD22、C1D12、C1D22，然后根据勾股定理的逆定理即可判断出∠D2AC1与∠D1AC1=90°，从而即可得出结论，最后根据点D1与D2的位置写出其坐标即可.
（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）解：如图，点即为所求，点的坐标为或．
理由：∵，，
，
∴，，
∴．
21．如图， BC是由CA绕点C顺时针旋转90°得到的，即AC=BC，且∠ACB=∠BDC=∠AED=90°.
（1）求证： CE=BD.
（2）若 求BD的长.
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值不符合题意，舍去），
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据AAS得到，然后根据对应边相等得到结论即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得，再根据三线合一得到，再根据勾股定理解答即可．
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算：
⑴在图中画出，其面积为5，且，点E在小正方形的顶点上；
⑵在图中画出以CD为腰的等腰，面积为，点F在小正方形的顶点上；
⑶连接EF，直接写出线段EF的长.
【答案】解：⑴如图；
⑵如图；
⑶如图，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，求出底边和高的乘积，然后再根据 ，因此可画一个以AE为底边，AB为高的等腰直角三角形，根据三角形ABE的面积等于5，据此即可求出AB和AE的长，然后再将A、B、E三点连接起来即可
（2）根据三角形CDF的面积等于 ，可求出底边和高的乘积，然后再结合“点F在小正方形的顶点上”，可先求出底边FC的长，进而再根据勾股定理，求出DC的长，然后再连接CD、FC和FD即可
（3）根据勾股定理和小正方形的边长，即可求出EF的长
23．小星、小红学习三角形证明后，对三角形的性质进行了探究：如图，是直角三角形，．求证：
（1）请你选择其中一人的证法进行证明．
（2）过点B作平分，与相交于点N，若，求三角形的面积．
【答案】（1）证明：小星，
由题意得，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
小红：
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形
【解析】【分析】（1）小星：由题意得，，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
小红：由题意得，，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质可得BC，根据角平分线定义可得∠NBC，再根据正切定义可得CN，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：小星，
由题意得，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
小红：
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
24． 阅读理解
【材料阅读】赵爽在注解《周髀算经》中给出了“赵爽弦图”证明勾股定理的准确性.如图①所示，四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，中间空的是一个小正方形.证明方法如下：
设直角三角形的三边中较短的直角边长为a，另一直角边长为b，斜边长为c，朱实面积=2ab，黄实面积： 朱实面积+黄实面积： 大正方形面积：
【实际应用】
若较短的直角边的长为6，另一条直角边长为8，求小正方形与大正方形的面积比；
【拓展延伸】
类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由 3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在△ABC中，若 求AB 的长.
【答案】解：【实际应用】
∵直角三角形的两条直角边的长分别是6和8，
∴小正方形的边长为2，
根据勾股定理得，大正方形的边长为 =10，
【拓展延伸】
解：如解图，过点 B 作 BH⊥AD 交AD的延长线于点H，
∵∠BDH=60°，BD=AF=
易得
由题意知，△ABD≌△BCE≌△CAF，
(负值已舍去).
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】 【实际应用】 根据勾股定理求出大正方形的边长，然后利用正方形的面积公式解答即可；
【拓展延伸】过点 B 作 BH⊥AD 交AD的延长线于点H，先根据正弦的定义求出BH长，即可得到AD长，进而求出和，根据△ABD≌△BCE≌△CAF，即可根据求出AB长解题.
25． 如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接．
（1）如图1，当点在上时，求证：是等边三角形；
（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转．
①当旋转角为60°时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
②当EF最长时，EF与AD的交点记作M．若AE=3，则EM= ▲ ．
【答案】（1）证明：∵在中，
，
∵在中
，
∴点F是BD的中点，
∴在中
，在Rt△BED中，，
，，，
，
∴CEF是等边三角形；
（2）解：①（1）中的结论还成立，理由如下：如图，延长DE交AB于点D’，分别延长AD，BC相交于点B'，
由旋转角为可得∴，
又∵，AE=AE，
∴，∴DE=D'E，∴DF=BF，
∴EF是的中位线，∴，∴，
同理可得∴BC=B'C，∴DF=BF，
∴FC是的中位线，∴，∴，
∴是等边三角形；
②3
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（2）
②如图，点E在以点A为圆心，3为半径的圆上
∵△CEF为等边三角形
∴EF=CE
∴当EF最大时，即CE取得最大值
∴当点A，C，E三点共线时，CE取得最大值，此时EF最大
即△ADE绕点A顺时针旋转240°时，EF最大
延长DE交AB于点D'，分别延长AD，BC相交于点B'
由①可得FC是△BDB'的中位线，EF是△DBD'的中位线
∴CF∥DB'，EF∥BD'
∴∠MAE=∠FCE=60°，∠MEA=∠BAC=60°
∴△MAE是等边三角形
∴EM=AE=3
故答案为：3
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得可得，，则，，，再根据角之间的关系及等边三角形判定定理即可求出答案.
（2）①延长DE交AB于点D’，分别延长AD，BC相交于点B'，根据旋转性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则DE=D'E，根据三角形中位线定理可得，则，同理可得，则BC=B'C，根据三角形中位线定理可得，则，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
②点E在以点A为圆心，3为半径的圆上，根据等边三角形性质可得EF=CE，当EF最大时，即CE取得最大值，当点A，C，E三点共线时，CE取得最大值，此时EF最大，即△ADE绕点A顺时针旋转240°时，EF最大，延长DE交AB于点D'，分别延长AD，BC相交于点B'，根据三角形中位线定理可得CF∥DB'，EF∥BD'，则∠MAE=∠FCE=60°，∠MEA=∠BAC=60°，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
26．如图
（1）【问题呈现】
如图，和都是等边三角形，连接、．则与之间的数量关系为　 　；
（2）【类比探究】
如图，和都是等腰直角三角形，，连接、．则　 　；
（3）【拓展提升】
如图，和都是直角三角形，，且．连接，延长交于点，交于点．
求的值；
若，请求出的长．
【答案】（1）CF=BE
（2）
（3）解：∵，，
，，，
，
，
，
，
设，，，，
由勾股定理：，，
相似比，
；
，，，
，，
在中，
，
由得，
又，
，
，
即，
解得，，
答：的长为．
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）和都是等边三角形，
，，
，
，
，
；
故答案为：CF=BE
（2）和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
故答案为：
【分析】（1）根据等边三角形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据等腰直角三角形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）①根据相似三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，，，，根据勾股定理可得AB，AE，再根据相似三角形性质即可求出答案.
②根据边之间的关系可得DF，AD，根据勾股定理可得DE，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
27．【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”。
（1）【理解定义】如图1，在△ABC中， D是线段BC上一点，连接AD，若AD=BD，那么线段AD （填“是”或“不是”) 的“奇妙分割线”.
（2）【运用定义】
如图2，在平行四边形ABCD中， 连接AC，若 E是线段BC上一点，CE=3，连接DE交AC与点F。求证：线段CF是 的“奇妙分割线”。
（3）【拓展提升】
如图3，在△ABC中， 点 D 是线段 BC上的动点（点D不与B、C重合)，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，连接BE、CE，当ED是△BCE的“奇妙分割线”时，求线段BD的长。
【答案】（1）是
（2）解：∵平行四边形ABCD
∴AD//BC， AB//CD
∵AD//BC
∴∠ADF=∠CEF， ∠DAF=∠ECF
∴△ADF~△CEF
∵EC=3， AD=BC=5
是等腰三角形。
∴CF是△DCE的“奇妙分割线”。
（3）解：由翻折可知， BD=DE， AE=AB=5， ∠ADB=∠ADE.
∵DE是△BCE的“奇妙分割线”
∴△DCE为直角三角形
①当∠EDC=90°时， ∠BDE=90°，
∵∠ADB+∠ADE+∠BDE=360°
∴∠ADB=∠ADE=135°
∴∠ADC=45°
如图3， 过A作AF⊥BC交BC 的延长线于F，则∠AFB=90°
∵∠ADC=45°
∴DF=AF=3， BD=BF=CF=1
②当∠DCE=90°时，如图4，作AF⊥BC交BC的延长线于F，过E作 交AF的延长线于G ，
由①可知，AF=3，BF=4，CF=1=EG，
设BD=x=DE， 则CD=3-x， 在Rt△DCE中，
即
解得：
③当 时，结论不成立，舍。
综上，BD的长为1或
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC， ∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°
∵AD=BD
∴∠BAD=∠B=30°
∴∠DAC=90°，即△ADC为直角三角形
∵AD=BD
∴△ABD为等腰三角形
∴AD是△ADC的“奇妙分割线”
故答案为：是
【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠B=∠C=30°，根据等边对等角可得∠BAD=∠B=30°，则∠DAC=90°，即△ADC为直角三角形，再根据等腰三角形判定定理可得△ABD为等腰三角形，再根据奇妙分割线定义即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得AD//BC， AB//CD，根据勾股定理可得AD，再根据直线平行性质可得∠ADF=∠CEF， ∠DAF=∠ECF，根据相似三角形判定定理可得△ADF~△CEF，则，代值计算可得AF，CF，根据勾股定理可得DF，再根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据奇妙分割线定义即可求出答案.
（3）由翻折可知， BD=DE， AE=AB=5， ∠ADB=∠ADE，根据奇妙分割线定义可得△DCE为直角三角形，分情况讨论：①当∠EDC=90°时， 根据角之间的关系可得∠ADC，过A作AF⊥BC交BC 的延长线于F，则∠AFB=90° ，根据正弦定义可得AF，BF，再根据边之间的关系即可求出答案；②当∠DCE=90°时，作AF⊥BC交BC 的延长线于F，过E作 交AF的延长线于G，由①可知，AF=3，BF=4，CF=1=EG，根据勾股定理可得AG，根据边之间的关系可得CE，设BD=x=DE，则CD=3-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；③当 时，结论不成立，舍，即可求出答案.
28．阅读材料，并解决问题：
【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数.
解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______；
【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论.
【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值.
【答案】（1）等边；150；
（2），理由如下：
如图2，把绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得，，
即；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1），
，，，
依题意得旋转角，
为等边三角形，
，，
，
为直角三角形，且，
；
故答案为：等边；150；
（3）如图，在内部任取一点P，连接，，，
将绕点B顺时针旋转得到，
由旋转的性质得：，
，
，
，
当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，
如图，过点A作垂线交延长线于点D，
，
，
，，
又，
，
．
【分析】（1）根据全等三角形性质可得，，，根据旋转性质可得，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转性质可得，，，，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定可得，则，根据等腰直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案；
（3）在内部任取一点P，连接，，，将绕点B顺时针旋转得到，由旋转的性质得：，根据等腰直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，过点A作垂线交延长线于点D，根据含30°角的直角三角形性质可得BD，根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系可得C'D，再根据勾股定理即可求出答案.
29．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力．
【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明．
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，中，，是斜边上的中线．求证：．
分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：．
请你按材料中的分析写出完整的证明过程；
【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：；
【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数．
【答案】【模型证明】证明：如图所示：延长到，使得，连接．
在和中，
，
∴，
，，
∴（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
，
，
在和中，
，
∴，
．
∴，
【模型应用】 证明：连接．
，且为的中点，
，
，
，
，
，
∴，
；
【模型构造】 解：如图所示，过作于，连接．
，且，
∴．
∴．
∵．
∴，
∴，
∴为等边三角形．
，，
∵
∴．
∴，
∴．
∴．
∴为等腰直角三角形．
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；直角三角形斜边上的中线；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】【模型证明】延长到，使得，连接，利用“SAS”证明，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得，，由内错角相等，二直线平行得AE∥BC，由二直线平行，同旁内角互补推出∠ABC=∠BAE=90°，从而用“SAS”证明，由全等三角形的对应边相等得，即可得证；
【模型应用】 连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半及已知得到，由等边对等角得∠E=∠CDE及∠B=∠BCD，然后根据三角形外角性质得出∠B=∠BCD=2∠E；
【模型构造】 作于点H，连接CH，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得HC=BC=CD，由等边对等角得出∠CHB=∠B=30°，由角的构成推出∠CHD=60°，根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△DCH是等边三角形，得CH=DH，∠HCD=60°，根据三角形外角性质及角的构成求出，由等角对等边得，根据等腰直角三角形的性质及角的构成可得的结论．
30．劳动课上，老师给同学们布置了任务：利用边角料加工成一批等腰三角形的部件．
问题提出：
（1）如图1，是一块三角形板材（），希望能够裁出一块以为底边的等腰三角形部件．请在图中画出切割线（要求：利用尺规作图．保留作图痕迹，不写作法）
问题探究：
（2）如图2，是一块四边形板材（四边形ABCD），其中，，，，．小明和小丽通过测量和计算发现：若连接，则就是一个等腰三角形，请你说出其中的道理，并求出的面积．
问题解决：
（3）小华对他俩的研究很感兴趣，于是也加入了进来．他们进一步发现（2）中的四边形ABCD恰好可以分割为三个等腰三角形．你知道他们是如何分割的吗？请你设计一种分割方式，说明理由．
【答案】解：（1）如图所示，即为等腰三角形，切割线即为所求；
（2）延长交的延长线于点E，连接，过点A作于点H，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴
（3）连接，取的中点T，连接，则、和都是等腰三角形，理由如下：
由（2）得为等腰三角形，
∵，的中点为T，
∴，
∴和都是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据尺规作图，分别以B，C为圆心作线段BC的垂直平分线即可解答；
（2）延长交的延长线于点E，连接，过点A作于点H，根据勾股定理得，根据补角的定义计算出，再根据的正切计算得出CE，再计算线段的和差得到AE，BE的值；根据特殊角度利用勾股定理得到EH，AH，然后利用勾股定理计算得到，从而可推导出是等腰三角形，再利用三角形的面积公式计算即可解答；
（3）根据直角三角形斜边上的中线的性质可判定和都是等腰三角形，解答即可．
1 / 1专题4.5特殊三角形—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．如图， ∠AOB=150°， OC平分∠AOB， P为OC上一点， PD∥OA交OB于点 D， PE⊥OA 于点 E.若 PD=4，则 PE的长为(　　)
A．2 B．2.5 C．3 D．4
2．如图，在△ABC中，AB=AC，D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上.若∠A=34°，则∠ADE的大小是(　　)
A．35° B．37° C．39° D．41°
3．如图1，在中，．某数学兴趣小组将三个与全等的三角形，摆放得到图2所示，连接，则的长度是（　　）
A． B． C． D．2
4．如图，在△ABC中，BE⊥AC，∠EBC=45°，在BC上取一点D，使得AB=AD，求CD和AE的数量关系是（　　）
A． B．CD=2AE C． D．CD=1.5AE
5．如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B， C的对应点分别为点D， E， DE的延长线与边BC相交于点F，连接CE.若AC=4， CF=2，则线段CE的长为(　　)
A． B． C． D．
6．如图，在中，．将绕点旋转至，使，交边于点，则的长是（　　）
A．4 B． C．6 D．5
7．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形，其中，，，则高约为（　　）（参考数据：，，）
A． B． C． D．
8．在我国古代数学名著《算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和身高为5尺的人一样高，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长？”设绳索长为x尺，则x满足的方程为（　　）
A．x2=102+（x-5-1）2 B．x2＝（x﹣5）2+102
C．x2＝102+（x+1-5）2 D．x2＝（x+1）2+102
9．如图，某同学用一个等边三角形和一个正五边形设计了一个宝石徽章，其中为两个图形的公共边，连接，交于点，下列说法错误的是（　　）
A． B．
C．是等腰三角形 D．垂直平分
10．如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从A地运动到B地，他们所走的路程分别记为l ， l2， l4。对于l ， l2， l4，它们之间的关系正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是　 　．
12．在中，小明利用直尺和圆规进行了下面的作图：首先作的角平分线交于点D；然后作线段的垂直平分线交于点E，交于点F．据此，我们可以推出：线段与线段的关系为　 　．
13．如图，在中，，，点为上一点，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，若，，则的长度为　 　．
14．如图，在中，，，是边上的任意一点，连接，是上一点，连接，使得，连接，则的最小值是　 　．
15． 如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， 分别以边AC， BC，AB为直径画圆. 记两个月牙形图案 ADCE和CGBF 面积之和（图中阴影部分) 为S1， △ABC的面积为S2， 则S1　 　S2（填“>”， “=”或“<”).
16．如图，点 D、E、F是等边三角形ABC边上的点，满足 连接DE、EF、FD，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：　 　.
17．约定：如果两个角的差的绝对值等于，就称这两个角互为“完美关联角”．如图，在中，于点的平分线分别与交于点．若与互为“完美关联角”，则的度数为　 　．
18．南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC．若AC＝4.8m，∠C＝30°，则EF的长为　 　 m．
19． 一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度，当人从门外走到离该传感器及以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高的小明走到处时，恰好响起“欢迎光临”，则的长为　 　．
三、解答题
20．在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知格点（网格线的交点）．
（1）画出关于轴对称的；
（2）在所给的网格图中确定格点，使得点组成以为直角边的直角三角形，并写出所有点的坐标．
21．如图， BC是由CA绕点C顺时针旋转90°得到的，即AC=BC，且∠ACB=∠BDC=∠AED=90°.
（1）求证： CE=BD.
（2）若 求BD的长.
22．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算：
⑴在图中画出，其面积为5，且，点E在小正方形的顶点上；
⑵在图中画出以CD为腰的等腰，面积为，点F在小正方形的顶点上；
⑶连接EF，直接写出线段EF的长.
23．小星、小红学习三角形证明后，对三角形的性质进行了探究：如图，是直角三角形，．求证：
（1）请你选择其中一人的证法进行证明．
（2）过点B作平分，与相交于点N，若，求三角形的面积．
24． 阅读理解
【材料阅读】赵爽在注解《周髀算经》中给出了“赵爽弦图”证明勾股定理的准确性.如图①所示，四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形，中间空的是一个小正方形.证明方法如下：
设直角三角形的三边中较短的直角边长为a，另一直角边长为b，斜边长为c，朱实面积=2ab，黄实面积： 朱实面积+黄实面积： 大正方形面积：
【实际应用】
若较短的直角边的长为6，另一条直角边长为8，求小正方形与大正方形的面积比；
【拓展延伸】
类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由 3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.在△ABC中，若 求AB 的长.
25． 如图，在和中，，，．连接，点是的中点，连接．
（1）如图1，当点在上时，求证：是等边三角形；
（2）将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转．
①当旋转角为60°时，如图2所示，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
②当EF最长时，EF与AD的交点记作M．若AE=3，则EM= ▲ ．
26．如图
（1）【问题呈现】
如图，和都是等边三角形，连接、．则与之间的数量关系为　 　；
（2）【类比探究】
如图，和都是等腰直角三角形，，连接、．则　 　；
（3）【拓展提升】
如图，和都是直角三角形，，且．连接，延长交于点，交于点．
求的值；
若，请求出的长．
27．【定义】连接三角形的一个顶点与对边上任意一点的线段，把这个三角形分割成两个三角形，其中一个是等腰三角形，另一个是直角三角形，就称这条线段是该三角形的“奇妙分割线”。
（1）【理解定义】如图1，在△ABC中， D是线段BC上一点，连接AD，若AD=BD，那么线段AD （填“是”或“不是”) 的“奇妙分割线”.
（2）【运用定义】
如图2，在平行四边形ABCD中， 连接AC，若 E是线段BC上一点，CE=3，连接DE交AC与点F。求证：线段CF是 的“奇妙分割线”。
（3）【拓展提升】
如图3，在△ABC中， 点 D 是线段 BC上的动点（点D不与B、C重合)，连接AD，将△ABD沿AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，连接BE、CE，当ED是△BCE的“奇妙分割线”时，求线段BD的长。
28．阅读材料，并解决问题：
【思维指引】（1）如图1等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数.
解决此题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，连接，借助旋转的性质可以推导出是______三角形；这样利用旋转变换，我们将三条线段 转化到一个三角形中，从而求出______；
【知识迁移】（2）如图2，在中，，，E、F为上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论.
【方法推广】（3）如图3，在中，，，，点P为内一点，连接，直接写出的最小值.
29．《2022新课标》指明推理能力是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题或结论的能力．目前我们已经具备通过一次全等或者二次全等证明其他结论的能力．
【模型证明】阅读下列材料，完成相应证明．
命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，中，，是斜边上的中线．求证：．
分析：如图，要证明等于的一半，可以用“中线倍长法”延长到，使得，连接，可证，再证明，最后得到：．
请你按材料中的分析写出完整的证明过程；
【模型应用】如图3，在中，，延长到，使得，是边的中点，连接，求证：；
【模型构造】如图4，在中，，延长到，使得，连接，求的度数．
30．劳动课上，老师给同学们布置了任务：利用边角料加工成一批等腰三角形的部件．
问题提出：
（1）如图1，是一块三角形板材（），希望能够裁出一块以为底边的等腰三角形部件．请在图中画出切割线（要求：利用尺规作图．保留作图痕迹，不写作法）
问题探究：
（2）如图2，是一块四边形板材（四边形ABCD），其中，，，，．小明和小丽通过测量和计算发现：若连接，则就是一个等腰三角形，请你说出其中的道理，并求出的面积．
问题解决：
（3）小华对他俩的研究很感兴趣，于是也加入了进来．他们进一步发现（2）中的四边形ABCD恰好可以分割为三个等腰三角形．你知道他们是如何分割的吗？请你设计一种分割方式，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵PD∥OA，∠AOB=150°，
∴∠PDO+∠AOB=180°，
∴∠PDO=30°，
过P作PF⊥OB于F，
∵PD=4，
∴PF=×PD=2，
∵PE⊥OA，OC平分∠AOB，
∴FO=PE=2，
故选：A．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠PDO的度数，过P作PF⊥OB于F，30°的直角三角形的性质求出PF的长，然后根据角平分线的性质解答即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=34°
∴
∵将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上
∴∠DEC=∠B=73°
∴∠ADE=∠DEC-∠A=39°
故答案为：C
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据折叠性质可得∠DEC=∠B=73°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：，
且，
，且为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由题意知，即是等边三角形；再由全等的性质结合三角形的内角和知，即也是等边三角形；再由三角形全等的性质结合已知可得AF＝AC，再由等边对等角结合三角形外角的性质可得，则，再解直角三角形可得.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵BE⊥AC，∠EBC=45°
∴∠C=90°-45°=45°
过点D作DG⊥AC于点G
∴∠DGC=90°
在Rt△DGC中，
∵∠C=45°
∴△DGC是等腰直角三角形
∴CD=DG
在△ABE和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG（AAS）
∴AE=DG
∴CD=AE
故答案为：C
【分析】通过作辅助线（垂线）构造等腰直角三角形△DGC，得到线段CD，DG的关系，再利用AAS判定证明△ABE≌△ADG，由全等三角形的性质可证明AE=DG，从而得到CD与AE的长度关系。
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；线段垂直平分线的性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接交于G，如图所示：
根据旋转可得：，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：D .
【分析】连接，根据旋转可得，，再在中根据勾股定理求出AF长，利用HL得到，即可得到，然后得到垂直平分，进而可得，根据三角形面积公式求出求出CG长，根据三线合一解答即可．
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，
∵将绕点旋转至，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据旋转的性质得，进一步得与相等，再根据直角三角形两锐角互余可证，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合勾股定理即可得的长为5.
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，，，
，
在中，
，，
．
故答案为：C．
【分析】由等腰三角形的三线合一得出BD=BC=18cm，在Rt△ABD中，根据正切函数定义，结合∠ABC的正切函数值可算出AD的长.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；一元二次方程的应用-几何问题；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】根据题意做出简图如下：
其中AC=x，BC=10，AB=x+1-5
中，由得，
故选C．
【分析】根据题意做出简图如下，寻找三边之间的数量关系，在中应用勾股定理即可．
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：A、五边形是一个正五边形，且是一个等边三角形，
内角和为，，，
，
，
，
不垂直于，此选项错误，但符合题意；
B、由A选项得，
，
，
，此选项正确，但不符合题意；
C、如图，连接、，
五边形是一个正五边形，且是一个等边三角形，
，，
，
∴；
同理可证，
∴，
，
，
由B选项得，
，
，
是等腰三角形．
此选项正确，但不符合题意；
D、，
，
∵，
是的垂直平分线．
此选项正确，但不符合题意．
故选：A．
【分析】本题以等边三角形与正五边形拼接成的徽章图案为背景，考查了正多边形的内角计算、平行线的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定以及垂直平分线的判定等多个几何知识点。解题时需逐一验证四个选项：A选项通过计算正五边形内角及等腰三角形底角，判断AC与CF是否垂直；B选项利用同旁内角互补推出平行；C选项通过构造全等三角形得到角度相等，进而利用等角对等边证得等腰；D选项根据到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上进行判断。综合运用这些定理是准确找出错误说法的关键。
10．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：设AB＝a，
对于图甲：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝a，
∴l甲＝AC＋BC＝2a；
对于图乙：
∵△ADE和△EFB都是等边三角形，
∴AD＝DE＝AE，EF＝EB＝BF，
∴l乙＝AD＋DE＋EF＋FB
＝2AE＋2BE
＝2AB
＝2a；
对于图丙：延长AG和BH交于点P，则△ABP是等边三角形，
∴AP＝BP＝AB＝a，
∵GH＜PG＋PH，
∴AG＋GH＋BH＜AG＋PG＋PH＋BH，
∴AG＋GH＋BH＜AP＋BP，
∴l丙＜2a，
∴对于l甲，l乙，l丙，它们之间的关系是l甲＝l乙＞l丙，
故答案为：D．
【分析】根据等边三角形的性质，以及三角形的三边关系进行计算，即可解答．
11．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图：
∵是正三角形，
∴，
∴的长为： ，
∴“莱洛三角形”的周长=．
故答案为：．
【分析】根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．
12．【答案】互相垂直平分
【知识点】三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：设线段与线段交于H，
∵线段的垂直平分线交于点E，交于点F，
∴，
∵的角平分线交于点D，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴线段与线段的关系为互相垂直平分．
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质得到垂直关系，再结合角平分线的性质，通过证明三角形全等得出线段相等关系，从而确定两条线段的关系.
13．【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在线段上截取，连接，
，CF⊥BD
，
，
，
在和中，
，
，
，，
∠BAC=∠BAH+∠HAC=∠FAC+∠HAC=∠HAF
∴三角形HAF是等腰直角三角形
∴AE=HF=EF=3
HF=6
，
故答案为：．
【分析】在线段上截取，连接，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据等腰直角三角形性质可得HF，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：取中点，连接、，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵中，当在上时，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【分析】取中点，连接、，则，根据勾股定理可得CF，根据角之间的关系可得，根据直角三角形斜边上的中线可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．【答案】=
【知识点】三角形的面积；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中
∵BC2+AC2=AB2
∴
∴S1=S2
故答案为：=
【分析】根据勾股定理可得BC2+AC2=AB2，再根据割补法，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
16．【答案】AF=BD=CE， △ADF≌△BED≌△CFE， △DEF 是等边三角形（答案不唯一)
【知识点】等式的基本性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=BC=CA，
∵
∴AB-AD=BC-BE=CA-CF，即BD=CE=AF；
∵∠A=∠B=∠C=60°（等边三角形三个内角都是60°），
∴△ADF≌△BED≌△CFE，（SAS）
∴DF=FE=ED，
∴△DEF 是等边三角形
故答案为：BD=CE=AF；△ADF≌△BED≌△CFE；△ADF≌△BED≌△CFE.（答案不唯一）
【分析】根据等边三角形的性质可得出AB=BC=CA，结合已知条件，利用等式的性质可得出BD=CE=AF；进而根据SAS可证得△ADF≌△BED≌△CFE，进而可得出DF=FE=ED，根据等边三角形的判定，可得出△DEF 是等边三角形。
17．【答案】或
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∵与互为“完美关联角”，
∴，
即或，
解得或．
在中，或．
故答案为：或．
【分析】
先由等腰三角形三线合一知，再由等边对等角可得，由角平分线的概念可得，再由直角三角形两锐角互余结合对顶角相等可得，再结合已知可得关于的绝对值方程并求解，最后再由直角三角形两锐角互余即可得．
18．【答案】1.2
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是中点，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：1.2.
【分析】先求出的长，然后根据含30°的直角三角形的性质得到的长.
19．【答案】
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，过点C作 于点Q，
由勾股定理可得：
即离门铃 米远的地方，门铃恰好自动响起.
故答案为：
【分析】过C作 于点Q，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理即可解答.
20．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）解：如图，点即为所求，理由如下：
∵，，
，
∴，，
∴，
∴ 点的坐标为或 .
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；坐标与图形变化﹣对称；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，再顺次链接A1、B1、C1即可；
（2）利用方格纸的特点及勾股定理分别算出AC12、AD12、AD22、C1D12、C1D22，然后根据勾股定理的逆定理即可判断出∠D2AC1与∠D1AC1=90°，从而即可得出结论，最后根据点D1与D2的位置写出其坐标即可.
（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）解：如图，点即为所求，点的坐标为或．
理由：∵，，
，
∴，，
∴．
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（负值不符合题意，舍去），
∴．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据AAS得到，然后根据对应边相等得到结论即可；
（2）根据全等三角形的对应边相等可得，再根据三线合一得到，再根据勾股定理解答即可．
22．【答案】解：⑴如图；
⑵如图；
⑶如图，
【知识点】三角形的面积；勾股定理；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式，求出底边和高的乘积，然后再根据 ，因此可画一个以AE为底边，AB为高的等腰直角三角形，根据三角形ABE的面积等于5，据此即可求出AB和AE的长，然后再将A、B、E三点连接起来即可
（2）根据三角形CDF的面积等于 ，可求出底边和高的乘积，然后再结合“点F在小正方形的顶点上”，可先求出底边FC的长，进而再根据勾股定理，求出DC的长，然后再连接CD、FC和FD即可
（3）根据勾股定理和小正方形的边长，即可求出EF的长
23．【答案】（1）证明：小星，
由题意得，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
小红：
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形
【解析】【分析】（1）小星：由题意得，，则，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
小红：由题意得，，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据含30°角的直角三角形性质可得BC，根据角平分线定义可得∠NBC，再根据正切定义可得CN，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：小星，
由题意得，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
小红：
由题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】解：【实际应用】
∵直角三角形的两条直角边的长分别是6和8，
∴小正方形的边长为2，
根据勾股定理得，大正方形的边长为 =10，
【拓展延伸】
解：如解图，过点 B 作 BH⊥AD 交AD的延长线于点H，
∵∠BDH=60°，BD=AF=
易得
由题意知，△ABD≌△BCE≌△CAF，
(负值已舍去).
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】 【实际应用】 根据勾股定理求出大正方形的边长，然后利用正方形的面积公式解答即可；
【拓展延伸】过点 B 作 BH⊥AD 交AD的延长线于点H，先根据正弦的定义求出BH长，即可得到AD长，进而求出和，根据△ABD≌△BCE≌△CAF，即可根据求出AB长解题.
25．【答案】（1）证明：∵在中，
，
∵在中
，
∴点F是BD的中点，
∴在中
，在Rt△BED中，，
，，，
，
∴CEF是等边三角形；
（2）解：①（1）中的结论还成立，理由如下：如图，延长DE交AB于点D’，分别延长AD，BC相交于点B'，
由旋转角为可得∴，
又∵，AE=AE，
∴，∴DE=D'E，∴DF=BF，
∴EF是的中位线，∴，∴，
同理可得∴BC=B'C，∴DF=BF，
∴FC是的中位线，∴，∴，
∴是等边三角形；
②3
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（2）
②如图，点E在以点A为圆心，3为半径的圆上
∵△CEF为等边三角形
∴EF=CE
∴当EF最大时，即CE取得最大值
∴当点A，C，E三点共线时，CE取得最大值，此时EF最大
即△ADE绕点A顺时针旋转240°时，EF最大
延长DE交AB于点D'，分别延长AD，BC相交于点B'
由①可得FC是△BDB'的中位线，EF是△DBD'的中位线
∴CF∥DB'，EF∥BD'
∴∠MAE=∠FCE=60°，∠MEA=∠BAC=60°
∴△MAE是等边三角形
∴EM=AE=3
故答案为：3
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线性质可得可得，，则，，，再根据角之间的关系及等边三角形判定定理即可求出答案.
（2）①延长DE交AB于点D’，分别延长AD，BC相交于点B'，根据旋转性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则DE=D'E，根据三角形中位线定理可得，则，同理可得，则BC=B'C，根据三角形中位线定理可得，则，再根据等边三角形判定定理即可求出答案.
②点E在以点A为圆心，3为半径的圆上，根据等边三角形性质可得EF=CE，当EF最大时，即CE取得最大值，当点A，C，E三点共线时，CE取得最大值，此时EF最大，即△ADE绕点A顺时针旋转240°时，EF最大，延长DE交AB于点D'，分别延长AD，BC相交于点B'，根据三角形中位线定理可得CF∥DB'，EF∥BD'，则∠MAE=∠FCE=60°，∠MEA=∠BAC=60°，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
26．【答案】（1）CF=BE
（2）
（3）解：∵，，
，，，
，
，
，
，
设，，，，
由勾股定理：，，
相似比，
；
，，，
，，
在中，
，
由得，
又，
，
，
即，
解得，，
答：的长为．
【知识点】三角形全等的判定；相似三角形的判定；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）和都是等边三角形，
，，
，
，
，
；
故答案为：CF=BE
（2）和都是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
故答案为：
【分析】（1）根据等边三角形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据等腰直角三角形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）①根据相似三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，，，，根据勾股定理可得AB，AE，再根据相似三角形性质即可求出答案.
②根据边之间的关系可得DF，AD，根据勾股定理可得DE，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
27．【答案】（1）是
（2）解：∵平行四边形ABCD
∴AD//BC， AB//CD
∵AD//BC
∴∠ADF=∠CEF， ∠DAF=∠ECF
∴△ADF~△CEF
∵EC=3， AD=BC=5
是等腰三角形。
∴CF是△DCE的“奇妙分割线”。
（3）解：由翻折可知， BD=DE， AE=AB=5， ∠ADB=∠ADE.
∵DE是△BCE的“奇妙分割线”
∴△DCE为直角三角形
①当∠EDC=90°时， ∠BDE=90°，
∵∠ADB+∠ADE+∠BDE=360°
∴∠ADB=∠ADE=135°
∴∠ADC=45°
如图3， 过A作AF⊥BC交BC 的延长线于F，则∠AFB=90°
∵∠ADC=45°
∴DF=AF=3， BD=BF=CF=1
②当∠DCE=90°时，如图4，作AF⊥BC交BC的延长线于F，过E作 交AF的延长线于G ，
由①可知，AF=3，BF=4，CF=1=EG，
设BD=x=DE， 则CD=3-x， 在Rt△DCE中，
即
解得：
③当 时，结论不成立，舍。
综上，BD的长为1或
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC， ∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°
∵AD=BD
∴∠BAD=∠B=30°
∴∠DAC=90°，即△ADC为直角三角形
∵AD=BD
∴△ABD为等腰三角形
∴AD是△ADC的“奇妙分割线”
故答案为：是
【分析】（1）根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠B=∠C=30°，根据等边对等角可得∠BAD=∠B=30°，则∠DAC=90°，即△ADC为直角三角形，再根据等腰三角形判定定理可得△ABD为等腰三角形，再根据奇妙分割线定义即可求出答案.
（2）根据平行四边形性质可得AD//BC， AB//CD，根据勾股定理可得AD，再根据直线平行性质可得∠ADF=∠CEF， ∠DAF=∠ECF，根据相似三角形判定定理可得△ADF~△CEF，则，代值计算可得AF，CF，根据勾股定理可得DF，再根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据奇妙分割线定义即可求出答案.
（3）由翻折可知， BD=DE， AE=AB=5， ∠ADB=∠ADE，根据奇妙分割线定义可得△DCE为直角三角形，分情况讨论：①当∠EDC=90°时， 根据角之间的关系可得∠ADC，过A作AF⊥BC交BC 的延长线于F，则∠AFB=90° ，根据正弦定义可得AF，BF，再根据边之间的关系即可求出答案；②当∠DCE=90°时，作AF⊥BC交BC 的延长线于F，过E作 交AF的延长线于G，由①可知，AF=3，BF=4，CF=1=EG，根据勾股定理可得AG，根据边之间的关系可得CE，设BD=x=DE，则CD=3-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；③当 时，结论不成立，舍，即可求出答案.
28．【答案】（1）等边；150；
（2），理由如下：
如图2，把绕点A逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得，，
即；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1），
，，，
依题意得旋转角，
为等边三角形，
，，
，
为直角三角形，且，
；
故答案为：等边；150；
（3）如图，在内部任取一点P，连接，，，
将绕点B顺时针旋转得到，
由旋转的性质得：，
，
，
，
当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，
如图，过点A作垂线交延长线于点D，
，
，
，，
又，
，
．
【分析】（1）根据全等三角形性质可得，，，根据旋转性质可得，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转性质可得，，，，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定可得，则，根据等腰直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案；
（3）在内部任取一点P，连接，，，将绕点B顺时针旋转得到，由旋转的性质得：，根据等腰直角三角形性质可得，根据边之间的关系可得，当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长，过点A作垂线交延长线于点D，根据含30°角的直角三角形性质可得BD，根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系可得C'D，再根据勾股定理即可求出答案.
29．【答案】【模型证明】证明：如图所示：延长到，使得，连接．
在和中，
，
∴，
，，
∴（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补）．
，
，
在和中，
，
∴，
．
∴，
【模型应用】 证明：连接．
，且为的中点，
，
，
，
，
，
∴，
；
【模型构造】 解：如图所示，过作于，连接．
，且，
∴．
∴．
∵．
∴，
∴，
∴为等边三角形．
，，
∵
∴．
∴，
∴．
∴．
∴为等腰直角三角形．
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；直角三角形斜边上的中线；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】【模型证明】延长到，使得，连接，利用“SAS”证明，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得，，由内错角相等，二直线平行得AE∥BC，由二直线平行，同旁内角互补推出∠ABC=∠BAE=90°，从而用“SAS”证明，由全等三角形的对应边相等得，即可得证；
【模型应用】 连接，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半及已知得到，由等边对等角得∠E=∠CDE及∠B=∠BCD，然后根据三角形外角性质得出∠B=∠BCD=2∠E；
【模型构造】 作于点H，连接CH，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半得HC=BC=CD，由等边对等角得出∠CHB=∠B=30°，由角的构成推出∠CHD=60°，根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△DCH是等边三角形，得CH=DH，∠HCD=60°，根据三角形外角性质及角的构成求出，由等角对等边得，根据等腰直角三角形的性质及角的构成可得的结论．
30．【答案】解：（1）如图所示，即为等腰三角形，切割线即为所求；
（2）延长交的延长线于点E，连接，过点A作于点H，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴
（3）连接，取的中点T，连接，则、和都是等腰三角形，理由如下：
由（2）得为等腰三角形，
∵，的中点为T，
∴，
∴和都是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；三角形的综合
【解析】【分析】（1）根据尺规作图，分别以B，C为圆心作线段BC的垂直平分线即可解答；
（2）延长交的延长线于点E，连接，过点A作于点H，根据勾股定理得，根据补角的定义计算出，再根据的正切计算得出CE，再计算线段的和差得到AE，BE的值；根据特殊角度利用勾股定理得到EH，AH，然后利用勾股定理计算得到，从而可推导出是等腰三角形，再利用三角形的面积公式计算即可解答；
（3）根据直角三角形斜边上的中线的性质可判定和都是等腰三角形，解答即可．
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