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专题4.6相似三角形—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，已知，，若，则的长为（　　）
A．16 B．12 C．4 D．3
3．如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，点M是内一点，过点M分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是4，和，则的面积是（　　）
A．81 B．121 C．124 D．144
5．如图，已知D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点， DE∥BC且 的周长2，则△ABC的周长为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．18
6．有以下命题：
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有 ．
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=﹣1．
其中正确的判断有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA=150 cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长度是（　　）
A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm
8．定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（　　）
A． B． C． D．
9．如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（　　）厘米．
A． B． C． D．
10．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为（　　）
A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6
二、填空题
11．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，∠ACD=∠B，∠BAC的平分线分别交CD、CB于E，F，则的值为　 　.
12．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为　 　步．
13．如图，在中，∠C=900，AC=10cm，BC=8cm，点P从点C出发，以的速沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止.经过　 　秒后，与相似.
14．定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，点为边BC上一点，若为“反直角三角形”，则BP的长为　 　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，连结CD，过D作DH⊥BC于点H；D1是BD的中点，连结HD1，过D1作D1H1⊥BC于点H1；D2是BD1的中点，连结H1D2，过D2作D2H2⊥BC于点H2；…………如此继续下去，分别记四边形CDD1H、四边形HD1D2H1、四边形H1D2D3H2…………四边形Hn-2Dn-1DnHn-1的面积为S1，S2，S3，……，Sn．若S△ABC=2，则S2022　 　．
16．图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具———桔槔(jié gāo)的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，OM 代表固定支架，点C，点D分别代表水桶和重物，AC，BD是固定长度的麻绳， 绳长AC=3米， 杠杆AB=6米， OB：OA=1：3， 当水桶C的位置低于地面0.5米时(如图3)，支架OM 与绳子BD之间的距离OH是1.2米，则这个桔槔支架OM 的高度为　 　米.
三、解答题
17．如图，E，F 是菱形ABCD 边AB，AD上的点，连接DE，点G 在DE 上，连接AG，FG，CG，∠AGD=∠BAD，AF=AE.
（1）求证：△ADE∽△GDA；
（2）求证：
18．图1图2均为5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．
（1）观察：如图1，　 　，　 　；
（2）探究：如图2，仅用无刻度的直尺在上找一点M，连接，使得；小军说：作点B关于的对称点，连接与交于点M…请根据小军的方案在图2中画出点M的位置，并证明是否可行．
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹．
（1）在图1中，作的中线；
（2）在图2中，在上找一点E，使：
（3）在图3中，将点C向右平移2个单位，得到点P，连接，并在线段上找到一点Q，连接，使．
20．如图，已知线段AB上有一点P，C，D为线段AB外两点，连接AC，BD，CP，PD.若∠1=∠2=∠3.
（1）在下面证明△ACP∽△BPD 的过程中写出依据；
证明：∵∠APC+∠2+∠BPD=180°(依据：平角是180°)，∠APC+∠1+∠C=180°(依据：　 　)，∠1=∠2(已知)，
∴∠BPD=∠C，
∵∠1=∠3(已知)，
∴△ACP∽△BPD(依据：　 　)；
（2）请添加一组条件，使得△ACP≌△BPD，并写出证明过程及依据.
21．小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩要，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过2秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时B，O，C三点共线）．已知，试问该汽车是否遵守行车安全规范？
（参考数据：）
22．如图，在中，是边上一点，点关于的对称点落在边上．
【实践与操作】（1）请用无刻度直尺和圆规作出满足条件的D与；
【推理与计算】（2）以为圆心，为半径作，若点恰好落在上，且，，求的半径．
23．
项目式学习
问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．
【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．
【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）
【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米46810照明亮度的平方/勒克斯450300225180照明范围/平方米
（假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间．
【问题探究】
（1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度：　 　．
（2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯的高度．
（3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式．
（4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造　 　个路灯．
24．【项目主题】合理设计，实用便民
【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动：
素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴．
素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线）
素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长．
根据提供素材，完成下列问题：
（1）数学小组计算出的长度，具体如下：
解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③．
请补全上述求解过程中①②③所缺的内容：
（2）根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）．
（3）求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装．
25．
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E.
①若求BC的长；
②试探究是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为求cos∠CBD的值.
26． 【阅读材料】
问题 如图，AB，CD 相交于点O，O 是 AB 的中点，AC∥BD，求证：O是CD 的中点.
问题分析 由条件易证△AOC≌△BOD，从而得到OC=OD，即O是CD 的中点.
方法提取 构造“平行8字形”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法.
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题.
【基础应用】
已知在△ABC中，. 点 E 在边 AB 上，点F 在边 BC的延长线上，连结EF交AC 于点 D.
（1）如图①，若AB=BC，AE=CF，求证：D是EF的中点；
（2）如图②，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD 与 BE 之间的数量关系；
（3）【灵活应用】
如图③，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，E 是AB 上一点，点 F 在 BC 的延长线上， 当点C从点B运动到点A，点D运动的路径长为　 　，CF 扫过的面积为　 　.
27．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．过点作交于点，则，（依据），
∴，∴，即．
情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…
（1）情况①中的依据指：　 　；
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
（3）如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么　 　
28．综合与探究
【定义】如图 1，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ，那么称点 C为线段 AB 的分割点。
（1）【理解】如图 2，在等腰 中，，，点 P 是 AB 的分割点，求 AP 的长；
（2）【应用】如图 3，在等腰 中，，，点 P 是 AB 的 分割点，点 D 在 AB 的上方，，AD 与 CP 相交于点 E，PD 与 BC 相交于点 F，求证：；
（3）【拓展】如图 4，点 G，H 同时从点 A 出发，分别以 1 个单位/秒和 个单位/秒的速度沿 AC，AB 方向运动，以 GH 为边向右作 ，直线 GD 与 CB，CH 分别交于点 M，N，当点 G 运动至 AC 的分割点时，直接写出 的值。
29．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵，
∴
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
30．请阅读下列材料，完成相应的任务：
著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题． 比如有这样一个题目：设有两只电阻，分到为和，问并联后的电阻值是多少 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线上任取两点A，B，分别过点A，B作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，且点C，D位于直线的同侧，连接AD，BC，交于点，过点作直线，则线段EF的长度就是并联后的电阻值． 证明：， ， 又， 依据1）， （依据2）． 同理可得：，
∴，
∴，
即：.
（1）上面证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是谁：
依据1：　 　.
依据2：　 　.
（2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R1=3千欧，R2=6千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长．
（3）受以上作图法的启发，小明提出了已知R1和R，求R2的一种作图方法，如图④，作△ABC，使∠C=90°，AC=BC=R1，过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD=R，使点D与点A在直线BC的同一侧，作射线AD，交CB的延长线于点E，则BE即为R2．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：根据，可设
所以
故答案为：A.
【分析】本题考查比例的性质.根据，利用比例的性质可设，再代入进行计算可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段的比
【解析】【解答】
解：∵，，
∴BC：DE=4：3
∵，
∴BC=16
故答案为：A
【分析】根据平行线分线段成比例得到BC：DE=，再根据DE的值，计算可得BC的值，解答即可.
3．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可以得到，再由即可求解．
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图所示标注字母，由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积分别为，
∴对应边的比为，
∵四边形，四边形是平行四边形，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：D ．
【分析】由题意可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则对应边的比为，根据平行四边形性质可得，设，则，，根据边之间的关系可得BC，再根据相似三角形性质即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∵AD+DE+AE=2
∴AB+BC+AC=6.
故选：B.
【分析】由DE//BC，证出△ADE∽△ABC，得出周长的比等于相似比，容易得出结果.
6．【答案】B
【知识点】比例线段；黄金分割
【解析】【解答】解：①、根据第四比例项的概念，显然正确；
②、如果点C是线段AB的中点，AB：AC=2，AC：BC=1，不成比例，错误；
③、根据黄金分割的概念，正确；
④、根据黄金分割的概念：AC= ﹣1，错误．
故选B．
【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法．
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：
∴AC 的长为60cm.
故选 B.
【分析】根据两直线平行得到△AOC∽△BOD，根据对应边成比例解答即可.
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接交于点O．
在和中，
，
∴，
∴，
当时，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，同法可证，
∵AB=AD，AC⊥BD，
∴BO=DO，
又AO=AO，
∴△ABO≌△ADO，
同理△BCO≌△DCO，
∴△ABO∽△BCO∽△ADO∽△DCO，故选项B符合题意．
当或或时都不符合题意．
故答案为：B．
【分析】如图，连接AC、BD交于点O，利用“SSS”证△ABC≌△ADC，由全等三角形的对应角相等得出∠ABC=∠ADC，当 ∠ ABC=90°时， ∠ ADC=90°；由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得点A、C在线段BD的垂直平分线上，进而根据两点确定一条直线得出AC就是线段BD的垂直平分线，则AC⊥BD，从而根据直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出 ∠ ABO= ∠ ACB，从而由有两个角相等的三角形相似得出△AOB∽△BOC，同理证△AOD∽△DOC，由“SSS”证 △ABO≌△ADO， 同理△BCO≌△DCO，则△ABO∽△BCO∽△ADO∽△DCO，据此即可得出答案.
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过作于点，延长，交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】过作于点，延长，交于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°
∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，
∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，
∴与△AOB位似的三角形为△GOH，
设OA=x，
则OB=，
∴OC=，
∴OD=，
…
∴OG=，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】设OA=x，根据位似三角形的性质求出OG=，即可得到，再利用相似三角形的性质可得，最后求出即可。
11．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：在与中，
∵，，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵、分别是与对应角、的平分线，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】根据两脚对应相等得到∽，利用对应边上中线的比等于相似比得，即可解答．
12．【答案】360
【知识点】正方形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2x步，根正方形的性质可得AECD，AE=CE=x步，
∵AECD，
∴△ABE∽△CED，
∴，
∴，解得x=180（负值舍去）.
∴2x=360．
∴正方形的边长为360步．
故答案为：360．
【分析】
由于正方形的对边平行，则由三角形相似的预备定理得△ABE∽△CED，又已知AE＝CE，则由相似比得， 再设正方形的边长为2x，则AE=CE=x，再化比例式为等积式得关于x的方程并求解即可．
13．【答案】或
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①设经过x秒后
解得
②设经过x秒后
解得
∴经过 秒或 秒， 与 相似.
故答案为： 或
【分析】分两种情况分别计算，①设经过x秒后 得 ②设经过x秒后 得 代入用x表示的线段计算即可.
14．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
，解得：
当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
、
，解得：
故答案为：或.
【分析】由于是“反三角形”，则应分两种情况进行讨论，即当时，过点P作于点D，则，即DP=CD，此时设CD为x，则AD=5-x，由等边对等角知，则可证DP//AB，即，此时再边点A作BC的高AE，由等腰三角形三线合一知BE等于CE等于AB的一半即4，由勾股定理可得AE=3；又且是公共角，则可证，由相似比可得，则，再应用勾股定理可得关于x的一元二次方程，解方程求出x，则CP可得，再利用BP=BC-PC即可；当时，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则，此时则，即，再证，由相似比可分别求出Cd、CP，则BP可求.
15．【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的性质-对应边；利用三角形的中线求面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，
∵在中，，D是斜边的中点，
∴，
∴，
∵， 是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】在中，根据直角三角形斜边中线的性质得出，从而得到，同理可得，然后得到，即可求出，，进而得到规律，解答即可．
16．【答案】5.2
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BH交BH的延长线于点G，交OM于点N
∵AB=6，OB：OA=1：3
∴OB=1.5，OA=4.5
在Rt△OBH中，OH=1.2
∴
∵OH∥AG
∴△BOH∽△BAG
∴，即
解得：BG=3.6
∴ON=HG=2.7
∵MN=3-0.5=2.5
∴OM=ON+MN=5.2
故答案为：5.2
【分析】过点A作AG⊥BH交BH的延长线于点G，交OM于点N，根据边之间的关系可得OB=1.5，OA=4.5，再根据勾股定理可得BH，根据相似三角形判定定理可得△BOH∽△BAG，则，代值计算可得BG，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：∵∠ADE=∠GDA，∠AGD=∠BAD，
∴△ADE∽△GDA；
（2）证明：
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB∥CD，AD=CD，
∴∠DEA=∠GDC，
∴∠GDC=∠FAG，
即，
∴△GDC∽△GAF，
∴.
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据题意可得到∠ADE=∠GDA，∠AGD=∠BAD，进而利用AA相似即可得到结论；
(2)由(1)得到对应边成比例，对应角相等，然后根据菱形的性质得到AB||CD，AD=CD，从而得到角相等，进一步等量代换得到，然后利用SAS相似证明△GDC∽△GAF，进而利用相似三角形的性质证明结论.
18．【答案】（1）；
（2）解：如图2中，点即为所求．
小军的方案．
理由：点与关于对称，
，
，
，
，
，
又，
；
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）解：，，，
，
．
故答案为：，；
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、轴对称的性质及作图应用，第一问利用平行线分线段成比例定理求解，第二问结合轴对称和相似三角形判定证明方案可行性。
(1)中由可判定，相似三角形的对应边成比例，先确定，，即可得出，进而得到；
(2)中先根据轴对称的性质作出点关于的对称点，连接交于，由轴对称得，，再结合得，从而推出，又，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定。
（1）解：，，，
，
．
故答案为：，；
（2）解：如图2中，点即为所求．
小军的方案．
理由：点与关于对称，
，
，
，
，
，
又，
；
19．【答案】（1）解：如图，在网格上去点，连接交于点，即为所求，
，
，
四边形为矩形，
，
为的中线
（2）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
，即
（3）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
．
故点即为所求
【知识点】矩形的性质；作图﹣相似变换；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据矩形对角线互相平分，作出△ABC的中线AD即可.
（2）如图，取点，连接交于点，则点即为所求，利用相似三角形的性质即可解答.（3）利用平移可确定出点P的位置，取点，连接交于点，则点即为所求，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可作出点Q的位置．
（1）解：如图，在网格上去点，连接交于点，即为所求，
，
，
四边形为矩形，
，
为的中线；
（2）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
．
故点即为所求．
20．【答案】（1）解：三角形内角和是 180°；两角分别相等的两个三角形相似
（2）解：添加条件：AP=BD(答案不唯一)，
证明：由(1)得∠C=∠BPD，
在△ACP 和△BPD中，
∴△ACP≌△BPD(AAS)(依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等).
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵∠APC+∠2+∠BPD=180°(平角是180°)，
∠APC+∠1+∠C=180°(三角形的内角和是180°)，
∠1=∠2(已知)，
∴∠BPD=∠C，
∵∠1=∠3(已知)，
∴△ACP∽△BPD(两角分别相等的两个三角形相似)，
故答案为：三角形的内角和是180°；两角分别相等的两个三角形相似；
【分析】（1）根据平角的定义和三角形的内角和定理得到∠BPD=∠C，然后利用两角分别相等的两个三角形相似得到结论；
（2）添加条件：AP=BD，利用AAS得到两三角形全等即可.
21．【答案】解：Rt中，
由勾股定理得
又易知RtRt
Rt中，
小车行驶的速度为
即小车行驶符合安全规范
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；8字型相似模型
【解析】【分析】 题目要求判断汽车是否遵守限速5m/s的安全规范，已知汽车从A点出发，经过2秒到达B点，并在B点首次观察到C处的儿童，结合几何关系，计算汽车的平均速度，并与限速进行比较.
22．【答案】解：（1）如图所示，满足条件的与．
（2），
，
对称
的半径．
【知识点】圆的相关概念；相似三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）尺规作出的平分线交于点D，交于点即为所求；
（2）根据等边对等角了的，再根据对称性质可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）米
（2）∵，
∴，
∴，
由题意可得米，米，米，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴米
（3）由表格数据得，
∴，
∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为
（4）18
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米，
故答案为：米；
（4）∵，
∴高度为米，米，米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定，
∵，
∴高度为米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为（米），
，则至少需要个路灯．
故答案为：．
【分析】（1）根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
（2）得到，得根据对应边成比例得到，然后推理得到，即可得，再根据线段的和差解答即可；
（3）根据表格数据可得乘积为定值，即可得到反比例函数解析式；
（4）先求出符合规定的路灯的高度，再根据此路灯高度下所照明范围的半径解答即可．
24．【答案】（1）①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；

（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
【分析】
（1）根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△CMG∽△HMI，△CNG∽△JNK，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）根据抛物线的顶点式并结合题意可得，将代入解析式求出，即可求解；
（3）根据题意得到的横坐标依次为，得到的横坐标依次为，设的坐标依次为
求出的值，得到的值，求出，即可求解.
（1）解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
25．【答案】（1）解：①∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
②∵，
∴．
由①可得，
∴．
∴．
∴是定值，定值为1．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
设，则．
∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
如图，过点D作于H．
∵，
∴．
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；求余弦值；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
②根据平行线可得，由①可得，然后求差解答即可；
（2）根据平行线可得、进而得到，又，即可求出，设，则．推理得到，即可得到，过点D作于H．求得，利用余弦的定义解答即可．
26．【答案】（1）证明：∵AB=BC，∠B=90°，∴∠A=∠ACB=45°.
如图①，过点 E 作 EG∥BF，交 AC于点G，
则∠DGE=∠DCF，∠AEG=∠B=90°.
∴△AEG是等腰直角三角形，则AE=GE.
∵AE=CF，∴GE=CF.
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF.
∴DE=DF.∴D是EF 的中点
（2）解：如图②，过点 E 作EG∥BF，交AC于点G，则△AEG∽△ABC，
∴AE=2EG.
∵AE=2CF，∴EG=CF.
∵EG∥BF，
∴∠DGE=∠DCF，∠AEG=∠B=90°.
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF(AAS).
∴CD=DG.
∵AE=2EG，
（3）；
【知识点】弧长的计算；等腰直角三角形；截长补短构造全等模型；A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】（3）
∵AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，
∴∠ACB=90°，
过点E作EG∥BF，则△AEG∽△ABC，
∴
∵，
∴EG=CF，
∵EG∥BF，
∴∠AGE=∠ACB=90°，
∴∠DGE=∠DCF=90°，
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF（AAS），
∴CD=DG，
过点D作DM∥BF，则，∠ADM=90°，
∴EM=BM，
∵AB=8，AE=2，
∴BE=6，则EM=BM==3，
∴AM=AE+EM=5，
∴点D在以AM为直径的半圆上运动，
∴D运动的路径长为：
过点F作FH∥AC，则
∵
∴AE=AH=2，
∴BH=AH+AB=10，
∴点F在以BH为直径的半圆上运动，
则CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，
即：CF扫过的面积为
【分析】(1) 过点E作EG∥BF，证△DGE≌△DCF，即可得点D是EF的中点.
(2) 过点E作EG∥BF，可证△AEG∽△ABC，得，再证△DGE≌△DCF，得CD=DG ，由平行线平分线段成比例，得 由AE=2EG，得AG=5EG ，AGAE=52，AGAE=2CDBE=52，从而可得CD=54BE.
（3）由题意可得∠ACB=90°，过点E作EG∥BF，则△AEG∽△ABC，可 进而可得EG=CF，易证△DGE≌△DCF，可知CD=DG，过点D作DM∥BF，则， ∠ADM=90°，易知点D在以AM为直径的半圆上运动，可求得D运动的路径长度，过点F作FH∥AC，则 易知点F在以BH为直径的半圆上运动，可知CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，即可求得答案.
27．【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
（2）证明：过点C作CG//DF交AB的延长线于点G，
则，，
∴，
∴BF·AD·EC=BD·AE·FC，
即
（3）25：16
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：(1)情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
(3)如图3中，，
AD：DB=CE：EA=4：5，
∴BF：CF=25：16.
故答案为：25：16.
【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；
(2)如图2中，过点C作CG//DF交AB的延长线于点G，模仿情况①的方法解决问题即可；
(3)利用结论解决问题即可.
28．【答案】（1）证明：∵点P是AB的的分割点，
∴，
∵，，
∴，
∴AP=2
（2）证明：∵点P是AB的的分割点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
（3）解： 或
【知识点】相似三角形的判定；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：（3）由题可知点G，H分别是AC，AB的的分割点，可证；
如图1，当，时，可证得，此时可以证得 ；
如图2，当，时，连接HM，
可证得，从而证得，，进而可以证得点M是ND的的分割点，且所以，由此可以证得。
【分析】（1）根据分割点定义，结合等腰直角三角形性质即可求出答案.
（2）根据分割点定义可得，根据等腰直角三角形性质可得，则，根据相似三角形性质可得根据角之间的关系可得∠CAD，∠DPB，∠CPD，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：当，时，当，时，连接HM，根据相似三角形性质，结合分割点定义即可求出答案.
29．【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴，
即，
解得x（负值舍去）．
即黄金比为
（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；
（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴，
∴，
∴△EAB∽△BCD
（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点
【知识点】正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程，求解即可；
（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为的线段，斜边AB的长为，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则，故点E是AC的黄金分割点；
（3）由点C是AB的黄金分割点可知，而四边形ACDE为正方形，可知AC=CD=AE，所以，又，故△EAB∽△BCD；
（4）易求正五边形的每个内角为108°，进一步可知，而，从而证明△AME∽△AED，所以，在中，易求，可知DM=DE=AE，故，所以点M是AD的黄金分割点。
30．【答案】（1）两角分别相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例
（2）（2）解：如解图，线段GH即为该电路图中表示总阻值R的线段长；
（3）（3）解：小明的方法是正确的。
理由如下：
又
又
小明的方法是正确的.
【知识点】平行线的判定；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：（1）证明：∵EF⊥l，CA⊥l，
∴∠EFB=∠CAB=90°，
又∵∠EBF=∠CBA，
∴△EBF∽△CBA（两组角对应相等的两个三角形相似），
∴=（相似三角形的对应边成比例）．
故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例；
【分析】（1）由相似三角形的判定与性质可得出答案；
（2）在AB上取点M，使BM=3，在CD上取点N使CN=6，连接CM，BN交于点E，过点E作EF⊥BC于点F，则可得出答案；
（3）证明△DBE∽△ACE，得出，求出BE的长，则可得出答案。熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。
1 / 1专题4.6相似三角形—中考数学重难点突破训练
一、选择题
1．已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：根据，可设
所以
故答案为：A.
【分析】本题考查比例的性质.根据，利用比例的性质可设，再代入进行计算可求出答案.
2．如图，已知，，若，则的长为（　　）
A．16 B．12 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段的比
【解析】【解答】
解：∵，，
∴BC：DE=4：3
∵，
∴BC=16
故答案为：A
【分析】根据平行线分线段成比例得到BC：DE=，再根据DE的值，计算可得BC的值，解答即可.
3．如图是某景区大门部分建筑，已知，，当时，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可以得到，再由即可求解．
4．如图，点M是内一点，过点M分别作直线平行于的各边，所形成的三个小三角形（图中阴影部分）的面积分别是4，和，则的面积是（　　）
A．81 B．121 C．124 D．144
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：如图所示标注字母，由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的面积分别为，
∴对应边的比为，
∵四边形，四边形是平行四边形，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故选：D ．
【分析】由题意可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则对应边的比为，根据平行四边形性质可得，设，则，，根据边之间的关系可得BC，再根据相似三角形性质即可求出答案.
5．如图，已知D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点， DE∥BC且 的周长2，则△ABC的周长为(　　)
A．4 B．6 C．8 D．18
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应周长；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
∵AD+DE+AE=2
∴AB+BC+AC=6.
故选：B.
【分析】由DE//BC，证出△ADE∽△ABC，得出周长的比等于相似比，容易得出结果.
6．有以下命题：
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有 ．
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=﹣1．
其中正确的判断有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】比例线段；黄金分割
【解析】【解答】解：①、根据第四比例项的概念，显然正确；
②、如果点C是线段AB的中点，AB：AC=2，AC：BC=1，不成比例，错误；
③、根据黄金分割的概念，正确；
④、根据黄金分割的概念：AC= ﹣1，错误．
故选B．
【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法．
7．阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA=150 cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长度是（　　）
A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：
∴AC 的长为60cm.
故选 B.
【分析】根据两直线平行得到△AOC∽△BOD，根据对应边成比例解答即可.
8．定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，连接交于点O．
在和中，
，
∴，
∴，
当时，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，同法可证，
∵AB=AD，AC⊥BD，
∴BO=DO，
又AO=AO，
∴△ABO≌△ADO，
同理△BCO≌△DCO，
∴△ABO∽△BCO∽△ADO∽△DCO，故选项B符合题意．
当或或时都不符合题意．
故答案为：B．
【分析】如图，连接AC、BD交于点O，利用“SSS”证△ABC≌△ADC，由全等三角形的对应角相等得出∠ABC=∠ADC，当 ∠ ABC=90°时， ∠ ADC=90°；由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上得点A、C在线段BD的垂直平分线上，进而根据两点确定一条直线得出AC就是线段BD的垂直平分线，则AC⊥BD，从而根据直角三角形两锐角互余及同角的余角相等推出 ∠ ABO= ∠ ACB，从而由有两个角相等的三角形相似得出△AOB∽△BOC，同理证△AOD∽△DOC，由“SSS”证 △ABO≌△ADO， 同理△BCO≌△DCO，则△ABO∽△BCO∽△ADO∽△DCO，据此即可得出答案.
9．如图所示，在洞孔成像问题中，已知玻璃棒与它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根据图中给定的尺寸，那么它的物像的长是（　　）厘米．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过作于点，延长，交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】过作于点，延长，交于点，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
10．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°．若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为（　　）
A．（）3 B．（）7 C．（）6 D．（）6
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°
∴∠AOG＝180°，∠BOH＝180°，
∴A、O、G在同一直线上，B、O、H在同一直线上，
∴与△AOB位似的三角形为△GOH，
设OA=x，
则OB=，
∴OC=，
∴OD=，
…
∴OG=，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】设OA=x，根据位似三角形的性质求出OG=，即可得到，再利用相似三角形的性质可得，最后求出即可。
二、填空题
11．如图，在△ABC中，D是AB上一点，且AB=3AD，∠ACD=∠B，∠BAC的平分线分别交CD、CB于E，F，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：在与中，
∵，，
∴∽，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵、分别是与对应角、的平分线，
∴，
∴．
故答案为：.
【分析】根据两脚对应相等得到∽，利用对应边上中线的比等于相似比得，即可解答．
12．我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？”译文：如图，一座正方形城池北、西边正中A、C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为　 　步．
【答案】360
【知识点】正方形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2x步，根正方形的性质可得AECD，AE=CE=x步，
∵AECD，
∴△ABE∽△CED，
∴，
∴，解得x=180（负值舍去）.
∴2x=360．
∴正方形的边长为360步．
故答案为：360．
【分析】
由于正方形的对边平行，则由三角形相似的预备定理得△ABE∽△CED，又已知AE＝CE，则由相似比得， 再设正方形的边长为2x，则AE=CE=x，再化比例式为等积式得关于x的方程并求解即可．
13．如图，在中，∠C=900，AC=10cm，BC=8cm，点P从点C出发，以的速沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止.经过　 　秒后，与相似.
【答案】或
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①设经过x秒后
解得
②设经过x秒后
解得
∴经过 秒或 秒， 与 相似.
故答案为： 或
【分析】分两种情况分别计算，①设经过x秒后 得 ②设经过x秒后 得 代入用x表示的线段计算即可.
14．定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，点为边BC上一点，若为“反直角三角形”，则BP的长为　 　．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
，解得：
当时，如图所示，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则.
、
，解得：
故答案为：或.
【分析】由于是“反三角形”，则应分两种情况进行讨论，即当时，过点P作于点D，则，即DP=CD，此时设CD为x，则AD=5-x，由等边对等角知，则可证DP//AB，即，此时再边点A作BC的高AE，由等腰三角形三线合一知BE等于CE等于AB的一半即4，由勾股定理可得AE=3；又且是公共角，则可证，由相似比可得，则，再应用勾股定理可得关于x的一元二次方程，解方程求出x，则CP可得，再利用BP=BC-PC即可；当时，分别过点A、P作，垂足分别为E、D，设，则，此时则，即，再证，由相似比可分别求出Cd、CP，则BP可求.
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，连结CD，过D作DH⊥BC于点H；D1是BD的中点，连结HD1，过D1作D1H1⊥BC于点H1；D2是BD1的中点，连结H1D2，过D2作D2H2⊥BC于点H2；…………如此继续下去，分别记四边形CDD1H、四边形HD1D2H1、四边形H1D2D3H2…………四边形Hn-2Dn-1DnHn-1的面积为S1，S2，S3，……，Sn．若S△ABC=2，则S2022　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线；探索规律-图形的递变规律；相似三角形的性质-对应边；利用三角形的中线求面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，
∵在中，，D是斜边的中点，
∴，
∴，
∵， 是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】在中，根据直角三角形斜边中线的性质得出，从而得到，同理可得，然后得到，即可求出，，进而得到规律，解答即可．
16．图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具———桔槔(jié gāo)的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，OM 代表固定支架，点C，点D分别代表水桶和重物，AC，BD是固定长度的麻绳， 绳长AC=3米， 杠杆AB=6米， OB：OA=1：3， 当水桶C的位置低于地面0.5米时(如图3)，支架OM 与绳子BD之间的距离OH是1.2米，则这个桔槔支架OM 的高度为　 　米.
【答案】5.2
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点A作AG⊥BH交BH的延长线于点G，交OM于点N
∵AB=6，OB：OA=1：3
∴OB=1.5，OA=4.5
在Rt△OBH中，OH=1.2
∴
∵OH∥AG
∴△BOH∽△BAG
∴，即
解得：BG=3.6
∴ON=HG=2.7
∵MN=3-0.5=2.5
∴OM=ON+MN=5.2
故答案为：5.2
【分析】过点A作AG⊥BH交BH的延长线于点G，交OM于点N，根据边之间的关系可得OB=1.5，OA=4.5，再根据勾股定理可得BH，根据相似三角形判定定理可得△BOH∽△BAG，则，代值计算可得BG，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题
17．如图，E，F 是菱形ABCD 边AB，AD上的点，连接DE，点G 在DE 上，连接AG，FG，CG，∠AGD=∠BAD，AF=AE.
（1）求证：△ADE∽△GDA；
（2）求证：
【答案】（1）证明：∵∠ADE=∠GDA，∠AGD=∠BAD，
∴△ADE∽△GDA；
（2）证明：
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB∥CD，AD=CD，
∴∠DEA=∠GDC，
∴∠GDC=∠FAG，
即，
∴△GDC∽△GAF，
∴.
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据题意可得到∠ADE=∠GDA，∠AGD=∠BAD，进而利用AA相似即可得到结论；
(2)由(1)得到对应边成比例，对应角相等，然后根据菱形的性质得到AB||CD，AD=CD，从而得到角相等，进一步等量代换得到，然后利用SAS相似证明△GDC∽△GAF，进而利用相似三角形的性质证明结论.
18．图1图2均为5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．
（1）观察：如图1，　 　，　 　；
（2）探究：如图2，仅用无刻度的直尺在上找一点M，连接，使得；小军说：作点B关于的对称点，连接与交于点M…请根据小军的方案在图2中画出点M的位置，并证明是否可行．
【答案】（1）；
（2）解：如图2中，点即为所求．
小军的方案．
理由：点与关于对称，
，
，
，
，
，
又，
；
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）解：，，，
，
．
故答案为：，；
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、轴对称的性质及作图应用，第一问利用平行线分线段成比例定理求解，第二问结合轴对称和相似三角形判定证明方案可行性。
(1)中由可判定，相似三角形的对应边成比例，先确定，，即可得出，进而得到；
(2)中先根据轴对称的性质作出点关于的对称点，连接交于，由轴对称得，，再结合得，从而推出，又，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定。
（1）解：，，，
，
．
故答案为：，；
（2）解：如图2中，点即为所求．
小军的方案．
理由：点与关于对称，
，
，
，
，
，
又，
；
19．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹．
（1）在图1中，作的中线；
（2）在图2中，在上找一点E，使：
（3）在图3中，将点C向右平移2个单位，得到点P，连接，并在线段上找到一点Q，连接，使．
【答案】（1）解：如图，在网格上去点，连接交于点，即为所求，
，
，
四边形为矩形，
，
为的中线
（2）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
，即
（3）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
．
故点即为所求
【知识点】矩形的性质；作图﹣相似变换；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据矩形对角线互相平分，作出△ABC的中线AD即可.
（2）如图，取点，连接交于点，则点即为所求，利用相似三角形的性质即可解答.（3）利用平移可确定出点P的位置，取点，连接交于点，则点即为所求，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可作出点Q的位置．
（1）解：如图，在网格上去点，连接交于点，即为所求，
，
，
四边形为矩形，
，
为的中线；
（2）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：如图，取点，连接交于点，则点即为所求，
，
，
，
，
，
．
故点即为所求．
20．如图，已知线段AB上有一点P，C，D为线段AB外两点，连接AC，BD，CP，PD.若∠1=∠2=∠3.
（1）在下面证明△ACP∽△BPD 的过程中写出依据；
证明：∵∠APC+∠2+∠BPD=180°(依据：平角是180°)，∠APC+∠1+∠C=180°(依据：　 　)，∠1=∠2(已知)，
∴∠BPD=∠C，
∵∠1=∠3(已知)，
∴△ACP∽△BPD(依据：　 　)；
（2）请添加一组条件，使得△ACP≌△BPD，并写出证明过程及依据.
【答案】（1）解：三角形内角和是 180°；两角分别相等的两个三角形相似
（2）解：添加条件：AP=BD(答案不唯一)，
证明：由(1)得∠C=∠BPD，
在△ACP 和△BPD中，
∴△ACP≌△BPD(AAS)(依据：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等).
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵∠APC+∠2+∠BPD=180°(平角是180°)，
∠APC+∠1+∠C=180°(三角形的内角和是180°)，
∠1=∠2(已知)，
∴∠BPD=∠C，
∵∠1=∠3(已知)，
∴△ACP∽△BPD(两角分别相等的两个三角形相似)，
故答案为：三角形的内角和是180°；两角分别相等的两个三角形相似；
【分析】（1）根据平角的定义和三角形的内角和定理得到∠BPD=∠C，然后利用两角分别相等的两个三角形相似得到结论；
（2）添加条件：AP=BD，利用AAS得到两三角形全等即可.
21．小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩要，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过2秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时B，O，C三点共线）．已知，试问该汽车是否遵守行车安全规范？
（参考数据：）
【答案】解：Rt中，
由勾股定理得
又易知RtRt
Rt中，
小车行驶的速度为
即小车行驶符合安全规范
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的其他实际应用；8字型相似模型
【解析】【分析】 题目要求判断汽车是否遵守限速5m/s的安全规范，已知汽车从A点出发，经过2秒到达B点，并在B点首次观察到C处的儿童，结合几何关系，计算汽车的平均速度，并与限速进行比较.
22．如图，在中，是边上一点，点关于的对称点落在边上．
【实践与操作】（1）请用无刻度直尺和圆规作出满足条件的D与；
【推理与计算】（2）以为圆心，为半径作，若点恰好落在上，且，，求的半径．
【答案】解：（1）如图所示，满足条件的与．
（2），
，
对称
的半径．
【知识点】圆的相关概念；相似三角形的判定；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）尺规作出的平分线交于点D，交于点即为所求；
（2）根据等边对等角了的，再根据对称性质可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BD，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．
项目式学习
问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．
【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯的影子为，小明（）站在路灯旁边，影子为．经测量，长2米，长0.5米，小明的身高为1.5米．
【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯的影子重合，测得小明的影子的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）
【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下： 高度/米46810照明亮度的平方/勒克斯450300225180照明范围/平方米
（假设整个照明范围内的照明亮度相等） 同学们搜集了一则材料： 根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间．
【问题探究】
（1）在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯的高度：　 　．
（2）在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯的高度．
（3）在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式．
（4）在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造　 　个路灯．
【答案】（1）米
（2）∵，
∴，
∴，
由题意可得米，米，米，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴米
（3）由表格数据得，
∴，
∴路灯高度（x）与照明亮度的平方（y）的关系式为
（4）18
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）由题意得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米，
故答案为：米；
（4）∵，
∴高度为米，米，米的路灯都符合《城市道路照明设计标准》规定，
∵，
∴高度为米的路灯照明范围最大，且照明范围的直径长为（米），
，则至少需要个路灯．
故答案为：．
【分析】（1）根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
（2）得到，得根据对应边成比例得到，然后推理得到，即可得，再根据线段的和差解答即可；
（3）根据表格数据可得乘积为定值，即可得到反比例函数解析式；
（4）先求出符合规定的路灯的高度，再根据此路灯高度下所照明范围的半径解答即可．
24．【项目主题】合理设计，实用便民
【项目背景】为了提升交通安全，南山某城市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯．现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动：
素材1 图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似的看成抛物线，其截面如图2所示．以地面为轴，以左侧墙面为轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合．最高点离地面，照明灯安装轴右侧的点，距轴．
素材2 为测量素材1的点到地面的距离的长度，小组参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示．经测量，标杆（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从退行10步到点，从退行15步到点．（共线，共线）
素材3 为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯．按要求，指示灯需距离地面．如图2所示，灯架，，均平行于轴，共线，且所在直线平行于轴，，的坐标为．为加强稳固性，还需在每个灯架上端加装两个长度为的支架．记灯架和支架总长．
根据提供素材，完成下列问题：
（1）数学小组计算出的长度，具体如下：
解：设，步， ， ， ______①， 又， ， ， ， ______②， ______③．
请补全上述求解过程中①②③所缺的内容：
（2）根据已知条件，求出抛物线的解析式（不需要写出x的取值范围）．
（3）求出素材3中l的值，并判断长的材料能否完成灯架和支架的安装．
【答案】（1）①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；

（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
（1）
解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
【分析】
（1）根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△CMG∽△HMI，△CNG∽△JNK，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）根据抛物线的顶点式并结合题意可得，将代入解析式求出，即可求解；
（3）根据题意得到的横坐标依次为，得到的横坐标依次为，设的坐标依次为
求出的值，得到的值，求出，即可求解.
（1）解：设，步，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
故答案为：①，②，③；
（2）解：抛物线：的最高点离地面，
，
把代入得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（3）解：的坐标为，，
的横坐标依次为，
的横坐标依次为，
设的坐标依次为
把代入得，
解得：，
，
同理可得，，；
，；
，
，
，
长的材料能完成灯架和支架的安装．
25．
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E.
①若求BC的长；
②试探究是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.
（2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为求cos∠CBD的值.
【答案】（1）解：①∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
②∵，
∴．
由①可得，
∴．
∴．
∴是定值，定值为1．
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
设，则．
∵CD平分，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
如图，过点D作于H．
∵，
∴．
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；求余弦值；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可；
②根据平行线可得，由①可得，然后求差解答即可；
（2）根据平行线可得、进而得到，又，即可求出，设，则．推理得到，即可得到，过点D作于H．求得，利用余弦的定义解答即可．
26． 【阅读材料】
问题 如图，AB，CD 相交于点O，O 是 AB 的中点，AC∥BD，求证：O是CD 的中点.
问题分析 由条件易证△AOC≌△BOD，从而得到OC=OD，即O是CD 的中点.
方法提取 构造“平行8字形”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法.
请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题.
【基础应用】
已知在△ABC中，. 点 E 在边 AB 上，点F 在边 BC的延长线上，连结EF交AC 于点 D.
（1）如图①，若AB=BC，AE=CF，求证：D是EF的中点；
（2）如图②，若AB=2BC，AE=2CF，探究CD 与 BE 之间的数量关系；
（3）【灵活应用】
如图③，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，E 是AB 上一点，点 F 在 BC 的延长线上， 当点C从点B运动到点A，点D运动的路径长为　 　，CF 扫过的面积为　 　.
【答案】（1）证明：∵AB=BC，∠B=90°，∴∠A=∠ACB=45°.
如图①，过点 E 作 EG∥BF，交 AC于点G，
则∠DGE=∠DCF，∠AEG=∠B=90°.
∴△AEG是等腰直角三角形，则AE=GE.
∵AE=CF，∴GE=CF.
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF.
∴DE=DF.∴D是EF 的中点
（2）解：如图②，过点 E 作EG∥BF，交AC于点G，则△AEG∽△ABC，
∴AE=2EG.
∵AE=2CF，∴EG=CF.
∵EG∥BF，
∴∠DGE=∠DCF，∠AEG=∠B=90°.
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF(AAS).
∴CD=DG.
∵AE=2EG，
（3）；
【知识点】弧长的计算；等腰直角三角形；截长补短构造全等模型；A字型相似模型；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】（3）
∵AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，
∴∠ACB=90°，
过点E作EG∥BF，则△AEG∽△ABC，
∴
∵，
∴EG=CF，
∵EG∥BF，
∴∠AGE=∠ACB=90°，
∴∠DGE=∠DCF=90°，
又∵∠GDE=∠CDF，
∴△DGE≌△DCF（AAS），
∴CD=DG，
过点D作DM∥BF，则，∠ADM=90°，
∴EM=BM，
∵AB=8，AE=2，
∴BE=6，则EM=BM==3，
∴AM=AE+EM=5，
∴点D在以AM为直径的半圆上运动，
∴D运动的路径长为：
过点F作FH∥AC，则
∵
∴AE=AH=2，
∴BH=AH+AB=10，
∴点F在以BH为直径的半圆上运动，
则CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，
即：CF扫过的面积为
【分析】(1) 过点E作EG∥BF，证△DGE≌△DCF，即可得点D是EF的中点.
(2) 过点E作EG∥BF，可证△AEG∽△ABC，得，再证△DGE≌△DCF，得CD=DG ，由平行线平分线段成比例，得 由AE=2EG，得AG=5EG ，AGAE=52，AGAE=2CDBE=52，从而可得CD=54BE.
（3）由题意可得∠ACB=90°，过点E作EG∥BF，则△AEG∽△ABC，可 进而可得EG=CF，易证△DGE≌△DCF，可知CD=DG，过点D作DM∥BF，则， ∠ADM=90°，易知点D在以AM为直径的半圆上运动，可求得D运动的路径长度，过点F作FH∥AC，则 易知点F在以BH为直径的半圆上运动，可知CF扫过的面积为以BH为直径的半圆与以AB为直径的半圆的面积之差，即可求得答案.
27．请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）：
设，，依次是的三边，，或其延长线上的点，且这三点共线，则满足．
这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线交的边于点，交边于点，交边的延长线与点．过点作交于点，则，（依据），
∴，∴，即．
情况②：如图2，直线分别交的边，，的延长线于点，，．…
（1）情况①中的依据指：　 　；
（2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
（3）如图3，，分别是的边，上的点，且，连接并延长，交的延长线于点，那么　 　
【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
（2）证明：过点C作CG//DF交AB的延长线于点G，
则，，
∴，
∴BF·AD·EC=BD·AE·FC，
即
（3）25：16
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：(1)情况①中的依据是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
(3)如图3中，，
AD：DB=CE：EA=4：5，
∴BF：CF=25：16.
故答案为：25：16.
【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理解决问题即可；
(2)如图2中，过点C作CG//DF交AB的延长线于点G，模仿情况①的方法解决问题即可；
(3)利用结论解决问题即可.
28．综合与探究
【定义】如图 1，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 ，那么称点 C为线段 AB 的分割点。
（1）【理解】如图 2，在等腰 中，，，点 P 是 AB 的分割点，求 AP 的长；
（2）【应用】如图 3，在等腰 中，，，点 P 是 AB 的 分割点，点 D 在 AB 的上方，，AD 与 CP 相交于点 E，PD 与 BC 相交于点 F，求证：；
（3）【拓展】如图 4，点 G，H 同时从点 A 出发，分别以 1 个单位/秒和 个单位/秒的速度沿 AC，AB 方向运动，以 GH 为边向右作 ，直线 GD 与 CB，CH 分别交于点 M，N，当点 G 运动至 AC 的分割点时，直接写出 的值。
【答案】（1）证明：∵点P是AB的的分割点，
∴，
∵，，
∴，
∴AP=2
（2）证明：∵点P是AB的的分割点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴
（3）解： 或
【知识点】相似三角形的判定；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：（3）由题可知点G，H分别是AC，AB的的分割点，可证；
如图1，当，时，可证得，此时可以证得 ；
如图2，当，时，连接HM，
可证得，从而证得，，进而可以证得点M是ND的的分割点，且所以，由此可以证得。
【分析】（1）根据分割点定义，结合等腰直角三角形性质即可求出答案.
（2）根据分割点定义可得，根据等腰直角三角形性质可得，则，根据相似三角形性质可得根据角之间的关系可得∠CAD，∠DPB，∠CPD，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：当，时，当，时，连接HM，根据相似三角形性质，结合分割点定义即可求出答案.
29．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵，
∴
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴，
即，
解得x（负值舍去）．
即黄金比为
（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；
（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴，
∴，
∴△EAB∽△BCD
（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点
【知识点】正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程，求解即可；
（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为的线段，斜边AB的长为，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则，故点E是AC的黄金分割点；
（3）由点C是AB的黄金分割点可知，而四边形ACDE为正方形，可知AC=CD=AE，所以，又，故△EAB∽△BCD；
（4）易求正五边形的每个内角为108°，进一步可知，而，从而证明△AME∽△AED，所以，在中，易求，可知DM=DE=AE，故，所以点M是AD的黄金分割点。
30．请阅读下列材料，完成相应的任务：
著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休.”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题． 比如有这样一个题目：设有两只电阻，分到为和，问并联后的电阻值是多少 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线上任取两点A，B，分别过点A，B作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，且点C，D位于直线的同侧，连接AD，BC，交于点，过点作直线，则线段EF的长度就是并联后的电阻值． 证明：， ， 又， 依据1）， （依据2）． 同理可得：，
∴，
∴，
即：.
（1）上面证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是谁：
依据1：　 　.
依据2：　 　.
（2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R1=3千欧，R2=6千欧，请在图③中（1个单位长度代表1千欧）画出表示该电路图中总阻值R的线段长．
（3）受以上作图法的启发，小明提出了已知R1和R，求R2的一种作图方法，如图④，作△ABC，使∠C=90°，AC=BC=R1，过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD=R，使点D与点A在直线BC的同一侧，作射线AD，交CB的延长线于点E，则BE即为R2．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
【答案】（1）两角分别相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边成比例
（2）（2）解：如解图，线段GH即为该电路图中表示总阻值R的线段长；
（3）（3）解：小明的方法是正确的。
理由如下：
又
又
小明的方法是正确的.
【知识点】平行线的判定；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：（1）证明：∵EF⊥l，CA⊥l，
∴∠EFB=∠CAB=90°，
又∵∠EBF=∠CBA，
∴△EBF∽△CBA（两组角对应相等的两个三角形相似），
∴=（相似三角形的对应边成比例）．
故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例；
【分析】（1）由相似三角形的判定与性质可得出答案；
（2）在AB上取点M，使BM=3，在CD上取点N使CN=6，连接CM，BN交于点E，过点E作EF⊥BC于点F，则可得出答案；
（3）证明△DBE∽△ACE，得出，求出BE的长，则可得出答案。熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键。
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