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14第5章《特殊平行四边形》阶段测试（一）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列判断错误的是（　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四个角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【分析】根据矩形的判定进行判断即可．
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不符合题意；
B、四个角都相等的四边形是矩形，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故符合题意；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不符合题意；
故选：C．
2．（3分）矩形、菱形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
【分析】由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．
【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，
∴矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，
故选：B．
3．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，点E，F，G，H分别为边AD，DC，CB，BA的中点．若AC＝4，BD＝3，则四边形EFGH的面积为（　　）
A．12 B．7 C．6 D．3
【分析】利用中位线定理可得出四边形EFGH矩形，根据矩形的面积公式解答即可．
【解答】解：∵点E、H分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，
∴EH∥BD，且，
同理求得EF∥AC∥GH，且，
∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥GH，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积，即四边形EFGH的面积是3．
故选：D．
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AE⊥BD于点E，若OE：OD＝1：2，OD＝2cm，则AE的长为（　　）
A．1cm B．cm C．cm D．2cm
【分析】由矩形的性质可得AO＝OC＝OB＝OD＝2cm，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝OC＝OB＝OD＝2cm，
∵OE：OD＝1：2，
∴OE＝1cm，
∴AEcm，
故选：C．
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．若AF，则AD的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据平行线的性质和翻转变换的性质得到FD＝FE，FA＝FC，根据勾股定理计算即可．
【解答】解：∵DC∥AB，
∴∠FCA＝∠CAB，又∠FAC＝∠CAB，
∴∠FAC＝∠FCA，
∴FA＝FC，
∴FD＝FE，
∵DC＝AB＝8，AF，
∴FD＝FE＝8，
∴AD＝BC＝EC6，
故选：C．
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，若AC＝6，则DE的长为（　　）
A．3 B．3 C．2 D．4
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据菱形的四条边都相等可得AB＝AD，然后求出AB＝AD＝BD，从而得到△ABD是等边三角形，再根据菱形的对角线互相平分求出AO，再根据等边三角形的性质可得DE＝AO．
【解答】解：∵E为AB的中点，DE⊥AB，
∴AD＝DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∴AD＝DB＝AB，
∴△ABD为等边三角形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC于O，AOAC6＝3，
由（1）可知DE和AO都是等边△ABD的高，
∴DE＝AO＝3．
故选：A．
7．（3分）矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2
C．12cm2 D．4cm2或12cm2
【分析】根据矩形性质得出AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，推出∠AEB＝∠CBE，求出∠AEB＝∠ABE，得出AB＝AE，分为两种情况：①当AE＝1cm时，求出AB和AD；②当AE＝3cm时，求出AB和AD，根据矩形的面积公式求出即可．
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AB＝AE，
①当AE＝1cm时，AB＝1cm＝CD，AD＝1cm+3cm＝4cm＝BC，
此时矩形的面积是1cm×4cm＝4cm2；
②当AE＝3cm时，AB＝3cm＝CD，AD＝4cm＝BC，
此时矩形的面积是：3cm×4cm＝12cm2；
故选：D．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线的长分别为2和5，点P在对角线AC上，且PE∥BC，与AB相交于点E，PF∥CD，与AD相交于点F，阴影部分的面积是（　　）
A．10 B．5 C．2.5 D．6
【分析】由菱形的性质得BC∥AD，AB∥CD，再证明四边形AEPF是平行四边形得S△POF＝S△AOE，即涂色部分的面积＝△ABC的面积，然后△ABC的面积是菱形面积的一半以及菱形的面积公式即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC∥AD，AB∥CD．
又∵PE∥BC，PF∥CD，
∴PE∥AF，PF∥AE，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴S△POF＝S△AOE．
∵△ABC的面积＝菱形ABCD的面积的一半，
∴菱形ABCD的面积AC BD2×5＝5，
∴图中涂色部分的面积为5＝2.5，
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】连接PC，先证四边形ECFP是矩形，则EF＝PC，当CP⊥AB时，PC最小，然后利用三角形面积解答即可．
【解答】解：连接PC，如图：
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴四边形ECFP是矩形，
∴EF＝PC，
当PC最小时，EF也最小，
∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB13，
当CP⊥AB时，PC最小，
此时，CP，
∴线段EF长的最小值为，
故选：C．
10．（3分）如图，将矩形纸片ABCD分别沿AE、CF折叠，若B、D两点恰好都落在对角线的交点O上，下列说法：
①四边形AECF为菱形，
②∠AEC＝120°，
③若AB＝2，则四边形AECF的面积为，
④AB：BC＝1：2，
其中正确的说法有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】首先证明∠BAE＝∠EAO＝∠CAD＝30°，可得△AEF是等边三角形，再根据菱形的判定和性质，一一判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC，∠B＝∠BAD＝90°，BC∥AD，
∴∠ECO＝∠FAO，
∵∠EOC＝∠FOA，
∴△EOC≌△FOA（ASA），
∴OE＝OF，
∵AO⊥EF，
∴AE＝AF＝EC，
∵EC∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形，故①正确，
∵AE＝AF，AO⊥EF，
∴∠EAO＝∠FAO，
∵∠BAE＝∠EAO，
∴∠BAE＝∠EAO＝∠OAF＝30°，
∴∠EAF＝60°，
∵BC∥AD，
∴∠AEC+∠EAD＝180°，
∴∠AEC＝120°，故②正确，
∵AB＝2，
∴AO＝OC＝2，OE＝OF，
∴S菱形AECF AC EF4，故③正确，
设BE＝a，则AE＝EC＝2a，ABa，
∴AB：BC≠1：2，故④错误，
∴正确的有①②③，共3个，
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝2，那么BD＝　4　 ．
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，求解即可．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，
∴AO＝CO＝BO＝DO＝2，
∴BD＝2BO＝4．
故答案为：4．
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．添加一个条件：AC＝BD（或∠DAB＝90°）（答案不唯一，正确即可）　 ，则可判定四边形ABCD是矩形．
【分析】根据矩形的判定定理求解即可．
【解答】解：若使 ABCD变为矩形，可添加的条件是：
AC＝BD；（对角线相等的平行四边形是矩形）
∠DAB＝90°等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
故答案为：AC＝BD（或∠DAB＝90°）（答案不唯一，正确即可）．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝40°，则∠BCF＝　40　 °．
【分析】由“SAS”可证△ADF≌△CDF，可得∠DAF＝∠DCF，由三角形内角和定理和平行线的性质可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，AD∥BC，∠ADF＝∠BDC，
∵AD＝CD，∠ADF＝∠BDC，DF＝DF，
∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴∠DAF＝∠DCF，
∵∠AED＝40°，
∴∠DAE+∠ADE＝140°，
∴∠ADE+∠DCF＝140°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE+∠BCD＝180°，
∴∠ADE+∠BCF+∠DCF＝180°，
∴∠BCF＝40°，
故答案为：40．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝　　 ．
【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB＝ODBD＝3，OA＝OCAC＝4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC＝5，然后利用面积法计算OE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝ODBD＝3，OA＝OCAC＝4，
在Rt△OBC中，∵OB＝3，OC＝4，
∴BC5，
∵OE⊥BC，
∴OE BCOB OC，
∴OE．
故答案为．
15．（3分）在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为 　5.5，或0.5　 ．
【分析】两种情况：①由矩形的性质得出CD＝AB＝4，BC＝AD＝5，∠ADB＝∠CDF＝90°，由菱形的性质得出CF＝EF＝BE＝BC＝5，由勾股定理求出DF，得出MF，即可求出AM；②同①得出AE＝3，求出ME，即可得出AM的长．
【解答】解：分两种情况：①如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝5，∠ADC＝∠CDF＝90°，
∵四边形BCFE为菱形，
∴CF＝EF＝BE＝BC＝5，
∴DF3，
∴AF＝AD+DF＝8，
∵M是EF的中点，
∴MFEF＝2.5，
∴AM＝AF﹣DF＝8﹣2.5＝5.5；
②如图2所示：同①得：AE＝3，
∵M是EF的中点，
∴ME＝2.5，
∴AM＝AE﹣ME＝0.5；
综上所述：线段AM的长为：5.5，或0.5；
故答案为：5.5，或0.5．
16．（3分）小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图”．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，四边形EFGH是矩形，若FA＝FB＝2，则矩形EFGH的面积为 　812　 ．
【分析】过点A作AM⊥BC于M，过点G作GN⊥BC于N，连接GM，由FA＝FB＝2可得AB＝4，∠ABF＝∠BAF＝45°，根据菱形的性质和矩形的性质可得∠CBG＝15°，∠DAF＝75°，则∠CDH＝∠DCH＝45°，∠ADE＝15°，∠BCG＝75°，可得出△ABF≌△CDH，△BCG≌△DAE，分别求出菱形ABCD，△ABF，△BCG的面积，即可得矩形EFGH的面积．
【解答】解：过点A作AM⊥BC于M，过点G作GN⊥BC于N，连接GM，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠AFB＝∠AED＝∠BGC＝∠CHD＝90°，
∵FA＝FB＝2，
∴AB4，∠ABF＝∠BAF＝45°，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠CBG＝15°，∠DAF＝75°，
∴∠CDH＝∠DCH＝45°，∠ADE＝15°，∠BCG＝75°，
∴∠BAF＝∠DCH＝∠ABF＝∠CDH，∠ADE＝∠CBG，∠DAE＝∠BCG，
在△ABF和△CDH中，
，
∴△ABF≌△CDH（ASA），
同理：△BCG≌△DAE（ASA），
∵AM⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAM＝30°，
∴BMAB＝2，
∴AMBM＝2，BC＝2BM，
∵∠BGC＝90°，
∴BM＝CM＝GM＝2，
∴∠CMG＝2∠CBG＝30°，
∵GN⊥BC，
∴GNGM＝1，
∴S菱形ABCD＝BC AM＝4×28，
S△ABFAF BF224，
S△BCGBC GN4×1＝2，
∴S矩形EFGH＝S菱形ABCD﹣2S△ABF﹣2S△BCG＝812．
故答案为：812．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E是AB边的中点，延长CB至点F，使得，连接DE、AF，求证：AF＝DE．
【分析】根据菱形的性质可得AD∥BC，AD＝AB，进而可得∠DAE＝∠ABF，结合题意可得，即可证明△DAE≌△ABF（SAS），从而可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝AB，
∴∠DAE＝∠ABF，
∵点E是AB边的中点，
∴，
∵，
∴AE＝BF，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴AF＝DE．
18．（8分）如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．求证：
（1）四边形OCED是矩形；
（2）OE＝BC．
【分析】（1）根据矩形的定义即可证得；
（2）根据平行四边形的对边相等即可证得．
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵菱形ABCD中，AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）∵四边形OCED是矩形，
∴OE＝CD，
又∵菱形ABCD中，BC＝CD，
∴OE＝BC．
19．（8分）如图，将两张长为8cm，宽为4cm的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形AGCH．
（1）证明：四边形AGCH是菱形：
（2）求菱形AGCH的面积．
【分析】（1）根据矩形的性质得四边形AHCG是平行四边形，用AAS可证△ADH≌△CFH，即可得AH＝HC，即可得；
（2）设AH＝CH＝x，则DH＝CD﹣CH＝8﹣x，在Rt△ADH中，根据勾股定理得AH2＝AD2+DH2，进行计算即可得AH＝CH＝5，即可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD，四边形AECF都是矩形，
∴CH∥AG，AH∥CG，
∴四边形AHCG是平行四边形，
在△ADH和△CFH中，
，
∴△ADH≌△CFH（AAS），
∴AH＝HC，
∴四边形AHCG是菱形．
（2）解：设AH＝CH＝xcm，则DH＝CD﹣CH＝（8﹣x）cm，
在Rt△ADH中，
∵AH2＝AD2+DH2，
∴x2＝42+（8﹣x）2，
∴x＝5，
∴．
答：四边形AGCH的面积为20cm2．
20．（8分）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF、DE、DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝12，DE＝16，BF＝20，求AE长．
【分析】（1）根据平行四边形性质得AD∥BC，AD＝BC，再根据CF＝BE得EF＝BC＝AD，由此可判定四边形AEFD为平行四边形，然后证明∠AEF＝90°，即可得出结论；
（2）根据矩形性质得AF＝DE＝16，再根据勾股定理的逆定理证明△ABF为直角三角形，且∠BAF＝90°，然后根据三角形的面积公式即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴CF+CE＝BE+CE，
即EF＝BC，
∴AD＝EF，
又∵AD∥BC，
即AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴平行四边形AEFD为矩形；
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴AF＝DE＝16，
在△ABF中，AB＝12，AF＝16，BF＝20，
∵AB2+AF2＝400，BF2＝400，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△ABF为直角三角形，且∠BAF＝90°，
∵AE⊥BC，
∴S△ABFBF AEAB AF，
∴AE9.6．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长；
（3）在（2）的条件下，已知点M是线段AC上一点，且，则CM的长为 　3或1　 ．
【分析】（1）先判断出∠OAB＝∠DCA，进而判断出∠DCA＝∠DAC，得出CD＝AD＝AB，即可得出结论；
（2）先判断出OE＝OA＝OC，再求出OB＝1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论；
（3）先根据勾股定理求出OM，再结合图形即可求出CM．
【解答】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC，
∵BD＝2，
∴，
在Rt△AOB中，，OB＝1，
∴，
∴OE＝OA＝2．
（3）解：如图，
在（2）的条件下，，OA＝OC＝2
∵，
∴，
∴CM＝OA+OM＝2+1＝3CM＝OA﹣OM＝2﹣1＝1
故答案为：3或1．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝CQ，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4×10，根据菱形的面积求出面积即可．
【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，
∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，
由已知可得，BQ＝DP＝tcm，AP＝CQ＝（16﹣t）cm，
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝16﹣t，得t＝8，
故当t＝8s时，四边形ABQP为矩形；
（2）∵AP＝CQ，AP∥CQ，
∴四边形AQCP为平行四边形，
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即16﹣t时，四边形AQCP为菱形，解得t＝6，
故当t＝6s时，四边形AQCP为菱形；
（3）当t＝6s时，AQ＝CQ＝CP＝AP＝16﹣6＝10cm，
则周长为4×10cm＝40cm；
面积为10cm×8cm＝80cm2．
23．（10分）如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD的中点．FH＝4，求菱形ABCD的边长．
【分析】（1）根据矩形的性质得出EH＝EG，EH∥GH，进而利用AAS证明△BGF≌△DEH，利用全等三角形的性质解答即可；
（2）连结EG，首先利用形ABCD求得AE＝ED，结合BG＝DE，得到AE＝BG，得到四边形AEGB是平行四边形，AB＝EG，进而在矩形EFGH中，求得EG＝FH＝4，AB＝4．
【解答】（1）证明：在矩形EFGH中，EH＝FG，EH∥GH，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠BFH，
∴∠BFG＝∠DHE，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
在△BGF与△DEH中，
，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE；
（2）解：如图，连接EG，
在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∵E为AD的中点．
∴AE＝ED．
由（1）知，BG＝DE，
∴AE＝BG，
又∵AE∥BG，
∴四边形AEGB是平行四边形，
∴AB＝EG，
在矩形EFGH中，EG＝FH＝4，
∴AB＝4．即菱形ABCD的边长为4．
24．（12分）如图1，已知O是坐标原点，点A的坐标是（5，0），B是y轴正半轴上一动点，以OB，⊙A为边作矩形OBCA，点E，H分别在边BC和OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的点F处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OG上的点G处．
（1）求证：四边形OECH是平行四边形．
（2）如图2，当点F，G重合时，求点B的坐标，判断四边形OECH的形状，并说明理由．
（3）当点F，G将对角线OC三等分时，求点B的坐标．
【分析】（1）根据矩形的性质得OB∥CA，BC∥OA，再利用平行线的性质得∠BOC＝∠OCA，然后根据折叠的性质得到∠BOC＝2∠EOC，∠OCA＝2∠OCH，所以∠EOC＝∠OCH，根据平行线的判定定理得OE∥CH，加上BC∥OA，于是可根据平行四边形的判定方法得四边形OECH是平行四边形；
（2）先根据折叠的性质得∠EFO＝∠EBO＝90°，∠CFH＝∠CAF＝90°，由点F，G重合得到EH⊥OC，根据菱形的判定方法得到平行四边形OECH是菱形，则EO＝EC，所以∠EOC＝∠ECO，而∠EOC＝∠BOE，根据三角形内角和定理可计算出∠EOB＝∠EOC＝∠ECO＝30°，在Rt△OBC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得OB，于是得到点B的坐标是（0，）；
（3）分类讨论：当点F在点O，G之间时，根据折叠的性质得OF＝OB，CG＝CA，则OF＝CG，所以AC＝OF＝FG＝GC，设AC＝m，则OC＝3m，在Rt△OAC中，根据勾股定理得m2+52＝（3m）2，解得m，则点B的坐标是（0，）；当点G在O，F之间时，同理可得OF＝CG＝AC，设OG＝n，则AC＝GC＝2n，在Rt△OAC中，根据勾股定理得（2n）2+52＝（3n）2，解得n，则AC＝OB＝2，所以点B的坐标是（0，2）．
【解答】（1）证明：∵四边形OBCA为矩形，
∴OB∥CA，BC∥OA，
∴∠BOC＝∠OCA，
又∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，
∴∠BOC＝2∠EOC，∠OCA＝2∠OCH，
∴∠EOC＝∠OCH，
∴OE∥CH，
又∵BC∥OA，
∴四边形OECH是平行四边形；
（2）解：点B的坐标是（0，）；四边形OECH是菱形．理由如下：如图2，
∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，
∴∠EFO＝∠EBO＝90°，∠CFH＝∠CAF＝90°，
∵点F，G重合，
∴EH⊥OC，
又∵四边形OECH是平行四边形，
∴平行四边形OECH是菱形，
∴EO＝EC，
∴∠EOC＝∠ECO，
又∵∠EOC＝∠BOE，
∴∠EOB＝∠EOC＝∠ECO＝30°，
又∵点A的坐标是（5，0），
∴OA＝5，
∴BC＝5，
在Rt△OBC中，OBBC，
∴点B的坐标是（0，）；
（3）解：当点F在点O，G之间时，如图，
∵△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的F点处；△ACH沿着CH对折，使点A落在OC上的G点处，
∴OF＝OB，CG＝CA，
而OB＝CA，
∴OF＝CG，
∵点F，G将对角线OC三等分，
∴AC＝OF＝FG＝GC，
设AC＝m，则OC＝3m，
在Rt△OAC中，OA＝5，
∵AC2+OA2＝OC2，
∴m2+52＝（3m）2，解得m，
∴OB＝AC，
∴点B的坐标是（0，）；
当点G在O，F之间时，如图，
同理可得OF＝CG＝AC，
设OG＝n，则AC＝GC＝2n，
在Rt△OAC中，OA＝5，
∵AC2+OA2＝OC2，
∴（2n）2+52＝（3n）2，解得n，
∴AC＝OB＝2，
∴点B的坐标是（0，2）．中小学教育资源及组卷应用平台
14第5章《特殊平行四边形》阶段测试（一）
（测试范围：5.1~5.2 时间：120分钟 满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）下列判断错误的是（　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．四个角都相等的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2．（3分）矩形、菱形都具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直
B．对角线互相平分
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
3．（3分）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为点O，点E，F，G，H分别为边AD，DC，CB，BA的中点．若AC＝4，BD＝3，则四边形EFGH的面积为（　　）
A．12 B．7 C．6 D．3
4．（3分）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，AE⊥BD于点E，若OE：OD＝1：2，OD＝2cm，则AE的长为（　　）
A．1cm B．cm C．cm D．2cm
5．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．若AF，则AD的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，且DE⊥AB，若AC＝6，则DE的长为（　　）
A．3 B．3 C．2 D．4
7．（3分）矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为（　　）
A．3cm2 B．4cm2
C．12cm2 D．4cm2或12cm2
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线的长分别为2和5，点P在对角线AC上，且PE∥BC，与AB相交于点E，PF∥CD，与AD相交于点F，阴影部分的面积是（　　）
A．10 B．5 C．2.5 D．6
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，将矩形纸片ABCD分别沿AE、CF折叠，若B、D两点恰好都落在对角线的交点O上，下列说法：
①四边形AECF为菱形，
②∠AEC＝120°，
③若AB＝2，则四边形AECF的面积为，
④AB：BC＝1：2，
其中正确的说法有（　　）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝2，那么BD＝　 　 ．
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．添加一个条件：　 　 ，则可判定四边形ABCD是矩形．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E是CD上一点，连接AE交对角线BD于点F，连接CF，若∠AED＝40°，则∠BCF＝　 　 °．
14．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝　 　 ．
15．（3分）在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为 　 　 ．
16．（3分）小明同学学习了菱形的知识后，结合之前学习的赵爽弦图，编了一个菱形版“赵爽弦图”．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，四边形EFGH是矩形，若FA＝FB＝2，则矩形EFGH的面积为 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E是AB边的中点，延长CB至点F，使得，连接DE、AF，求证：AF＝DE．
18．（8分）如图，点O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE．求证：
（1）四边形OCED是矩形；
（2）OE＝BC．
19．（8分）如图，将两张长为8cm，宽为4cm的矩形纸条交叉叠放，使一组对角的顶点重合，其重叠部分是四边形AGCH．
（1）证明：四边形AGCH是菱形：
（2）求菱形AGCH的面积．
20．（8分）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接AF、DE、DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AB＝12，DE＝16，BF＝20，求AE长．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD＝2，求OE的长；
（3）在（2）的条件下，已知点M是线段AC上一点，且，则CM的长为 　 　 ．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A停止，同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
23．（10分）如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD的中点．FH＝4，求菱形ABCD的边长．
24．（12分）如图1，已知O是坐标原点，点A的坐标是（5，0），B是y轴正半轴上一动点，以OB，⊙A为边作矩形OBCA，点E，H分别在边BC和OA上，将△BOE沿着OE对折，使点B落在OC上的点F处，将△ACH沿着CH对折，使点A落在OG上的点G处．
（1）求证：四边形OECH是平行四边形．
（2）如图2，当点F，G重合时，求点B的坐标，判断四边形OECH的形状，并说明理由．
（3）当点F，G将对角线OC三等分时，求点B的坐标．

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