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北京市人大附中教育集团2025-2026学年八年级（下）期中数学练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的结果是 ( )
A. B. C. D.
2.将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形是( )
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
4.对于下列问题中的两个变量，不是的函数的是( )
A. 圆的面积与半径
B. 乘坐摩天轮的游客离地面的高度与时间
C. 某天的气温与时间
D. 某款手机的销售量与进货数量
5.若点都在直线为常数上，则的大小关系是( )
A. B. C. D. 不能确定
6.下列各式中计算正确的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在菱形中，对角线与交于点，点为中点．若，则的大小为( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，，为线段上动点，于，于，连接当点从运动到的过程中不与、重合下列关于线段长度变化的描述中，正确的是( )
A. 先变短后变长 B. 变化没有规律 C. 先变长后变短 D. 始终保持不变
9.在四边形中，若点，为对角线上两点不与，重合，且则下列说法中不正确的是( )
A. 若四边形为平行四边形，则四边形一定为平行四边形
B. 若四边形为矩形，则四边形一定为矩形
C. 若四边形为菱形，则四边形一定为菱形
D. 若四边形为正方形，则四边形一定不是正方形
10.已知正方形和正方形边长相等，如图，点，，，均在直线上，若正方形可沿平移．设长为，两个正方形重叠部分的面积为，关于的函数图象如图所示．给出下面三个结论：
正方形的对角线长为；
当时，重叠面积
函数图象的最高点的坐标为．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.函数中，自变量的取值范围是 ．
12.某正比例函数经过二、四象限，写出一个满足条件的的值 ．
13.在平行四边形中，若，则 ．
14.如图，直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为 ．
15.在平面直角坐标系中，直线与直线，直线分别交于，两点．若点，的纵坐标分别为，，则的值为 ．
16.黄金分割被视为美的比例，宽与长的比是约为的矩形是黄金矩形如果有一黄金矩形的一边长为，则该黄金矩形另一边的长为 ．
17.如图，在正方形中，点在边上，，垂足为若，，则的面积为 ．
三、解答题：本题共10小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.如图，已知菱形，，点在边上运动，连接，取中点，连接．
当为中点时，的长为 ；
在从点运动到点的过程中，的最小值为 ．
19.计算：
；
．
20.已知一次函数的图象经过点，．
求该一次函数的解析式；
当时，求该一次函数的函数值的取值范围．
21.如图，在中，．
求作：线段，使得点在线段上，且．
作法：以点为圆心，长为半径作弧，再以点为圆心，长为半径作弧，两弧在右侧相交于点；
连接，交于点；
则线段即为所求线段．
使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹：
完成下面的证明：证明：连接，．
，，
四边形为平行四边形． 填推理的依据
与交于点，
，即点为的中点． 填推理的依据
在中，，
填推理的依据
22.在美好的春天，研学小组的同学们准备自己制作传统玩具风筝，如图，同学们首先利用计算机绘制风筝骨架四边形的左半部分，点，，的坐标分别为、、，风筝骨架整体关于轴对称．
补全四边形，并写出点的对称点的坐标．
点为的中点，需要在轴上找一点，沿着和安装支撑竹条，若要使的值最小，直接写出此时点的坐标以及的值．
23.某科技公司研发了一款基于人工智能的智能农业系统，用于优化温室大棚中作物的生长环境．研究人员发现，在一定范围内，番茄植株的日均生长高度与每日光照时间之间存在明显的相关性，为建立数学模型以指导自动化灌溉和补光系统，团队采集了不同光照条件下番茄幼苗的生长数据．以下是实验记录的部分数据：
每日光照时间小时
日均生长高度毫米
解答下列问题：
在平面直角坐标系中，描出上述数据所对应的点；
观察这些点的分布情况，并推测该函数的类型为 填“一次函数”或“正比例函数”，其解析式为 ；
若某天由于天气原因，温室仅能提供小时光照，预测该番茄植株当天的生长高度，并说明光照对植物生长的影响趋势．
24.如图，已知菱形，对角线，交于，点为上方一点，且满足．
求证：四边形为矩形；
若，过点作于，交于，请你补全图形，并求出的面积．
25.在平面直角坐标系中，直线与直线分别交直线于点，点．
若与平行，且．
直接写出直线的表达式： ；
若，则直线、直线、直线与轴围成的图形面积为 ；
若与相交，且点的纵坐标与点的纵坐标的差随着的增加而增大．求的取值范围；
若，且当时，线段的长总不小于，直接写出的取值范围．
26.已知正方形，点，点分别为射线，射线上的动点不与重合，不与，重合，连接，．
如图，当时，若，则 ；
如图，点在线段上，且，请判断和的位置关系，并证明；
若，将点关于直线对称得到点，请直接用等式表示线段，，的数量关系．
27.在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义：若，且，则称点为线段的“相关点”已知，．
如图，当时，
在点中，是线段的“相关点”的是 ；
当时，直线上存在线段的“相关点”，则的取值范围是 ；
当时，直线上存在个线段的“相关点”，求的取值范围；
当时，若点为线段的“相关点”，其中，且点与原点在直线同侧，直接写出所有满足条件的点构成的图形面积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.
16.或
17.
18.【小题】

【小题】

19.【小题】
解：
；
【小题】
解：

．

20.【小题】
解：点，在该一次函数的图象上，
解得
一次函数的解析式为．
【小题】
解：，
该一次函数的函数值随的增大而增大，
当时，，
当时，，
当时，该一次函数的函数值的取值范围是．

21.【小题】
解：下图中即为所作：
【小题】
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形的对角线互相平分
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

22.【小题】
解：补全后如下图所示：
根据对称的性质，可得点的坐标为；
【小题】
解：作点关于轴的对称点，连接相关线段，作图如下：
点为的中点，
，
由对称的性质，可得点，且，
若最小，即最小，
当共线时，的值最小，且最小值为的长度，
、、
，
令直线的表达式为，
将点、代入得
解得
直线的表达式为，
当时，，
点，
故的坐标为，的最小值为．

23.【小题】
解：描点、连线如图
【小题】
一次函数，
【小题】
解：当时，
预测该番茄植株当天的生长高度为毫米
在一定范围内，光照时间越长，番茄植株日均生长高度越高．

24.【小题】
证明：四边形是菱形，对角线，交于，
，，，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形为矩形；
【小题】
解：如图，
四边形为矩形，，
，则
在中，，
四边形是菱形，
，
在中，
设，
四边形是菱形，对角线，交于，
到的距离等于
在中，
解得：

25.【小题】
或
【小题】
解：直线与直线分别交直线于点，点，
对于，当时，，
对于，当时，，
，，
，
直线与直线相交，
，
与的差随着的增加而增大，
，
；
故；
【小题】
解：，
，
由可知，，，
，
要使时，线段的长总不小于，即，
当时，，符合题意；
当时，不妨设，当时，，
直线一定过，
当时，即时，当时，，直线过，
直线过第一，三象限，图象如下图所示：
此时，的图象如下：
从图象可知，当时，不能保证，故不符合题意；
当时，即时，当时，，直线过，
直线过第二，四象限，图象如下图所示：
此时，的图象如下：
从图象可知，当时，，故符合题意；
综上所述，．

26.【小题】
【小题】
解：，
证明：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
又，
，
，
，
在四边形中，，
又，
，
又，
，
．
【小题】
解：或，
证明：，
如图，延长至，使得，连接，，，过点作交延长线于点，
由知，，
又点是的中点，
在垂直平分线上，
，
，，
，是等腰直角三角形，
，
，
，
又，
，
，
在和中，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
，
如图，延长至，使得，过点作交于点，连接，，，，与交点，

由知，，
，
，
，，
，
，，均为等腰直角三角形，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
即．

27.【小题】
，
或
【小题】
解：当时，直线上存在个线段的“相关点”，
取，，分别作等腰、等腰、等腰、等腰，
连接，，则当时，线段的“相关点”就在，上，
直线上存在个线段的“相关点”，则直线与线段，分别有交点，
过轴、轴，
，，，
，
，，
设，则，
，
，
，即，解得：不符合题意的根舍去，
，
同理可得：，，，
直线过点时，；
直线过点时，；
直线过点时，；
直线过点时，；
或或．
【小题】
解：以为边作等腰，且点与原点在直线同侧，故当从运动到时，从运动到，
同理以为底边作等腰，且，则点从运动到，
对于每一个点都会有线段与之对应，随着在与之间运动，则扫出如下阴影部分图形，
，，，
．

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