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浙教版数学八年级下册 5.2 菱形 一阶训练
一、选择题
1．已知四边形ABCD是菱形，则下列结论中，不一定正确的是（　　）
A．∠A=∠B=∠C=∠D B．AB=BC=CD=DA
C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD和∠BCD
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D不一定成立；此选项符合题意；
B、∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，此选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，此选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD和∠BCD，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质依次判断即可求解.
2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．邻角互补
C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：菱形的性质有：菱形的四边相等；对角相等，邻角互补；对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；
矩形具有的性质为：四个角都是直角；对边相等；对角线相等且互相平分；
∴ 菱形具有而矩形不一定具有的性质是：每条对角线平分一组对角.
故答案为：D.
【分析】分别找出菱形与矩形的对角线、边、角的性质，从而即可得出答案.
3．如图，四边形 ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，还需要添加的条件是（　　）
A．AB=CD B．AD=BC C．AC=BD D．AB=BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】A、平行四边形的对边相等，不能判定它是菱形；故此选项不符合题意；
B、平行四边形的对边相等，不能判定它是菱形；故此选项不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，故此选项不符合题意；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”并结合各选项可判断求解.
4．如图， 在 中， 对角线 相交于点 ， 添加下列条件不能判定 是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A 对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故A项不符合题意；
B 邻边相等的平行四边形为菱形，故B项不符合题意；
C 对角线相等的平行四边形为矩形，故C项符合题意；
D ∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB∥CD，∴ ∠ACD=∠2，
∵ ∠1=∠2，∴ ∠ACD=∠1，
∴ AD=CD，
∴ 平行四边形ABCD为菱形，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定即可判断出A，B，C，根据平行四边形的性质和平行线的性质可得∠ACD=∠1，根据等角对等边和菱形的判定，即可判断D.
5．符合下列条件之一的四边形不一定是菱形的是（　　）
A．四条边相等 B．两组邻边分别相等
C．对角线互相垂直平分 D．两条对角线分别平分一组对角
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、四条边相等的四边形是菱形，正确，不符合题意；
B、 两组邻边分别相等的四边形，不一定是菱形，错误，符合题意；
C、 对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 正确，不符合题意；
D、 两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形，正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；根据菱形的判定定理分别判断，即可作答.
6．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD属于菱形的依据是（　　)。
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解： 由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的判定定理（有四边都相等的四边形是菱形）判断即可.
7．下列命题中，正确的是（　　）
A．矩形的邻边不能相等
B．菱形的对角线不能相等
C．矩形的对角线不能相互垂直
D．平行四边形的对角线可以互相垂直
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】A选项：矩形的邻边长度可以相等，当邻边相等时，矩形就转化为正方形，故A不正确。
B选项：菱形的对角线长度不一定相等，当对角线相等时，菱形就转化为正方形，故B不正确。
C选项：矩形的对角线不一定互相垂直，当对角线互相垂直时，矩形就转化为正方形，故C不正确。
D选项：平行四边形的对角线可以具备互相垂直的性质，当对角线互相垂直时，平行四边形就转化为菱形，故D正确。
故答案选：D。
【分析】本题主要考查几何图形的性质判定。通过分析矩形、菱形、平行四边形等特殊四边形的性质变化，判断各选项命题的真伪。当四边形满足某些特殊条件时，会转化为更高一级的特殊四边形（如矩形→正方形，菱形→正方形，平行四边形→菱形），这是解题的关键依据。
8．如图，在菱形中，，，则对角线的长为（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴
故答案为：B.
【分析】由菱形四边相等得AD=AB=6，然后根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边是哪些得出△ABC是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等可得BD=AB=6.
9． 如图，在菱形ABCD中，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵ABCD为菱形
∴∠ABD=∠ABC=40°
∵BA=BE
∴∠BAE=
故答案为：A .
【分析】由菱形的性质知∠ABE=∠ABC，再由等腰三角形的性质可得∠BAE的度数.
10．如图，在菱形中，交于点．若，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵在菱形中，交于点，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】菱形的对角线互相垂直平分，这样即可得出，，然后放到直角三角形BOC中，利用勾股定理列式计算即可。
二、填空题
11．如图，已知在菱形 中，对角线 、 相交于点O，已知AC=8，BD=4，则菱形的边长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=4，
∴OA= AC=4，OB= BD=2，AC⊥BD，
∴ .
故答案为： .
【分析】由菱形的性质可得菱形的对角线互相垂直平分，再用勾股定理可求解.
12．如图，菱形 中，已知 ，则 的度数为　 　.
【答案】35°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，∠DAC=∠BAC，
∴∠D+∠DAB=180°，
∵∠D=110°，
∴∠DAB=70°，
∴∠BAC=35°，
故答案为：35°.
【分析】利用菱形的性质可证得DC∥AB，∠DAC=∠BAC，利用平行线的性质可求出∠DAB的度数，即可求出∠BAC的度数.
13．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则对角线的长　 　．
【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（舍负）
∴
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，求出OD的长，最后求出BD的长即可.
14．如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，已知 ，菱形 的面积为24，则 的长为　 　.
【答案】6
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵OB=4，
∴BD=8，
∵菱形ABCD的面积为24，
∴ AC BD＝24，即4AC=24，
∴AC=6，
故答案为：6.
【分析】根据菱形的性质，求得DB，再根据菱形的面积求得AC.
15．如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为　 　．
【答案】24
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
菱形的周长为：，
故答案为：24．
【分析】根据菱形的性质得，，从而根据平行线的性质得，进而根据等边三角形的判定证明是等边三角形，得，最后求的值即可.
三、解答题
16．如图，矩形的对角线，相交于点O，．
求证：四边形是菱形．
【答案】证明：，
四边形是平行四边形．
四边形是矩形，
，，
，
四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，先证明出四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可证明出四边形是菱形．
17．如图，在中，，点是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结，．
（1）求的长；
（2）若．
①证明四边形是菱形；
②若，求四边形的周长．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，∠DAE=∠CFE，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）解：①∵AD//BC，
∴AD//CF，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴AE=FE.
∵，，
∴，即，
∴AC=FC，
∴四边形是菱形.
②∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴AD//BC，
∴，
∵，
∴，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=2.
∴四边形的周长为．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，利用AAS证明，得到即可求解；
（2）①先证明四边形是平行四边形，再证明AC=FC，根据菱形的定义即可证明结论；
②根据菱形的性质和平行四边形的性质证明是等边三角形，进而得到，可求解．
1 / 1浙教版数学八年级下册 5.2 菱形 一阶训练
一、选择题
1．已知四边形ABCD是菱形，则下列结论中，不一定正确的是（　　）
A．∠A=∠B=∠C=∠D B．AB=BC=CD=DA
C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD和∠BCD
2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对角相等 B．邻角互补
C．对角线互相平分 D．对角线平分一组对角
3．如图，四边形 ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，还需要添加的条件是（　　）
A．AB=CD B．AD=BC C．AC=BD D．AB=BC
4．如图， 在 中， 对角线 相交于点 ， 添加下列条件不能判定 是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
5．符合下列条件之一的四边形不一定是菱形的是（　　）
A．四条边相等 B．两组邻边分别相等
C．对角线互相垂直平分 D．两条对角线分别平分一组对角
6．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD属于菱形的依据是（　　)。
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．四边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
7．下列命题中，正确的是（　　）
A．矩形的邻边不能相等
B．菱形的对角线不能相等
C．矩形的对角线不能相互垂直
D．平行四边形的对角线可以互相垂直
8．如图，在菱形中，，，则对角线的长为（　　）
A． B．6 C． D．
9． 如图，在菱形ABCD中，，，则（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在菱形中，交于点．若，则的长为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
二、填空题
11．如图，已知在菱形 中，对角线 、 相交于点O，已知AC=8，BD=4，则菱形的边长为　 　.
12．如图，菱形 中，已知 ，则 的度数为　 　.
13．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则对角线的长　 　．
14．如图，菱形 的对角线 ， 相交于点 ，已知 ，菱形 的面积为24，则 的长为　 　.
15．如图，在菱形中，．若，则菱形的周长为　 　．
三、解答题
16．如图，矩形的对角线，相交于点O，．
求证：四边形是菱形．
17．如图，在中，，点是的中点，连结并延长，交的延长线于点，连结，．
（1）求的长；
（2）若．
①证明四边形是菱形；
②若，求四边形的周长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D不一定成立；此选项符合题意；
B、∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，此选项不符合题意；
C、∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，此选项不符合题意；
D、∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD和∠BCD，此选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质依次判断即可求解.
2．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：菱形的性质有：菱形的四边相等；对角相等，邻角互补；对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；
矩形具有的性质为：四个角都是直角；对边相等；对角线相等且互相平分；
∴ 菱形具有而矩形不一定具有的性质是：每条对角线平分一组对角.
故答案为：D.
【分析】分别找出菱形与矩形的对角线、边、角的性质，从而即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】A、平行四边形的对边相等，不能判定它是菱形；故此选项不符合题意；
B、平行四边形的对边相等，不能判定它是菱形；故此选项不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，故此选项不符合题意；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据菱形的判定定理“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”并结合各选项可判断求解.
4．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A 对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故A项不符合题意；
B 邻边相等的平行四边形为菱形，故B项不符合题意；
C 对角线相等的平行四边形为矩形，故C项符合题意；
D ∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB∥CD，∴ ∠ACD=∠2，
∵ ∠1=∠2，∴ ∠ACD=∠1，
∴ AD=CD，
∴ 平行四边形ABCD为菱形，故D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定即可判断出A，B，C，根据平行四边形的性质和平行线的性质可得∠ACD=∠1，根据等角对等边和菱形的判定，即可判断D.
5．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、四条边相等的四边形是菱形，正确，不符合题意；
B、 两组邻边分别相等的四边形，不一定是菱形，错误，符合题意；
C、 对角线互相垂直平分的四边形是菱形， 正确，不符合题意；
D、 两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形，正确，不符合题意.
故答案为：B.
【分析】两条对角线分别平分一组对角的四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；根据菱形的判定定理分别判断，即可作答.
6．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解： 由图形作法可知：AD=AB=DC=BC，
∴四边形ABCD是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的判定定理（有四边都相等的四边形是菱形）判断即可.
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】A选项：矩形的邻边长度可以相等，当邻边相等时，矩形就转化为正方形，故A不正确。
B选项：菱形的对角线长度不一定相等，当对角线相等时，菱形就转化为正方形，故B不正确。
C选项：矩形的对角线不一定互相垂直，当对角线互相垂直时，矩形就转化为正方形，故C不正确。
D选项：平行四边形的对角线可以具备互相垂直的性质，当对角线互相垂直时，平行四边形就转化为菱形，故D正确。
故答案选：D。
【分析】本题主要考查几何图形的性质判定。通过分析矩形、菱形、平行四边形等特殊四边形的性质变化，判断各选项命题的真伪。当四边形满足某些特殊条件时，会转化为更高一级的特殊四边形（如矩形→正方形，菱形→正方形，平行四边形→菱形），这是解题的关键依据。
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴
故答案为：B.
【分析】由菱形四边相等得AD=AB=6，然后根据有一个内角为60°的等腰三角形是等边是哪些得出△ABC是等边三角形，最后根据等边三角形三边相等可得BD=AB=6.
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定
【解析】【解答】解：∵ABCD为菱形
∴∠ABD=∠ABC=40°
∵BA=BE
∴∠BAE=
故答案为：A .
【分析】由菱形的性质知∠ABE=∠ABC，再由等腰三角形的性质可得∠BAE的度数.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵在菱形中，交于点，
∴，，
∴，
故答案为：A．
【分析】菱形的对角线互相垂直平分，这样即可得出，，然后放到直角三角形BOC中，利用勾股定理列式计算即可。
11．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AC=8，BD=4，
∴OA= AC=4，OB= BD=2，AC⊥BD，
∴ .
故答案为： .
【分析】由菱形的性质可得菱形的对角线互相垂直平分，再用勾股定理可求解.
12．【答案】35°
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DC∥AB，∠DAC=∠BAC，
∴∠D+∠DAB=180°，
∵∠D=110°，
∴∠DAB=70°，
∴∠BAC=35°，
故答案为：35°.
【分析】利用菱形的性质可证得DC∥AB，∠DAC=∠BAC，利用平行线的性质可求出∠DAB的度数，即可求出∠BAC的度数.
13．【答案】8
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴（舍负）
∴
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得，求出OD的长，最后求出BD的长即可.
14．【答案】6
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，
∵OB=4，
∴BD=8，
∵菱形ABCD的面积为24，
∴ AC BD＝24，即4AC=24，
∴AC=6，
故答案为：6.
【分析】根据菱形的性质，求得DB，再根据菱形的面积求得AC.
15．【答案】24
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
菱形的周长为：，
故答案为：24．
【分析】根据菱形的性质得，，从而根据平行线的性质得，进而根据等边三角形的判定证明是等边三角形，得，最后求的值即可.
16．【答案】证明：，
四边形是平行四边形．
四边形是矩形，
，，
，
四边形是菱形．
【知识点】菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，先证明出四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可证明出四边形是菱形．
17．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，∠DAE=∠CFE，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
又，
∴；
（2）解：①∵AD//BC，
∴AD//CF，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴AE=FE.
∵，，
∴，即，
∴AC=FC，
∴四边形是菱形.
②∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴AD//BC，
∴，
∵，
∴，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=2.
∴四边形的周长为．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得，，利用AAS证明，得到即可求解；
（2）①先证明四边形是平行四边形，再证明AC=FC，根据菱形的定义即可证明结论；
②根据菱形的性质和平行四边形的性质证明是等边三角形，进而得到，可求解．
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