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北京市十一学校2025-2026学年第3学段常规八年级初中数学III课程教与学诊断
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列根式是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是( )
A. B. C. D.
3.在四边形中，对角线和相交于点，，添加下列条件后能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，在矩形中，、相交于点，平分交于点若，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.下列关于变量关系的四种表述中，错误的是( )
A. 如图中，是的函数；
B. 观察表中对应关系，是的函数，也是的函数：
C. 式子中，是的函数；
D. 数轴上一点的坐标是该点到原点的距离的函数．
6.已知一次函数的图象和正比例函数的图象在同一个坐标系内，那么可能是( )
A. B. C. D.
7.若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为( )
A. B. C. D.
8.如图，菱形的对角线交于点，点是边的中点，动点从点出发，沿匀速运动，回到点后停止，设点运动的路程为，线段的长为，图是与的函数关系的大致图象，点是中间非直线型图象的最低点，则拐点的横坐标的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
9.用配方法解一元二次方程时，配方后所得方程为 ．
10.函数中，自变量的取值范围是
11.一次函数的图象过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积是，则的值是 ．
12.如图，中，，点、分别是、的中点，连接，点是边的中点，连接，若，则的长为 ．
13.已知点都在函数图像上，则的大小关系是 用“”连接
14.已知直线经过和，把直线沿轴向左平移个单位，再向下平移一个单位得到直线，则直线的解析式为 ．
15.如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作于点，已知，，则 ．
16.若是关于的方程的根，则的值为 ．
17.如图，在等腰中，，，、分别为、边上的点，将边沿折叠，使点落在上的点处，当点与点重合时， ．
18.已知一次函数是常数，且，如果，有下列说法：
它的图象经过点；
直线与轴的交点坐标为；
若，则；
方程的解是．
其中正确的是写序号 ．
19.如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在线段上，，则 ，线段的最小值为 ．
20.为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力．污水排放未达标的企业要限期整改，甲，乙两个企业的污水排放量与时间的关系如图所示．我们用，表示时刻某企业的污水排放量，用的大小评价在至这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：
在这段时间内，乙企业的污水治理能力比甲企业强；
在时刻，甲企业的污水排放量比乙企业高；
在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；
在这三段时间中，甲企业在的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共8小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.计算：．
22.解下列一元二次方程
；
；
．
23.如图，已知四边形是菱形，延长到点使，延长到点使，连接．
求证：四边形是矩形；
连接，若平分，菱形的边长为，求矩形的面积．
24.在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
求这个一次函数的解析式；
已知函数，当时，对于的每一个值，，直接写出的取值范围．
25.曹冲生五六岁，智意所及，有若成人之智．时孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”太祖悦，即施行焉．译文：曹冲年龄五六岁的时候，知识和判断能力如一个成年人，有一次，孙权送来了一头巨象，曹操想知道这象的重量，询问他的属下这件事，但他们都不能说出称象的办法．曹冲说：“把象放到大船上，在水面所达到的地方做上记号，再让船装载其他东西，称一下这些东西，那么比较下就能知道了．”曹操听了很高兴，马上照这个办法做了．现有一艘大船的吃水深度与船上重物吨之间的关系如表所示：
吨

___ ；
求出船的吃水深度与船上重物吨之间的函数关系式；
大象装上船后该船的吃水深度为，求大象重多少吨．
26.某食品厂研究两种天然防腐剂添加剂和添加剂对面包保质期的影响．添加剂的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：在固定工艺下，改变添加剂的添加浓度单位：，测得面包的保质期单位：天数据如下：
添加剂浓度
保质期天
以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接：
工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加元；而每延长天保质期，可减少元的损失．
若增加添加剂能使保质期延长超过 天，则增加浓度是有利的；
若面包从生产到售出的时间为天，若保质期不足天，则每短缺天会造成元的损失不足天的部分按比例计算．
当添加剂浓度为时，总成本添加剂成本与损失之和为 元；
若要求面包保质期至少为天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂比选择添加剂可以节省 的添加剂保留整数；当浓度在 范围内时，添加剂的保质期至少比添加剂的保质期多天保留整数．
27.如图，在正方形中，点是边上一点，且不与、重合，过点作的垂线交的延长线于点连接，过点作于点．
求证：点为中点；
如图，连接．
用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
若正方形边长为，的面积为，直接写出的取值范围是_____．
28.在平面直角坐标系中，，为矩形内不包括边界一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称为矩形的等长点．例如：如图中的为矩形的一个等长点．
在点中，矩形的等长点是 ；
若为矩形的等长点，则值为 ；
若一次函数的图象上有且只有一个矩形的等长点，则的取值范围是 ．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.且
11.或
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.


20.
21.解：
．

22.【小题】
解：，
，
，
解得，；
【小题】
解：，
，
，，
解得，；
【小题】
解：，
，，，
，
，
解得，．

23.【小题】
证明：四边形是菱形，
，
又，，
，
四边形是矩形；
【小题】
解：四边形是菱形，
，
，
又平分，
，
，
，
又，
，
是矩形，
，
，
．

24.【小题】
解：一次函数的图象由函数的图象平移得到，
，
，
将点代入得，，
，
一次函数的解析式为；
【小题】
解：当时，，其中，
，
情况：当即，
此时随的增大而增大，
在时取得最小值，最小值为，
由，得，
解得；
情况：当即，此时，
不满足，舍去；
情况：当即，
此时随的增大而减小，
在时取得最大值，
最大值为，
由，得，解得；
综上，的取值范围或．

25.【小题】
【小题】
解：设大船的吃水深度厘米与船上重物吨之间的函数关系式为，
根据表格数据，选取点和代入，得：
，解得：
大船的吃水深度厘米与船上重物吨之间的函数关系式为；
【小题】
解：当时，
，
解得，
答：大象重吨．

26.【小题】
解：描点并连线为：
【小题】
【小题】

27.【小题】
解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形
，
点为中点；
【小题】
解：，证明如下：
取的中点，连接，，

是等腰直角三角形，，
是的中点，
，
同理，在中，，
，
，，
，
，
，
；
，
为的中位线，
，，
，
在中，，
为等腰三角形，
，
，
，
，
，
．
由可知，，
，
当点与点重合时，，
，
，
，
，
此时的面积最小为：；
当点运动到点时，，
，
，
，
此时的面积最大为：；
点是边上一点，且不与、重合，
．

28.【小题】
，
【小题】
或或或；
【小题】
或

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