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浙教版数学八年级下册 5.3 正方形 二阶训练
一、选择题
1．如图，将边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A'B'C'D'，此时阴影部分的面积为（　　)。
A．26cm2 B．24cm2 C．18cm2 D．20cm2
2．如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　）
A．α+β+γ=90° B．α+β-γ=90°
C．α-β+γ=90° D．α+2β-γ=90°
3．如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（　　）
A． B．2 C．4 D．8
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6． 中国古代数学家赵爽创制了一幅“弦图”，创造性地证明了勾股定理。它是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形 拼成的大正方形 。如图，连结 ，，若 ，则 与正方形 的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，以，为边作正方形，点落在上．记正方形的面积为，的面积为，设，．若，则下列代数式的值不变的是（　　）．
A． B． C． D．
8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，是等边三角形，点E在正方形ABCD内，对角线AC上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（　　）．
A．2 B． C．4 D．
9．如图，正方形ABCD 是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形 MNKT的面积分别为S1， S2，S3， 若EF=5， 则 的值为(　　) .
A．65 B．70 C．75 D．80
10．如图， 在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， 分别以Rt△ABC 的三边为边在 AB的同侧作三个正方形，顶点H恰为DE 的中点，若阴影部分(四边形 KNCM)的面积为16，则正方形ABHK 的面积为(　　)
A．64 B．80 C．85 D．90
二、填空题
11． 如图， 在Rt△AED中， ∠AED=90°， AE= ，以AD为边向外作正方形 ABCD，连接CE， 交AD于点F．若∠ADE=∠ECD， 则△DEF的面积为　 　．
12．如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， ∠CAB 的平分线交BC于点 D， 点 P 是AD上一点， 过点P分别作AB， BC的垂线， 垂足为E， F， 若PE=PF=2， AB=6， 则△ABC的周长为　 　.
13．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE，若正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则AE的长为　 　 .
14．勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅彀成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的，即把一个几何图形分割成若干部分后，面积的总和保持不变．在中，，四边形均为正方形，与相交于点，点在直线上．若的面积分别为2和6，则直角边的长为　 　．
15．如图，顺次连结任意四边形 ABCD 各边的中点，所得的四边形 EF-GH 是中点四边形。有下列四个说法：
①中点四边形 EFGH 一定是平行四边形；
②当四边形 ABCD 是矩形时，中点四边形EFGH 也是矩形；
③当中点四边形 EFGH 是菱形时，四边形ABCD 是矩形；
④当四边形 ABCD 是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形。
其中正确的是　 　(填序号)。
三、解答题
16．如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F，且满足.BE=DF，连结AE，AF，CE，CF。
（1）求证：
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由。
17．在正方形中，点是对角线所在直线上的一点，点在的延长线上，且，连结．
（1）如图1，当点在线段上时，　 　；
（2）如图2，当点在延长线上时，其它条件不变，判断的形状并说明理由；
（3）如图3，把正方形改为菱形，其它条件不变，当时，
①探究线段与线段的数量关系，请直接写出你的结论；
②若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解： 如图，设AD与A'B'交于点E，
∵将边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，
∴A'E=4cm，AE=2cm，
∴B'E=4cm，DE=6cm，
∴阴影部分的面积=4×6=24cm2
故答案为：B.
【分析】 由平移的性质可得A'E=4cm，AE=2cm，可求B'E=4cm，DE=6cm，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】正方形的性质；余角
【解析】【解答】由图知90°-=90°，移项得.
故答案为：C.
【分析】由正方形各内角均为90°，可得图中同一顶点角之间的关系.
3．【答案】C
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，点M是斜边的中点，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查正方形的面积公式和直角三角形斜边上的中线的性质，根据正方形的面积公式（为边长），由可求出边长的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可得，代入的数值即可计算出的长度。
4．【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，且点在第二象限，
∴，
故选：．
【分析】
过点作轴于点，过点作轴于点，因为四边形OABC为正方形，通过正方形的性质可得∠OAD=∠COE，AO=CO，∠ADO=∠OEC=90°，根据ASA可得，由全等三角形对应边相等可得，，根据点的坐标可确定的长，即可求解．
5．【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：依题意，设，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-x，
∴∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=180°-x-(90°-x)=90°，
故选：C.
【分析】利用正方形的性质推理角度关系，此处为便于直观理解角度关系，在设元与标量的基础上利用同角余角相等倒角逐步往目标角靠拢计算.
6．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，
∴AD=AB=AE，
又∵AF⊥DE，
∴DF=FE，
设正方形GHEF的边长为a，
则正方形ABCD的面积为，
设BG与AE交于点M，
又∵AF∥EH，
∴∠GAH=∠HEA，∠AGM=∠EHM，
又∵AG=EH，
∴△MGA≌△MHE，
∴，
∴
∴ 与正方形 的面积之比为，
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得到AD=AB=AE，然后根据三线合一得到DF=FE，设正方形GHEF的边长为a，表示正方形ABCD的面积，然后根据求出△AEB的面积，然后求比值解答即可.
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设，则，
∴在正方形中，，
，
由正方形性质得，，
在和中
，
，
，
即，
解得，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
解得，，
，，
，
，
A、，不是定值，故A不符合题意；
B、，不是定值，故B不符合题意；
C、，不是定值，故C不符合题意；
D、，是定值，故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】设BC=m，结合图形可得FC=x-m，由正方形性质得AG=GF=FC=AC=x-m，根据线段的和差得EG=x-m-y；用HL判断出Rt△AGE≌Rt△ACB，由全等三角形的对应边相等得EG=BC=m，从而推出， 然后用含x、y的式子表示出GA、GE、BC，在Rt△AGE中，由勾股定理得AE2=AG2+GE2，然后根据几何图形面积计算公式分别用含x、y的式子表示S1、S2，根据S1=6S2建立方程可得， 据此即可对各个选项进行判断得出答案.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
故所求最小值为2．
故答案为：B．
【分析】由于点B与D关于AC对称，连接BD，BD与AC的交点为F点．此时PD+PE=BE最小，由正方形ABCD的面积为12，则AB=2，BE是等边△ABE的边，则BE=AB=2．
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意，设BE=a，BF=b，则有
由EF=5，得
故
故答案为：C .
【分析】设BE=a，BF=b，由勾股定理得，求出=，整理后再代入数据即得面积之和.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
是中点，
，
，
，
，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积的面积，
∴的面积＝阴影的面积，
∵的面积，
∴，
∴正方形的面积．
故选：B．
【分析】由正方形的性质推出，，，，由证明，得到，由是中点，得到，由余角的性质推出，又，，即可证明，得到的面积的面积，因此的面积＝阴影的面积，由三角形面积公式得到的面积，由勾股定理得到，即可得到正方形的面积．
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥EC于点M，则∠DMC=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴CD=DA，∠CDA=90°
在△ADE和△DCM中
∴△ADE≌△DCM(AAS)
∴DM=AE，∠EAD=∠MDC
∴∠DFM=90°-∠FDM=∠MDC
∴∠DFM=∠EAF
∵∠DFM=∠EFA
∴∠EFA=∠EAF
∴EF=EA
∴EF=EA=DM
∵AE=
∴
∴
故答案为：
【分析】过点D作DM⊥EC于点M，则∠DMC=90°，根据正方形性质可得CD=DA，∠CDA=90°，根据全等三角形判定定理可得△ADE≌△DCM(AAS)，则DM=AE，∠EAD=∠MDC，再根据角之间的关系可得∠EFA=∠EAF，根据等角对等边可得EF=EA，根据边之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
12．【答案】16
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；正方形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥AC，连接BP
AD平分BAC，PGAC，PEAB
PG=PE
PG=PF，C=CFP=FPG=90
CFPG为正方形
△APE≌△APG(HL)
AG=AE
PE=PF
△BPE≌△BPF(HL)
BF=BE
设AE=x，则AG=x，BE=BF=6-x，BC=8-x，AC=x+2
ABC的周长6+2+x+8-x=16.
故答案：16.
【分析】过点P作PG⊥AC，连接BP，易知PFCG为正方形，由角平分线的性质知PE=PG，得△APE≌△APG、△BPE≌△BPF，由此得AG=AE，BE=BF，设AE=x，则AG=x，BE=BF=6-x，由此可得△ABC的周长.
13．【答案】20
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：
设BC=b，EF=a，
∴a2+b2=220，
∵四边形BEFG、四边形CHIE和ABCD都是正方形
∴BC=AB=b，BG=BE=EF=a，∠EBC=90°，∠CEI=90°，CE=EI，
∴∠CEB+∠ECB=90°，∠CEB+∠KEI=90°
∴∠ECB=∠IEK
在△ECB和△IEK中.
∴△ECB≌△IEK (AAS)
∴，
∵将正方形ABCD和正方形BEFG裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE，
∴S正方形HCEI=a2+b2，S阴影=S正方形HCEI-(S△ECB+S△IEK)=a2+b2-ab=130
∴ab=90
∴a2+b2+2ab=(a+b)2=220+2×90=400，即a+b=20
∴AE=a+b=20.
故答案为：20.
【分析】设BC=b，EF=a，根据正方形的性质及AAS得△ECB≌△IEK，进而可得，将正方形ABCD和正方形BEFG裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE得S正方形HCEI=a2+b2，再利用面积的数量关系即可求解.
14．【答案】2
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形，为正方形，
，，，
∴，
，
设，，，
由勾股定理得，，
即，
，
∴，
∴，
即，
∴，即，
故答案为：．
【分析】先根据正方形的性质得到，，，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，设，，，根据勾股定理得到，即，进而根据面积的运算结合题意得到，即，从而即可求解。
15．【答案】①④
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，连结AC，BD.
∵E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，
∴EF，HG，EH，GF分别是△ABC，△ACD，△ABD，△BCD的中位线，
∴EF∥AC，HG∥AC，EH∥BD，GF∥BD，
∴EF∥HG，EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确.
若四边形ABCD是矩形，则AC=BD.
由三角形中位线定理，得EF=AC，EH=BD，
∴EF=EH，
∴ EFGH是菱形，故②错误.
若四边形EFGH是菱形，则AC=BD，
但四边形ABCD不一定是矩形，故③错误.
若四边形ABCD是正方形，
则AC=BD，AC⊥BD，
可得EF=EH，EF⊥EH，
∴ EFGH是正方形，故④正确.
∴正确的说法是①④.
【分析】应用三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可.
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD。
∴∠ABD=∠ADB。∴∠ABE=∠ADF。
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)。
（2）解：四边形AECF是菱形。
理由如下：连结AC交BD于点O。
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF。
∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF。
∴四边形AECF是菱形。
【知识点】菱形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断.
17．【答案】（1）90
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下
四边形是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
设与相交于点，
，
，
是等腰直角三角形，
（3）①；
②解：作于，于，则四边形是矩形，
，，
，
是等边三角形，
，，
四边形是矩形，
，
在中，
，
，
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
．
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
（3）解：①，
理由：四边形是菱形，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
【分析】（1）根据正方形的性质，利用得到，进而得出，，证明结论即可；
（2） 根据正方形的性质，利用得到，进而得出，，证明结论即可；
（3）①根据菱形的性质，利用SAS得到，进而得出，，然后推理得到△PCE是等边三角形，得到结论即可；
②作于，于．先证明是等边三角形，根据矩形的性质得到EN=DM，再在中根据勾股定理求得长解答即可．
1 / 1浙教版数学八年级下册 5.3 正方形 二阶训练
一、选择题
1．如图，将边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，得到正方形A'B'C'D'，此时阴影部分的面积为（　　)。
A．26cm2 B．24cm2 C．18cm2 D．20cm2
【答案】B
【知识点】正方形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解： 如图，设AD与A'B'交于点E，
∵将边长为8cm的正方形ABCD先向上平移4cm，再向右平移2cm，
∴A'E=4cm，AE=2cm，
∴B'E=4cm，DE=6cm，
∴阴影部分的面积=4×6=24cm2
故答案为：B.
【分析】 由平移的性质可得A'E=4cm，AE=2cm，可求B'E=4cm，DE=6cm，即可求解.
2．如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　）
A．α+β+γ=90° B．α+β-γ=90°
C．α-β+γ=90° D．α+2β-γ=90°
【答案】C
【知识点】正方形的性质；余角
【解析】【解答】由图知90°-=90°，移项得.
故答案为：C.
【分析】由正方形各内角均为90°，可得图中同一顶点角之间的关系.
3．如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则（　　）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，点M是斜边的中点，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查正方形的面积公式和直角三角形斜边上的中线的性质，根据正方形的面积公式（为边长），由可求出边长的长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，可得，代入的数值即可计算出的长度。
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点坐标为，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，且点在第二象限，
∴，
故选：．
【分析】
过点作轴于点，过点作轴于点，因为四边形OABC为正方形，通过正方形的性质可得∠OAD=∠COE，AO=CO，∠ADO=∠OEC=90°，根据ASA可得，由全等三角形对应边相等可得，，根据点的坐标可确定的长，即可求解．
5．如图，点在正方形的内部，且在对角线的上方，连接、，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：依题意，设，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-x，
∴∠AED=180°-∠ADE-∠DAE=180°-x-(90°-x)=90°，
故选：C.
【分析】利用正方形的性质推理角度关系，此处为便于直观理解角度关系，在设元与标量的基础上利用同角余角相等倒角逐步往目标角靠拢计算.
6． 中国古代数学家赵爽创制了一幅“弦图”，创造性地证明了勾股定理。它是由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形 拼成的大正方形 。如图，连结 ，，若 ，则 与正方形 的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵ABCD是正方形，
∴AD=AB=AE，
又∵AF⊥DE，
∴DF=FE，
设正方形GHEF的边长为a，
则正方形ABCD的面积为，
设BG与AE交于点M，
又∵AF∥EH，
∴∠GAH=∠HEA，∠AGM=∠EHM，
又∵AG=EH，
∴△MGA≌△MHE，
∴，
∴
∴ 与正方形 的面积之比为，
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质得到AD=AB=AE，然后根据三线合一得到DF=FE，设正方形GHEF的边长为a，表示正方形ABCD的面积，然后根据求出△AEB的面积，然后求比值解答即可.
7．如图，在中，，以，为边作正方形，点落在上．记正方形的面积为，的面积为，设，．若，则下列代数式的值不变的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：设，则，
∴在正方形中，，
，
由正方形性质得，，
在和中
，
，
，
即，
解得，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
，
，
解得，，
，，
，
，
A、，不是定值，故A不符合题意；
B、，不是定值，故B不符合题意；
C、，不是定值，故C不符合题意；
D、，是定值，故D符合题意.
故答案为：D．
【分析】设BC=m，结合图形可得FC=x-m，由正方形性质得AG=GF=FC=AC=x-m，根据线段的和差得EG=x-m-y；用HL判断出Rt△AGE≌Rt△ACB，由全等三角形的对应边相等得EG=BC=m，从而推出， 然后用含x、y的式子表示出GA、GE、BC，在Rt△AGE中，由勾股定理得AE2=AG2+GE2，然后根据几何图形面积计算公式分别用含x、y的式子表示S1、S2，根据S1=6S2建立方程可得， 据此即可对各个选项进行判断得出答案.
8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，是等边三角形，点E在正方形ABCD内，对角线AC上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（　　）．
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；正方形的性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
故所求最小值为2．
故答案为：B．
【分析】由于点B与D关于AC对称，连接BD，BD与AC的交点为F点．此时PD+PE=BE最小，由正方形ABCD的面积为12，则AB=2，BE是等边△ABE的边，则BE=AB=2．
9．如图，正方形ABCD 是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形 MNKT的面积分别为S1， S2，S3， 若EF=5， 则 的值为(　　) .
A．65 B．70 C．75 D．80
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；正方形的性质；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：由题意，设BE=a，BF=b，则有
由EF=5，得
故
故答案为：C .
【分析】设BE=a，BF=b，由勾股定理得，求出=，整理后再代入数据即得面积之和.
10．如图， 在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， 分别以Rt△ABC 的三边为边在 AB的同侧作三个正方形，顶点H恰为DE 的中点，若阴影部分(四边形 KNCM)的面积为16，则正方形ABHK 的面积为(　　)
A．64 B．80 C．85 D．90
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形，四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
是中点，
，
，
，
，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积的面积，
∴的面积＝阴影的面积，
∵的面积，
∴，
∴正方形的面积．
故选：B．
【分析】由正方形的性质推出，，，，由证明，得到，由是中点，得到，由余角的性质推出，又，，即可证明，得到的面积的面积，因此的面积＝阴影的面积，由三角形面积公式得到的面积，由勾股定理得到，即可得到正方形的面积．
二、填空题
11． 如图， 在Rt△AED中， ∠AED=90°， AE= ，以AD为边向外作正方形 ABCD，连接CE， 交AD于点F．若∠ADE=∠ECD， 则△DEF的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥EC于点M，则∠DMC=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴CD=DA，∠CDA=90°
在△ADE和△DCM中
∴△ADE≌△DCM(AAS)
∴DM=AE，∠EAD=∠MDC
∴∠DFM=90°-∠FDM=∠MDC
∴∠DFM=∠EAF
∵∠DFM=∠EFA
∴∠EFA=∠EAF
∴EF=EA
∴EF=EA=DM
∵AE=
∴
∴
故答案为：
【分析】过点D作DM⊥EC于点M，则∠DMC=90°，根据正方形性质可得CD=DA，∠CDA=90°，根据全等三角形判定定理可得△ADE≌△DCM(AAS)，则DM=AE，∠EAD=∠MDC，再根据角之间的关系可得∠EFA=∠EAF，根据等角对等边可得EF=EA，根据边之间的关系可得，再根据三角形面积即可求出答案.
12．如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， ∠CAB 的平分线交BC于点 D， 点 P 是AD上一点， 过点P分别作AB， BC的垂线， 垂足为E， F， 若PE=PF=2， AB=6， 则△ABC的周长为　 　.
【答案】16
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；正方形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点P作PG⊥AC，连接BP
AD平分BAC，PGAC，PEAB
PG=PE
PG=PF，C=CFP=FPG=90
CFPG为正方形
△APE≌△APG(HL)
AG=AE
PE=PF
△BPE≌△BPF(HL)
BF=BE
设AE=x，则AG=x，BE=BF=6-x，BC=8-x，AC=x+2
ABC的周长6+2+x+8-x=16.
故答案：16.
【分析】过点P作PG⊥AC，连接BP，易知PFCG为正方形，由角平分线的性质知PE=PG，得△APE≌△APG、△BPE≌△BPF，由此得AG=AE，BE=BF，设AE=x，则AG=x，BE=BF=6-x，由此可得△ABC的周长.
13．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补的方法证明了勾股定理.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG，A，B，E三点在一条直线上，现将其裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE，若正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和为220，阴影部分的面积为130，则AE的长为　 　 .
【答案】20
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图：
设BC=b，EF=a，
∴a2+b2=220，
∵四边形BEFG、四边形CHIE和ABCD都是正方形
∴BC=AB=b，BG=BE=EF=a，∠EBC=90°，∠CEI=90°，CE=EI，
∴∠CEB+∠ECB=90°，∠CEB+∠KEI=90°
∴∠ECB=∠IEK
在△ECB和△IEK中.
∴△ECB≌△IEK (AAS)
∴，
∵将正方形ABCD和正方形BEFG裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE，
∴S正方形HCEI=a2+b2，S阴影=S正方形HCEI-(S△ECB+S△IEK)=a2+b2-ab=130
∴ab=90
∴a2+b2+2ab=(a+b)2=220+2×90=400，即a+b=20
∴AE=a+b=20.
故答案为：20.
【分析】设BC=b，EF=a，根据正方形的性质及AAS得△ECB≌△IEK，进而可得，将正方形ABCD和正方形BEFG裁剪拼成不重叠无缝隙的大正方形CHIE得S正方形HCEI=a2+b2，再利用面积的数量关系即可求解.
14．勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠．被誉为清代“历算第一名家”的著名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅彀成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的，即把一个几何图形分割成若干部分后，面积的总和保持不变．在中，，四边形均为正方形，与相交于点，点在直线上．若的面积分别为2和6，则直角边的长为　 　．
【答案】2
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形，为正方形，
，，，
∴，
，
设，，，
由勾股定理得，，
即，
，
∴，
∴，
即，
∴，即，
故答案为：．
【分析】先根据正方形的性质得到，，，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，设，，，根据勾股定理得到，即，进而根据面积的运算结合题意得到，即，从而即可求解。
15．如图，顺次连结任意四边形 ABCD 各边的中点，所得的四边形 EF-GH 是中点四边形。有下列四个说法：
①中点四边形 EFGH 一定是平行四边形；
②当四边形 ABCD 是矩形时，中点四边形EFGH 也是矩形；
③当中点四边形 EFGH 是菱形时，四边形ABCD 是矩形；
④当四边形 ABCD 是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形。
其中正确的是　 　(填序号)。
【答案】①④
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：如图，连结AC，BD.
∵E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，
∴EF，HG，EH，GF分别是△ABC，△ACD，△ABD，△BCD的中位线，
∴EF∥AC，HG∥AC，EH∥BD，GF∥BD，
∴EF∥HG，EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确.
若四边形ABCD是矩形，则AC=BD.
由三角形中位线定理，得EF=AC，EH=BD，
∴EF=EH，
∴ EFGH是菱形，故②错误.
若四边形EFGH是菱形，则AC=BD，
但四边形ABCD不一定是矩形，故③错误.
若四边形ABCD是正方形，
则AC=BD，AC⊥BD，
可得EF=EH，EF⊥EH，
∴ EFGH是正方形，故④正确.
∴正确的说法是①④.
【分析】应用三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可.
三、解答题
16．如图，在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F，且满足.BE=DF，连结AE，AF，CE，CF。
（1）求证：
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD。
∴∠ABD=∠ADB。∴∠ABE=∠ADF。
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)。
（2）解：四边形AECF是菱形。
理由如下：连结AC交BD于点O。
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF。
∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF。
∴四边形AECF是菱形。
【知识点】菱形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断.
17．在正方形中，点是对角线所在直线上的一点，点在的延长线上，且，连结．
（1）如图1，当点在线段上时，　 　；
（2）如图2，当点在延长线上时，其它条件不变，判断的形状并说明理由；
（3）如图3，把正方形改为菱形，其它条件不变，当时，
①探究线段与线段的数量关系，请直接写出你的结论；
②若，，求的长．
【答案】（1）90
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下
四边形是正方形，
， ，
，
，
，
，
，
， ，
，
设与相交于点，
，
，
是等腰直角三角形，
（3）①；
②解：作于，于，则四边形是矩形，
，，
，
是等边三角形，
，，
四边形是矩形，
，
在中，
，
，
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：四边形是正方形，
，，，
在和中，
，
．
，，
，
，，
，
，
，
故答案为：．
（3）解：①，
理由：四边形是菱形，
，，，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
；
【分析】（1）根据正方形的性质，利用得到，进而得出，，证明结论即可；
（2） 根据正方形的性质，利用得到，进而得出，，证明结论即可；
（3）①根据菱形的性质，利用SAS得到，进而得出，，然后推理得到△PCE是等边三角形，得到结论即可；
②作于，于．先证明是等边三角形，根据矩形的性质得到EN=DM，再在中根据勾股定理求得长解答即可．
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