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浙教版数学八年级下册 5.3 正方形 三阶训练
一、选择题
1． 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°， AC=4， BC=3， 分别以AC， AB为边向外作正方形ACDE， 正方形 ABMN， 连结NE， 则NE的长为(　　)
A．10 B．9 C． D．
2．如图，在长方形ABCD中放置两个边长都为3的正方形BEFG与正方形DHIJ，设长方形ABCD的面积为S1，阴影部分的面积之和为S2。若3S1-S2=66，则长方形ABCD的周长是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
3．如图，在正方形中，，F是对角线的中点，点G、E分别在、边上运动，且保持，连接、、，在此运动变化的过程中，下列结论：
①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形，③长度的最小值为；
④四边形的面积保持不变；⑤面积的最大值为8，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④⑤ C．①③④ D．③④⑤
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点A出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以速度沿方向运动．设点运动的时间为．当点在边上，、相交于点，当时，的值为（　　）
A． B． C．6 D．7
6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的点B、C、E在同一条直线上，点M为AF的中点，连接DM、CM、CF，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段DM的长 (　　)
A．CF B．DG C．CM D．AF
7．如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：
①，
②，
③的面积，
④，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
8． 如图， △ABC为等腰直角三角形， BF平分∠ABC， 交AC于点 F， AD⊥BF交BF的延长线于点 D，交BC的延长线于点E，CG⊥BF于点G.下列结论：①∠E=3∠ABD；②AF = CF；③AD-CG=GF；④CF =( -1)DE其中正确的是(　　)
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
9．如图，，是正方形的边上两个动点，．连接，交于点，连接，交于点．若正方形的边长为2，则线段的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①AP＝EF且AP⊥EF；②∠PFE＝∠BAP；③△ADP一定是等腰三角形；④四边形PECF的周长为；⑤EF的最小值为；⑥ PB2＋PD2＝2PA2．其中正确结论的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
11． 如图， 在△ABC中， AB=BC=15， AC=18， 在边AC上依次取两点D， E， 使DE=4，以DE为边作正方形DEFG．当DE在边AC上滑动时，点B，F之间的距离最小值为　 　．
12．如图将边长为4的正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD的中点E处，则折痕的FG长度为　 　，折痕的上半部分与下半部分面积之比为　 　.
13．如图， 为正方形 内一点，BC ，过点 作 交射线 于点 ，连结 ．若正方形边长为 ，则 　 　。
14．在等腰直角中，，，将直角边绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，连接，．若为等腰三角形，则此时线段的长为　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为，延长EF交AD于点，与互余，则　 　．
三、解答题
16．如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度点B、E的对应点分别为点、．
（1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
（2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，连接，求的长；
（3）在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．
17．如图，在正方形ABCD中，点E，点F分别在边AD， CD上，且满足AE=CF，点O是对角线BD的中点，连接EO.
（1）求证： △ABE≌△CBF.
（2）若EO⊥BF.
①求证： ∠BEO=2∠ABE.
②求证：
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点N作NG⊥AC于点G，交NE于点H，如图所示，
∵ABMNO正方形
∴∠BAN=90°，AB=AN
∴∠BAC+∠NAG=90°
又∵∠BAC+∠ABC=90°
∴∠ABC=∠NAG
又∵∠G=∠ACB
∴△ABC≌△NAG(SAS)
∴GN=AC=4，GA=BC=3
∵ACDE为正方形
∴AC=AE
∴NG=AE
∵∠NHG=∠FHE，∠HAE=∠NGH
∴△AEH≌△GNH(AAS)
∴NH=EH，GH=AH=
∴NH=
∴NE=.
故答案：C.
【分析】过点N作NG⊥AC于点G，交NE于点H，易证△ABC≌△NAG得GN=AC，得GN=AE，由此可得△AEH≌△GNH，得NH=EH，GH=AH，求出NH的值，即得NE的长.
2．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；正方形的性质
【解析】【解答】解：设KI=a，则KH=LE=3-a，GK=LJ=3-b，AD=6-b，AB=6-a，
∴AD=GK+HD=3-b+3=6-b，
AB=KH+HD=3-a+3=6-a，
∴S1=AD·AB=(6-b)(6-a)=36-6(a+b)+ab，
S2=S四边形AGKH+S四边形KILF+S四边形LECJ
=GK·KH+KI·KF+LJ·LE
=(3-b)(3-a)+ab+(3-b)(3-a)
=18-6(a+b)+3ab，
∴3S1+S2=3[36-6(a+b)+ab]-[18-6(a+b)+3ab]
=90-12(a+b)，
又3S1-S2=66，
∴90-12(a+b)=66，解得：a+b=2，
∴长方形ABCD的周长为2（AB+AD）=2（6-a+6-b）=24-2（a+b)=20.
故答案为：C.
【分析】先用a，b分别表示出S1，S2，再求得3S1+S2，得到关于a，b的方程求解，求得a+b，再求出长方形ABCD的周长.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵F是对角线的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故①正确；
∵，
∴当时，四边形是矩形，
∵，
∴此时四边形是正方形，
∴四边形可能为正方形，
故②错误；
作于点H，则，
∴，
∵，
∴当点G与点H重合时最小，此时最小，
∵，
∴的最小值为，
故③正确；
∵，
∴，
∴四边形的面积保持不变，
故④正确；
∵，
∴当时，，此时，
∴面积的最大值为8，
故⑤正确，
故选：B．
【分析】连接DF，可证明△FAG≌△FDE，得FG=FE，∠AFG=∠DFE， 则∠GFE=∠AFD=90°，所以△GFE是等腰直角三角形，可判断①正确；∠GFE=∠GDE=90°， FG=FE， 所以当∠FGD=90°时， 四边形DGFE是正方形，可判断②错误；作FH⊥AD于点H，则 当点G与点H重合时FG最小，此时GE最小，GE的最小值为，可判断③正确；由， S△FDE，得所以四边形DGFE的面积保持不变，可判断④正确；因为 所以当FG=FH=4时， 此时， 可判断⑤正确，于是得到问题的答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示， 过点F作FG⊥AM交于点G， 连接PF.
根据正方形的性质可得： AB=BE， BC=BD，
∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD=90，即∠ABC=∠EBD.
在△ABC和△EBD中，
AB=EB，∠ABC=∠EBD， BC=BD
所以△ABC≌△EBD(SAS)，故S=，同理可证，△KME≌△TPF，
△FGK≌△ACT，因为∠QAG=∠AGF=∠AQF=90， 所以四边形AQFG是矩形， 则QF//AG， 又因为QP//AC， 所以点Q、P， F三点共线， 故S+S=， S=. 因为∠QAF+∠CAT=90，∠CAT+∠CBA=90，所以∠QAF=∠CBA， 在△AQF和△ACB中， 因为
∠AQF=∠ACB，AQ=AC，∠QAF=∠CAB
所以△AQF≌△ACB(ASA)， 同理可证△AQF ≌△BCA，故
S1﹣S2+S3+S4==34 =6，
故答案为B.
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，核心是利用全等三角形进行面积转化。过点作，通过正方形的边长相等和角的关系，可证明（SAS），因此。再通过证明（ASA），可得，且，因此。综上，，而的面积为，故结果为6。
5．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，解得，
∴的值为．
故答案为：B．
【分析】根据正方形性质得，，再根据，得，即可证明，可得，根据题目情境得，，进一步得，解出即可.
6．【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接GM并延长交AD于H，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，B，C，E三点在同一直线上，
∴AD∥GF，
∴∠MAH =∠MFG， ∠CDA =90°，
∴△GDH是直角三角形，
∵M为AF的中点，
∴AM=FM，
在△AHM和△FGM中，
∴△AHM≌△FGM(ASA)，
∴HM=GM， AH =FG，
∴ M是HG的中点，即
， AH=FG=CG，
∴AD﹣AH=CD﹣CG， 即DG=DH，
∴△DGH是等腰直角三角形，
所以知道DG的长度，可求出GH，一定能求出线段DM的长.
故答案为：B.
【分析】连接GM并延长交AD于H，根据两直线平行，内错角相等可得∠MAH =∠MFG，然后利用“角边角”证明△AHM和△FGM全等，根据全等三角形对应边相等可得HM=GM， AH=FG， 再求出DH=DG，然后根据等腰直角三角形的性质解答.
7．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；补角
【解析】【解答】解：①∵EF=，
∴OE=4，
∵AO=AB=6，
∴AE=AO+OE=6+4=10，故正确；
②∵∠AOC=90°，∠DOE=45°，
∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，故正确；
③作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG=2，
∴△COF的面积S△COF=×6×2=6，故正确；
④作DH⊥AB于H，
CF=，
BH=6-2=4，
DH=6+2=8，
BD=，
故错误．
故选：A．
【分析】根据勾股定理可得OE，再根据边之间的关系可判断①；根据补角可判断②；作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG=2，根据三角形面积可判断③；作DH⊥AB于H，根据勾股定理可得CF，根据边之间的关系可得BH，DH，再根据勾股定理可判断④.
8．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC=∠BAC=45°
∵BF平分∠ABC
∴∠ABD=∠ABC=22.5°
∵BF平分∠ABC，BD⊥AE
∴BA=BE
∴∠BAE=∠BEA=
∴∠E=3∠ABD，故①正确；
连接EF，
∵BD平分∠ABC，BD⊥AE
∴BD平分AE
∴BD垂直平分AE
∴EF=AF
∵△ABC为等腰直角三角形
∴CA=CB
∵∠CAE+∠E=90°，∠CBF+∠E=90°
∴∠CAE=∠CBF
又∵∠BCF=∠ACE=90°
∴△BCF≌△ACE(ASA)
∴CE=CF
∴EF=CF
∴AF=CF，故②正确；
过点C作CH⊥AE于点H，
∵△BCF≌△ACE(ASA)
∴CE=CF，CG=CH
∴△CFG≌△CEH(HL)
∴GF=EH
又∵CG⊥BD，CH⊥AE，GD⊥DH，CG=CH
∴DHCG为正方形
∴GC=DH
∵AD-CG=DE-DH=EH
∴AD-CG=GF，故③正确；
设CE=m，则CF=m，AF=m，AE=
∴DE=AE=
∴，即CF=，故④错误；
综上所述，①②③正确；
故答案为：A .
【分析】由BD平分∠ABC，BD⊥AE，知△ABE为等腰三角形，由等腰直角三角形知∠ABC=45°，由此可得E的度数和∠ABD的度数，即知①正确；连接EF，可证△BCF≌△ACE得CE=CF，由垂直平分线知AF=EF，由此知②正确；过点C作CH⊥AE于点H，可知DHCG为正方形，同时△CFG≌△CEH可证③正确；设CE=m，则AF=m，求出DE的长，即知CF与DE的关系，知④错误.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：取的中点，连接、，如下图
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
∵点O是CD的中点
∴，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当、、三点共线时，的长度最小，
的最小值．
故答案为：D．
【分析】
本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据正方形的性质：四边形相等，四个角都是90°，可知：，，，再根据全等三角形的判定定理：SAS可证明，由全等三角形的性质：对应角相等得出：，再根据全等三角形的判定定理：SAS证明，由全等三角形的性质得出，再由角的和差和等量代换可得：即，∠DMC=90°，取的中点，连接、，由直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线=斜边的一半可知：，由勾股定理求出的长，当、、三点共线时，的长度最小，则可求出答案．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】①连接PC，延长FP交AB于点G，
∵PE⊥BC， PF⊥CD，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∵正方形ABCD中，∠BCD=90°，
∴∠EPF=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
由正方形的对称性知，AP=PC，
∴AP=EF；
∵AB∥CD，
∴PF⊥AB，
∵△APG和△FEP中，PE⊥PG，PF⊥AG，
∴AP⊥EF；
∴正确；
②∵PC=EF，PE=EP，
∴Rt△PCE≌Rt△EFP(HL)，
∴∠PFE=∠ECP，
∵∠BAP=∠BCP，
∴∠BAP=∠PFE；
∴正确；
③∵∠ADP=45°，
∴∠DAP+∠DPA=135°，
∵∠DAP＜∠DAB=90°，∠DPA＞∠DBA=45°，
∴只有当∠DAP=∠DPA=67.5°时，或∠PAD=∠PDA=45°时，△ADP才是等腰三角形，除此之外都不是等腰三角形；
∴不正确；
④∵∠BDC=∠DBC=45°，∠DFP=∠PEB=90°，
∴∠BPE=90-∠PBE=45°，∠DPF=90-∠PDF=45°，
∴BE=PE，DF=PF，
∴PE+EC+PF+CF=(BE+EC)+(DF+CF)=BC+CD=4+4=8；
∴不正确；
⑤连接AC，设AC与BD交点为O，
则AC⊥BD，
∴AP≥AO，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴EF的最小值为；
∴正确；
⑥∵，PE=BE，PF=DF，
∴，
即；
∴正确．
故选：B．
【分析】本题主要对正方形，矩形，全等三角形，轴对称，等腰三角形，勾股定理等知识点进行考查；
① 首先，连接PC并延长FP，交AB于点G。由于已知PE垂直于BC，PF垂直于CD，并且在正方形ABCD中，∠BCD为90°，我们可以得出四边形PECF是矩形，因此PC等于EF。根据正方形的对称性，进一步推导出AP等于PC，即AP=EF。接下来，由于PE垂直于PG，PF垂直于AG，因此我们也可以得出AP垂直于EF。故①是正确的；
② 由于PC=EF，且PE=EP，我们可以得出直角三角形PCE与EFP是全等的（Rt△PCE ≌ Rt△EFP）。因此，∠PFE=∠ECP。又根据已知条件∠BAP=∠BCP，我们可以推导出∠BAP=∠PFE。故②是正确的；
③ 根据∠ADP=45°，可以得出∠DAP+∠DPA=135°。同时，已知∠DAP＜∠DAB=90°，并且∠DPA＞∠DBA=45°。因此，只有在∠DAP=∠DPA=67.5°或∠PAD=∠PDA=45°的情况下，△ADP才会是等腰三角形。除此之外，△ADP都不是等腰三角形。故③的结论是不正确的；
④ 根据已知条件∠BDC=∠DBC=45°，以及∠DFP=∠PEB=90°，我们可以得出∠BPE=45°和∠DPF=45°。由此，得出BE=PE和DF=PF。因此，PE+EC+PF+CF可以表示为（BE+EC）+（DF+CF），即BC+CD。根据题设，BC=4，CD=4，因此PE+EC+PF+CF=4+4=8。故④的结论是不正确的；
⑤连接AC，设AC与BD交点为O，得到AC⊥BD，AP≥AO，根据题干信息，可得，所以，得到，推出EF的最小值为；⑤正确；
⑥根据，PE=BE，PF=DF，得到，得到；⑥正确．
11．【答案】8
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥AC于点H，交GF的延长线于点Q
∵四边形DEFG为正方形
∴GF∥AC，DG⊥FG，GD⊥AC
∵BH⊥AC，BH⊥GF
∴四边形GDHQ为长方形
∴GD=HQ=4
∵AB=BC=15， AC=18
∴
∴，BQ=BH-QH=8
由垂线段最短，得到当点F与点Q重合时，BF取得最小值
故答案为：8
【分析】过点B作BH⊥AC于点H，交GF的延长线于点Q，根据正方形性质可得GF∥AC，DG⊥FG，GD⊥AC，根据长方形判定定理可得四边形GDHQ为长方形，则GD=HQ=4，再根据勾股定理可得BH，根据边之间的关系可得BQ，由垂线段最短，得到当点F与点Q重合时，BF取得最小值，即可求出答案.
12．【答案】；5：3
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接EF，AE，过点G作GH⊥AC于点H，则ABGH是矩形，
∴GH=AB=AC，
∵E是CD的中点，
∴CE=ED=2，
由折叠可得EF=AF，AE⊥FG，
设AF=EF=x，则CF=4-x，
在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，即22+(4-x)2=x2，
解得x=2.5，∴CF=1.5，AF=2.5，
∵GH⊥AC，AE⊥FG，
∴∠C=∠GHF=90°，∠CAE+∠AFG=∠CAE+∠AEC=90°，
∴ ∠AFG=∠AEC，
∴△GFH≌△AEC，
∴FH=CE=2，
∴BG=AH=AF-FH=2.5-2=0.5，，
∴DG=BD-BG=4-0.5=3.5，
∴ 折痕的上半部分与下半部分面积之比为(CF+DG)：(AF+BG)=(1.5+3.5)：(2.5+0.5)=5：3，
故答案为：；5：3.
【分析】连接EF，AE，过点G作GH⊥AC于点H，则ABGH是矩形，然后根据折叠的性质和勾股定理求出AF长，然后根据AAS得到△GFH≌△AEC，即可求出FH=CE=2，再根据勾股定理求出折痕长，然后根据梯形的面积公式求出比值解答即可.

13．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】连接AC、BD，设BF与CE交于点O，
∵BE=BC，BF⊥EC，
∴BF平分∠EBC，即∠EBF=∠CBF，
又∵BF=BF，
∴△EBF≌△CBF，
∴∠BFE=∠BFC，FE=FC，
设∠EBF=∠CBF=，
∵ABCD是正方形，
∴BA=BC=CD=DA=BE，∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-2，
∵BE=BA，
∴∠BAE=∠BEA=，
又∵∠EBC=2，BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=90°-，
∴∠FEC=180°-∠BEA-∠BEC=45°，
∴∠BFE=∠BFC=，
又∵∠ADC=∠AFC=90°，
∴∠AFD=∠ACD=45°，
∴∠DFB=∠AFD+∠BFE=90°，
在Rt△BCD中，，
在Rt△BFD中，，
故答案为：.
【分析】连接AC、BD，设BF与CE交于点O，先证明△EBF≌△CBF，即可得到∠BFE=∠BFC，FE=FC，然后设∠EBF=∠CBF=，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠DFB=90°，然后根据勾股定理解题即可.
14．【答案】2或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在等腰直角中，，，
∴，
当时，如图，，
；
当时，如图，过P作于E，过C作于F，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
；
当时，如图，
∴，
∴四边形是菱形，
又，
∴菱形是正方形，
∴，
∴，
综上，的长为2或或，
故答案为：2或或．
【分析】利用等腰直角三角形的定义可求出BC的长，分三种情况讨论：当时；当时，过P作于E，过C作于F，根据三线合一的性质求出CE的长，利用旋转的性质可证得AC=AP，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理表示出∠ACP和∠APC的度数，即可得到∠PCE的度数，可推出，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可得到FC的长，再利用勾股定理求出AF的长，可得到PF的长，然后利用勾股定理求出CP的长；当时，易证四边形是正方形，利用正方形的性质可证得∠CBP=90°，利用勾股定理求出CP的长；综上所述可得到符合题意的CP的长.
15．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点B作，连接EH，
，
，
，
四边形ABHD是矩形，，
与互余，
，
，
，
，点F、H关于BC对称，
四边形ABHD是正方形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】作，易证四边形ABHD是矩形，进而证得，再通过AAS判定得到AB=BH，进而证得四边形ABHD是正方形，然后由AAS判定得到HG=BC，从而求得FG的长度.
16．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
由旋转的性质得：，
∴；
故答案为：，
（2）解：过点C作于点G，如图所示：
则，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
（3）
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵直角三角形绕点A逆时针方向旋转度点B、E的对应点分别为点、，∴当时，与E重合，最短， ，
当落在CA的延长线上时，，最长，，
故答案为：．
【分析】
（1）根据正方形的性质，利用勾股定理求出和的长，再根据旋转可得的长，利用线段的和差解答即可，
（2）作，根据正方形的性质，利用AAS得到，即可得到，，然后根据勾股定理解答即可，
（3）根据题已得到线段CE'最长和最短的位置解答即可．
17．【答案】（1）证明： ∵正方形ABCD，
∴∠A=∠C=90°， AB=BC，
在△ABE与△CBF中，
∴△ABE≌△CBF(SAS)；
（2）证明：①延长EO交BF， BC分别于点M， H，作EG⊥BC于点G，如图，
则EG=AB， EG∥AB， ∠EGH=90°，∴EG=BC， ∠BEG=∠ABE， ∠HEG+∠EHG=90°，
∵EO⊥BF，
∴∠MBH+∠EHG=90°，
∴∠HEG=∠HBM，
∵正方形ABCD，
∴∠A=∠C=90°， AB=BC，
在△ABE与△CBF中，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴∠ABE=∠CBF，
∴∠HEG=∠ABE，
∴∠BEO=∠BEG+∠HEG=2∠ABE；
②由①可知： EG=BC， ∠HEG=∠HBM， ∠EGH=∠C=90°，
∴△BCF≌△EGH(ASA)，
又∵△ABE≌△CBF(SAS)，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠EDO=∠HBO， ∠DEO=∠BHO，
∵O为BD的中点，
∴△DOE≌△BOH(AAS)，
即 ，
又∵
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)利用SAS证明 即可；
(2)①延长EO交BF， BC分别于点M， H，作 C于点G，则 进而推出 进而得到∠B 即可；
②证明 S)，进而得到 推出 三角形的中线的性质得到 证明 OH(AAS)，推出 进而得到 即可得证.
1 / 1浙教版数学八年级下册 5.3 正方形 三阶训练
一、选择题
1． 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠C=90°， AC=4， BC=3， 分别以AC， AB为边向外作正方形ACDE， 正方形 ABMN， 连结NE， 则NE的长为(　　)
A．10 B．9 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过点N作NG⊥AC于点G，交NE于点H，如图所示，
∵ABMNO正方形
∴∠BAN=90°，AB=AN
∴∠BAC+∠NAG=90°
又∵∠BAC+∠ABC=90°
∴∠ABC=∠NAG
又∵∠G=∠ACB
∴△ABC≌△NAG(SAS)
∴GN=AC=4，GA=BC=3
∵ACDE为正方形
∴AC=AE
∴NG=AE
∵∠NHG=∠FHE，∠HAE=∠NGH
∴△AEH≌△GNH(AAS)
∴NH=EH，GH=AH=
∴NH=
∴NE=.
故答案：C.
【分析】过点N作NG⊥AC于点G，交NE于点H，易证△ABC≌△NAG得GN=AC，得GN=AE，由此可得△AEH≌△GNH，得NH=EH，GH=AH，求出NH的值，即得NE的长.
2．如图，在长方形ABCD中放置两个边长都为3的正方形BEFG与正方形DHIJ，设长方形ABCD的面积为S1，阴影部分的面积之和为S2。若3S1-S2=66，则长方形ABCD的周长是（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；正方形的性质
【解析】【解答】解：设KI=a，则KH=LE=3-a，GK=LJ=3-b，AD=6-b，AB=6-a，
∴AD=GK+HD=3-b+3=6-b，
AB=KH+HD=3-a+3=6-a，
∴S1=AD·AB=(6-b)(6-a)=36-6(a+b)+ab，
S2=S四边形AGKH+S四边形KILF+S四边形LECJ
=GK·KH+KI·KF+LJ·LE
=(3-b)(3-a)+ab+(3-b)(3-a)
=18-6(a+b)+3ab，
∴3S1+S2=3[36-6(a+b)+ab]-[18-6(a+b)+3ab]
=90-12(a+b)，
又3S1-S2=66，
∴90-12(a+b)=66，解得：a+b=2，
∴长方形ABCD的周长为2（AB+AD）=2（6-a+6-b）=24-2（a+b)=20.
故答案为：C.
【分析】先用a，b分别表示出S1，S2，再求得3S1+S2，得到关于a，b的方程求解，求得a+b，再求出长方形ABCD的周长.
3．如图，在正方形中，，F是对角线的中点，点G、E分别在、边上运动，且保持，连接、、，在此运动变化的过程中，下列结论：
①是等腰直角三角形；②四边形不可能为正方形，③长度的最小值为；
④四边形的面积保持不变；⑤面积的最大值为8，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④⑤ C．①③④ D．③④⑤
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵F是对角线的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故①正确；
∵，
∴当时，四边形是矩形，
∵，
∴此时四边形是正方形，
∴四边形可能为正方形，
故②错误；
作于点H，则，
∴，
∵，
∴当点G与点H重合时最小，此时最小，
∵，
∴的最小值为，
故③正确；
∵，
∴，
∴四边形的面积保持不变，
故④正确；
∵，
∴当时，，此时，
∴面积的最大值为8，
故⑤正确，
故选：B．
【分析】连接DF，可证明△FAG≌△FDE，得FG=FE，∠AFG=∠DFE， 则∠GFE=∠AFD=90°，所以△GFE是等腰直角三角形，可判断①正确；∠GFE=∠GDE=90°， FG=FE， 所以当∠FGD=90°时， 四边形DGFE是正方形，可判断②错误；作FH⊥AD于点H，则 当点G与点H重合时FG最小，此时GE最小，GE的最小值为，可判断③正确；由， S△FDE，得所以四边形DGFE的面积保持不变，可判断④正确；因为 所以当FG=FH=4时， 此时， 可判断⑤正确，于是得到问题的答案.
4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1﹣S2+S3+S4等于（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图所示， 过点F作FG⊥AM交于点G， 连接PF.
根据正方形的性质可得： AB=BE， BC=BD，
∠ABC+∠CBE=∠CBE+∠EBD=90，即∠ABC=∠EBD.
在△ABC和△EBD中，
AB=EB，∠ABC=∠EBD， BC=BD
所以△ABC≌△EBD(SAS)，故S=，同理可证，△KME≌△TPF，
△FGK≌△ACT，因为∠QAG=∠AGF=∠AQF=90， 所以四边形AQFG是矩形， 则QF//AG， 又因为QP//AC， 所以点Q、P， F三点共线， 故S+S=， S=. 因为∠QAF+∠CAT=90，∠CAT+∠CBA=90，所以∠QAF=∠CBA， 在△AQF和△ACB中， 因为
∠AQF=∠ACB，AQ=AC，∠QAF=∠CAB
所以△AQF≌△ACB(ASA)， 同理可证△AQF ≌△BCA，故
S1﹣S2+S3+S4==34 =6，
故答案为B.
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，核心是利用全等三角形进行面积转化。过点作，通过正方形的边长相等和角的关系，可证明（SAS），因此。再通过证明（ASA），可得，且，因此。综上，，而的面积为，故结果为6。
5．已知四边形是边长为的正方形，，是正方形边上的两个动点，点从点A出发，以的速度沿方向运动，点同时从点出发以速度沿方向运动．设点运动的时间为．当点在边上，、相交于点，当时，的值为（　　）
A． B． C．6 D．7
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，解得，
∴的值为．
故答案为：B．
【分析】根据正方形性质得，，再根据，得，即可证明，可得，根据题目情境得，，进一步得，解出即可.
6．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的点B、C、E在同一条直线上，点M为AF的中点，连接DM、CM、CF，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段DM的长 (　　)
A．CF B．DG C．CM D．AF
【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接GM并延长交AD于H，
∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，B，C，E三点在同一直线上，
∴AD∥GF，
∴∠MAH =∠MFG， ∠CDA =90°，
∴△GDH是直角三角形，
∵M为AF的中点，
∴AM=FM，
在△AHM和△FGM中，
∴△AHM≌△FGM(ASA)，
∴HM=GM， AH =FG，
∴ M是HG的中点，即
， AH=FG=CG，
∴AD﹣AH=CD﹣CG， 即DG=DH，
∴△DGH是等腰直角三角形，
所以知道DG的长度，可求出GH，一定能求出线段DM的长.
故答案为：B.
【分析】连接GM并延长交AD于H，根据两直线平行，内错角相等可得∠MAH =∠MFG，然后利用“角边角”证明△AHM和△FGM全等，根据全等三角形对应边相等可得HM=GM， AH=FG， 再求出DH=DG，然后根据等腰直角三角形的性质解答.
7．如图，正方形和正方形的顶点在同一直线上，且，给出下列结论：
①，
②，
③的面积，
④，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；补角
【解析】【解答】解：①∵EF=，
∴OE=4，
∵AO=AB=6，
∴AE=AO+OE=6+4=10，故正确；
②∵∠AOC=90°，∠DOE=45°，
∴∠COD=180°-∠AOC-∠DOE=45°，故正确；
③作FG⊥CO交CO的延长线于G，
则FG=2，
∴△COF的面积S△COF=×6×2=6，故正确；
④作DH⊥AB于H，
CF=，
BH=6-2=4，
DH=6+2=8，
BD=，
故错误．
故选：A．
【分析】根据勾股定理可得OE，再根据边之间的关系可判断①；根据补角可判断②；作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG=2，根据三角形面积可判断③；作DH⊥AB于H，根据勾股定理可得CF，根据边之间的关系可得BH，DH，再根据勾股定理可判断④.
8． 如图， △ABC为等腰直角三角形， BF平分∠ABC， 交AC于点 F， AD⊥BF交BF的延长线于点 D，交BC的延长线于点E，CG⊥BF于点G.下列结论：①∠E=3∠ABD；②AF = CF；③AD-CG=GF；④CF =( -1)DE其中正确的是(　　)
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵△ABC为等腰直角三角形
∴∠ABC=∠BAC=45°
∵BF平分∠ABC
∴∠ABD=∠ABC=22.5°
∵BF平分∠ABC，BD⊥AE
∴BA=BE
∴∠BAE=∠BEA=
∴∠E=3∠ABD，故①正确；
连接EF，
∵BD平分∠ABC，BD⊥AE
∴BD平分AE
∴BD垂直平分AE
∴EF=AF
∵△ABC为等腰直角三角形
∴CA=CB
∵∠CAE+∠E=90°，∠CBF+∠E=90°
∴∠CAE=∠CBF
又∵∠BCF=∠ACE=90°
∴△BCF≌△ACE(ASA)
∴CE=CF
∴EF=CF
∴AF=CF，故②正确；
过点C作CH⊥AE于点H，
∵△BCF≌△ACE(ASA)
∴CE=CF，CG=CH
∴△CFG≌△CEH(HL)
∴GF=EH
又∵CG⊥BD，CH⊥AE，GD⊥DH，CG=CH
∴DHCG为正方形
∴GC=DH
∵AD-CG=DE-DH=EH
∴AD-CG=GF，故③正确；
设CE=m，则CF=m，AF=m，AE=
∴DE=AE=
∴，即CF=，故④错误；
综上所述，①②③正确；
故答案为：A .
【分析】由BD平分∠ABC，BD⊥AE，知△ABE为等腰三角形，由等腰直角三角形知∠ABC=45°，由此可得E的度数和∠ABD的度数，即知①正确；连接EF，可证△BCF≌△ACE得CE=CF，由垂直平分线知AF=EF，由此知②正确；过点C作CH⊥AE于点H，可知DHCG为正方形，同时△CFG≌△CEH可证③正确；设CE=m，则AF=m，求出DE的长，即知CF与DE的关系，知④错误.
9．如图，，是正方形的边上两个动点，．连接，交于点，连接，交于点．若正方形的边长为2，则线段的最小值是（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：取的中点，连接、，如下图
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
∵点O是CD的中点
∴，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当、、三点共线时，的长度最小，
的最小值．
故答案为：D．
【分析】
本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据正方形的性质：四边形相等，四个角都是90°，可知：，，，再根据全等三角形的判定定理：SAS可证明，由全等三角形的性质：对应角相等得出：，再根据全等三角形的判定定理：SAS证明，由全等三角形的性质得出，再由角的和差和等量代换可得：即，∠DMC=90°，取的中点，连接、，由直角三角形的性质：直角三角形斜边的中线=斜边的一半可知：，由勾股定理求出的长，当、、三点共线时，的长度最小，则可求出答案．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①AP＝EF且AP⊥EF；②∠PFE＝∠BAP；③△ADP一定是等腰三角形；④四边形PECF的周长为；⑤EF的最小值为；⑥ PB2＋PD2＝2PA2．其中正确结论的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】①连接PC，延长FP交AB于点G，
∵PE⊥BC， PF⊥CD，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∵正方形ABCD中，∠BCD=90°，
∴∠EPF=90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，
由正方形的对称性知，AP=PC，
∴AP=EF；
∵AB∥CD，
∴PF⊥AB，
∵△APG和△FEP中，PE⊥PG，PF⊥AG，
∴AP⊥EF；
∴正确；
②∵PC=EF，PE=EP，
∴Rt△PCE≌Rt△EFP(HL)，
∴∠PFE=∠ECP，
∵∠BAP=∠BCP，
∴∠BAP=∠PFE；
∴正确；
③∵∠ADP=45°，
∴∠DAP+∠DPA=135°，
∵∠DAP＜∠DAB=90°，∠DPA＞∠DBA=45°，
∴只有当∠DAP=∠DPA=67.5°时，或∠PAD=∠PDA=45°时，△ADP才是等腰三角形，除此之外都不是等腰三角形；
∴不正确；
④∵∠BDC=∠DBC=45°，∠DFP=∠PEB=90°，
∴∠BPE=90-∠PBE=45°，∠DPF=90-∠PDF=45°，
∴BE=PE，DF=PF，
∴PE+EC+PF+CF=(BE+EC)+(DF+CF)=BC+CD=4+4=8；
∴不正确；
⑤连接AC，设AC与BD交点为O，
则AC⊥BD，
∴AP≥AO，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴EF的最小值为；
∴正确；
⑥∵，PE=BE，PF=DF，
∴，
即；
∴正确．
故选：B．
【分析】本题主要对正方形，矩形，全等三角形，轴对称，等腰三角形，勾股定理等知识点进行考查；
① 首先，连接PC并延长FP，交AB于点G。由于已知PE垂直于BC，PF垂直于CD，并且在正方形ABCD中，∠BCD为90°，我们可以得出四边形PECF是矩形，因此PC等于EF。根据正方形的对称性，进一步推导出AP等于PC，即AP=EF。接下来，由于PE垂直于PG，PF垂直于AG，因此我们也可以得出AP垂直于EF。故①是正确的；
② 由于PC=EF，且PE=EP，我们可以得出直角三角形PCE与EFP是全等的（Rt△PCE ≌ Rt△EFP）。因此，∠PFE=∠ECP。又根据已知条件∠BAP=∠BCP，我们可以推导出∠BAP=∠PFE。故②是正确的；
③ 根据∠ADP=45°，可以得出∠DAP+∠DPA=135°。同时，已知∠DAP＜∠DAB=90°，并且∠DPA＞∠DBA=45°。因此，只有在∠DAP=∠DPA=67.5°或∠PAD=∠PDA=45°的情况下，△ADP才会是等腰三角形。除此之外，△ADP都不是等腰三角形。故③的结论是不正确的；
④ 根据已知条件∠BDC=∠DBC=45°，以及∠DFP=∠PEB=90°，我们可以得出∠BPE=45°和∠DPF=45°。由此，得出BE=PE和DF=PF。因此，PE+EC+PF+CF可以表示为（BE+EC）+（DF+CF），即BC+CD。根据题设，BC=4，CD=4，因此PE+EC+PF+CF=4+4=8。故④的结论是不正确的；
⑤连接AC，设AC与BD交点为O，得到AC⊥BD，AP≥AO，根据题干信息，可得，所以，得到，推出EF的最小值为；⑤正确；
⑥根据，PE=BE，PF=DF，得到，得到；⑥正确．
二、填空题
11． 如图， 在△ABC中， AB=BC=15， AC=18， 在边AC上依次取两点D， E， 使DE=4，以DE为边作正方形DEFG．当DE在边AC上滑动时，点B，F之间的距离最小值为　 　．
【答案】8
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥AC于点H，交GF的延长线于点Q
∵四边形DEFG为正方形
∴GF∥AC，DG⊥FG，GD⊥AC
∵BH⊥AC，BH⊥GF
∴四边形GDHQ为长方形
∴GD=HQ=4
∵AB=BC=15， AC=18
∴
∴，BQ=BH-QH=8
由垂线段最短，得到当点F与点Q重合时，BF取得最小值
故答案为：8
【分析】过点B作BH⊥AC于点H，交GF的延长线于点Q，根据正方形性质可得GF∥AC，DG⊥FG，GD⊥AC，根据长方形判定定理可得四边形GDHQ为长方形，则GD=HQ=4，再根据勾股定理可得BH，根据边之间的关系可得BQ，由垂线段最短，得到当点F与点Q重合时，BF取得最小值，即可求出答案.
12．如图将边长为4的正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD的中点E处，则折痕的FG长度为　 　，折痕的上半部分与下半部分面积之比为　 　.
【答案】；5：3
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接EF，AE，过点G作GH⊥AC于点H，则ABGH是矩形，
∴GH=AB=AC，
∵E是CD的中点，
∴CE=ED=2，
由折叠可得EF=AF，AE⊥FG，
设AF=EF=x，则CF=4-x，
在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2，即22+(4-x)2=x2，
解得x=2.5，∴CF=1.5，AF=2.5，
∵GH⊥AC，AE⊥FG，
∴∠C=∠GHF=90°，∠CAE+∠AFG=∠CAE+∠AEC=90°，
∴ ∠AFG=∠AEC，
∴△GFH≌△AEC，
∴FH=CE=2，
∴BG=AH=AF-FH=2.5-2=0.5，，
∴DG=BD-BG=4-0.5=3.5，
∴ 折痕的上半部分与下半部分面积之比为(CF+DG)：(AF+BG)=(1.5+3.5)：(2.5+0.5)=5：3，
故答案为：；5：3.
【分析】连接EF，AE，过点G作GH⊥AC于点H，则ABGH是矩形，然后根据折叠的性质和勾股定理求出AF长，然后根据AAS得到△GFH≌△AEC，即可求出FH=CE=2，再根据勾股定理求出折痕长，然后根据梯形的面积公式求出比值解答即可.

13．如图， 为正方形 内一点，BC ，过点 作 交射线 于点 ，连结 ．若正方形边长为 ，则 　 　。
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】连接AC、BD，设BF与CE交于点O，
∵BE=BC，BF⊥EC，
∴BF平分∠EBC，即∠EBF=∠CBF，
又∵BF=BF，
∴△EBF≌△CBF，
∴∠BFE=∠BFC，FE=FC，
设∠EBF=∠CBF=，
∵ABCD是正方形，
∴BA=BC=CD=DA=BE，∠ABC=90°，∠ACD=∠ACB=45°，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-2，
∵BE=BA，
∴∠BAE=∠BEA=，
又∵∠EBC=2，BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=90°-，
∴∠FEC=180°-∠BEA-∠BEC=45°，
∴∠BFE=∠BFC=，
又∵∠ADC=∠AFC=90°，
∴∠AFD=∠ACD=45°，
∴∠DFB=∠AFD+∠BFE=90°，
在Rt△BCD中，，
在Rt△BFD中，，
故答案为：.
【分析】连接AC、BD，设BF与CE交于点O，先证明△EBF≌△CBF，即可得到∠BFE=∠BFC，FE=FC，然后设∠EBF=∠CBF=，然后根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到∠DFB=90°，然后根据勾股定理解题即可.
14．在等腰直角中，，，将直角边绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，连接，．若为等腰三角形，则此时线段的长为　 　．
【答案】2或或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；正方形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：在等腰直角中，，，
∴，
当时，如图，，
；
当时，如图，过P作于E，过C作于F，
∴，
∵旋转，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
；
当时，如图，
∴，
∴四边形是菱形，
又，
∴菱形是正方形，
∴，
∴，
综上，的长为2或或，
故答案为：2或或．
【分析】利用等腰直角三角形的定义可求出BC的长，分三种情况讨论：当时；当时，过P作于E，过C作于F，根据三线合一的性质求出CE的长，利用旋转的性质可证得AC=AP，，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理表示出∠ACP和∠APC的度数，即可得到∠PCE的度数，可推出，利用AAS可证得，利用全等三角形的性质可得到FC的长，再利用勾股定理求出AF的长，可得到PF的长，然后利用勾股定理求出CP的长；当时，易证四边形是正方形，利用正方形的性质可证得∠CBP=90°，利用勾股定理求出CP的长；综上所述可得到符合题意的CP的长.
15．如图，在四边形ABCD中，，，垂足为，延长EF交AD于点，与互余，则　 　．
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点B作，连接EH，
，
，
，
四边形ABHD是矩形，，
与互余，
，
，
，
，点F、H关于BC对称，
四边形ABHD是正方形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】作，易证四边形ABHD是矩形，进而证得，再通过AAS判定得到AB=BH，进而证得四边形ABHD是正方形，然后由AAS判定得到HG=BC，从而求得FG的长度.
三、解答题
16．如图1，点E为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点A逆时针方向旋转度点B、E的对应点分别为点、．
（1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长；
（2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长交于点F，连接，求的长；
（3）在直角三角形绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围．
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
由旋转的性质得：，
∴；
故答案为：，
（2）解：过点C作于点G，如图所示：
则，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
（3）
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵直角三角形绕点A逆时针方向旋转度点B、E的对应点分别为点、，∴当时，与E重合，最短， ，
当落在CA的延长线上时，，最长，，
故答案为：．
【分析】
（1）根据正方形的性质，利用勾股定理求出和的长，再根据旋转可得的长，利用线段的和差解答即可，
（2）作，根据正方形的性质，利用AAS得到，即可得到，，然后根据勾股定理解答即可，
（3）根据题已得到线段CE'最长和最短的位置解答即可．
17．如图，在正方形ABCD中，点E，点F分别在边AD， CD上，且满足AE=CF，点O是对角线BD的中点，连接EO.
（1）求证： △ABE≌△CBF.
（2）若EO⊥BF.
①求证： ∠BEO=2∠ABE.
②求证：
【答案】（1）证明： ∵正方形ABCD，
∴∠A=∠C=90°， AB=BC，
在△ABE与△CBF中，
∴△ABE≌△CBF(SAS)；
（2）证明：①延长EO交BF， BC分别于点M， H，作EG⊥BC于点G，如图，
则EG=AB， EG∥AB， ∠EGH=90°，∴EG=BC， ∠BEG=∠ABE， ∠HEG+∠EHG=90°，
∵EO⊥BF，
∴∠MBH+∠EHG=90°，
∴∠HEG=∠HBM，
∵正方形ABCD，
∴∠A=∠C=90°， AB=BC，
在△ABE与△CBF中，
∴△ABE≌△CBF(SAS)，
∴∠ABE=∠CBF，
∴∠HEG=∠ABE，
∴∠BEO=∠BEG+∠HEG=2∠ABE；
②由①可知： EG=BC， ∠HEG=∠HBM， ∠EGH=∠C=90°，
∴△BCF≌△EGH(ASA)，
又∵△ABE≌△CBF(SAS)，
∵正方形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠EDO=∠HBO， ∠DEO=∠BHO，
∵O为BD的中点，
∴△DOE≌△BOH(AAS)，
即 ，
又∵
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】(1)利用SAS证明 即可；
(2)①延长EO交BF， BC分别于点M， H，作 C于点G，则 进而推出 进而得到∠B 即可；
②证明 S)，进而得到 推出 三角形的中线的性质得到 证明 OH(AAS)，推出 进而得到 即可得证.
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