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北京市通州区2026年初中学业水平模拟考试（一模）数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，直线与交于点，，，则的度数为( )
A. B. C. D.
3.已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为( )
A. B. C. D.
4.年我国新能源汽车产销量再创新高．据统计，截至年底，全国新能源汽车保有量突破万辆．若每辆新能源汽车平均每年可减少碳排放量约吨，则全国新能源汽车一年减少的碳排放总量约为( )
A. 吨 B. 吨 C. 吨 D. 吨
5.实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
6.在一个不透明的袋子中装有个红色小球，个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是( )
A. B. C. D.
7.如图，内接于，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于、两点，作直线交于点，连接并延长交于点，连接、，则的度数是( )
A. B. C. D.
8.如图，函数的图象与过原点的直线相交于，两点，点是第一象限内双曲线上的动点点在点的左侧，直线分别交轴，轴于，两点，连结分别交轴，轴于点，，连结给出下面四个结论：
若于点，则；
可能是等腰直角三角形；
与面积相等；
若，则．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，共27分。
9.若代数式有意义，则实数的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.方程的解为 ．
12.在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和点，则的值为 ．
13.“抖空竹”，这一极具民族特色的传统健身项目，以其独特魅力成为我国传统文化宝库中一颗璀璨闪耀的明珠．图是小王同学抖空竹的瞬间，小张同学将其抽象成图所示的数学问题：在平面内，为平行线外一点，连接若，则的度数为 ．
14.某小区有、、、四栋楼共个住户，为了解小区住户的生活垃圾量单位：，物业公司某日在该小区内随机抽取四栋楼的住户进行调查，结果如表所示．根据表格，估计该小区住户当日生活垃圾总量为 ．
所抽取的居民楼 栋 栋 栋 栋
住户数户
被抽取住户当日产生的生活垃圾总量
15.如图，在矩形中，平分交于点，连结，点为的中点，连接，若，，则的长为 ．
16.某科技公司对四款软件甲、乙、丙、丁进行效率测试．每款软件处理不同数量的任务所获得的“效率分”如下表所示分数越高代表效率越高在分配任务时，每款软件只能被分配一次任务．
个任务 个任务 个任务 个任务 个任务 个任务
甲
乙
丙
丁
现需将个任务分配给这四款软件处理，且每款软件至少处理个任务．为了使总效率分最大，应向 填“甲”、“乙”、“丙”或“丁”软件分配个任务；
如果共有个任务，可以分配给其中一款或多款软件处理，那么这个任务全部处理后，可获得的最大总效率分是 分．
三、计算题：本大题共2小题，共8分。
17.计算：．
18.解不等式组：
四、解答题：本题共10小题，共41分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知，求代数式的值．
20.本小题分
如图，在中，，点，点分别是，的中点，延长到点，使，连接，，，，与交于点．
求证：四边形是平行四边形；
若，，求的长．
21.本小题分
北京城市副中心日新月异、蓬勃发展，这里既有古韵悠长的燃灯古塔，也有现代气派的“三大建筑”为更好地宣传家乡，数学课堂上，教师组织学生为家乡设计长方形旅游宣传牌．如图所示，该宣传牌长，宽，计划在牌面均匀绘制幅大小相同的画作，内容可涵盖本地景点、美食、人文风貌等，以此展现城市魅力，讲好家乡故事．要求如下：图中四周空白部分的宽度相等，宽度均为；为了美观，将设计部分分成大小相等的上、中、下三个长方形栏目，如图，栏目与栏目之间的中缝间距相等，相邻中缝间距均为；在每个长方形栏目划出大小相同的正方形方格，如图，中间有十字间隔，横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为求图中小正方形的边长．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，．
求，的值；
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，直接写出的取值范围．
23.本小题分
根据最新的教育政策，从年春季学期开始，全国义务教育阶段的学校将逐步实施每天一节体育课的规定．这一政策旨在增强学生的体质健康，确保他们有足够的体育活动时间．某中学充分利用体育活动时间举行跳远比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分单位：分，满分分进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：根据信息，解答下列问题：
信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示．
信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是，，．
信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下表所示：
选手统计量 甲 乙 丙
平均数
中位数
表中 ， ；
从甲、乙两位选手的得分折线图可知，甲、乙选手五轮得分的方差，的大小关系为 填“”“”或“”；
该校准备推荐一名选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由．
24.本小题分
如图，已知为半圆的直径，为半圆上一点，连接，，过点作于点，过点作半圆的切线交的延长线于点，连接．
求证：为圆的切线；
连接并延长交于，若半圆的直径为，，求的长．
25.本小题分
为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在、两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量克和克与时间分钟的部分数据：
分钟
克
克
经研究发现，可以分别用函数刻画，与之间的关系．场景下试剂挥发过程中的剩余质量与时间近似满足函数关系：，与近似满足一次函数关系，图象如图所示．
写出表中的值：______，并在给定的平面直角坐标系中画出场景下试剂挥发过程中的剩余质量克与时间分钟的函数图象；
根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
在场景下，剩余质量随时间减少的变化趋势是 ；
A.匀速变化 先快后慢 先慢后快
查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克．在上述实验中，该化学试剂在场景 填“”或“”下发挥作用的时间更长．
当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第 分钟．
26.本小题分
在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过原点和点，抛物线：．
求的值，并用含的式子表示；
过点作轴的垂线，交于点，交于点点与点不重合．
当，时，求的长；
若点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围．
27.本小题分
已知线段，将线段绕点逆时针旋转得到线段，将线段所在的射线绕点顺时针旋转得到射线，其中在射线上取一点，连结，作交线段于点．
如图，当时，求证：平分；
如图，当时，如图，在上取一点，使，连结交于点用等式表示线段和之间的数量关系，并证明．
28.本小题分
在平面直角坐标系中，图形上存在点，图形上存在点，图形上存在点，满足点，点，点任意两点之间的距离都相等，称图形，，具有“平等关系”．
已知点．
若点，点，点具有“平等关系”，则点的坐标为______；
如图，半径为，若点，，点具有“平等关系”，求的值；
如图，点，，以点为圆心的两个同心圆，其中一个圆的半径为，另一个圆的半径为若线段与这两个同心圆具有“平等关系”，直接写出的取值范围．
参考答案
1.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.度
14.
15.
16.【小题】
丁
【小题】

17.解：原式
．

18.解：
解不等式，得．
解不等式，得．
不等式组的解集为．

19.解：原式，
，
，
原式．

20.【小题】
证明：点，点分别是，的中点，
，，
，
，，
四边形是平行四边形．
【小题】
解：，，，
在中，，
点是的中点，，
，
四边形是平行四边形，
，
在中，，
．

21.解：根据题意可知，图中小长方形的宽为，长为．
横向两行中间间隔和竖向中间间隔宽度比为，
设横向两行中间间隔为，则竖向中间间隔宽度为．
根据题意，得：，
解得，
．
答：小正方形的边长为．

22.【小题】
解：函数的图象经过点，，
，
，
；
【小题】
解：由得，，
当时，，
将代入得，
当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，如图所示，
．

23.【小题】
【小题】
【小题】
解：应该推荐乙选手，理由如下：
乙的中位数最高，乙的平均数和丙一样都比甲高，
应该推荐乙选手．

24.【小题】
证明：如图，连接，
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
是半圆的切线，
，
，
，
为半径，
为圆的切线．
【小题】
解：作于，如图，
半圆的直径为，为半圆的直径，，
，
，
设，
，
解得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
．

25.【小题】
解：与近似满足一次函数关系，观察表格数据可知，时间每增加分钟时，剩余质量减少克，
；
克与时间分钟的函数图象如图所示；
【小题】
【小题】

26.【小题】
解：抛物线：经过原点和点，
分别代入得：，，
；
【小题】
解：当时，抛物线：，抛物线：，
过点作轴的垂线，交于点，交于点，
当时，对于抛物线：，对于抛物线：，
点，，
；
点，
点，点，
构造新函数：，
当时，，从点运动到点的过程中，“起点”和“终点”都在轴左侧，如图，
的长随的长的增大而增大，符合题意．
当时，，从点运动到点的过程中，“起点”和“终点”都在轴右侧，如图，
若“起点”和“终点”都在这一段内，
则，，解得；
若“起点”和“终点”都在这一段内，
则；
综上，或或．

27.【小题】
证明：将所在的射线绕点顺时针旋转得到射线，
，
，
中，，
，
，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
中，，
，
平分．
【小题】
证明：延长到，使，连接，如图，
则，
，
，
线段绕点逆时针旋转得到线段，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．

28.【小题】
解：点，点，点具有“平等关系”，
是等边三角形
如图，取点，当点在轴上方时，连接
点的坐标为
当点在轴下方时，同理可得，点的坐标为
综上所述，点的坐标为或；
如图，点的坐标为，点在上，
是等边三角形
，
半径为的与点，点具有“平等关系”，
上存在一点，直线上存在一点，满足
是等边三角形
点的坐标为
轴
点的坐标为或
或；
【小题】
解：线段与这两个同心圆具有“平等关系”，
线段上存在一点，半径为的上存在一点，半径为的上存在一点，满足
是等边三角形
，，
轴，
线段与半径为的的最短距离为点和之间的距离
如图，在右侧作等边，当点坐标为时，
，
如图，当点在线段上时，取得最小值，即的最小值为；
如图，在右侧作等边，当点和点重合时，

，
如图，当点在线段上时，取得最大值，即的最大值为；
综上所述，的取值范围为．

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