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北京市海淀区北京理工大学附属中学2025—2026学年度第二学期七年级数学期中练习
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，无理数是( )
A. B. C. D.
2.点在平面直角坐标系中所在的象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，直线被直线所截，，，则的度数是( )
A. B. C. D.
5.某智能机器人在平面直角坐标系中移动，起始位置对应点，若点沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位，得到机器人新位置对应的点，则点的坐标是( )
A. B. C. D.
6.下列四个命题中，假命题的是( )
A. 对顶角相等
B. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
C. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行
D. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
7.清明节假期，玉渊潭公园迎来大批游客赏花探春，如图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若表示早樱报春的点的坐标为，表示中堤桥的点的坐标为，则表示远香园的点的坐标为( )
A. B. C. D.
8.某校数学节开展“拼图接力跑”活动，七年级班参赛同学分成两组：一部分同学负责接力奔跑运送拼图碎片，另一部分同学在终点完成拼图．设负责拼图的同学有人，负责接力跑的同学有人．一开始，负责拼图的人数比接力跑的人数多人．因任务需要，老师从拼图队里抽调人加入接力跑队，调整后，接力跑队的人数正好是拼图队人数的倍．请根据以上情境，列出关于、的二元一次方程组( )
A. B.
C. D.
9.如图，正方形的面积为，顶点在数轴上，且点表示的数为，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为( )
A. B. C. D.
10.在平面直角坐标系中，如果点的坐标满足，则称为“和积点”根据以上定义，下列说法中不正确的是( )
A. 点是“和积点”
B. 纵坐标为的点都不可能是“和积点”
C. 若一个“和积点”的横坐标和纵坐标都是整数，那么符合条件的点有且只有个
D. 对于第二象限内的“和积点”，它的纵坐标一定大于
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知是一个二元一次方程的解，请写出一个满足条件的二元一次方程 ．
12.若，则 ．
13.若一个正数的两个平方根分别是和，则的值是 ．
14.如图，在数轴上表示实数的点可能是 ．
15.平面直角坐标系中，点，，若直线与轴平行，则点的坐标是 ．
16.如图，光的反射定律内容如下：反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．
如图，甲同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板直线的夹角，则下列度数中，反射光束与天花板所形成的角可能取到的度数为 填序号．
；；；
三、解答题：本题共10小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.实数计算：
18.解下列方程组：
19.完成下面的证明．
已知：如图，求证：平分．
证明：，

．
，

，

又，
，
平分．
20.如图，点在的边上，按要求作图并回答问题：
过点作边的垂线交边于点；
过点作边的垂线段，垂足为；
过点作的平行线交边于点；
比较三条线段，，的长度，并用“”连接． ，得此结论的依据是 ．
21.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，格点三角形顶点是网格线交点的三角形的顶点的坐标分别是．
请在如图所示的网格内画出平面直角坐标系；
把三角形先向右平移个单位，再向下平移个单位得到三角形，请在图中画出三角形；
连接，请直接写出四边形的面积为 ．
22.如图，，．
求证：；
若，则的度数为 ．
23.月日国际数学日节，我校数学学科组筹办脑力闯关游园会，需统一采购用具，其中传统解锁益智九连环每套元，竞速三阶魔方每套元．本次采购传统解锁益智九连环比竞速三阶魔方的套数少套，共花费元．此次活动中传统解锁益智九连环和竞速三阶魔方各采购了多少套？
24.若关于的二元一次方程组的解满足，则称该方程组为“美好方程组”例如：方程组的解为，满足，所以是“美好方程组”
试判断二元一次方程组是否是“美好方程组”，并说明理由；
若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，求的值；
若关于的二元一次方程组是“美好方程组”，且为正整数，直接写出的值 ．
25.如图，，直线与直线分别交于点与点，平分平分．
求证：；
是直线上的一个动点不与点重合，平分交直线于点，过点作交直线于点，设．
当点在点的左侧时，依据题意在图中补全图形，若，则 ．
当点在运动的过程中，直接写出和之间的数量关系 ．
26.在平面直角坐标系中，若为矩形内不包括边界一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线将矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称为矩形的矩宽点．例如：下图中的点为矩形的一个矩宽点．
在点，，中，矩形的矩宽点是 ；
若点为矩形的矩宽点，直接写出的值 ；
将矩形的矩宽点按其坐标特征平移：若点横坐标大于纵坐标，则点向左平移一个单位；若点的横坐标小于等于纵坐标，则点向右平移一个单位．点平移后的点为点，则称点为矩形的矩宽平移点．已知点恰好为矩形的矩宽平移点，请直接写出点的坐标 ．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.答案不唯一
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：
．

18.【小题】
解：
，得，
解得，
将代入，得，
解得，
该方程组的解为；
【小题】
解：
，得，
解得，
将代入，得，
解得，
该方程组的解为．

19.垂直的定义
同位角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等

20.【小题】
解：如图，就是所作的垂线；
【小题】
解：如图，就是所作的垂线段；
【小题】
解：如图，就是所作的平行线；
【小题】
垂线段最短

21.【小题】
解：如图所示，即为所求；
【小题】
解：三角形即为所求；
【小题】

22.【小题】
证明：，，
，
，
，
，
，
；
【小题】

23.解：设购买竞速三阶魔方套，则采购传统解锁益智九连环套，根据题意得，
解得，
套
答：此次活动中传统解锁益智九连环采购了套，竞速三阶魔方采购了套．

24.【小题】
解：该方程组是“美好方程组”，理由如下：
，
，得，
解得，
将代入得，
解得，
该方程组的解为，
，
该方程组是“美好方程组”；
【小题】
解：是“美好方程组”，
，得，
，
解得；
【小题】

25.【小题】
证明：平分平分，
，
即
，
，
，
；
【小题】
或

26.【小题】
【小题】
或
【小题】
或

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