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广东省深圳市翠园文锦中学2025年中考适应性检测数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其 中只有一个是正确的）
1．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．实数、、、在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．（m+2）2＝m2+4 B．m5﹣m3＝m2
C．（﹣m2n）3＝﹣m6n3 D．﹣2m（2m3﹣m）＝﹣4m4﹣2m2
4．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表：
射击次数 100 200 300 400 500 800 1000
“射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 712 900
“射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.89 0.90
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（　　）
A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95
5．如图，在中，点，分别在，上，DE∥BC，若，，则的长为（　　）
A．14 B． C．8 D．6
6．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为 天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．图①是一种青少年版可折叠滑板车．该滑板车完全展开后如图②所示，由车架和两个大小相同的车轮组成，点B到地面的距离为110cm，车轮直径20cm，，，，，且A，E，F三点在同一水平高度上；将车架前半部分绕着点D旋转，完全折叠后如图③所示，．则相比完全展开时，完全折叠后车把（点B）降低的高度为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
10．若矩形的周长为，两邻边的比为，则它的对角线长为　 　．
11．如图所示，用若干小棒拼成排由五边形组成的图形，若图形中含有1个五边形，需要5根小棒；图形中含有2个五边形，需要9根小棒；图形中含有3个五边形，需要13根小棒；若图形中含有n个五边形需要小棒的根数是　 　根．
12．如图，已知点A是反比例函数的图象上的一个动点，连接OA，若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为　 　．
13．如图，在中，，，点为上一点，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，若，，则的长度为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（1）计算：．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
15．2025年6月26日 28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）．
16．某果园今年种植的苹果喜获丰收，该果园种植了甲、乙两种品种的苹果，现随机选取两种品种的苹果树各10棵，对苹果个数进行统计并记录如下：
甲品种：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
个数 68 76 65 47 65 71 65 78 70 75
乙品种；
（1）填空：
品种 平均数 众数 中位数 不低于80个的频率 方差
甲 68 ②___________ 69 0 69.4
乙 ①___________ 45 ③___________ ④___________ 329
（2）根据上述材料分析：
①如果果园计划扩大种植面积，在两种品种苹果销量和价格一致的情况下，增加哪个品种的苹果种植面积更好？请说明理由；
②如果农科所要选取其中一个品种研究以获得更高产量，应该选取哪个品种？请说明理由．
17．如图是由2个全等的正方形错位叠放组成的图形，请仅用没有刻度的直尺按要求完成下列作图．
（1）在图1中画一个平行四边形（要求所画出的平行四边形不是矩形）；
（2）在图2中画一个菱形（要求所画出的菱形不是正方形）．
18．在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求与的函数表达式；
（2）若该容器内气体的压强不得超过，求该容器体积的取值范围．
19．综合与实践
问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时与的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
20．如图（1）所示，已知在中，，O在边上，点F是边中点，以O为圆心，为半径的圆分别交，于点D，E，连接交于点G．
（1）如果，求证：四边形为平行四边形；
（2）如图（2）所示，连接，如果，，，求边的长；
（3）连接，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 三视图的知识得从上面看，得到的图形是 ：
故答案为：B．
【分析】从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线即可得答案.
2．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：由图可知，，，，，
比较四个数的绝对值排除和，
根据绝对值的意义观察图形可知，离原点的距离大于离原点的距离，
，
这四个数中绝对值最小的是.
故答案为：B.
【分析】利用绝对值的定义（表示数到原点的距离）并结合数轴分析求解即可.
3．【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： 故A不符合题意；
不是同类项，不能合并，故B不符合题意；
（﹣m2n）3＝﹣m6n3，故C符合题意；
﹣2m（2m3﹣m）＝﹣4m4+2m2，故D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据完全平方公式、合并同类项的方法、积的乘方运算和单项式乘多项式的方法，然后再逐一对各个选项进行分析，即可求解。
4．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察频率变化趋势分析表格中不同射击次数对应的频率值：
- 当射击次数为100时，频率为0.82；
- 200次时为0.88；
- 300次时为0.89；
- 400次时为0.91；
- 500次时为0.90；
- 800次时为0.89；
- 1000次时为0.90。
当射击次数达到1000次时，频率稳定在0.90附近（500次0.90、800次0.89、1000次0.90），说明随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.90左右。
故选：C．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∴．
故选：C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：光线平行，
，
水面和玻璃底部平行，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设规定时间为x天，则慢马需要的时间为（x+1）天，快马的时间为（x-3）天，
∵快马的速度是慢马的2倍
∴ ，
故答案为：A.
【分析】由题意根据题中的相等关系“快马的速度=2慢马的速度”可列方程.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点D作于点，交的延长线于点，如图，
在中，，
∴设则，
∵，
∴，
解得，，
∴，
在中，
∵cos∠AEC=
∴∠AEC=45°
∴，
又车轮的半径为：，
∴折叠后点B离地面的高度，
∴完全折叠后车把（点B）降低的高度为．
故选：B．
【分析】过点D作于点，交的延长线于点，设则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再解直角三角形可得HD，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
10．【答案】
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设矩形的两邻边为，，
由题意可得：，
解得：，
，，
它的对角线长为：，
故答案为：．
【分析】设矩形的两邻边为，，根据矩形周长建立方程，解方程可得，再根据勾股定理即可求出答案.
11．【答案】（4n+1）
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：观察图形可知：
图形中含有1个五边形，需要5根小棒；即4×1+1，
图形中含有2个五边形，需要9根小棒；4×2+1，
图形中含有3个五边形，需要13根小棒；4×3+1，
…
若图形中含有n个五边形需要小棒的根数是（4n+1）．
故答案为：（4n+1）．
【分析】根据前几个图形中所需小棒的个数，总结规律即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】旋转的性质；旋转对称图形；反比例函数图象上点的坐标特征；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解∵点A是反比例函数的图象上的一个动点，
∴设A（m，n），过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴AC=n，OC=﹣m，∴∠ACO=∠ADO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠AOC=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠BOD，
在△ACO与△ODB中，
∵∠ACO=∠ODB，∠CAO=∠BOD，AO=BO，
∴△ACO≌△ODB，
∴AC=OD=n，CO=BD=﹣m，
∴B（n，﹣m），
∵mn=﹣2，
∴n（﹣m）=2，
∴点B所在图象的函数表达式为，
故答案为．
【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，设A（m，n），先证出△ACO≌△ODB，利用全等三角形的性质可得AC=OD=n，CO=BD=﹣m，再结合mn=﹣2，求出点B所在图象的函数表达式为即可.
13．【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在线段上截取，连接，
，CF⊥BD
，
，
，
在和中，
，
，
，，
∠BAC=∠BAH+∠HAC=∠FAC+∠HAC=∠HAF
∴三角形HAF是等腰直角三角形
∴AE=HF=EF=3
HF=6
，
故答案为：．
【分析】在线段上截取，连接，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据等腰直角三角形性质可得HF，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】解：（1）解：原式
．
（2）任务一：①乘法分配律（或分配律）；
②五；不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；
任务二：
【知识点】解一元一次不等式；有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：（2）①乘法分配律（或分配律）
②五 不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；
任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得：．
【分析】（1）根据有理数的乘方，绝对值性质化简，再结合有理数的混合运算即可求出答案.
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
15．【答案】解：设这个最小数为，则最大数为，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解日历表的中数与数的关系，正确列式求解是关键．
设这个最小数为，则最大数为，由此列方程求解即可．
16．【答案】（1）①68，②65，③68，④0.4
（2）解：①甲品种平均产量和乙品种一致，但甲品种方差更小，稳定性更好，同时它的众数和中位数均高于乙品种，大面积种植风险更小，故选甲．
②应该选取乙品种，因为乙品种不低于80个的高产苹果频率为40%，甲品种为0，故乙品种更容易出现高产苹果．
【知识点】频数与频率；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：乙的平均数为：；
甲的数据中出现次数最多的是，故众数为65；
乙的数据排序后，中位数为：；
乙品种中不低于80个的频率为：；
故答案为：68；65；68；0.4
【分析】（1）根据平均数，众数，中位数的定义和频率的计算方法即可求出答案.
（2）根据各统计量的意义进行判断即可求出答案.
（1）解：乙的平均数为：；
甲的数据中出现次数最多的是，故众数为65；
乙的数据排序后，中位数为：；
乙品种中不低于80个的频率为：；
填表如下：
品种 平均数 众数 中位数 不低于80个的频率 方差
甲 68 65 69 0 69.4
乙 68 45 68 0.4 329
（2）①甲品种平均产量和乙品种一致，但甲品种方差更小，稳定性更好，同时它的众数和中位数均高于乙品种，大面积种植风险更小，故选甲．
②应该选取乙品种，因为乙品种不低于80个的高产苹果频率为40%，甲品种为0，故乙品种更容易出现高产苹果．
17．【答案】解：（1）图1中平行四边形为所求；
（2）图2中菱形为所求．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握矩形与菱形的性质是解题关键．（1）利用平行四边形的判定定理（对边平行且相等的四边形是平行四边形）结合矩形的性质得出即可；
（2）利用菱形的判定定理（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）结合矩形的性质得出符合题意的答案．
18．【答案】（1）解：设，由题意知，
，即；
（2）解：当时，．
在第一象限，随的增大而减小，
当时，，
为了安全起见，气体的体积应不小于，
答：气体的体积应不小于．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设，根据待定系数法将点(20，300)代入解析式即可求出答案.
（2）将代入解析式，结合反比例函数的性质即可求出答案.
（1）解：设，由题意知，
，即；
（2）解：当时，．
在第一象限，随的增大而减小，
当时，，
为了安全起见，气体的体积应不小于，
答：气体的体积应不小于．
19．【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴．
∴点B的坐标为，
∵，
∴点P的坐标为，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为.
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
根据题息，得，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴．
∴，
答：的长为4米，的长为2米．
（3）矩形周长的最大值为米
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：如图矩形灯带为，
，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴，
∴，，
设直线解析式为，
将，代入，
得：，
解得，
∴直线解析式为，
同理可得，直线的表达式，
设点、、、，
则矩形周长，
故矩形周长的最大值为米．
【分析】（1）先建立平面直角坐标系，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设点E的坐标为，先求出，再结合，列出方程求解即可；
（3）先利用待定系数法求出直线AC和BC的表达式，再设点、、、，求出GH和GL的长，最后利用矩形的周长公式列出算式，最后利用二次函数的性质求解即可.
（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴．
∴点B的坐标为，
∵，
∴点P的坐标为，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
根据题息，得，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴．
∴，
答：的长为4米，的长为2米．
（3）解：如图矩形灯带为，
，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴，
∴，，
设直线解析式为，
将，代入，得：，
解得，
∴直线解析式为，
同理可得，直线的表达式，
设点、、、，
则矩形周长，
故矩形周长的最大值为米．
20．【答案】（1）证明∵，
∴，
∵，（同圆中半径相等）
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由，，点F边中点，
设OF=a，则OB=OE=2a，AF=AO+OF=4+a
由（1）可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在中，，
∴，
∴，
解得： 或 （舍去），
∴；
（3）解：①当时，点G与点D重合，不符合题意，舍去；
②当 时，延长交于点P，PG与OE相交于Q.如图所示，
∵AC=AB，
∴∠C=∠ABC
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABC
∴∠C=∠ ODB
∴OD∥AC
△BOG是等腰三角
∴△PAB也是等腰三角形，PA=AB，AO=PG
∵点F是的中点，
设=PG=a，OB=OD=OE=BG=2a，
AB=3a
，
PE=AE-AP=OG
QO=2EQ， EQ=.OQ=
△EPQ∽△OGQ
，
∴△EPQ∽△BOQ
∴EP=BO=
∴EP=
OG=a， OD=2a
【知识点】平行四边形的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出∠C=∠ABC，∠ODB=∠ABC等量代换得出，则，根据是的中点，，则是的中位线，则，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证；
（2）设OF=a，则OB=OE=2a，AF=AO+OF=4+a。根据两个角相等的三角形相似，先证明，得到。在直角三角形AEO中利用勾股定理得到
列出方程得到。求出a值，而OB=2a，问题得到解决。
（3）是以为腰的等腰三角形，分为①当时，②当时，
①当时，点G与点D重合，不符合题意，舍去；
②当 时，延长交于点P，PG与OE相交于Q，先证OD∥AC，根据△BOG是等腰三角，得到△PAB也是等腰三角形，PA=AB，AO=PG，点F是的中点，设AO=OF=PG=a，OB=OD=OE=BG=2a，AB=3a，根据两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例。得到，，PE=AE-AP=OG，证△EPQ∽△OGQ且相似比是，得到EQ=，BQ=，PQ=，QO=，得到，所以△EPQ∽△BOQ，得到OG=a.
（1）证明：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图：
由，，点F边中点，设，，则，
由（1）可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在中，，
∴，
∴，
解得： 或 （舍去），
∴；
（3）解：①当时，点G与点D重合，不符合题意，舍去；
②当 时，延长交于点P，如图所示，
∵点F是的中点，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设交于点Q，
∵，
∴，
∴，
∴，a，，
在与 中，
，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的值为．
1 / 1广东省深圳市翠园文锦中学2025年中考适应性检测数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其 中只有一个是正确的）
1．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 三视图的知识得从上面看，得到的图形是 ：
故答案为：B．
【分析】从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线即可得答案.
2．实数、、、在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中绝对值最小的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：由图可知，，，，，
比较四个数的绝对值排除和，
根据绝对值的意义观察图形可知，离原点的距离大于离原点的距离，
，
这四个数中绝对值最小的是.
故答案为：B.
【分析】利用绝对值的定义（表示数到原点的距离）并结合数轴分析求解即可.
3．下列运算正确的是（　　）
A．（m+2）2＝m2+4 B．m5﹣m3＝m2
C．（﹣m2n）3＝﹣m6n3 D．﹣2m（2m3﹣m）＝﹣4m4﹣2m2
【答案】C
【知识点】单项式乘多项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解： 故A不符合题意；
不是同类项，不能合并，故B不符合题意；
（﹣m2n）3＝﹣m6n3，故C符合题意；
﹣2m（2m3﹣m）＝﹣4m4+2m2，故D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】根据完全平方公式、合并同类项的方法、积的乘方运算和单项式乘多项式的方法，然后再逐一对各个选项进行分析，即可求解。
4．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下表：
射击次数 100 200 300 400 500 800 1000
“射中九环以上”的次数 82 176 267 364 450 712 900
“射中九环以上”的频率 0.82 0.88 0.89 0.91 0.90 0.89 0.90
根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是（　　）
A．0.80 B．0.85 C．0.90 D．0.95
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：观察频率变化趋势分析表格中不同射击次数对应的频率值：
- 当射击次数为100时，频率为0.82；
- 200次时为0.88；
- 300次时为0.89；
- 400次时为0.91；
- 500次时为0.90；
- 800次时为0.89；
- 1000次时为0.90。
当射击次数达到1000次时，频率稳定在0.90附近（500次0.90、800次0.89、1000次0.90），说明随着试验次数增加，频率逐渐稳定在0.90左右。
故选：C．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
5．如图，在中，点，分别在，上，DE∥BC，若，，则的长为（　　）
A．14 B． C．8 D．6
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∴．
故选：C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
6．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：光线平行，
，
水面和玻璃底部平行，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
7．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间.设规定时间为 天，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设规定时间为x天，则慢马需要的时间为（x+1）天，快马的时间为（x-3）天，
∵快马的速度是慢马的2倍
∴ ，
故答案为：A.
【分析】由题意根据题中的相等关系“快马的速度=2慢马的速度”可列方程.
8．图①是一种青少年版可折叠滑板车．该滑板车完全展开后如图②所示，由车架和两个大小相同的车轮组成，点B到地面的距离为110cm，车轮直径20cm，，，，，且A，E，F三点在同一水平高度上；将车架前半部分绕着点D旋转，完全折叠后如图③所示，．则相比完全展开时，完全折叠后车把（点B）降低的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点D作于点，交的延长线于点，如图，
在中，，
∴设则，
∵，
∴，
解得，，
∴，
在中，
∵cos∠AEC=
∴∠AEC=45°
∴，
又车轮的半径为：，
∴折叠后点B离地面的高度，
∴完全折叠后车把（点B）降低的高度为．
故选：B．
【分析】过点D作于点，交的延长线于点，设则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再解直角三角形可得HD，再根据边之间的关系即可求出答案.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得
x-2≥0，
∴x≥2．
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式求解即可。
10．若矩形的周长为，两邻边的比为，则它的对角线长为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设矩形的两邻边为，，
由题意可得：，
解得：，
，，
它的对角线长为：，
故答案为：．
【分析】设矩形的两邻边为，，根据矩形周长建立方程，解方程可得，再根据勾股定理即可求出答案.
11．如图所示，用若干小棒拼成排由五边形组成的图形，若图形中含有1个五边形，需要5根小棒；图形中含有2个五边形，需要9根小棒；图形中含有3个五边形，需要13根小棒；若图形中含有n个五边形需要小棒的根数是　 　根．
【答案】（4n+1）
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：观察图形可知：
图形中含有1个五边形，需要5根小棒；即4×1+1，
图形中含有2个五边形，需要9根小棒；4×2+1，
图形中含有3个五边形，需要13根小棒；4×3+1，
…
若图形中含有n个五边形需要小棒的根数是（4n+1）．
故答案为：（4n+1）．
【分析】根据前几个图形中所需小棒的个数，总结规律即可求出答案.
12．如图，已知点A是反比例函数的图象上的一个动点，连接OA，若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为　 　．
【答案】
【知识点】旋转的性质；旋转对称图形；反比例函数图象上点的坐标特征；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解∵点A是反比例函数的图象上的一个动点，
∴设A（m，n），过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∴AC=n，OC=﹣m，∴∠ACO=∠ADO=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠AOC=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠BOD，
在△ACO与△ODB中，
∵∠ACO=∠ODB，∠CAO=∠BOD，AO=BO，
∴△ACO≌△ODB，
∴AC=OD=n，CO=BD=﹣m，
∴B（n，﹣m），
∵mn=﹣2，
∴n（﹣m）=2，
∴点B所在图象的函数表达式为，
故答案为．
【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，设A（m，n），先证出△ACO≌△ODB，利用全等三角形的性质可得AC=OD=n，CO=BD=﹣m，再结合mn=﹣2，求出点B所在图象的函数表达式为即可.
13．如图，在中，，，点为上一点，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，若，，则的长度为　 　．
【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在线段上截取，连接，
，CF⊥BD
，
，
，
在和中，
，
，
，，
∠BAC=∠BAH+∠HAC=∠FAC+∠HAC=∠HAF
∴三角形HAF是等腰直角三角形
∴AE=HF=EF=3
HF=6
，
故答案为：．
【分析】在线段上截取，连接，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据等腰直角三角形性质可得HF，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（1）计算：．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
【答案】解：（1）解：原式
．
（2）任务一：①乘法分配律（或分配律）；
②五；不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；
任务二：
【知识点】解一元一次不等式；有理数混合运算法则（含乘方）；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：（2）①乘法分配律（或分配律）
②五 不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；
任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得：．
【分析】（1）根据有理数的乘方，绝对值性质化简，再结合有理数的混合运算即可求出答案.
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
15．2025年6月26日 28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）．
【答案】解：设这个最小数为，则最大数为，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：这个最小数为5．
【知识点】一元二次方程的应用-数字问题
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解日历表的中数与数的关系，正确列式求解是关键．
设这个最小数为，则最大数为，由此列方程求解即可．
16．某果园今年种植的苹果喜获丰收，该果园种植了甲、乙两种品种的苹果，现随机选取两种品种的苹果树各10棵，对苹果个数进行统计并记录如下：
甲品种：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
个数 68 76 65 47 65 71 65 78 70 75
乙品种；
（1）填空：
品种 平均数 众数 中位数 不低于80个的频率 方差
甲 68 ②___________ 69 0 69.4
乙 ①___________ 45 ③___________ ④___________ 329
（2）根据上述材料分析：
①如果果园计划扩大种植面积，在两种品种苹果销量和价格一致的情况下，增加哪个品种的苹果种植面积更好？请说明理由；
②如果农科所要选取其中一个品种研究以获得更高产量，应该选取哪个品种？请说明理由．
【答案】（1）①68，②65，③68，④0.4
（2）解：①甲品种平均产量和乙品种一致，但甲品种方差更小，稳定性更好，同时它的众数和中位数均高于乙品种，大面积种植风险更小，故选甲．
②应该选取乙品种，因为乙品种不低于80个的高产苹果频率为40%，甲品种为0，故乙品种更容易出现高产苹果．
【知识点】频数与频率；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：乙的平均数为：；
甲的数据中出现次数最多的是，故众数为65；
乙的数据排序后，中位数为：；
乙品种中不低于80个的频率为：；
故答案为：68；65；68；0.4
【分析】（1）根据平均数，众数，中位数的定义和频率的计算方法即可求出答案.
（2）根据各统计量的意义进行判断即可求出答案.
（1）解：乙的平均数为：；
甲的数据中出现次数最多的是，故众数为65；
乙的数据排序后，中位数为：；
乙品种中不低于80个的频率为：；
填表如下：
品种 平均数 众数 中位数 不低于80个的频率 方差
甲 68 65 69 0 69.4
乙 68 45 68 0.4 329
（2）①甲品种平均产量和乙品种一致，但甲品种方差更小，稳定性更好，同时它的众数和中位数均高于乙品种，大面积种植风险更小，故选甲．
②应该选取乙品种，因为乙品种不低于80个的高产苹果频率为40%，甲品种为0，故乙品种更容易出现高产苹果．
17．如图是由2个全等的正方形错位叠放组成的图形，请仅用没有刻度的直尺按要求完成下列作图．
（1）在图1中画一个平行四边形（要求所画出的平行四边形不是矩形）；
（2）在图2中画一个菱形（要求所画出的菱形不是正方形）．
【答案】解：（1）图1中平行四边形为所求；
（2）图2中菱形为所求．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握矩形与菱形的性质是解题关键．（1）利用平行四边形的判定定理（对边平行且相等的四边形是平行四边形）结合矩形的性质得出即可；
（2）利用菱形的判定定理（对角线互相垂直且平分的四边形是菱形）结合矩形的性质得出符合题意的答案．
18．在特定的温度下，某容器充满一定量的气体，该容器内气体的压强是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求与的函数表达式；
（2）若该容器内气体的压强不得超过，求该容器体积的取值范围．
【答案】（1）解：设，由题意知，
，即；
（2）解：当时，．
在第一象限，随的增大而减小，
当时，，
为了安全起见，气体的体积应不小于，
答：气体的体积应不小于．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设，根据待定系数法将点(20，300)代入解析式即可求出答案.
（2）将代入解析式，结合反比例函数的性质即可求出答案.
（1）解：设，由题意知，
，即；
（2）解：当时，．
在第一象限，随的增大而减小，
当时，，
为了安全起见，气体的体积应不小于，
答：气体的体积应不小于．
19．综合与实践
问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时与的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴．
∴点B的坐标为，
∵，
∴点P的坐标为，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为.
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
根据题息，得，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴．
∴，
答：的长为4米，的长为2米．
（3）矩形周长的最大值为米
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（3）解：如图矩形灯带为，
，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴，
∴，，
设直线解析式为，
将，代入，
得：，
解得，
∴直线解析式为，
同理可得，直线的表达式，
设点、、、，
则矩形周长，
故矩形周长的最大值为米．
【分析】（1）先建立平面直角坐标系，再利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设点E的坐标为，先求出，再结合，列出方程求解即可；
（3）先利用待定系数法求出直线AC和BC的表达式，再设点、、、，求出GH和GL的长，最后利用矩形的周长公式列出算式，最后利用二次函数的性质求解即可.
（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∵所在直线是的垂直平分线，且，
∴．
∴点B的坐标为，
∵，
∴点P的坐标为，
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：．
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点D，E在抛物线 上，
∴设点E的坐标为，
∵，交y轴于点F，
∴，，
∴．
∵在中，，
∴．
∴，
根据题息，得，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴．
∴，
答：的长为4米，的长为2米．
（3）解：如图矩形灯带为，
，，点C在y轴的正半轴，点A在x轴的负半轴，
∴，，
设直线解析式为，
将，代入，得：，
解得，
∴直线解析式为，
同理可得，直线的表达式，
设点、、、，
则矩形周长，
故矩形周长的最大值为米．
20．如图（1）所示，已知在中，，O在边上，点F是边中点，以O为圆心，为半径的圆分别交，于点D，E，连接交于点G．
（1）如果，求证：四边形为平行四边形；
（2）如图（2）所示，连接，如果，，，求边的长；
（3）连接，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．
【答案】（1）证明∵，
∴，
∵，（同圆中半径相等）
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由，，点F边中点，
设OF=a，则OB=OE=2a，AF=AO+OF=4+a
由（1）可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在中，，
∴，
∴，
解得： 或 （舍去），
∴；
（3）解：①当时，点G与点D重合，不符合题意，舍去；
②当 时，延长交于点P，PG与OE相交于Q.如图所示，
∵AC=AB，
∴∠C=∠ABC
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠ABC
∴∠C=∠ ODB
∴OD∥AC
△BOG是等腰三角
∴△PAB也是等腰三角形，PA=AB，AO=PG
∵点F是的中点，
设=PG=a，OB=OD=OE=BG=2a，
AB=3a
，
PE=AE-AP=OG
QO=2EQ， EQ=.OQ=
△EPQ∽△OGQ
，
∴△EPQ∽△BOQ
∴EP=BO=
∴EP=
OG=a， OD=2a
【知识点】平行四边形的判定；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出∠C=∠ABC，∠ODB=∠ABC等量代换得出，则，根据是的中点，，则是的中位线，则，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证；
（2）设OF=a，则OB=OE=2a，AF=AO+OF=4+a。根据两个角相等的三角形相似，先证明，得到。在直角三角形AEO中利用勾股定理得到
列出方程得到。求出a值，而OB=2a，问题得到解决。
（3）是以为腰的等腰三角形，分为①当时，②当时，
①当时，点G与点D重合，不符合题意，舍去；
②当 时，延长交于点P，PG与OE相交于Q，先证OD∥AC，根据△BOG是等腰三角，得到△PAB也是等腰三角形，PA=AB，AO=PG，点F是的中点，设AO=OF=PG=a，OB=OD=OE=BG=2a，AB=3a，根据两条直线被一组平行线所截，对应线段成比例。得到，，PE=AE-AP=OG，证△EPQ∽△OGQ且相似比是，得到EQ=，BQ=，PQ=，QO=，得到，所以△EPQ∽△BOQ，得到OG=a.
（1）证明：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图：
由，，点F边中点，设，，则，
由（1）可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在中，，
∴，
∴，
解得： 或 （舍去），
∴；
（3）解：①当时，点G与点D重合，不符合题意，舍去；
②当 时，延长交于点P，如图所示，
∵点F是的中点，，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设交于点Q，
∵，
∴，
∴，
∴，a，，
在与 中，
，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的值为．
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