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湖南省邵阳市武冈市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案）
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D中的三个图案，能找到一点，图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故它们是中心对称图形；
选项B中的图案，不能找到一点，使图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形.
故选：B．
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内将图形绕某一点旋转180°后的图形能与原图形完全重合的图形，据此逐一判断即可．
2．满足下列条件的，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由得，符合勾股定理的逆定理，故A项不符合题意；
B、由，可知，故B项符合题意；
C、由得，故C项不符合题意；
D、由得符合勾股定理的逆定理，故D项不符合题意.
故选：B．
【分析】根据直角三角形的判定：勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，逐一判断即可求得.
3．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误，应是对角线互相平方的四边形是平行四边形；
B、对角线互相平分且相等的四边形是菱形，说法错误，应是矩形；
C、对角线互相垂直平方的四边形是矩形，说法错误，应是菱形；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确；
故选：D．
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形分别进行分析即可．
4．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是线段 AO，BO 的中点，若 AC+BD=24 厘米，△OAB 的周长是 18 厘米，则 EF 为( )
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AC+BD=24厘米，
∴AO+BO=12厘米，
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB=6厘米，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF=AB=3cm．
故选：A．
【分析】 直接利用平行四边形的性质得出AO+BO的长，结合△OAB的周长求出AB的长，再利用三角形中位线定理即可求得EF的长．
5．如图．在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，那么S△ACF为(　　)
A．12 B．15 C．6 D．10
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠B=∠D=90°，
由折叠可知，∠E=∠D=∠B=90°，AE=AD=BC，
又∵∠AFE=∠CFB，
∴△AFE≌△CFB（AAS），
∴EF=BF，
设EF=x，则AF=8-x，
在Rt△AFE中，（8-x）2=x2+42，
解得，x=3，
∴AF=AB-FB=8-3=5，
∴S△AFC= AF BC=10．
故选：D．
【分析】根据矩形的性质可得AD=BC，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质可得∠E=∠D=∠B=90°，AE=AD=BC，依据AAS证明△AFE≌△CFB，推出BF=EF，设EF=x，根据勾股定理列出方程求得x，再根据三角形的面积公式即可求得.
6．将一副三角板按如图所示方式叠放在一起，若，则阴影部分的面积是（　　）．
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】A
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
∴，
∴AC=CF
，
，
阴影部分面积为：.
故答案为：A.
【分析】由题意得：，可以得出，所以，由，得，然后代入三角形面积公式，计算求解即可.
7．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．7 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F，
根据角平分线的性质可得DE＝EF＝2，
所以△BCE的面积等于，
故选：C．
【分析】，过点E作EF⊥BC交BC于点F，根据角平分线的性质得到DE=EF=2，然后根据三角形的面积公式计算即可.
8．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC＝10，则PQ的长为(　　)
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵BQ⊥AE，BQ平分∠ABE，BQ=BQ，
∴（ASA），
∴AB=BE，AQ=QE，
同理，AC=CD，AP=PD，
∵△ABC的周长为26，
∴AB+BC+AC=26，
∵ BC=10，
∴ AB+AC=16，
∴ BE+CD=16，
∴BD+DE+CD=16
∴BC+DE=6
∴DE=6，
又∵Q、P分别是AE，AD的中点，
∴PQ是△ADE的中位线，
∴.
故选：C.
【分析】依据ASA判定可推出△BAE、△CAD是等腰三角形，进而可得BA=BE，CA=CD，结合△ABC的周长为26和BC=10，推出DE=6，利用中位线定理可求出PQ．
9．如图，已知点是的边上一点，，且，交于点，下列四个判断中，不正确的是（　　）
A．四边形是平行四边形
B．如果，那么四边形是矩形
C．如果，那么四边形是菱形
D．如果且，那么四边形是正方形
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、，即，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、，即，
平行四边形是矩形，
根据不能判定，因此无法判定矩形是正方形，
故选项D符合题意．
故选：D．
【分析】对于选项A，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可对选项A进行判断；
对于选项B，根据一个角是直角的平行四边形是矩形可对选项B进行判断；
对于选项C，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可对选项C进行判断；
对于选项D，根据，四边形是平行四边形可判定四边形是矩形，但是根据不能判定，因此无法判定矩形是正方形，即可对选项D进行判断.
10．1876年，美国总统Garfield用如图所示的两个全等的直角三角形证明了勾股定理，若图中，，，则下面结论错误的是(　　)
A． B．
C． D．是等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共计24分）
11．一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是　 　．
【答案】六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意可知，
(n-2)×180°=2×360°，
即n=6，
∴正多边形的边数为六.
故答案为：六.
【分析】根据多边形内角和定理列出方程，解方程即可得到答案.
12．如图，已知正方形的边长为5，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴由对顶角性质可得：，
∵在中，点H是的中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴在中，
，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据正方形的性质可得，AB=AD=BC=CD=5，∠BAE=∠ADF=90°，结合AE=DF=2。可证△ABE≌△DAF（SAS），进而得出BE=AF，根据CF=CD-DF求出CF的长度。然后在直角三角形BCF中，利用勾股定理求出BF的长度，由于点H是BF的中点，因此GH是直角三角形BGF的中线，最后根据中线定理即可求解。
13．在中，，，，则斜边上的中线长是　 　．
【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
，，
，
斜边上的中线长．
故答案为：．
【分析】先作出图形，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．
14．如图所示，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，其面积分别为，且，则　 　 ．
【答案】12
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵=4，
∴=4，
∵=8，
∴=8，
∴在Rt△ABC中，+=4+8=12=AB2，
∴=AB2=12．
故答案为12．
【分析】根据正方形的面积公式得到，然后哦根据勾股定理解答即可．
15．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=30°，则∠E=　 　．
【答案】15°
【知识点】三角形外角的概念及性质；矩形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，
故答案为：15°．
【分析】连接AC，根据矩形的性质得到∠E=∠DAE、BD=AC=CE，即可得到∠E=∠CAE，再根据三角形的外角解答即可．
16．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】12
【知识点】菱形的性质；多边形的面积
【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=×24=12．
故答案是：12．
【分析】
本题考查菱形的性质、菱形面积的计算方法，熟知菱形面积的计算方法是解题的关键．
根据菱形的性质：菱形是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心，可知：过中心O的直线将菱形分成的两部分是全等的，所以阴影部分的面积是菱形面积的一半，再根据菱形面积的计算公式：代入数据可得：菱形的面积=×6×8=24，再根据，代入数据可得：，由此可得出答案．
17．如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别在边上均速移动，它们的速度分别为，当点P到达点B时，两点停止运动，设点P的运动时间为，则当　 　s时，为直角三角形．
【答案】或
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
当时，，
，
，
，
解得，
当时，，
，
，
解得，
，
，
故答案为：或．
【分析】根据运动方向和运动速度表示的值，然后分为和是直角时，根据30°的直角三角形的性质列方程求出时间t的值解答即可．
18．如图，在中，，点在线段上一动点，以为对角线的中，则的最小值是　 　．
【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴当取最小值时，线段最短，即时最短，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值，最后根据三角形中位线定理求出，即可求得的最小值．
三、解答题（本题共8个小题，共计66分）
19．如图，在中，，平分，交于点E．，．
（1）求，，的度数；
（2）求的周长．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，
∴，；
（2）解：∵四边形为平行四边形，∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定。
(1)通过平行四边形邻角互补、对角相等的性质，由已知∠ ABC 可依次求得其余各内角；
（2）结合角平分线产生等角，利用平行线得到内错角相等，从而推导出△ ABE 为等腰三角形，求得 AE 长度，进而得到 AD，最后利用平行四边形对边相等求出周长。解题关键在于准确识别图形中的等角关系并合理转化线段长度。
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
20．如图所示，是的平分线，，垂足为，，垂足为，且．求证：．
【答案】证明：∵是的平分线，，
∴，
又∵，
∴．
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF，根据HL判定，根据全等三角形的性质即可证明BE=CF.
21．如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？
（2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．
【答案】解：（1）在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BO=0.7m，则AO=m，
∵AO=AC+OC，
∴OC=2m，
∵直角三角形CDO中，AB=CD，且CD为斜边，
∴OD==1.5m，
∴BD=OD-OB=1.5m-0.7m=0.8m；
（2）不变．
理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变．
．
【知识点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】本题考点：勾股定理的应用，在直角三角形ABC中，已知AB和BC的长度，利用勾股定理可以求出AO的长度。
（1）根据AO=AC+OC的关系式，可以计算出OC的长度。然后在直角三角形CDO中，已知AB=CD和CO的长度，可以求得OD的长度。最后根据BD=OD-OB的关系式，即可求出BD的长度。
（2）在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离保持不变。这个结论可以通过直角三角形性质"斜边上的中线等于斜边的一半"来证明。
22．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作交CB的延长线于点G．
（1）求证：．
（2）若，求证：四边形DEBF是菱形．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴，．
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴．
（2）解：∵，，∴．
又∵F分别为边CD的中点，
∴．
∴平行四边形DEBF是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，．利用中点得到．即可得到DEBF是平行四边形，即可证明结论．
（2）根据平行线可得，根据直角三角形斜边中线的性质得到，证明结论即可．
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴，．
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴．
（2）∵，，
∴．
又∵F分别为边CD的中点，
∴．
∴平行四边形DEBF是菱形．
23．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
（3）若，求的长．
【答案】（1）证明：由折叠可得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得，，
∴，
∴的度数为．
（3）解：设，则，
在中，，
即，
解得，，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质，可得，根据平行线的性质可得，由此可得，根据等角对等边即可求得；
（2）根据求出的度数，再根据等腰三角形的性质即可求得 ；
（3）设，则，在中，根据勾股定理列出方程，求解即可．
（1）证明：由折叠可得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得，是等腰三角形，，
∴，
∴的度数为．
（3）解：设，则，
在中，即，解得，，
∴．
24．定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．
请解决下列问题：
（1）已知点是线段的勾股分割点，且．若，求的长；
（2）如图2，若点、、、分别是、、、边上的中点，点是线段的勾股分割点，且，求证：点是线段的勾股分割点．
【答案】（1）解：∵点是线段的勾股分割点，且，
∴，
∴；
（2）证明：∵点、、、分别是、、、边上的中点，
∴、、分别是、、的中位线，
∴，
∵点是线段的勾股分割点，且，
∴，
∴，
∴，
∴是线段的勾股分割点．
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用题中的新定义列出关系式，将与的长代入即可求出的长；
（2）由、、、分别为各边中点，可知、、为中位线，利用中位线定理得到，再利用题中新定义列出关系式，即可证明．
（1）解：∵点是线段的勾股分割点，且，
∴，
∴；
（2）证明：∵点、、、分别是、、、边上的中点，
∴、、分别是、、的中位线，
∴，
∵点是线段的勾股分割点，且，
∴，
∴，
∴，
∴是线段的勾股分割点．
25．如图，四边形是正方形，是边上一点，是的中点，平分．
（1）判断与的数量关系，并说明理由；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
【答案】解：（1）与的数量关系：，
如图所示，
理由如下：
，
，
∵平分，
，
；
（2）过点作交于点，连接，如图所示，
∵平分，
，
又是的中点，
，
，
在和中，
，
，
又，
；
（3）设，则，
在中，由勾股定理得：
，即，
解得，，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得出，再根据角平分线的定义即可求得；
（2）过点作交于点，连接，利用HL证明，即可证明；
（3）设，则，再利用勾股定理求得a，即可求得AM．
26．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
【答案】解：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴AB=AC．
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF．
∵在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC．
（2）CF-CD=BC；
理由：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴BD=CF
∴BC+CD=CF，
∴CF-CD=BC；
（3）CD-BC=CF
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴AB=AC．
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF．
∵在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴∠ACF=∠ABD．
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°．
∴∠ACF=∠ABD=135°．
∴∠FCD=90°．
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的边长为且对角线AE、DF相交于点O，
∴DF=AD=4，O为DF中点．
∴OC=DF=2．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3）①∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∴CD-BC=CF，
故答案为：CD-BC=CF；
【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的定义，利用SAS即可得到△BAD≌△CAF，根据对应边相等得到CF=BD，然后根据线段的和差解答即可．
（2）证明同（1）．
（3）①同（1）解答即可．
②根据SAS得到△BAD≌△CAF，即可得到△FCD是直角三角形，然后根据勾股定理求出DF的长，根据直角三角形斜边中线性质解答即可．
1 / 1湖南省邵阳市武冈市2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案）
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．满足下列条件的，不是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直平分的四边形是矩形
D．对角线相等的菱形是正方形
4．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 分别是线段 AO，BO 的中点，若 AC+BD=24 厘米，△OAB 的周长是 18 厘米，则 EF 为( )
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
5．如图．在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，那么S△ACF为(　　)
A．12 B．15 C．6 D．10
6．将一副三角板按如图所示方式叠放在一起，若，则阴影部分的面积是（　　）．
A．8 B．10 C．12 D．14
7．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝2，则△BCE的面积等于（　　）
A．10 B．7 C．5 D．4
8．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC＝10，则PQ的长为(　　)
A． B． C．3 D．4
9．如图，已知点是的边上一点，，且，交于点，下列四个判断中，不正确的是（　　）
A．四边形是平行四边形
B．如果，那么四边形是矩形
C．如果，那么四边形是菱形
D．如果且，那么四边形是正方形
10．1876年，美国总统Garfield用如图所示的两个全等的直角三角形证明了勾股定理，若图中，，，则下面结论错误的是(　　)
A． B．
C． D．是等腰直角三角形
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共计24分）
11．一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是　 　．
12．如图，已知正方形的边长为5，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为　 　．
13．在中，，，，则斜边上的中线长是　 　．
14．如图所示，以直角三角形ABC的三边向外作正方形，其面积分别为，且，则　 　 ．
15．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连接AE，如果∠ADB=30°，则∠E=　 　．
16．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为　 　．
17．如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别在边上均速移动，它们的速度分别为，当点P到达点B时，两点停止运动，设点P的运动时间为，则当　 　s时，为直角三角形．
18．如图，在中，，点在线段上一动点，以为对角线的中，则的最小值是　 　．
三、解答题（本题共8个小题，共计66分）
19．如图，在中，，平分，交于点E．，．
（1）求，，的度数；
（2）求的周长．
20．如图所示，是的平分线，，垂足为，，垂足为，且．求证：．
21．如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？
（2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．
22．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作交CB的延长线于点G．
（1）求证：．
（2）若，求证：四边形DEBF是菱形．
23．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
（3）若，求的长．
24．定义：如图1，点把线段分割成和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．
请解决下列问题：
（1）已知点是线段的勾股分割点，且．若，求的长；
（2）如图2，若点、、、分别是、、、边上的中点，点是线段的勾股分割点，且，求证：点是线段的勾股分割点．
25．如图，四边形是正方形，是边上一点，是的中点，平分．
（1）判断与的数量关系，并说明理由；
（2）求证：；
（3）若，求的长．
26．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D中的三个图案，能找到一点，图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故它们是中心对称图形；
选项B中的图案，不能找到一点，使图形绕此点旋转后能够与原来的图形重合，故不是中心对称图形.
故选：B．
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内将图形绕某一点旋转180°后的图形能与原图形完全重合的图形，据此逐一判断即可．
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、由得，符合勾股定理的逆定理，故A项不符合题意；
B、由，可知，故B项符合题意；
C、由得，故C项不符合题意；
D、由得符合勾股定理的逆定理，故D项不符合题意.
故选：B．
【分析】根据直角三角形的判定：勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，逐一判断即可求得.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、对角线相等的四边形是平行四边形，说法错误，应是对角线互相平方的四边形是平行四边形；
B、对角线互相平分且相等的四边形是菱形，说法错误，应是矩形；
C、对角线互相垂直平方的四边形是矩形，说法错误，应是菱形；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确；
故选：D．
【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形分别进行分析即可．
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AC+BD=24厘米，
∴AO+BO=12厘米，
∵△OAB的周长是18厘米，
∴AB=6厘米，
∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，
∴EF=AB=3cm．
故选：A．
【分析】 直接利用平行四边形的性质得出AO+BO的长，结合△OAB的周长求出AB的长，再利用三角形中位线定理即可求得EF的长．
5．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠B=∠D=90°，
由折叠可知，∠E=∠D=∠B=90°，AE=AD=BC，
又∵∠AFE=∠CFB，
∴△AFE≌△CFB（AAS），
∴EF=BF，
设EF=x，则AF=8-x，
在Rt△AFE中，（8-x）2=x2+42，
解得，x=3，
∴AF=AB-FB=8-3=5，
∴S△AFC= AF BC=10．
故选：D．
【分析】根据矩形的性质可得AD=BC，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质可得∠E=∠D=∠B=90°，AE=AD=BC，依据AAS证明△AFE≌△CFB，推出BF=EF，设EF=x，根据勾股定理列出方程求得x，再根据三角形的面积公式即可求得.
6．【答案】A
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：由题意得：，
，
∴，
∴AC=CF
，
，
阴影部分面积为：.
故答案为：A.
【分析】由题意得：，可以得出，所以，由，得，然后代入三角形面积公式，计算求解即可.
7．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点E作EF⊥BC交BC于点F，
根据角平分线的性质可得DE＝EF＝2，
所以△BCE的面积等于，
故选：C．
【分析】，过点E作EF⊥BC交BC于点F，根据角平分线的性质得到DE=EF=2，然后根据三角形的面积公式计算即可.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵BQ⊥AE，BQ平分∠ABE，BQ=BQ，
∴（ASA），
∴AB=BE，AQ=QE，
同理，AC=CD，AP=PD，
∵△ABC的周长为26，
∴AB+BC+AC=26，
∵ BC=10，
∴ AB+AC=16，
∴ BE+CD=16，
∴BD+DE+CD=16
∴BC+DE=6
∴DE=6，
又∵Q、P分别是AE，AD的中点，
∴PQ是△ADE的中位线，
∴.
故选：C.
【分析】依据ASA判定可推出△BAE、△CAD是等腰三角形，进而可得BA=BE，CA=CD，结合△ABC的周长为26和BC=10，推出DE=6，利用中位线定理可求出PQ．
9．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、，即，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，故选项C不符合题意；
D、，即，
平行四边形是矩形，
根据不能判定，因此无法判定矩形是正方形，
故选项D符合题意．
故选：D．
【分析】对于选项A，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可对选项A进行判断；
对于选项B，根据一个角是直角的平行四边形是矩形可对选项B进行判断；
对于选项C，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可对选项C进行判断；
对于选项D，根据，四边形是平行四边形可判定四边形是矩形，但是根据不能判定，因此无法判定矩形是正方形，即可对选项D进行判断.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；等腰直角三角形
11．【答案】六
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意可知，
(n-2)×180°=2×360°，
即n=6，
∴正多边形的边数为六.
故答案为：六.
【分析】根据多边形内角和定理列出方程，解方程即可得到答案.
12．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴由对顶角性质可得：，
∵在中，点H是的中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴在中，
，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据正方形的性质可得，AB=AD=BC=CD=5，∠BAE=∠ADF=90°，结合AE=DF=2。可证△ABE≌△DAF（SAS），进而得出BE=AF，根据CF=CD-DF求出CF的长度。然后在直角三角形BCF中，利用勾股定理求出BF的长度，由于点H是BF的中点，因此GH是直角三角形BGF的中线，最后根据中线定理即可求解。
13．【答案】4
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，
，，
，
斜边上的中线长．
故答案为：．
【分析】先作出图形，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．
14．【答案】12
【知识点】勾股定理；勾股树模型
【解析】【解答】解：∵=4，
∴=4，
∵=8，
∴=8，
∴在Rt△ABC中，+=4+8=12=AB2，
∴=AB2=12．
故答案为12．
【分析】根据正方形的面积公式得到，然后哦根据勾股定理解答即可．
15．【答案】15°
【知识点】三角形外角的概念及性质；矩形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，
∴∠E=∠DAE，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，
∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，
故答案为：15°．
【分析】连接AC，根据矩形的性质得到∠E=∠DAE、BD=AC=CE，即可得到∠E=∠CAE，再根据三角形的外角解答即可．
16．【答案】12
【知识点】菱形的性质；多边形的面积
【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=×24=12．
故答案是：12．
【分析】
本题考查菱形的性质、菱形面积的计算方法，熟知菱形面积的计算方法是解题的关键．
根据菱形的性质：菱形是中心对称图形，对角线的交点O是它的对称中心，可知：过中心O的直线将菱形分成的两部分是全等的，所以阴影部分的面积是菱形面积的一半，再根据菱形面积的计算公式：代入数据可得：菱形的面积=×6×8=24，再根据，代入数据可得：，由此可得出答案．
17．【答案】或
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题；分类讨论
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
当时，，
，
，
，
解得，
当时，，
，
，
解得，
，
，
故答案为：或．
【分析】根据运动方向和运动速度表示的值，然后分为和是直角时，根据30°的直角三角形的性质列方程求出时间t的值解答即可．
18．【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴当取最小值时，线段最短，即时最短，
∴是的中位线，
∴，
∴，
故答案为：3．
【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值，最后根据三角形中位线定理求出，即可求得的最小值．
19．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，，
∵，
∴，；
（2）解：∵四边形为平行四边形，∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定。
(1)通过平行四边形邻角互补、对角相等的性质，由已知∠ ABC 可依次求得其余各内角；
（2）结合角平分线产生等角，利用平行线得到内错角相等，从而推导出△ ABE 为等腰三角形，求得 AE 长度，进而得到 AD，最后利用平行四边形对边相等求出周长。解题关键在于准确识别图形中的等角关系并合理转化线段长度。
（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：．
20．【答案】证明：∵是的平分线，，
∴，
又∵，
∴．
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质可得DE=DF，根据HL判定，根据全等三角形的性质即可证明BE=CF.
21．【答案】解：（1）在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BO=0.7m，则AO=m，
∵AO=AC+OC，
∴OC=2m，
∵直角三角形CDO中，AB=CD，且CD为斜边，
∴OD==1.5m，
∴BD=OD-OB=1.5m-0.7m=0.8m；
（2）不变．
理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变．
．
【知识点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】本题考点：勾股定理的应用，在直角三角形ABC中，已知AB和BC的长度，利用勾股定理可以求出AO的长度。
（1）根据AO=AC+OC的关系式，可以计算出OC的长度。然后在直角三角形CDO中，已知AB=CD和CO的长度，可以求得OD的长度。最后根据BD=OD-OB的关系式，即可求出BD的长度。
（2）在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离保持不变。这个结论可以通过直角三角形性质"斜边上的中线等于斜边的一半"来证明。
22．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴，．
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴．
（2）解：∵，，∴．
又∵F分别为边CD的中点，
∴．
∴平行四边形DEBF是菱形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，．利用中点得到．即可得到DEBF是平行四边形，即可证明结论．
（2）根据平行线可得，根据直角三角形斜边中线的性质得到，证明结论即可．
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴，．
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴．
（2）∵，，
∴．
又∵F分别为边CD的中点，
∴．
∴平行四边形DEBF是菱形．
23．【答案】（1）证明：由折叠可得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得，，
∴，
∴的度数为．
（3）解：设，则，
在中，，
即，
解得，，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质，可得，根据平行线的性质可得，由此可得，根据等角对等边即可求得；
（2）根据求出的度数，再根据等腰三角形的性质即可求得 ；
（3）设，则，在中，根据勾股定理列出方程，求解即可．
（1）证明：由折叠可得，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
由（1）可得，是等腰三角形，，
∴，
∴的度数为．
（3）解：设，则，
在中，即，解得，，
∴．
24．【答案】（1）解：∵点是线段的勾股分割点，且，
∴，
∴；
（2）证明：∵点、、、分别是、、、边上的中点，
∴、、分别是、、的中位线，
∴，
∵点是线段的勾股分割点，且，
∴，
∴，
∴，
∴是线段的勾股分割点．
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用题中的新定义列出关系式，将与的长代入即可求出的长；
（2）由、、、分别为各边中点，可知、、为中位线，利用中位线定理得到，再利用题中新定义列出关系式，即可证明．
（1）解：∵点是线段的勾股分割点，且，
∴，
∴；
（2）证明：∵点、、、分别是、、、边上的中点，
∴、、分别是、、的中位线，
∴，
∵点是线段的勾股分割点，且，
∴，
∴，
∴，
∴是线段的勾股分割点．
25．【答案】解：（1）与的数量关系：，
如图所示，
理由如下：
，
，
∵平分，
，
；
（2）过点作交于点，连接，如图所示，
∵平分，
，
又是的中点，
，
，
在和中，
，
，
又，
；
（3）设，则，
在中，由勾股定理得：
，即，
解得，，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质得出，再根据角平分线的定义即可求得；
（2）过点作交于点，连接，利用HL证明，即可证明；
（3）设，则，再利用勾股定理求得a，即可求得AM．
26．【答案】解：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴AB=AC．
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF．
∵在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC．
（2）CF-CD=BC；
理由：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴BD=CF
∴BC+CD=CF，
∴CF-CD=BC；
（3）CD-BC=CF
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴AB=AC．
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF．
∵在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴∠ACF=∠ABD．
∵∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°．
∴∠ACF=∠ABD=135°．
∴∠FCD=90°．
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的边长为且对角线AE、DF相交于点O，
∴DF=AD=4，O为DF中点．
∴OC=DF=2．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（3）①∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∴CD-BC=CF，
故答案为：CD-BC=CF；
【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的定义，利用SAS即可得到△BAD≌△CAF，根据对应边相等得到CF=BD，然后根据线段的和差解答即可．
（2）证明同（1）．
（3）①同（1）解答即可．
②根据SAS得到△BAD≌△CAF，即可得到△FCD是直角三角形，然后根据勾股定理求出DF的长，根据直角三角形斜边中线性质解答即可．
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