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四川省绵阳市梓潼县2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题
一、选择题（共36分）
1．下列现象中，属于平移的是（　　）
A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动
C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动
2．下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离
D．在同一平面内，若，那么三点在同一直线上
3．风筝是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，同位角、内错角、同旁内角称为“纸鸢”．如图所示的纸骨架中，与构成同旁内角的是（　　）
A． B． C． D．
4．有甲，乙，丙，丁四位同学准备从斑马线上的点处过马路，四人所走路线如图所示，假设四人速度相等，则最先通过马路的是乙，理由是（　　）
A．垂线段最短
B．两点之间，线段最短
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点确定一条直线
5．如图，下列条件中，能判断直线的是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺上，，，则的度数是（　　）
A．10° B．12° C．15° D．20°
7．5的算术平方根是（　　）
A． B．25 C． D．
8．连续两个正整数，较大数的算术平方根是，则较小数的算术平方根是（　　）
A． B． C． D．
9．下列说法正确的是（　　）
A．﹣27的立方根是3
B． ＝±4
C．1的平方根是1
D．4的算术平方根是2
10．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（　　）
A．2.2 B． C． D．
11．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．如图，在围棋盘上有三枚棋子，如果黑棋①的位置用坐标表示，黑棋②的位置用坐标表示，则白棋③的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共18分）
13．如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角顶点放在直线a上，若，到　 　°．
14．如图所示，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，如果，，，则图中阴影部分面积为　 　．
15．如图，下列条件中：①；②；③，④，能判定的是　 　．
16．设为正整数，且，则的值为　 　．
17．数轴上点A表示的数为，将点A沿数轴向右平移2个单位长度到达点B，则点B所表示的数　 　．
18．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　 　．
三、解答题（共46分）
19．计算．
20．如图是某地火车站及周围的简单平面图．（图中每个小正方形的边长代表1千米）
（1）请以火车站所在的位置为坐标原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，并写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标；
（2）在（1）中所建的坐标平面内，若学校E的位置是（﹣3，﹣3），请在图中标出学校E的位置．
21．已知某正数的平方根分别是和，的立方根为．
（1）求a、b的值；
（2）求的算术平方根．
22．已知的算术平方根是2，的立方根是，的整数部分为．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
23．已知：如图，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若平分，求的度数．
24．如图，将长方形纸片沿折叠后，C点落在，D点落在处，的延长线交于点G，若，求、的度数．
25．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图①，，E为，之间一点，连接，，得到．请证明；
（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：
【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，，平分交直线于点F，求的度数；
【拓展延伸】如图③，，线段与线段相交于点E，，，过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A、足球滚动存在曲线运动、旋转运动，不是平移，不符合题意；
B、 货物在传送带上移动，属于平移，符合题意；
C、 小朋友在荡秋千，是旋转运动，不是平移，不符合题意；
D、 汽车雨刮器的摆动 ，是旋转运动，不是平移，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据平移的定义，对选项进行一 一分析，排除错误答案．
2．【答案】D
【知识点】点到直线的距离；对顶角及其性质；真命题与假命题；平行公理
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故选项不符合题意；
B、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项不符合题意；
C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，故选项不符合题意；
D、在同一平面内，若，那么三点在同一直线上，说法正确，故选项符合题意；
故选：D．
【分析】
本题核心考查命题与定理、对角线的定义、平行公理、点到直线的距离定义. 解题的核心在于精准把握各几何概念的本质，区分易混淆的表述，从而对每个选项逐一进行正误判断，避免因概念遗漏导致误判.
3．【答案】A
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【解答】解：与构成同旁内角．
故选：A．
【分析】
本题以“纸鸢”为情境，考查三线八角中同旁内角的识别. 解题的核心是先确定截线与被截线，再根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，且夹在两条被截直线之间的角），逐一匹配的同旁内角，从而筛选出正确答案.
4．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意可知，最先通过马路的是乙同学，原因是垂线段最短，
故选：A．
【分析】
先分析四人路线的几何特征，再结合线段与垂线段的性质（垂线段最短)，逐项判断正误即可.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵或或，
∴，
故选：D．
【分析】
本题考查平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行）. 解题的关键是牢记平行线的判定逻辑，区分不同角的位置关系对应的平行结论，避免因角的位置误判导致错误.
6．【答案】D
【知识点】直角三角形的性质；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：过点B作交于D，
∵，
∴，
∴在中，，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】
先利用直尺对边平行的性质得到内错角相等，再结合三角形内角和求出相关角的度数，最后通过角的和差计算出度数即可.
7．【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：数5的算术平方根为．
故选：D．
【分析】
本题考查算术平方根的基础定义，解题的核心是掌握算术平方根的本质：若一个非负数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根，且算术平方根为非负数. 根据定义即可直接判断5的算术平方根，同时需注意区分平方根与算术平方根的不同.
8．【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵较大数的算术平方根是，
∴较大数为，
又这两个数是连续两个正整数，
∴较小数为，
∴较小数的算术平方根是，
故选：D．
【分析】
本题围绕算术平方根的定义与连续正整数的性质展开. 解题关键在于根据算术平方根还原原数，结合连续正整数的关系推导较小数，再求其算术平方根.
9．【答案】D
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、﹣27的立方根是﹣3，故本选项错误；
B、
＝4，故本选项错误；
C、1的平方根是±1，故本选项错误；
D、4的算术平方根是2，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据立方根、算术平方根、平方根分别求出各选项的值，再判断即可.
10．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
故弧与数轴的交点P表示的数为：．
故选：B．
【分析】根据勾股定理可得OB，再根据数轴上点的位置即可即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为，
∴点P所在的象限是第二象限，
故答案为：B．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
12．【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：黑棋①的位置用坐标表示，黑棋②的位置用坐标表示，如图，
白棋③的坐标是，
故答案为：D．
【分析】先建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系直接求出白棋③的坐标即可.
13．【答案】50
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵直线a与直线b平行，
∴，
∴，
故答案为：50．
．
【分析】
首先利用直角三角板的直角求出的余角，然后利用平行线的性质建立该余角与的数量关系，从而求解.
14．【答案】24
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：沿方向平移得到，
，，
阴影部分面积梯形的面积，
，
，
阴影部分面积．
故答案为：24．
【分析】本题考查平移的性质及平面图形的面积计算，解题关键是根据平移的性质得出且，由此推出阴影部分面积等于梯形的面积，先计算出的长度，再利用梯形面积公式（其中、为梯形上下底，为高）计算面积。
15．【答案】①②③
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①由，得到；
②由，得到；
③由，得到；
④由，不能判定出平行．
故答案为：①②③．
【分析】
本题考查平行线判定定理的综合应用，需要结合“同旁内角互补，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”，对每个条件逐一进行逻辑推导. 解题的关键是准确识别每个角的截线与被截线，判断角的位置关系是否满足AD与BC平行的条件，排除无法判定平行的选项.
16．【答案】8
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为8．
【分析】
先找到平方数小于73和大于73的连续整数，再确定n的值.
17．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵点表示的数为，将点沿数轴向右平移个单位长度到达点，
∴点表示的数为．
故答案为：．
【分析】
本题考查了数轴上点的平移规律、实数的运算. 解题的关键在于牢记数轴上“右加左减”的平移规律，进行实数的加减运算. 根据点A的坐标与平移距离，即可直接计算出点B表示的数.
18．【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴建立坐标系如下：
∴点B的坐标为．
故答案为：
【分析】
本题考查平面直角坐标系中坐标的确定，解题关键在于以已知点A、C为基准，确定平面直角坐标系的原点与坐标轴方向，进而定位点B的坐标．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、算术平方根等多个知识点. 解题的关键是牢记各类运算的核心规则：任何非零数的0次幂为1，负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，算术平方根为非负数；再按照“先乘方、开方，再乘除，最后加减”的运算顺序，逐步计算得出结果.
20．【答案】解：（1）平面直角坐标系如图所示，体育场A的坐标为（﹣4，3）、超市B的坐标为（0，4）、市场C的坐标为（4，3）、文化宫D的坐标为（2，﹣3）．
（2）如图，点E即为所求．
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【分析】本题考查平面直角坐标系的建立和点的坐标确定、描点，第(1)问先以火车站为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系，再根据各点在坐标系中的位置，确定其横、纵坐标，从而写出坐标；第(2)问根据点的坐标的含义，横坐标为表示在轴负方向3个单位，纵坐标为表示在轴负方向3个单位，据此在坐标系中找到对应位置描点即可。
21．【答案】（1）解：∵某正数的平方根是和，
∴，
解得：，
∵的立方根为，
∴，
∴，
解得：，
∴，；
（2）解：∵，
∴的算术平方根为3．
【知识点】平方根的性质；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】本题以平方根和立方根的定义为背景，考查了利用根的意义列方程求参数以及算术平方根的计算。
（1）由正数的两个平方根互为相反数得 2a - 7 + a + 4 = 0，解得 a = 1；由 b - 12 的立方根为 -2 得 b - 12 = -8，解得 b = 4；
（2）代入计算 5a + b = 9，算术平方根为 3。
（1）∵某正数的平方根是和，
∴，
解得：，
∵的立方根为，
∴，
∴，
解得：，
∴，；
（2）∵，
∴的算术平方根为3．
22．【答案】（1）解：∵的算术平方根是2，的立方根是，∴，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴的整数部分.
（2）解：∵，，，∴，
∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】本题综合考查算术平方根、立方根、无理数估算与平方根的计算.
（1）利用算术平方根、立方根的定义列方程：根据“的算术平方根是2”，得到；根据“的立方根是-3”，得到，解方程求出a、b；再通过夹逼法估算的范围，确定其整数部分c；
（2）先代入a，b，c的值，计算的结果，再根据平方根的定义求出其平方根.
（1）解：∵的算术平方根是2，的立方根是，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴的整数部分；
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根为．
23．【答案】（1）解：．理由如下：
，
，
又，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
，
．
，
．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】本题核心考查平行线的性质与判定，角平分线定义的综合运用. 解题时需牢记平行线的三大核心性质与判定规则，通过角度的等量代换完成推导.
（1）先利用的性质推导相关角的关系，再结合已知，通过角的等量代换证明，最终依据平行线判定定理得出；
（2）结合角平分线定义与平行线性质，先求出的度数，再利用的性质，直接得出的度数．
（1）解：．理由如下：
，
，
又，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
，
．
，
．
24．【答案】解：∵为长方形纸片，
∴，
∴，
由折叠的性质，可得，
∴，
∵，
∴．
【知识点】补角；平行线的应用-折叠问题
【解析】【分析】本题以长方形纸片折叠为背景，考查了平行线的性质以及折叠前后对应角相等的应用。由 ADBC 得 DEF =EFG = 68°；由折叠得 GEF =DEF = 68°，在△GEF 中利用平角求出 1 = 44°；再由 ADBC 得 2 = 180° - 1 = 136°。
25．【答案】（1）证明：过E作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
（2）[类比探究]∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
[拓展延伸]
作，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；猪蹄模型；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】
本题以“猪蹄模型”为背景，综合考查平行线性质、三角形外角性质与角平分线定义的应用，分为证明、类比探究、拓展延伸三个层次.（1）核心是通过作辅助线，利用平行线的传递性得到，再结合平行线的性质，将拆分为与，通过等量代换推导出；
（2）[类比探究]需先利用平行线性质求出的度数，再结合三角形外角性质计算，最后依据角平分线定义与平行线性质，求出的度数；
[拓展延伸]先通过平行线性质推导，再利用角平分线定义得，的度数，最后结合平行线性质与角度和差关系，计算出的度数.
1 / 1四川省绵阳市梓潼县2024-2025学年七年级下学期5月期中数学试题
一、选择题（共36分）
1．下列现象中，属于平移的是（　　）
A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动
C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动
【答案】B
【知识点】生活中的平移现象
【解析】【解答】解：A、足球滚动存在曲线运动、旋转运动，不是平移，不符合题意；
B、 货物在传送带上移动，属于平移，符合题意；
C、 小朋友在荡秋千，是旋转运动，不是平移，不符合题意；
D、 汽车雨刮器的摆动 ，是旋转运动，不是平移，不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据平移的定义，对选项进行一 一分析，排除错误答案．
2．下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离
D．在同一平面内，若，那么三点在同一直线上
【答案】D
【知识点】点到直线的距离；对顶角及其性质；真命题与假命题；平行公理
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故选项不符合题意；
B、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项不符合题意；
C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离，故选项不符合题意；
D、在同一平面内，若，那么三点在同一直线上，说法正确，故选项符合题意；
故选：D．
【分析】
本题核心考查命题与定理、对角线的定义、平行公理、点到直线的距离定义. 解题的核心在于精准把握各几何概念的本质，区分易混淆的表述，从而对每个选项逐一进行正误判断，避免因概念遗漏导致误判.
3．风筝是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物，其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，同位角、内错角、同旁内角称为“纸鸢”．如图所示的纸骨架中，与构成同旁内角的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同旁内角的概念
【解析】【解答】解：与构成同旁内角．
故选：A．
【分析】
本题以“纸鸢”为情境，考查三线八角中同旁内角的识别. 解题的核心是先确定截线与被截线，再根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，且夹在两条被截直线之间的角），逐一匹配的同旁内角，从而筛选出正确答案.
4．有甲，乙，丙，丁四位同学准备从斑马线上的点处过马路，四人所走路线如图所示，假设四人速度相等，则最先通过马路的是乙，理由是（　　）
A．垂线段最短
B．两点之间，线段最短
C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．两点确定一条直线
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：由题意可知，最先通过马路的是乙同学，原因是垂线段最短，
故选：A．
【分析】
先分析四人路线的几何特征，再结合线段与垂线段的性质（垂线段最短)，逐项判断正误即可.
5．如图，下列条件中，能判断直线的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵或或，
∴，
故选：D．
【分析】
本题考查平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行）. 解题的关键是牢记平行线的判定逻辑，区分不同角的位置关系对应的平行结论，避免因角的位置误判导致错误.
6．如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺上，，，则的度数是（　　）
A．10° B．12° C．15° D．20°
【答案】D
【知识点】直角三角形的性质；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：过点B作交于D，
∵，
∴，
∴在中，，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
【分析】
先利用直尺对边平行的性质得到内错角相等，再结合三角形内角和求出相关角的度数，最后通过角的和差计算出度数即可.
7．5的算术平方根是（　　）
A． B．25 C． D．
【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：数5的算术平方根为．
故选：D．
【分析】
本题考查算术平方根的基础定义，解题的核心是掌握算术平方根的本质：若一个非负数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根，且算术平方根为非负数. 根据定义即可直接判断5的算术平方根，同时需注意区分平方根与算术平方根的不同.
8．连续两个正整数，较大数的算术平方根是，则较小数的算术平方根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵较大数的算术平方根是，
∴较大数为，
又这两个数是连续两个正整数，
∴较小数为，
∴较小数的算术平方根是，
故选：D．
【分析】
本题围绕算术平方根的定义与连续正整数的性质展开. 解题关键在于根据算术平方根还原原数，结合连续正整数的关系推导较小数，再求其算术平方根.
9．下列说法正确的是（　　）
A．﹣27的立方根是3
B． ＝±4
C．1的平方根是1
D．4的算术平方根是2
【答案】D
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：A、﹣27的立方根是﹣3，故本选项错误；
B、
＝4，故本选项错误；
C、1的平方根是±1，故本选项错误；
D、4的算术平方根是2，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】根据立方根、算术平方根、平方根分别求出各选项的值，再判断即可.
10．如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作弧，弧与数轴正半轴交于点，则点所表示的数是（　　）
A．2.2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
故弧与数轴的交点P表示的数为：．
故选：B．
【分析】根据勾股定理可得OB，再根据数轴上点的位置即可即可求出答案.
11．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P的坐标为，
∴点P所在的象限是第二象限，
故答案为：B．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））分析求解即可.
12．如图，在围棋盘上有三枚棋子，如果黑棋①的位置用坐标表示，黑棋②的位置用坐标表示，则白棋③的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：黑棋①的位置用坐标表示，黑棋②的位置用坐标表示，如图，
白棋③的坐标是，
故答案为：D．
【分析】先建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系直接求出白棋③的坐标即可.
二、填空题（共18分）
13．如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角顶点放在直线a上，若，到　 　°．
【答案】50
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵直线a与直线b平行，
∴，
∴，
故答案为：50．
．
【分析】
首先利用直角三角板的直角求出的余角，然后利用平行线的性质建立该余角与的数量关系，从而求解.
14．如图所示，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，如果，，，则图中阴影部分面积为　 　．
【答案】24
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：沿方向平移得到，
，，
阴影部分面积梯形的面积，
，
，
阴影部分面积．
故答案为：24．
【分析】本题考查平移的性质及平面图形的面积计算，解题关键是根据平移的性质得出且，由此推出阴影部分面积等于梯形的面积，先计算出的长度，再利用梯形面积公式（其中、为梯形上下底，为高）计算面积。
15．如图，下列条件中：①；②；③，④，能判定的是　 　．
【答案】①②③
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：①由，得到；
②由，得到；
③由，得到；
④由，不能判定出平行．
故答案为：①②③．
【分析】
本题考查平行线判定定理的综合应用，需要结合“同旁内角互补，两直线平行”“内错角相等，两直线平行”，对每个条件逐一进行逻辑推导. 解题的关键是准确识别每个角的截线与被截线，判断角的位置关系是否满足AD与BC平行的条件，排除无法判定平行的选项.
16．设为正整数，且，则的值为　 　．
【答案】8
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为8．
【分析】
先找到平方数小于73和大于73的连续整数，再确定n的值.
17．数轴上点A表示的数为，将点A沿数轴向右平移2个单位长度到达点B，则点B所表示的数　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示
【解析】【解答】解：∵点表示的数为，将点沿数轴向右平移个单位长度到达点，
∴点表示的数为．
故答案为：．
【分析】
本题考查了数轴上点的平移规律、实数的运算. 解题的关键在于牢记数轴上“右加左减”的平移规律，进行实数的加减运算. 根据点A的坐标与平移距离，即可直接计算出点B表示的数.
18．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，点的坐标为，
∴建立坐标系如下：
∴点B的坐标为．
故答案为：
【分析】
本题考查平面直角坐标系中坐标的确定，解题关键在于以已知点A、C为基准，确定平面直角坐标系的原点与坐标轴方向，进而定位点B的坐标．
三、解答题（共46分）
19．计算．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂、算术平方根等多个知识点. 解题的关键是牢记各类运算的核心规则：任何非零数的0次幂为1，负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，算术平方根为非负数；再按照“先乘方、开方，再乘除，最后加减”的运算顺序，逐步计算得出结果.
20．如图是某地火车站及周围的简单平面图．（图中每个小正方形的边长代表1千米）
（1）请以火车站所在的位置为坐标原点，以图中小正方形的边长为单位长度，建立平面直角坐标系，并写出体育场A、超市B、市场C、文化宫D的坐标；
（2）在（1）中所建的坐标平面内，若学校E的位置是（﹣3，﹣3），请在图中标出学校E的位置．
【答案】解：（1）平面直角坐标系如图所示，体育场A的坐标为（﹣4，3）、超市B的坐标为（0，4）、市场C的坐标为（4，3）、文化宫D的坐标为（2，﹣3）．
（2）如图，点E即为所求．
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【分析】本题考查平面直角坐标系的建立和点的坐标确定、描点，第(1)问先以火车站为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向建立平面直角坐标系，再根据各点在坐标系中的位置，确定其横、纵坐标，从而写出坐标；第(2)问根据点的坐标的含义，横坐标为表示在轴负方向3个单位，纵坐标为表示在轴负方向3个单位，据此在坐标系中找到对应位置描点即可。
21．已知某正数的平方根分别是和，的立方根为．
（1）求a、b的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）解：∵某正数的平方根是和，
∴，
解得：，
∵的立方根为，
∴，
∴，
解得：，
∴，；
（2）解：∵，
∴的算术平方根为3．
【知识点】平方根的性质；算术平方根的概念与表示；立方根的概念与表示
【解析】【分析】本题以平方根和立方根的定义为背景，考查了利用根的意义列方程求参数以及算术平方根的计算。
（1）由正数的两个平方根互为相反数得 2a - 7 + a + 4 = 0，解得 a = 1；由 b - 12 的立方根为 -2 得 b - 12 = -8，解得 b = 4；
（2）代入计算 5a + b = 9，算术平方根为 3。
（1）∵某正数的平方根是和，
∴，
解得：，
∵的立方根为，
∴，
∴，
解得：，
∴，；
（2）∵，
∴的算术平方根为3．
22．已知的算术平方根是2，的立方根是，的整数部分为．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵的算术平方根是2，的立方根是，∴，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴的整数部分.
（2）解：∵，，，∴，
∴的平方根为．
【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）；求算术平方根；立方根的概念与表示
【解析】【分析】本题综合考查算术平方根、立方根、无理数估算与平方根的计算.
（1）利用算术平方根、立方根的定义列方程：根据“的算术平方根是2”，得到；根据“的立方根是-3”，得到，解方程求出a、b；再通过夹逼法估算的范围，确定其整数部分c；
（2）先代入a，b，c的值，计算的结果，再根据平方根的定义求出其平方根.
（1）解：∵的算术平方根是2，的立方根是，
∴，，
∴，，
∵，
∴，即，
∴的整数部分；
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根为．
23．已知：如图，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若平分，求的度数．
【答案】（1）解：．理由如下：
，
，
又，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
，
．
，
．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】本题核心考查平行线的性质与判定，角平分线定义的综合运用. 解题时需牢记平行线的三大核心性质与判定规则，通过角度的等量代换完成推导.
（1）先利用的性质推导相关角的关系，再结合已知，通过角的等量代换证明，最终依据平行线判定定理得出；
（2）结合角平分线定义与平行线性质，先求出的度数，再利用的性质，直接得出的度数．
（1）解：．理由如下：
，
，
又，
，
；
（2）解：，
，
平分，
，
，
．
，
．
24．如图，将长方形纸片沿折叠后，C点落在，D点落在处，的延长线交于点G，若，求、的度数．
【答案】解：∵为长方形纸片，
∴，
∴，
由折叠的性质，可得，
∴，
∵，
∴．
【知识点】补角；平行线的应用-折叠问题
【解析】【分析】本题以长方形纸片折叠为背景，考查了平行线的性质以及折叠前后对应角相等的应用。由 ADBC 得 DEF =EFG = 68°；由折叠得 GEF =DEF = 68°，在△GEF 中利用平角求出 1 = 44°；再由 ADBC 得 2 = 180° - 1 = 136°。
25．【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图①，，E为，之间一点，连接，，得到．请证明；
（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：
【类比探究】如图②，，线段与线段相交于点E，，，平分交直线于点F，求的度数；
【拓展延伸】如图③，，线段与线段相交于点E，，，过点D作交直线于点G，平分，平分，求的度数．
【答案】（1）证明：过E作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
（2）[类比探究]∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
[拓展延伸]
作，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；猪蹄模型；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】
本题以“猪蹄模型”为背景，综合考查平行线性质、三角形外角性质与角平分线定义的应用，分为证明、类比探究、拓展延伸三个层次.（1）核心是通过作辅助线，利用平行线的传递性得到，再结合平行线的性质，将拆分为与，通过等量代换推导出；
（2）[类比探究]需先利用平行线性质求出的度数，再结合三角形外角性质计算，最后依据角平分线定义与平行线性质，求出的度数；
[拓展延伸]先通过平行线性质推导，再利用角平分线定义得，的度数，最后结合平行线性质与角度和差关系，计算出的度数.
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