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浙江省衢州市柯城区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，共22分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．计算：（　　）
A． B． C． D．
2．下列调查中，最适合采用全面调查的是（　　）
A．调查全国观众对《哪吒2》的满意度
B．调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力
C．调查我市中学生每天完成作业的时长
D．调查神舟二十号飞船各零件是否合格
3．“纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．如图是月份某种商品单个进价和售价的折线统计图，则单个商品盈利最大的月份是（　　）
A．1月份 B．2月份 C．3月份 D．4月份
5．下列运算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．如等式，被污染的部分正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．因式分解的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两.问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在长方形中，依次画出正方形、正方形、正方形若要确定线段的长，只需知道（　　）
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．因式分解：　 　.
12．老师对班内50名同学的血型按A型，B型，型，O型四组进行统计，结果显示A型血有16人，则该班A型血这组的频率是　 　．
13．计算　 　．
14．已知关于的二元一次方程有一组解为，则的值为　 　．
15．已知，则的值为　 　．
16．如图，把三角形沿直线向右平移，得三角形（点在边上）．连接，若四边形的周长为，则两块阴影部分的周长之和为　 　．
三、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解方程组：．
18．将下面的推理过程补充完整（不添加线和角），并在括号内注明理由．
问题：如图，，平分，，求的度数．
解：因为（已知），
所以______，（两直线平行，______）．
因为，（______），
所以______．
因为平分，（已知），
所以____________（角平分线的意义）．
19．小红计算和小明解方程的过程如下：
小红计算： 解：原式 ． 小明解方程： 解：方程两边同乘 得 化简得 经检验，是原方程的解．
（1）在上述两位同学的解答中，有一位同学有错误，这位同学是　 　（填写“小红”或“小明”)；
（2）请你写出正确的解答过程．
20．某校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以激励学生养成良好的锻炼习惯．现随机抽取若干名学生，统计其每天使用体育云平台打卡的运动时长，整理数据后，绘制了统计表和统计图（不完整）．请解答下列问题：
每天在体育云平台打卡的运动时长频数表：
组别/分钟
组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
频数（学生人数） 5 m 35 25 15
（1）本次调查的样本容量是多少？
（2）求m的值，并计算第2组所在扇形的圆心角度数；
（3）若该校有2000名学生，估计每天使用体育云平台打卡的运动时长不少于60分钟的学生人数．
21．用图①所示的4张边长为m，n的长方形纸片，无重叠、无缝隙地拼成图②所示的大正方形，中间阴影部分是小正方形．
【字母表示】
（1）用含m，n的代数式表示大正方形与小正方形的面积之差；
【观察归纳】
（2）观察图②，写出，，之间的等量关系；
【问题解决】
（3）若，，求的值．
22．如图，点D，E分别在线段，上，点F在线段上，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，请说明的理由．
23．已知．
（1）当时，求P的值；
（2）对于实数m，当时，设，．
①用含m的最简分式表示；
②当时，求m的值．
24．根据所给信息解决问题：
信息1 6月的信安湖绿道草木葱郁，景色怡人，是市民散步、跑步的好地方．
信息2 一天，甲、乙两人同时从绿道上的地出发，经两地到达地，其中两地相距米．
信息3 已知甲从地到地的速度是米/分钟，用时分钟；从地到地的速度是100米/分钟，用时分钟．
信息4 乙以米/分钟的速度从地跑到地后，在地休息了分钟，在此期间，甲跑过乙的身边，此时甲恰好跑了分钟．乙休息结束后，立刻以米/分钟的速度追赶，最终与甲同时到达地．
问题：
（1）试确定的值，及两地间的路程；
（2）求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：
故选：A．
【分析】本题考查整式的运算，运用乘法分配律，得．
2．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、全国观众数量庞大，全面调查成本过高，适合抽样调查，故不符合题意．
B、抗撞击能力测试具有破坏性，无法对所有车辆进行测试，需抽样调查，故不符合题意．
C、全市中学生人数较多，全面调查操作困难，通常采用抽样，故不符合题意．
D、神舟二十号飞船零件必须全部合格，否则可能导致重大安全隐患，因此必须进行全面调查，故符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查全面调查与抽样调查的选择，全面调查适用于数据要求精确、个体数量较少或必须逐一检查的情况，D符合全面调查，抽样调查适合总体数量极大、无法全部调查、调查具有破坏性的场景ABC符合抽样调查，故不符合题意．
3．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：A．
【分析】
用科学记数法常把一个绝对值较小的数字表示为的形式，其中，n取这个数字左边起第一个不为零的数字前面0的个数．
4．【答案】B
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：由图象中的信息可知，
利润=售价进价，利润最大的是2月，
故选：B．
【分析】本题考查了折线统计图，分析图象中的信息，利用：利润=售价-进价，进行解题．
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查整式的运算：
A、，这是合并同类项同类项加减规则：字母和字母的指数不变，只把系数相加；
B、，这是同底数幂相乘核心公式：am an=am+n （底数不变，指数相加）；
C、，这是积的乘方核心公式：(ab)n=anbn （把积里的每一个因式，分别乘方，再相乘）；
D、，这是同底数幂相除核心公式：am÷an=am n （底数不变，指数相减）．
6．【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
则被污染的部分为.
故选：A．
【分析】本题考查多项式乘多项式，用 乘法分配律展开计算。公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，将题目中数字字母代入公式可得答案.
7．【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故选：A．
【分析】本题考查因式分解，先提公因式3，得 3（x24），再用平方差公式分解，可得3（x+2）(x2).
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设1头牛x两银子，1只羊y两银子，
由题意可得：，
故答案为：A.
【分析】设1头牛x两银子，1只羊y两银子，根据5头牛、2只羊共19两银子可得5x+2y=19；根据2头牛、3只羊共12两银子可得2x+3y=12，联立可得方程组.
9．【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，过A点作，
，
∴，
，
，
，
即，
，，
，
故选：C．
【分析】过A点作，可得，根据两直线平行，同旁内角互补可得，，两式相加可得，将，代入即可求解.
10．【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a、正方形的边长为b、正方形的边长为x，
，，，
，，
在长方形中，，，
由，得，
，
，
若要确定线段的长，只需知道线段的长即可．
故选：D．
【分析】设正方形的边长为a、正方形的边长为b、正方形的边长为x，则根据正方形的四条边相等，可得，，，根据矩形的对边相等，得，根据矩形的对边相等，得，又，AD=a，代入得，则，继而得，据此即可得出答案．
11．【答案】a（x+y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：a（x+y）.
【分析】观察此多项式的特点：两项都含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
12．【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：数据的总数为50，A型血的频数为16，
该班A型血这组的频率是．
故答案为：．
【分析】本题考查了频数与频率，解题的关键是掌握频率的计算公式．根据 频 率= ，将数字代入可得答案 ．
13．【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂的定义．零指数幂公式(a0)，负整数指数幂公式(a0，为正整数)，将数字代入计算即可.
14．【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于的二元一次方程有一组解为，
，
解得，
故答案为：．
【分析】本题考查了二元一次方程的解，将已知解代入方程解答即可求k的值.
15．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：，
，
当时，原式，
故答案为：．
【分析】本题考查代数式求值. 由得x=3y，将其代入，即可得到答案.
16．【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：沿直线向右平移，得到，
，，
，，
∵四边形的周长为，
，
，
，
∴两块阴影部分的周长之和，
故答案为：．
【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质可得，，再由四边形的周长为，可得，通过线段拆分，整理进而即可求解．
17．【答案】解：，
①，得③，
②+③，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
方程组的解为

【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解方程组即可．加减消元法：1、把方程组里同一个未知数的系数变成互为相反数，①，得③，然后两个方程相加，消掉这个未知数，变成一元一次方程，②+③，得，求得，将其代入①，求得.
18．【答案】，同旁内角互补，对顶角相等，，，．
【知识点】角平分线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：因为（已知），
所以（两直线平行，同旁内角互补），
因为（对顶角相等），
所以，
因为平分（已知），
所以（角平分线的意义）
故答案为：，同旁内角互补，对顶角相等，，，．
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，对顶角相等，由得到(两直线平行，同旁内角互补)，利用对顶角相等得到，则，由平分即可得到（角平分线的意义）．
19．【答案】（1）小红
（2）解：
【知识点】去分母法解分式方程；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】（1）
解：原式
=2x-3+x
=3x-3．
【分析】（1）根据题干中分式的加减计算过程及解分式方程的步骤；先去分母得2x-（3-x），去括号得2x-3+x，合并同类项得3x-3．
（2）方程两边去分母，得，化简得.
（1）由题干中的解题步骤可得小红同学的解答错误，
故答案为：小红；
（2）解：
20．【答案】（1）本次调查的样本容量是；
（2）（人），
第2组所在圆心角度数为
（3），人，
答：估计每天使用体育云平台打卡的运动时长不少于60分钟的学生人数约为1500人
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）样本容量=，将第三组得数据代入即可；
（2）根据各组人数之和等于总人数求出m的值，第2组所在圆心角度数=×第2组人数，可求圆心角度数；
（3）用总人数×样本中运动时长不少于60分钟的学生人数所占比例．
21．【答案】解：（1）大正方形的边长为，因此面积为，小正方形的边长为，因此面积为，
所以大正方形与小正方形的面积之差；
由拼图可知，大正方形与小正方形的面积之差就是4个图①的面积，即，
因此大正方形与小正方形的面积之差为或；
（2）由（1）可得，
即，，之间的等量关系为；
（3），，
．
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【分析】（1）大正方形的面积=，小正方形的面积=，面积差=，由拼图可知，大正方形与小正方形的面积之差就是4个图①的面积，即，因此大正方形与小正方形的面积之差为或；
（2） 根据（1）中两种方法所表示的面积相等，可知= ；
（3）利用（2）的结论代入计算即可．
22．【答案】（1）解：，理由如下：
，，
，
.
（2），理由如下：
，
，
，
，
，
，，
，
，
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由题意，得到（等量代换），证得结论；
（2）由题意，易得，有，，结合已知条件，进行代换，得到结果．
23．【答案】（1）解：，
；
（2）解：①，，
；
②，
，即，
解得，（舍去），
【知识点】分式的约分；最简分式的概念；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】（1）把代入代数式 进行计算即可；
（2）①先将 化简得b=，再将a，b得代数式代入，根据分式的除法法则进行计算即可；
②把代入代数式 进行计算，且 ，所以得到m=．
（1）解：，
；
（2）①，，
；
②，
，即，
解得，（舍去），
24．【答案】（1）解：根据题意得：，
解得：，
的值为，
设两地间的路程为米，
根据题意得：，
解得：，
答：的值为，两地间的路程为米；
（2）解：（米），
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：的值为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用路程=速度时间，可列出，解之可得出t的值；设两地间的路程，利用路程=速度时间，结合两地间的路程不变，可列出，解之即可得出结论；
（2）利用路程=速度时间，可求出米，利用时间=路程速度，结合甲、乙同时到达地，可列出，解之经检验后，即可得出结论．
（1）解：根据题意得：，
解得：，
的值为，
设两地间的路程为米，
根据题意得：，
解得：，
答：的值为，两地间的路程为米；
（2）解：（米），
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：的值为．
1 / 1浙江省衢州市柯城区2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，共22分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．计算：（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式
【解析】【解答】解：
故选：A．
【分析】本题考查整式的运算，运用乘法分配律，得．
2．下列调查中，最适合采用全面调查的是（　　）
A．调查全国观众对《哪吒2》的满意度
B．调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力
C．调查我市中学生每天完成作业的时长
D．调查神舟二十号飞船各零件是否合格
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、全国观众数量庞大，全面调查成本过高，适合抽样调查，故不符合题意．
B、抗撞击能力测试具有破坏性，无法对所有车辆进行测试，需抽样调查，故不符合题意．
C、全市中学生人数较多，全面调查操作困难，通常采用抽样，故不符合题意．
D、神舟二十号飞船零件必须全部合格，否则可能导致重大安全隐患，因此必须进行全面调查，故符合题意．
故选：D．
【分析】本题考查全面调查与抽样调查的选择，全面调查适用于数据要求精确、个体数量较少或必须逐一检查的情况，D符合全面调查，抽样调查适合总体数量极大、无法全部调查、调查具有破坏性的场景ABC符合抽样调查，故不符合题意．
3．“纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故选：A．
【分析】
用科学记数法常把一个绝对值较小的数字表示为的形式，其中，n取这个数字左边起第一个不为零的数字前面0的个数．
4．如图是月份某种商品单个进价和售价的折线统计图，则单个商品盈利最大的月份是（　　）
A．1月份 B．2月份 C．3月份 D．4月份
【答案】B
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：由图象中的信息可知，
利润=售价进价，利润最大的是2月，
故选：B．
【分析】本题考查了折线统计图，分析图象中的信息，利用：利润=售价-进价，进行解题．
5．下列运算中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，计算正确，故此选项符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】本题考查整式的运算：
A、，这是合并同类项同类项加减规则：字母和字母的指数不变，只把系数相加；
B、，这是同底数幂相乘核心公式：am an=am+n （底数不变，指数相加）；
C、，这是积的乘方核心公式：(ab)n=anbn （把积里的每一个因式，分别乘方，再相乘）；
D、，这是同底数幂相除核心公式：am÷an=am n （底数不变，指数相减）．
6．如等式，被污染的部分正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：，
则被污染的部分为.
故选：A．
【分析】本题考查多项式乘多项式，用 乘法分配律展开计算。公式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn，将题目中数字字母代入公式可得答案.
7．因式分解的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故选：A．
【分析】本题考查因式分解，先提公因式3，得 3（x24），再用平方差公式分解，可得3（x+2）(x2).
8．我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两.问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设1头牛x两银子，1只羊y两银子，
由题意可得：，
故答案为：A.
【分析】设1头牛x两银子，1只羊y两银子，根据5头牛、2只羊共19两银子可得5x+2y=19；根据2头牛、3只羊共12两银子可得2x+3y=12，联立可得方程组.
9．如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，过A点作，
，
∴，
，
，
，
即，
，，
，
故选：C．
【分析】过A点作，可得，根据两直线平行，同旁内角互补可得，，两式相加可得，将，代入即可求解.
10．如图，在长方形中，依次画出正方形、正方形、正方形若要确定线段的长，只需知道（　　）
A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长
【答案】D
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a、正方形的边长为b、正方形的边长为x，
，，，
，，
在长方形中，，，
由，得，
，
，
若要确定线段的长，只需知道线段的长即可．
故选：D．
【分析】设正方形的边长为a、正方形的边长为b、正方形的边长为x，则根据正方形的四条边相等，可得，，，根据矩形的对边相等，得，根据矩形的对边相等，得，又，AD=a，代入得，则，继而得，据此即可得出答案．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．因式分解：　 　.
【答案】a（x+y）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为：a（x+y）.
【分析】观察此多项式的特点：两项都含有公因式a，因此利用提公因式法分解因式.
12．老师对班内50名同学的血型按A型，B型，型，O型四组进行统计，结果显示A型血有16人，则该班A型血这组的频率是　 　．
【答案】
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：数据的总数为50，A型血的频数为16，
该班A型血这组的频率是．
故答案为：．
【分析】本题考查了频数与频率，解题的关键是掌握频率的计算公式．根据 频 率= ，将数字代入可得答案 ．
13．计算　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂的定义．零指数幂公式(a0)，负整数指数幂公式(a0，为正整数)，将数字代入计算即可.
14．已知关于的二元一次方程有一组解为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵关于的二元一次方程有一组解为，
，
解得，
故答案为：．
【分析】本题考查了二元一次方程的解，将已知解代入方程解答即可求k的值.
15．已知，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：，
，
当时，原式，
故答案为：．
【分析】本题考查代数式求值. 由得x=3y，将其代入，即可得到答案.
16．如图，把三角形沿直线向右平移，得三角形（点在边上）．连接，若四边形的周长为，则两块阴影部分的周长之和为　 　．
【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：沿直线向右平移，得到，
，，
，，
∵四边形的周长为，
，
，
，
∴两块阴影部分的周长之和，
故答案为：．
【分析】本题考查了平移的性质，由平移的性质可得，，再由四边形的周长为，可得，通过线段拆分，整理进而即可求解．
三、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解方程组：．
【答案】解：，
①，得③，
②+③，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
方程组的解为

【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解方程组即可．加减消元法：1、把方程组里同一个未知数的系数变成互为相反数，①，得③，然后两个方程相加，消掉这个未知数，变成一元一次方程，②+③，得，求得，将其代入①，求得.
18．将下面的推理过程补充完整（不添加线和角），并在括号内注明理由．
问题：如图，，平分，，求的度数．
解：因为（已知），
所以______，（两直线平行，______）．
因为，（______），
所以______．
因为平分，（已知），
所以____________（角平分线的意义）．
【答案】，同旁内角互补，对顶角相等，，，．
【知识点】角平分线的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：因为（已知），
所以（两直线平行，同旁内角互补），
因为（对顶角相等），
所以，
因为平分（已知），
所以（角平分线的意义）
故答案为：，同旁内角互补，对顶角相等，，，．
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，对顶角相等，由得到(两直线平行，同旁内角互补)，利用对顶角相等得到，则，由平分即可得到（角平分线的意义）．
19．小红计算和小明解方程的过程如下：
小红计算： 解：原式 ． 小明解方程： 解：方程两边同乘 得 化简得 经检验，是原方程的解．
（1）在上述两位同学的解答中，有一位同学有错误，这位同学是　 　（填写“小红”或“小明”)；
（2）请你写出正确的解答过程．
【答案】（1）小红
（2）解：
【知识点】去分母法解分式方程；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】（1）
解：原式
=2x-3+x
=3x-3．
【分析】（1）根据题干中分式的加减计算过程及解分式方程的步骤；先去分母得2x-（3-x），去括号得2x-3+x，合并同类项得3x-3．
（2）方程两边去分母，得，化简得.
（1）由题干中的解题步骤可得小红同学的解答错误，
故答案为：小红；
（2）解：
20．某校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以激励学生养成良好的锻炼习惯．现随机抽取若干名学生，统计其每天使用体育云平台打卡的运动时长，整理数据后，绘制了统计表和统计图（不完整）．请解答下列问题：
每天在体育云平台打卡的运动时长频数表：
组别/分钟
组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
频数（学生人数） 5 m 35 25 15
（1）本次调查的样本容量是多少？
（2）求m的值，并计算第2组所在扇形的圆心角度数；
（3）若该校有2000名学生，估计每天使用体育云平台打卡的运动时长不少于60分钟的学生人数．
【答案】（1）本次调查的样本容量是；
（2）（人），
第2组所在圆心角度数为
（3），人，
答：估计每天使用体育云平台打卡的运动时长不少于60分钟的学生人数约为1500人
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）样本容量=，将第三组得数据代入即可；
（2）根据各组人数之和等于总人数求出m的值，第2组所在圆心角度数=×第2组人数，可求圆心角度数；
（3）用总人数×样本中运动时长不少于60分钟的学生人数所占比例．
21．用图①所示的4张边长为m，n的长方形纸片，无重叠、无缝隙地拼成图②所示的大正方形，中间阴影部分是小正方形．
【字母表示】
（1）用含m，n的代数式表示大正方形与小正方形的面积之差；
【观察归纳】
（2）观察图②，写出，，之间的等量关系；
【问题解决】
（3）若，，求的值．
【答案】解：（1）大正方形的边长为，因此面积为，小正方形的边长为，因此面积为，
所以大正方形与小正方形的面积之差；
由拼图可知，大正方形与小正方形的面积之差就是4个图①的面积，即，
因此大正方形与小正方形的面积之差为或；
（2）由（1）可得，
即，，之间的等量关系为；
（3），，
．
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【分析】（1）大正方形的面积=，小正方形的面积=，面积差=，由拼图可知，大正方形与小正方形的面积之差就是4个图①的面积，即，因此大正方形与小正方形的面积之差为或；
（2） 根据（1）中两种方法所表示的面积相等，可知= ；
（3）利用（2）的结论代入计算即可．
22．如图，点D，E分别在线段，上，点F在线段上，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，请说明的理由．
【答案】（1）解：，理由如下：
，，
，
.
（2），理由如下：
，
，
，
，
，
，，
，
，
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由题意，得到（等量代换），证得结论；
（2）由题意，易得，有，，结合已知条件，进行代换，得到结果．
23．已知．
（1）当时，求P的值；
（2）对于实数m，当时，设，．
①用含m的最简分式表示；
②当时，求m的值．
【答案】（1）解：，
；
（2）解：①，，
；
②，
，即，
解得，（舍去），
【知识点】分式的约分；最简分式的概念；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】（1）把代入代数式 进行计算即可；
（2）①先将 化简得b=，再将a，b得代数式代入，根据分式的除法法则进行计算即可；
②把代入代数式 进行计算，且 ，所以得到m=．
（1）解：，
；
（2）①，，
；
②，
，即，
解得，（舍去），
24．根据所给信息解决问题：
信息1 6月的信安湖绿道草木葱郁，景色怡人，是市民散步、跑步的好地方．
信息2 一天，甲、乙两人同时从绿道上的地出发，经两地到达地，其中两地相距米．
信息3 已知甲从地到地的速度是米/分钟，用时分钟；从地到地的速度是100米/分钟，用时分钟．
信息4 乙以米/分钟的速度从地跑到地后，在地休息了分钟，在此期间，甲跑过乙的身边，此时甲恰好跑了分钟．乙休息结束后，立刻以米/分钟的速度追赶，最终与甲同时到达地．
问题：
（1）试确定的值，及两地间的路程；
（2）求的值．
【答案】（1）解：根据题意得：，
解得：，
的值为，
设两地间的路程为米，
根据题意得：，
解得：，
答：的值为，两地间的路程为米；
（2）解：（米），
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：的值为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）利用路程=速度时间，可列出，解之可得出t的值；设两地间的路程，利用路程=速度时间，结合两地间的路程不变，可列出，解之即可得出结论；
（2）利用路程=速度时间，可求出米，利用时间=路程速度，结合甲、乙同时到达地，可列出，解之经检验后，即可得出结论．
（1）解：根据题意得：，
解得：，
的值为，
设两地间的路程为米，
根据题意得：，
解得：，
答：的值为，两地间的路程为米；
（2）解：（米），
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：的值为．
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