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湖南省长沙市稻田中学2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题
一、单选题（共28分）
1．两个完全相同的金属小球（均可视为点电荷）分别带有+5Q和-3Q的电荷量，固定在相距为r的两处。它们间的库仑力大小为F。两者相互接触后将其固定距离变为2r，则此时两球间库仑力的大小为（　　）
A． B． C．60F D．
2．如图所示，R1、R2为电阻，C为电容器，S为开关，通过开关S的开合实现对电容器C的充放电。关于充放电过程，下列说法正确的是（　　）
A．电容器充电时，C的左极板带正电
B．电容器充电时，C的左极板带负电
C．电容器放电时，电流从R1的Q端流向P端
D．电容器放电时，电流从R2的N端流向M端
3．如图所示，在竖直平面内固定有光滑椭圆轨道，两焦点M、N在x轴上关于坐标原点O对称。一质量为m的小球套在轨道上从最低点开始以初速度v0运动，恰能通过最高点，重力加速度为g。则（　　）
A．球的加速度沿竖直方向的位置共有三处
B．小球通过轨道最右端时加速度为g
C．小球与M点的连线在相同时间内扫过的面积相等
D．初速度v0稍增大，轨道与球间作用力为零的位置会下移
4．火车以速率v1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率v2做匀速运动，于是司机立即使车做匀减速运动，该加速度大小为a，则要使两车不相撞，加速度a应满足的关系为（　　）
A． B．
C． D．
5．如图所示，匀强电场中三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，∠ABC＝∠CAB＝30°，BC＝2m．已知电场线平行于△ABC所在的平面，一个电荷量q＝﹣1×10﹣6C的点电荷由A移到B的过程中，电势能增加了1.2×10﹣5J，由B移到C的过程中电场力做功6×10﹣6J，下列说法正确的是（　　）
A．B、C两点的电势差UBC＝3V
B．该电场的场强为2V/m
C．正电荷由C点移到A点的过程中，电势能减少
D．A点的电势低于B点的电势
6．小朋友们之间经常玩一项有意思的游戏——打水漂（如图甲），打水漂的石片能弹跳的次数由石片初速度、转速、入水时石头和水面的夹角，以及石片材质决定。其他条件相同的情况下，石片首次接触水与水面成20度角时，水漂效果最为完美。某次投掷时，如图乙，石片在距离水面高h处，以速度v水平抛出，若石片与水面碰撞时，水平速度不变，但碰后反弹高度都是前一次的，不计空气阻力，重力加速度为g，则石片从抛出到停止跳动的过程中通过的总水平距离是（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块A连接，处于压缩状态，A由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块B轻放在A右侧，A、B由静止开始一起沿斜面向下运动，下滑过程中A、B始终不分离，当A回到初始位置时速度为零，A、B与斜面间的动摩擦因数相同、弹簧未超过弹性限度，则（　　）
A．物块A上滑时，弹簧的弹力方向先沿斜面向上后沿斜面向下
B．物块A上滑到最大位移的过程中，经过中点位置时速度最大
C．A、B一起下滑时，B对A的压力先减小后增大
D．整个过程中B克服摩擦力所做的总功等于B的重力势能减小量
二、多选题（共15分）
8．做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点时的速度分别为v和7v，经历的时间为t，则 (　　)
A．前半程速度增加3.5v B．前时间内通过的位移为
C．后时间内通过的位移为 D．后半程速度增加2v
9．我国计划在2030年之前实现飞船载人登月计划，假设你有幸成为登上月球的第一位中国人，如果告知万有引力常量，你可以完成以下哪项工作（　　）
A．测出一个石块的质量，以及它在月球表面上方自由下落的高度和时间，求出月球表面上该石块的重力
B．测出一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，求出月球的质量
C．从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，求出月球的平均密度
D．测出飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期，求出月球的平均密度
10．如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能（r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（　　）
A．最低点的位置
B．速率达到最大值时的位置
C．最后停留位置x的区间是
D．若在最低点能返回，则初始电势能
三、实验题（共16分）
11．某兴趣小组对研究手机电池产生兴趣，利用手边器材，先从测量电池组的电动势和内阻开始研究。如图1所示的实验原理图，已知电池组的电动势约为，内阻约。现提供的器材如下：
A. 电池组B.电压表（量程）
C. 电压表（量程）
D. 电阻箱R
E. 定值电阻
F. 定值电阻
G. 开关和导线若干
（1）如图1所示，要尽可能精确测量电源的电动势和内阻，电压表V应选择　 　（选填“B”或“C”）；定值电阻应选择　 　（选填“E”或“F”）。
（2）改变电阻箱的阻值R，记录对应电压表的读数U，作出的图像如图2所示，图线与横、纵坐标轴的截距分别为、a，定值电阻的阻值用表示，则可得该电池组的电动势为　 　，内阻为　 　。（用字母表示）
（3）调节电阻箱阻值从零开始逐渐变大的过程中，电阻箱的功率如何变化　 　。（选填“变大”“变小”“先变大后变小”“先变小后变大”）
12．某同学在实验室进行测量电阻的实验。
（1）该同学先用欧姆表“”挡粗测一个未知电阻R的阻值，示数如图1所示，对应的读数是　 　。
（2）他进一步采用伏安法进行精确测量，测量电路如图2所示，其中电压表的内阻约为，电流表的内阻约为，为了尽量减小实验误差，电压表的右端应接在　 　点（选填“M”或“N”）。
（3）随着居民生活水平的提高，纯净水已经进入千家万户。电导率是检验纯净水是否合格的一项重要指标，它是电阻率的倒数。该同学为了测量某品牌纯净水样品的电导率，将采集的水样注满绝缘性能良好的横截面直径为几厘米的薄塑料圆柱形容器，容器两端用很薄的金属圆片电极密封，如图3所示。
a. 他先通过查阅资料估算出容器内水样的电阻约为十万欧，然后用伏安法进行测量。除开关和若干导线外，他还找到下表所示的器材，请选择合适的器材，设计测量该水样电阻的方案，在下图方框内画出电路图，并标注所选器材的代号，水样的电阻用表示。　 　
器材（代号） 规格
电源（） 电动势约为3.0V，内阻可以忽略不计
电源（） 电动势约为15.0V，内阻可以忽略不计
电压表（） 量程0~3V，内阻约
电压表（） 量程0~15V，内阻约
电流表（） 量程0~0.6A，内阻约
电流表（） 量程，内阻约
滑动变阻器（R） 总阻值约
b. 测出水样的电阻后，为了测出样品的电导率，请写出该同学还需要测量的物理量，以及使用的测量工具和测量方法。　 　
四、解答题（共41分）
13．如图所示，质量为m的足球在地面1的位置被踢出后落到地面3的位置，在空中达到最高点2的高度为h.
(1)足球由位置1运动到位置2时，重力做了多少功？足球克服重力做了多少功？足球的重力势能增加了多少？
(2)足球由位置2运动到位置3时，重力做了多少功？足球的重力势能减少了多少？
14．如图所示，ABC是半径为R的光滑圆弧形轮滑赛道，A点与圆心O等高，B为最低点（位于水平地面上），圆弧BC所对的圆心角为60°。轮滑运动员从A点以一定的初速度沿圆弧面滑下，从C点滑出后，运动员上升到的最高点与O点在同一水平面上，此后运动员恰好落到平台上的D点，D点距水平地面的高为。已知运动员和轮滑鞋的总质量为m，重力加速度大小为g，运动员和轮滑鞋整体视为质点，不计空气阻力。求：
（1）运动员从C点滑出时的速度大小；
（2）运动员和轮滑鞋一起在B点对轨道的压力；
（3）平台D点离圆弧轨道C点的水平距离。
15．如图所示，两个半径均为R的圆形光滑细管道组成的轨道CDE竖直放置在水平面上，C、E两管口切线水平，O1和O2为两细管道圆心，O1O2连线与竖直线间的夹角，一劲度系数的轻质弹簧右端固定，原长时左端处于P点，已知弹簧原长足够长，一质量为m可视为质点的滑块从A点以初速度斜向上抛出，刚好从C点沿水平方向进入管道，已知滑块与地面间的动摩擦因数为，弹簧的弹性势能Ep与弹簧形变量的关系是，细管内径和空气阻力不计。求：
(1)滑块到C点时对轨道的压力；
(2)AE间的距离；
(3)要使滑块能再次返回细管道EDC但又不能从C点离开轨道，问EP间的水平距离x应满足的条件？（计算结果可用根号表示）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】库仑定律
【解析】【解答】根据库仑定律，两个小球之间的库仑力有：，由于两个小球接触后电荷先中和后等分则两个小球的电荷量为Q和Q，则接触后两个小球之间的库仑力为：，所以D对，ABC错；正确答案为ABC
【分析】利用两个小球的电荷量和最初的距离可以求出最初两个小球之间的库仑力；当小球接触后等分电荷量时，再利用库仑定律结合距离可以求出接触后库仑力的大小。
2．【答案】B
【知识点】电容器及其应用
【解析】【解答】AB．根据电路图可知，电容器右端与电源正极相连，故电容器充电时，C的右极板带正电，左极板带负电，故A错误，B正确；
CD．开关断开时，电容器相当于电源，电容器放电，由于C的右极板带正电，左极板带负电，电容器充当电源，电流只能从R1的P端流向Q端，故CD错误。
故选B。
【分析】电容器接在电源两端，电容器相当于用电器，电源给用电器充电；电容器与电源断开，连接电容器两端，电容器放电。
3．【答案】A
【知识点】受力分析的应用；竖直平面的圆周运动
【解析】【解答】A．在最低点加速度沿着竖直方向，最高点加速度为零，从最低点向最高点运动的过程中，到达x轴正半轴之前，弹力指向圆环的内侧，也就是小球对圆环的内侧存在压力，由于恰好通过最高点，在最高点时，圆环外侧对小球存在弹力，从x轴正半轴到最高点的过程中，存在某个位置，弹力为零，加速度竖直向下；利用对称性，在第二象限同样存在一点，加速度竖直向下，故A正确；
B．小球在最右端时，小球受到竖直向下的重力和水平向左的弹力，二者的合力显然大于小球的重力，因此小球在最右端时的加速度大于，故B错误；
C．根据开普勒第二定律可知，只在引力的作用下，行星与中心天体连线在相等时间内扫过的面积相等，类比开普勒第二定律，小球沿椭圆运行时，还要受到轨道对小球的弹力，因此小球与M点的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故C错误；
D．设小球在A点不受椭圆轨道作用力，如图所示
将运动倒过来可以看成从最高点由静止向下运动，在最高点弹力指向圆弧外侧，到达A时弹力为零，通过A点后弹力指向圆弧内侧，如果给小球一个较小的初速度，这样到达A点时，由于所需向心力比第一次大，已经对圆弧内侧存在压力了，不存在压力的位置在该点的上方，D错误。
故答案为：A。
【分析】结合受力分析判断加速度的方向（合力方向与加速度方向一致），利用椭圆轨道的对称性分析弹力为零的位置，再根据速度变化对轨道作用力的影响判断位置移动规律。
4．【答案】D
【知识点】追及相遇问题
【解析】【解答】两车速度相等时所经历的时间
此时后面火车的位移为
前面火车的位移为
根据
解得
所以加速度大小满足的条件是
故答案为：D。
【分析】两车不相撞的临界条件是速度相等时，后车位移与前车位移的差值不超过初始间距s，通过运动学公式推导速度相等的时间，再结合位移关系列出不等式，求解加速度的取值范围。
5．【答案】B
【知识点】电势差；等势面；电势差与电场强度的关系
【解析】【解答】A、由B移到C的过程中电场力做功，则B、C两点的电势差为：，故A错误；
B、同理可知：，由于，则可知：，在AB连线取一点D为该线中点，所以，由于，则，所以C、D电势相等，所以CD连线为等势线，而三角形ABC为等腰三角形，所以电场强度方向沿着AB方向，由A指向B．因为，由几何关系得：，所以，所以该电场的场强为，故B正确；
C、由于，根据得：正电荷由C移到A的过程中，电场力做负功，所以电势能增加，故C错误；
D、点电荷由A移到B的过程中，电势能增加，知电场力做功，A、B两点的电势差，所以A点的电势高于B点的电势，故D错误．
【分析】根据电场力做功与电势能变化的关系、电势差的定义式计算各点间电势差，结合匀强电场的场强与电势差的关系（为沿电场线的距离）求场强，再通过电势高低判断电势能变化
6．【答案】B
【知识点】平抛运动；斜抛运动
【解析】【解答】第1次石片从抛出到接触水平做平抛运动，时间为
石片每次接触水面后反弹到再接触水面做斜抛运动，可看作两个平抛运动，则第1次石片从上升到第2次接触水面的时间为
第2次石片从上升到第3次接触水面的时间为
第3次石片从上升到第4次接触水面的时间为
第n次石片从上升到第n+1次接触水面的时间为
则石片从抛出到停止跳动的过程中通过的总时间为
根据数学知识有
则石片从抛出到停止跳动的过程中通过的水平距离为
故答案为：B。
【分析】本题考查平抛运动与多次反弹的运动学综合分析，核心是利用平抛运动的时间公式计算每次运动的时间，结合水平速度不变的条件，推导总水平距离的表达式。
7．【答案】B
【知识点】功能关系；牛顿第二定律
【解析】【解答】A．下滑过程中A、B始终不分离，设最高点弹簧弹力为F，斜面倾角为θ，动摩擦因数为μ，A对B弹力大小为FAB，沿斜面向下为正方向，在下滑瞬间，根据牛顿第二定律，对整体
对B：
得
因为FAB沿斜面向上，可知在最高点F的方向沿斜面向上，说明弹簧一直处于压缩状态，弹簧弹力始终沿斜面向上，故A错误；
B．设物块A在起始位置和最高点时，弹簧的压缩量分别为x1、x2，根据能量守恒
得
当运动至最大位移中点时
整理得，即加速度为零，速度最大，故B正确；
C．由B选项，下滑过程中F逐渐变大，则FAB逐渐变大，根据牛顿第三定律，B对A的压力逐渐增大，故C错误；
D．整个过程中，弹簧弹力做功为零，物块A的重力做功为零，系统动能变化也为零，根据功能关系可知，整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功等于B的重力势能减小量，故D错误。
故答案为：B。
【分析】通过受力分析判断弹簧弹力方向和物块的运动状态（速度最大的条件是合力为零），结合牛顿第二定律分析 A、B 间的相互作用力变化，利用功能关系判断 B 的能量转化。
8．【答案】C,D
【知识点】平均速度；匀变速直线运动的位移与速度的关系
【解析】【解答】AD：做匀加速直线运动的物体，位移中点的速度；前半程速度增加量，后半程速度增加量．故A错误，D正确．
BC：做匀变速直线运动的物体，中间时刻的瞬时速度等于全过程的平均速度，则；
前时间内通过的位移，后时间内通过的位移．故B错误，C正确．
【分析】利用匀变速直线运动的中间时刻速度公式和位移中点速度公式，分别计算时间半段的位移、位移半段的速度变化，进而判断选项正误。
9．【答案】A,D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、石块在月球上做自由落体运动，根据
则月球表面上该石块的重力
联立可得
故A正确；
B、一个石块在月球表面上方做平抛运动，竖直方向有
又根据任意一星球表面物体重力等于万有引力，即
解得
由于月球半径未知，故无法求出月球的质量，故B错误；
C、从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，只能大体测出月球上石头的密度，但月球密度不一定与月球上石头的密度相同，故C错误；
D、由万有引力提供向心力得
又有
联立解得
故D正确。
故答案为：AD。
【分析】根据题意，将各选项的条件转化成物理方程，再结合已知量分析结果能否得出。
10．【答案】B,D
【知识点】带电粒子在电场中的运动综合
【解析】【解答】本题考查了带电体在电场中的运动问题，考查了库仑定律的应用，力与运动逻辑分析能力，能量守恒与功能关系的应用。解答时注意处于临界状态时摩擦力的方向问题。A．小球在运动过程中受重力，库仑力以及摩擦力等于，结合甲和乙两点电荷的电势能
全过程，根据动能定理以及功能关系可得
解得
故A错误；
B．当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有
解得
故B正确；
C．小球甲最后停留时，满足
解得位置x的区间
故C错误；
D．若在最低点能返回，即在最低点满足
结合动能定理
又
联立可得
故D正确。
故选BD。
【分析】小球甲从开始运动至第一次运动到最低点的过程，根据能量守恒定律与功能关系求解最低点的位置；小球甲第一次向下运动至速度最大的位置时加速度为零，根据平衡条件求解速率达到最大值时的位置；根据平衡条件分别求得小球甲最终恰好不向上运动和恰好不向下运动的位置，这两个位置之间（包括这两个位置）是小球甲最后停留位置的区间；若小球甲在最低点能返回，在最低点电场力要大于重力与滑动摩擦力之和。结合A选项的结论可求解初始电势能满足的条件。
11．【答案】（1）C；E
（2）；
（3）先变大后变小
【知识点】闭合电路的欧姆定律；电池电动势和内阻的测量
【解析】【解答】（1）被测电池组的电动势约，故电压表应选择量程为的电压表，即选C；
为减小电压表的分流的影响，定值电阻应选择阻值较小的定值电阻，即选E。
故答案为：C；E
（2）根据闭合电路欧姆定律可得
整理得
根据图像的斜率与纵截距可得，
解得，
故答案为：；
（3）根据电源输出功率与外电阻的关系可知，外电阻等于电源内阻时电源的输出功率最大。将电阻等效为电源内阻（若考虑电压表的内阻，也将电压表的内阻等效为电源内阻），这样电阻箱的功率就是等效电源的输出功率，调节电阻箱阻值从零开始逐渐变大的过程中，因电阻箱阻值可以大于等效电源的内阻，故电阻箱的功率先变大后变小。
故答案为：先变大后变小
【分析】(1) 根据电池组电动势（3V）选择电压表量程，结合电池内阻（约2Ω）选择匹配的定值电阻；
(2) 由闭合电路欧姆定律推导的函数关系式，结合图像截距求电动势和内阻；
(3) 分析电阻箱功率随阻值变化的规律，结合电源输出功率的特性判断变化趋势。
（1）[1]被测电池组的电动势约，故电压表应选择量程为的电压表，即选C；
[2]为减小电压表的分流的影响，定值电阻应选择阻值较小的定值电阻，即选E。
（2）[1][2]根据闭合电路欧姆定律可得
整理得
根据图像的斜率与纵截距可得
，
解得
，
（3）根据电源输出功率与外电阻的关系可知，外电阻等于电源内阻时电源的输出功率最大。将电阻等效为电源内阻（若考虑电压表的内阻，也将电压表的内阻等效为电源内阻），这样电阻箱的功率就是等效电源的输出功率，调节电阻箱阻值从零开始逐渐变大的过程中，因电阻箱阻值可以大于等效电源的内阻，故电阻箱的功率先变大后变小。
12．【答案】8；M；；测量圆柱形容器的长度和横截面的直径；测量圆柱形容器的长度的工具和方法：用刻度尺测量圆柱形容器的长度，多次测量取平均值；测量圆柱形容器横截面直径的工具和方法：用游标卡尺测量圆柱形容器横截面直径，在圆柱形容器的不同位置多次测量取平均值。
【知识点】电阻定律；导体电阻率的测量
【解析】【解答】（1）该同学先用欧姆表“”挡粗测一个未知电阻的阻值，由图1可知读数为
故答案为：8
（2）根据，为了尽量减小实验误差，电流表应采用外接法，则电压表的右端应接在M点。
故答案为：M
（3）a水样的电阻约为十万欧，若电源选择电动势为的，则最大电流为
若电源选择电动势为的，则最大电流为
则电流表应选择量程为的；为了使电流表读数超过量程的，电源应选择电动势为的，电压表应选择量程为的；由于待测电阻约为十万欧，远大于电流表内阻和滑动变阻器阻值，为了减小误差，电流表应采用内接法，滑动变阻器采用分压接法，电路图如图所示
b根据电阻定律可得
又
可知
则电导率为
为了测出样品的电导率，还需要测量圆柱形容器的长度和横截面的直径；
测量圆柱形容器的长度的工具和方法：用刻度尺测量圆柱形容器的长度，多次测量取平均值；
测量圆柱形容器横截面直径的工具和方法：用游标卡尺测量圆柱形容器横截面直径，在圆柱形容器的不同位置多次测量取平均值。
故答案为：；测量圆柱形容器的长度和横截面的直径；测量圆柱形容器的长度的工具和方法：用刻度尺测量圆柱形容器的长度，多次测量取平均值；测量圆柱形容器横截面直径的工具和方法：用游标卡尺测量圆柱形容器横截面直径，在圆柱形容器的不同位置多次测量取平均值。
【分析】(1) 依据欧姆表“×1”挡的读数规则，直接读取表盘示数；
(2) 比较待测电阻与电表内阻的大小关系，选择电流表内接或外接法以减小误差；
(3) a. 根据水样电阻的阻值（十万欧级）和器材规格，选择合适的电源、电表及滑动变阻器接法，绘制电路图；
b. 结合电阻率（电导率为电阻率倒数）的公式，确定需测量的物理量及测量工具、方法。
13．【答案】(1) 解：足球由位置1运动到位置2时，根据功的定义可知：WG＝mgh·cos 180°＝－mgh
足球克服重力做功：W＝mgh
足球的重力势能增加了：ΔEp＝mgh
(2) 解：足球由位置2运动到位置3时，重力做功为：WG＝mgh·cos 0°＝mgh
足球的重力势能减少了ΔEp'＝mgh
【知识点】重力势能的变化与重力做功的关系
【解析】【分析】(1) 重力做功只与初末位置的高度差有关，物体上升时重力做负功，克服重力做功的大小等于重力做功的绝对值，重力势能的增加量等于克服重力做的功。
(2) 物体下落时重力做正功，重力势能的减少量等于重力做的功，均由重力做功公式结合高度差分析。
14．【答案】（1）解：设运动员从C点滑出的速度大小为vC，运动员从C点滑出后，竖直上升的高度
竖直方向分运动
解得
（2）解：设运动员到B点时速度大小为vB，从B到C，根据机械能守恒
在B点，根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律，运动员和轮滑鞋一起在B点对轨道的压力大小，方向竖直向下
（3）解：运动员从C点滑出后，上升的过程有
设下降的时间为t2，则
则D点与C点的水平距离
【知识点】斜抛运动；向心力；机械能守恒定律
【解析】【分析】(1) 运动员从C点滑出后做斜抛运动，上升到与O点等高的位置，结合几何关系确定竖直方向的位移，利用斜抛运动的分解和运动学公式求解C点的速度。
(2) 从A到B的过程只有重力做功，由机械能守恒定律求B点速度；在B点由牛顿第二定律计算轨道的支持力，再由牛顿第三定律得对轨道的压力。
(3) 运动员从C点到D点做斜抛运动，分解为竖直方向的匀变速运动和水平方向的匀速运动，结合运动学公式计算水平距离。
（1）设运动员从C点滑出的速度大小为vC，运动员从C点滑出后，竖直上升的高度
竖直方向分运动
解得
（2）设运动员到B点时速度大小为vB，从B到C，根据机械能守恒
在B点，根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律，运动员和轮滑鞋一起在B点对轨道的压力大小
方向竖直向下
（3）运动员从C点滑出后，上升的过程有
设下降的时间为t2，则
则D点与C点的水平距离
15．【答案】(1)解：由几何关系，CE竖直高度y=3R，CE水平间距xCE=R ，设A处的竖直速度为vy，根据平抛运动规律
滑块到C点的速度为
C点由向心力公式
解得，根据牛顿第三定律，滑块对轨道压力大小为mg，方向竖直向上
(2)解：AC间的水平间距为
AE间的距离为
(3)解：滑块从A到E机械能守恒，则E点的速度为
若滑块刚好能回到E点，设EP间距为x1，弹簧最大形变量为，滑块向右运动时，由动能定理得
滑块向左运动时，由动能定理得
联立上两式得，若滑块刚好能回到C点，设EP间距为x2，弹簧最大形变量为
滑块向左运动到C点过程中，由动能定理得
联立上两式得 ，所以滑块能再次返回细管道又不能从C点离开，轨道EP间的水平距离x应满足
【知识点】牛顿第二定律；斜抛运动；动能定理的综合应用；机械能守恒定律
【解析】【分析】(1) 滑块从 A 到 C 做斜抛运动，分解为水平和竖直方向的运动，结合几何关系求 C 点速度；在 C 点由牛顿第二定律分析轨道的弹力，再由牛顿第三定律得滑块对轨道的压力。
(2) 先计算斜抛运动的水平和竖直位移，再结合 E 到 C 的几何高度，对滑块从 E 到 C 的过程用动能定理，求解 AE 间的距离。
(3) 滑块压缩弹簧后返回，需满足能回到管道且不从 C 点离开，分别分析 “恰好回到 C 点” 和 “恰好不脱离管道” 的临界情况，结合动能定理和弹簧弹性势能公式推导 EP 间水平距离的条件。
1 / 1湖南省长沙市稻田中学2024-2025学年高一下学期7月期末物理试题
一、单选题（共28分）
1．两个完全相同的金属小球（均可视为点电荷）分别带有+5Q和-3Q的电荷量，固定在相距为r的两处。它们间的库仑力大小为F。两者相互接触后将其固定距离变为2r，则此时两球间库仑力的大小为（　　）
A． B． C．60F D．
【答案】D
【知识点】库仑定律
【解析】【解答】根据库仑定律，两个小球之间的库仑力有：，由于两个小球接触后电荷先中和后等分则两个小球的电荷量为Q和Q，则接触后两个小球之间的库仑力为：，所以D对，ABC错；正确答案为ABC
【分析】利用两个小球的电荷量和最初的距离可以求出最初两个小球之间的库仑力；当小球接触后等分电荷量时，再利用库仑定律结合距离可以求出接触后库仑力的大小。
2．如图所示，R1、R2为电阻，C为电容器，S为开关，通过开关S的开合实现对电容器C的充放电。关于充放电过程，下列说法正确的是（　　）
A．电容器充电时，C的左极板带正电
B．电容器充电时，C的左极板带负电
C．电容器放电时，电流从R1的Q端流向P端
D．电容器放电时，电流从R2的N端流向M端
【答案】B
【知识点】电容器及其应用
【解析】【解答】AB．根据电路图可知，电容器右端与电源正极相连，故电容器充电时，C的右极板带正电，左极板带负电，故A错误，B正确；
CD．开关断开时，电容器相当于电源，电容器放电，由于C的右极板带正电，左极板带负电，电容器充当电源，电流只能从R1的P端流向Q端，故CD错误。
故选B。
【分析】电容器接在电源两端，电容器相当于用电器，电源给用电器充电；电容器与电源断开，连接电容器两端，电容器放电。
3．如图所示，在竖直平面内固定有光滑椭圆轨道，两焦点M、N在x轴上关于坐标原点O对称。一质量为m的小球套在轨道上从最低点开始以初速度v0运动，恰能通过最高点，重力加速度为g。则（　　）
A．球的加速度沿竖直方向的位置共有三处
B．小球通过轨道最右端时加速度为g
C．小球与M点的连线在相同时间内扫过的面积相等
D．初速度v0稍增大，轨道与球间作用力为零的位置会下移
【答案】A
【知识点】受力分析的应用；竖直平面的圆周运动
【解析】【解答】A．在最低点加速度沿着竖直方向，最高点加速度为零，从最低点向最高点运动的过程中，到达x轴正半轴之前，弹力指向圆环的内侧，也就是小球对圆环的内侧存在压力，由于恰好通过最高点，在最高点时，圆环外侧对小球存在弹力，从x轴正半轴到最高点的过程中，存在某个位置，弹力为零，加速度竖直向下；利用对称性，在第二象限同样存在一点，加速度竖直向下，故A正确；
B．小球在最右端时，小球受到竖直向下的重力和水平向左的弹力，二者的合力显然大于小球的重力，因此小球在最右端时的加速度大于，故B错误；
C．根据开普勒第二定律可知，只在引力的作用下，行星与中心天体连线在相等时间内扫过的面积相等，类比开普勒第二定律，小球沿椭圆运行时，还要受到轨道对小球的弹力，因此小球与M点的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故C错误；
D．设小球在A点不受椭圆轨道作用力，如图所示
将运动倒过来可以看成从最高点由静止向下运动，在最高点弹力指向圆弧外侧，到达A时弹力为零，通过A点后弹力指向圆弧内侧，如果给小球一个较小的初速度，这样到达A点时，由于所需向心力比第一次大，已经对圆弧内侧存在压力了，不存在压力的位置在该点的上方，D错误。
故答案为：A。
【分析】结合受力分析判断加速度的方向（合力方向与加速度方向一致），利用椭圆轨道的对称性分析弹力为零的位置，再根据速度变化对轨道作用力的影响判断位置移动规律。
4．火车以速率v1向前行驶，司机突然发现在前方同一轨道上距车为s处有另一辆火车，它正沿相同的方向以较小的速率v2做匀速运动，于是司机立即使车做匀减速运动，该加速度大小为a，则要使两车不相撞，加速度a应满足的关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】追及相遇问题
【解析】【解答】两车速度相等时所经历的时间
此时后面火车的位移为
前面火车的位移为
根据
解得
所以加速度大小满足的条件是
故答案为：D。
【分析】两车不相撞的临界条件是速度相等时，后车位移与前车位移的差值不超过初始间距s，通过运动学公式推导速度相等的时间，再结合位移关系列出不等式，求解加速度的取值范围。
5．如图所示，匀强电场中三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，∠ABC＝∠CAB＝30°，BC＝2m．已知电场线平行于△ABC所在的平面，一个电荷量q＝﹣1×10﹣6C的点电荷由A移到B的过程中，电势能增加了1.2×10﹣5J，由B移到C的过程中电场力做功6×10﹣6J，下列说法正确的是（　　）
A．B、C两点的电势差UBC＝3V
B．该电场的场强为2V/m
C．正电荷由C点移到A点的过程中，电势能减少
D．A点的电势低于B点的电势
【答案】B
【知识点】电势差；等势面；电势差与电场强度的关系
【解析】【解答】A、由B移到C的过程中电场力做功，则B、C两点的电势差为：，故A错误；
B、同理可知：，由于，则可知：，在AB连线取一点D为该线中点，所以，由于，则，所以C、D电势相等，所以CD连线为等势线，而三角形ABC为等腰三角形，所以电场强度方向沿着AB方向，由A指向B．因为，由几何关系得：，所以，所以该电场的场强为，故B正确；
C、由于，根据得：正电荷由C移到A的过程中，电场力做负功，所以电势能增加，故C错误；
D、点电荷由A移到B的过程中，电势能增加，知电场力做功，A、B两点的电势差，所以A点的电势高于B点的电势，故D错误．
【分析】根据电场力做功与电势能变化的关系、电势差的定义式计算各点间电势差，结合匀强电场的场强与电势差的关系（为沿电场线的距离）求场强，再通过电势高低判断电势能变化
6．小朋友们之间经常玩一项有意思的游戏——打水漂（如图甲），打水漂的石片能弹跳的次数由石片初速度、转速、入水时石头和水面的夹角，以及石片材质决定。其他条件相同的情况下，石片首次接触水与水面成20度角时，水漂效果最为完美。某次投掷时，如图乙，石片在距离水面高h处，以速度v水平抛出，若石片与水面碰撞时，水平速度不变，但碰后反弹高度都是前一次的，不计空气阻力，重力加速度为g，则石片从抛出到停止跳动的过程中通过的总水平距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平抛运动；斜抛运动
【解析】【解答】第1次石片从抛出到接触水平做平抛运动，时间为
石片每次接触水面后反弹到再接触水面做斜抛运动，可看作两个平抛运动，则第1次石片从上升到第2次接触水面的时间为
第2次石片从上升到第3次接触水面的时间为
第3次石片从上升到第4次接触水面的时间为
第n次石片从上升到第n+1次接触水面的时间为
则石片从抛出到停止跳动的过程中通过的总时间为
根据数学知识有
则石片从抛出到停止跳动的过程中通过的水平距离为
故答案为：B。
【分析】本题考查平抛运动与多次反弹的运动学综合分析，核心是利用平抛运动的时间公式计算每次运动的时间，结合水平速度不变的条件，推导总水平距离的表达式。
7．如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与物块A连接，处于压缩状态，A由静止释放后沿斜面向上运动到最大位移时，立即将物块B轻放在A右侧，A、B由静止开始一起沿斜面向下运动，下滑过程中A、B始终不分离，当A回到初始位置时速度为零，A、B与斜面间的动摩擦因数相同、弹簧未超过弹性限度，则（　　）
A．物块A上滑时，弹簧的弹力方向先沿斜面向上后沿斜面向下
B．物块A上滑到最大位移的过程中，经过中点位置时速度最大
C．A、B一起下滑时，B对A的压力先减小后增大
D．整个过程中B克服摩擦力所做的总功等于B的重力势能减小量
【答案】B
【知识点】功能关系；牛顿第二定律
【解析】【解答】A．下滑过程中A、B始终不分离，设最高点弹簧弹力为F，斜面倾角为θ，动摩擦因数为μ，A对B弹力大小为FAB，沿斜面向下为正方向，在下滑瞬间，根据牛顿第二定律，对整体
对B：
得
因为FAB沿斜面向上，可知在最高点F的方向沿斜面向上，说明弹簧一直处于压缩状态，弹簧弹力始终沿斜面向上，故A错误；
B．设物块A在起始位置和最高点时，弹簧的压缩量分别为x1、x2，根据能量守恒
得
当运动至最大位移中点时
整理得，即加速度为零，速度最大，故B正确；
C．由B选项，下滑过程中F逐渐变大，则FAB逐渐变大，根据牛顿第三定律，B对A的压力逐渐增大，故C错误；
D．整个过程中，弹簧弹力做功为零，物块A的重力做功为零，系统动能变化也为零，根据功能关系可知，整个过程中A、B克服摩擦力所做的总功等于B的重力势能减小量，故D错误。
故答案为：B。
【分析】通过受力分析判断弹簧弹力方向和物块的运动状态（速度最大的条件是合力为零），结合牛顿第二定律分析 A、B 间的相互作用力变化，利用功能关系判断 B 的能量转化。
二、多选题（共15分）
8．做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两点时的速度分别为v和7v，经历的时间为t，则 (　　)
A．前半程速度增加3.5v B．前时间内通过的位移为
C．后时间内通过的位移为 D．后半程速度增加2v
【答案】C,D
【知识点】平均速度；匀变速直线运动的位移与速度的关系
【解析】【解答】AD：做匀加速直线运动的物体，位移中点的速度；前半程速度增加量，后半程速度增加量．故A错误，D正确．
BC：做匀变速直线运动的物体，中间时刻的瞬时速度等于全过程的平均速度，则；
前时间内通过的位移，后时间内通过的位移．故B错误，C正确．
【分析】利用匀变速直线运动的中间时刻速度公式和位移中点速度公式，分别计算时间半段的位移、位移半段的速度变化，进而判断选项正误。
9．我国计划在2030年之前实现飞船载人登月计划，假设你有幸成为登上月球的第一位中国人，如果告知万有引力常量，你可以完成以下哪项工作（　　）
A．测出一个石块的质量，以及它在月球表面上方自由下落的高度和时间，求出月球表面上该石块的重力
B．测出一个石块在月球表面上方做平抛运动的高度和时间，求出月球的质量
C．从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，求出月球的平均密度
D．测出飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期，求出月球的平均密度
【答案】A,D
【知识点】万有引力定律的应用
【解析】【解答】A、石块在月球上做自由落体运动，根据
则月球表面上该石块的重力
联立可得
故A正确；
B、一个石块在月球表面上方做平抛运动，竖直方向有
又根据任意一星球表面物体重力等于万有引力，即
解得
由于月球半径未知，故无法求出月球的质量，故B错误；
C、从月球表面上捡取100块石头，测量它们的质量和体积，只能大体测出月球上石头的密度，但月球密度不一定与月球上石头的密度相同，故C错误；
D、由万有引力提供向心力得
又有
联立解得
故D正确。
故答案为：AD。
【分析】根据题意，将各选项的条件转化成物理方程，再结合已知量分析结果能否得出。
10．如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能（r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（　　）
A．最低点的位置
B．速率达到最大值时的位置
C．最后停留位置x的区间是
D．若在最低点能返回，则初始电势能
【答案】B,D
【知识点】带电粒子在电场中的运动综合
【解析】【解答】本题考查了带电体在电场中的运动问题，考查了库仑定律的应用，力与运动逻辑分析能力，能量守恒与功能关系的应用。解答时注意处于临界状态时摩擦力的方向问题。A．小球在运动过程中受重力，库仑力以及摩擦力等于，结合甲和乙两点电荷的电势能
全过程，根据动能定理以及功能关系可得
解得
故A错误；
B．当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有
解得
故B正确；
C．小球甲最后停留时，满足
解得位置x的区间
故C错误；
D．若在最低点能返回，即在最低点满足
结合动能定理
又
联立可得
故D正确。
故选BD。
【分析】小球甲从开始运动至第一次运动到最低点的过程，根据能量守恒定律与功能关系求解最低点的位置；小球甲第一次向下运动至速度最大的位置时加速度为零，根据平衡条件求解速率达到最大值时的位置；根据平衡条件分别求得小球甲最终恰好不向上运动和恰好不向下运动的位置，这两个位置之间（包括这两个位置）是小球甲最后停留位置的区间；若小球甲在最低点能返回，在最低点电场力要大于重力与滑动摩擦力之和。结合A选项的结论可求解初始电势能满足的条件。
三、实验题（共16分）
11．某兴趣小组对研究手机电池产生兴趣，利用手边器材，先从测量电池组的电动势和内阻开始研究。如图1所示的实验原理图，已知电池组的电动势约为，内阻约。现提供的器材如下：
A. 电池组B.电压表（量程）
C. 电压表（量程）
D. 电阻箱R
E. 定值电阻
F. 定值电阻
G. 开关和导线若干
（1）如图1所示，要尽可能精确测量电源的电动势和内阻，电压表V应选择　 　（选填“B”或“C”）；定值电阻应选择　 　（选填“E”或“F”）。
（2）改变电阻箱的阻值R，记录对应电压表的读数U，作出的图像如图2所示，图线与横、纵坐标轴的截距分别为、a，定值电阻的阻值用表示，则可得该电池组的电动势为　 　，内阻为　 　。（用字母表示）
（3）调节电阻箱阻值从零开始逐渐变大的过程中，电阻箱的功率如何变化　 　。（选填“变大”“变小”“先变大后变小”“先变小后变大”）
【答案】（1）C；E
（2）；
（3）先变大后变小
【知识点】闭合电路的欧姆定律；电池电动势和内阻的测量
【解析】【解答】（1）被测电池组的电动势约，故电压表应选择量程为的电压表，即选C；
为减小电压表的分流的影响，定值电阻应选择阻值较小的定值电阻，即选E。
故答案为：C；E
（2）根据闭合电路欧姆定律可得
整理得
根据图像的斜率与纵截距可得，
解得，
故答案为：；
（3）根据电源输出功率与外电阻的关系可知，外电阻等于电源内阻时电源的输出功率最大。将电阻等效为电源内阻（若考虑电压表的内阻，也将电压表的内阻等效为电源内阻），这样电阻箱的功率就是等效电源的输出功率，调节电阻箱阻值从零开始逐渐变大的过程中，因电阻箱阻值可以大于等效电源的内阻，故电阻箱的功率先变大后变小。
故答案为：先变大后变小
【分析】(1) 根据电池组电动势（3V）选择电压表量程，结合电池内阻（约2Ω）选择匹配的定值电阻；
(2) 由闭合电路欧姆定律推导的函数关系式，结合图像截距求电动势和内阻；
(3) 分析电阻箱功率随阻值变化的规律，结合电源输出功率的特性判断变化趋势。
（1）[1]被测电池组的电动势约，故电压表应选择量程为的电压表，即选C；
[2]为减小电压表的分流的影响，定值电阻应选择阻值较小的定值电阻，即选E。
（2）[1][2]根据闭合电路欧姆定律可得
整理得
根据图像的斜率与纵截距可得
，
解得
，
（3）根据电源输出功率与外电阻的关系可知，外电阻等于电源内阻时电源的输出功率最大。将电阻等效为电源内阻（若考虑电压表的内阻，也将电压表的内阻等效为电源内阻），这样电阻箱的功率就是等效电源的输出功率，调节电阻箱阻值从零开始逐渐变大的过程中，因电阻箱阻值可以大于等效电源的内阻，故电阻箱的功率先变大后变小。
12．某同学在实验室进行测量电阻的实验。
（1）该同学先用欧姆表“”挡粗测一个未知电阻R的阻值，示数如图1所示，对应的读数是　 　。
（2）他进一步采用伏安法进行精确测量，测量电路如图2所示，其中电压表的内阻约为，电流表的内阻约为，为了尽量减小实验误差，电压表的右端应接在　 　点（选填“M”或“N”）。
（3）随着居民生活水平的提高，纯净水已经进入千家万户。电导率是检验纯净水是否合格的一项重要指标，它是电阻率的倒数。该同学为了测量某品牌纯净水样品的电导率，将采集的水样注满绝缘性能良好的横截面直径为几厘米的薄塑料圆柱形容器，容器两端用很薄的金属圆片电极密封，如图3所示。
a. 他先通过查阅资料估算出容器内水样的电阻约为十万欧，然后用伏安法进行测量。除开关和若干导线外，他还找到下表所示的器材，请选择合适的器材，设计测量该水样电阻的方案，在下图方框内画出电路图，并标注所选器材的代号，水样的电阻用表示。　 　
器材（代号） 规格
电源（） 电动势约为3.0V，内阻可以忽略不计
电源（） 电动势约为15.0V，内阻可以忽略不计
电压表（） 量程0~3V，内阻约
电压表（） 量程0~15V，内阻约
电流表（） 量程0~0.6A，内阻约
电流表（） 量程，内阻约
滑动变阻器（R） 总阻值约
b. 测出水样的电阻后，为了测出样品的电导率，请写出该同学还需要测量的物理量，以及使用的测量工具和测量方法。　 　
【答案】8；M；；测量圆柱形容器的长度和横截面的直径；测量圆柱形容器的长度的工具和方法：用刻度尺测量圆柱形容器的长度，多次测量取平均值；测量圆柱形容器横截面直径的工具和方法：用游标卡尺测量圆柱形容器横截面直径，在圆柱形容器的不同位置多次测量取平均值。
【知识点】电阻定律；导体电阻率的测量
【解析】【解答】（1）该同学先用欧姆表“”挡粗测一个未知电阻的阻值，由图1可知读数为
故答案为：8
（2）根据，为了尽量减小实验误差，电流表应采用外接法，则电压表的右端应接在M点。
故答案为：M
（3）a水样的电阻约为十万欧，若电源选择电动势为的，则最大电流为
若电源选择电动势为的，则最大电流为
则电流表应选择量程为的；为了使电流表读数超过量程的，电源应选择电动势为的，电压表应选择量程为的；由于待测电阻约为十万欧，远大于电流表内阻和滑动变阻器阻值，为了减小误差，电流表应采用内接法，滑动变阻器采用分压接法，电路图如图所示
b根据电阻定律可得
又
可知
则电导率为
为了测出样品的电导率，还需要测量圆柱形容器的长度和横截面的直径；
测量圆柱形容器的长度的工具和方法：用刻度尺测量圆柱形容器的长度，多次测量取平均值；
测量圆柱形容器横截面直径的工具和方法：用游标卡尺测量圆柱形容器横截面直径，在圆柱形容器的不同位置多次测量取平均值。
故答案为：；测量圆柱形容器的长度和横截面的直径；测量圆柱形容器的长度的工具和方法：用刻度尺测量圆柱形容器的长度，多次测量取平均值；测量圆柱形容器横截面直径的工具和方法：用游标卡尺测量圆柱形容器横截面直径，在圆柱形容器的不同位置多次测量取平均值。
【分析】(1) 依据欧姆表“×1”挡的读数规则，直接读取表盘示数；
(2) 比较待测电阻与电表内阻的大小关系，选择电流表内接或外接法以减小误差；
(3) a. 根据水样电阻的阻值（十万欧级）和器材规格，选择合适的电源、电表及滑动变阻器接法，绘制电路图；
b. 结合电阻率（电导率为电阻率倒数）的公式，确定需测量的物理量及测量工具、方法。
四、解答题（共41分）
13．如图所示，质量为m的足球在地面1的位置被踢出后落到地面3的位置，在空中达到最高点2的高度为h.
(1)足球由位置1运动到位置2时，重力做了多少功？足球克服重力做了多少功？足球的重力势能增加了多少？
(2)足球由位置2运动到位置3时，重力做了多少功？足球的重力势能减少了多少？
【答案】(1) 解：足球由位置1运动到位置2时，根据功的定义可知：WG＝mgh·cos 180°＝－mgh
足球克服重力做功：W＝mgh
足球的重力势能增加了：ΔEp＝mgh
(2) 解：足球由位置2运动到位置3时，重力做功为：WG＝mgh·cos 0°＝mgh
足球的重力势能减少了ΔEp'＝mgh
【知识点】重力势能的变化与重力做功的关系
【解析】【分析】(1) 重力做功只与初末位置的高度差有关，物体上升时重力做负功，克服重力做功的大小等于重力做功的绝对值，重力势能的增加量等于克服重力做的功。
(2) 物体下落时重力做正功，重力势能的减少量等于重力做的功，均由重力做功公式结合高度差分析。
14．如图所示，ABC是半径为R的光滑圆弧形轮滑赛道，A点与圆心O等高，B为最低点（位于水平地面上），圆弧BC所对的圆心角为60°。轮滑运动员从A点以一定的初速度沿圆弧面滑下，从C点滑出后，运动员上升到的最高点与O点在同一水平面上，此后运动员恰好落到平台上的D点，D点距水平地面的高为。已知运动员和轮滑鞋的总质量为m，重力加速度大小为g，运动员和轮滑鞋整体视为质点，不计空气阻力。求：
（1）运动员从C点滑出时的速度大小；
（2）运动员和轮滑鞋一起在B点对轨道的压力；
（3）平台D点离圆弧轨道C点的水平距离。
【答案】（1）解：设运动员从C点滑出的速度大小为vC，运动员从C点滑出后，竖直上升的高度
竖直方向分运动
解得
（2）解：设运动员到B点时速度大小为vB，从B到C，根据机械能守恒
在B点，根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律，运动员和轮滑鞋一起在B点对轨道的压力大小，方向竖直向下
（3）解：运动员从C点滑出后，上升的过程有
设下降的时间为t2，则
则D点与C点的水平距离
【知识点】斜抛运动；向心力；机械能守恒定律
【解析】【分析】(1) 运动员从C点滑出后做斜抛运动，上升到与O点等高的位置，结合几何关系确定竖直方向的位移，利用斜抛运动的分解和运动学公式求解C点的速度。
(2) 从A到B的过程只有重力做功，由机械能守恒定律求B点速度；在B点由牛顿第二定律计算轨道的支持力，再由牛顿第三定律得对轨道的压力。
(3) 运动员从C点到D点做斜抛运动，分解为竖直方向的匀变速运动和水平方向的匀速运动，结合运动学公式计算水平距离。
（1）设运动员从C点滑出的速度大小为vC，运动员从C点滑出后，竖直上升的高度
竖直方向分运动
解得
（2）设运动员到B点时速度大小为vB，从B到C，根据机械能守恒
在B点，根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律，运动员和轮滑鞋一起在B点对轨道的压力大小
方向竖直向下
（3）运动员从C点滑出后，上升的过程有
设下降的时间为t2，则
则D点与C点的水平距离
15．如图所示，两个半径均为R的圆形光滑细管道组成的轨道CDE竖直放置在水平面上，C、E两管口切线水平，O1和O2为两细管道圆心，O1O2连线与竖直线间的夹角，一劲度系数的轻质弹簧右端固定，原长时左端处于P点，已知弹簧原长足够长，一质量为m可视为质点的滑块从A点以初速度斜向上抛出，刚好从C点沿水平方向进入管道，已知滑块与地面间的动摩擦因数为，弹簧的弹性势能Ep与弹簧形变量的关系是，细管内径和空气阻力不计。求：
(1)滑块到C点时对轨道的压力；
(2)AE间的距离；
(3)要使滑块能再次返回细管道EDC但又不能从C点离开轨道，问EP间的水平距离x应满足的条件？（计算结果可用根号表示）
【答案】(1)解：由几何关系，CE竖直高度y=3R，CE水平间距xCE=R ，设A处的竖直速度为vy，根据平抛运动规律
滑块到C点的速度为
C点由向心力公式
解得，根据牛顿第三定律，滑块对轨道压力大小为mg，方向竖直向上
(2)解：AC间的水平间距为
AE间的距离为
(3)解：滑块从A到E机械能守恒，则E点的速度为
若滑块刚好能回到E点，设EP间距为x1，弹簧最大形变量为，滑块向右运动时，由动能定理得
滑块向左运动时，由动能定理得
联立上两式得，若滑块刚好能回到C点，设EP间距为x2，弹簧最大形变量为
滑块向左运动到C点过程中，由动能定理得
联立上两式得 ，所以滑块能再次返回细管道又不能从C点离开，轨道EP间的水平距离x应满足
【知识点】牛顿第二定律；斜抛运动；动能定理的综合应用；机械能守恒定律
【解析】【分析】(1) 滑块从 A 到 C 做斜抛运动，分解为水平和竖直方向的运动，结合几何关系求 C 点速度；在 C 点由牛顿第二定律分析轨道的弹力，再由牛顿第三定律得滑块对轨道的压力。
(2) 先计算斜抛运动的水平和竖直位移，再结合 E 到 C 的几何高度，对滑块从 E 到 C 的过程用动能定理，求解 AE 间的距离。
(3) 滑块压缩弹簧后返回，需满足能回到管道且不从 C 点离开，分别分析 “恰好回到 C 点” 和 “恰好不脱离管道” 的临界情况，结合动能定理和弹簧弹性势能公式推导 EP 间水平距离的条件。
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