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2026年广东省惠州市知行学校第一次模拟考试九年级数学学科试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．的绝对值是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵是负数，根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数．
∴它的绝对值是其相反数；
故答案为：D．
【分析】利用绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的相反数是0）分析求解即可.
2．下列由正多边形设计的图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 将图形绕某一点旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，A 不符合题意；B、 将图形绕其中心旋转 180° 后能与自身完全重合，是中心对称图形，B 符合题意；
C、 将图形绕某一点旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，C 不符合题意；
D、 将图形绕某一点旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，D 不符合题意；
故答案为：B。
【分析】先明确中心对称图形的定义，再对每个选项逐一验证，通过 “旋转 180° 重合” 的规则筛选出符合条件的图形。
3．惠州西湖新春灯会于2026年2月14日至3月3日共计接待游客60.3万人次，60.3万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】万，将其写成形式时，，小数点向左移动了位，故，即，
故答案为：B。
【分析】先将“万”单位转化为普通数字，再确定和的值，需满足，的绝对值等于小数点移动的位数。
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与并非同类二次根式，不能直接合并系数，其结果不等于，A不符合题意；
B、化简为，与并非同类二次根式，不能直接合并系数，结果不等于，B不符合题意；
C、与是同类二次根式，合并同类二次根式只需合并系数，3减1等于2，结果为，C符合题意；
D、2是有理数，是无理数，两者无法直接合并运算，结果不等于，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】先判断根式是否为同类二次根式，同类根式才能合并系数；非同类根式或根式与有理数不能直接合并；同时需先对非最简二次根式进行化简，再判断能否合并。
5．在信息技术考试中，抽得6名学生的成绩（单位：分）如下：则这6名学生成绩的中位数和众数是（　　）
A．8和8 B．和8 C．9和8 D．10和10
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据题意，众数是8，中位数是，
故答案为：B．
【分析】利用众数的定义及计算方法（众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。众数有时不只一个，如果有两个或两个以上的数值出现次数相同且最多，则这些数值都是这组数据的众数）和中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）分析求解即可.
6．如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（　　）
A．17 B．18.5 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，AD 平分∠BAC，且 DP 垂直于 AB。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠DAC = ∠DAB；又因为∠C = ∠APD = 90°，AD 为公共边，所以
△ACD ≌ △APD（AAS）。
由全等三角形性质可得：AP = AC = 5，CD = PD。因此 BP = AB - AP = 13 - 5 = 8。
△BPD 的周长为 PD + DB + PB，将 PD 替换为 CD，可得：周长=CD+DB+PB=BC+PB。
代入 BC=12、PB=8，得周长=12+8=20。
故答案为：C。
【分析】先识别作图痕迹得到角平分线与垂直条件，通过证明全等三角形实现线段等量替换，再将三角形周长转化为已知线段之和，从而简化计算。
7．在一个不透明的袋子中装有10枚黑棋和若干枚白棋，这些棋子除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一枚棋子，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸棋试验后发现，摸到黑棋的频率稳定在，则袋中白棋约有（　　）
A．8枚 B．30枚 C．40枚 D．50枚
【答案】C
【知识点】解分式方程；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中白棋数量为枚，根据大量重复摸棋试验中频率稳定值近似等于概率，可知摸到黑棋的概率为0.2。由黑棋数量为10枚、总棋子数为枚，列方程，解得，即袋中白棋约有40枚，
故答案为：C。
【分析】先明确大量重复试验下频率可近似替代概率，再结合黑棋数量、总棋子数与概率的三者关系，通过分式方程求解未知数，最终确定白棋数量。
8．如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵点，，
∴，，
∵与位似，位似中心为点O，
∴，
∴，
∴的面积与积之比．
故答案为：C．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后求出的面积与积之比即可．
9．已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（　　）
A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大
B．当时，甲醛检测仪会报警
C．当时，的阻值为
D．当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于
【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】A、 由图②可知，甲醛质量浓度越小，的阻值越大，因此空气中甲醛浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大，A说法正确，
B、 由图②可知，时对应，且随增大而减小，故时，但无法确定，此时检测仪不一定报警，B说法错误，
C、 由图②数据可知，与成反比例关系，，当时，，C说法正确，
D、 当时，，因随减小而增大，故时，，D说法正确，
故答案为：B。
【分析】先从图②提取随增大而减小的规律，再通过已知点计算反比例函数表达式，最后结合报警阈值逐一验证各选项。
10．阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分类讨论
【解析】【解答】解：①当时，，
∴6是集合中的元素，则，
②当，且时，
，
即，
，
解得或，
③当，且时，
，
即，
解得，
综上所述，n的值为6，1，，0．
故选D．
【分析】根据新定义分类讨论，结合因式分解法解方程即可求出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共15分）
11．比较大小：　 　4（填“>”，“<”或“=”）．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故填：.
【分析】先估算出在那两个整数之间，再比较与4的大小.
12．因式分解： 　 　．
【答案】2x（x-3）（x+3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=2x( )=2x(x+3)(x－3)．
【分析】首先提公因式2x，再将括号内的因式用平方差公式分解即可求解。
13．已知，是关于的一元二次方程两个实数根，则　 　．
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对于一元二次方程，
，，
．
故答案为：2。
【分析】先根据韦达定理求出方程两根之和与两根之积，再将其代入所求式子计算出最终结果。
14．已知圆锥的底面半径为7，高为24，则它侧面展开图的面积是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径为7，高为24，
∴圆锥的母线长，
∵圆锥的侧面积公式为（其中为底面半径，为母线长），
∴圆锥侧面展开图的面积．
【分析】先求出母线长，再利用圆锥侧面积公式列出算式求解即可.
15．如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，
由折叠可知，，，
设，
则，
，
解得
，
．
故答案为：；
【分析】先根据矩形和折叠性质得到 AB=BC+BE 及 BF+EF=BC，再结合等腰直角三角形的边长关系设未知数，列方程求解 BE，最后算出AB的长度。
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：
【答案】解：
。
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算零指数幂、特殊角的正弦值和负整数指数幂，再依次进行乘法和加减运算，得出最终结果。
17．已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值．
【答案】解：原式∵是方程的一个根，
∴，即，
∴原式．
【知识点】平方差公式及应用；一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先将方程的已知根代入原方程，推导出c2 2c=1，再化简待求代数式并进行整体代入，从而计算出代数式的值。
18．如图，在平面直角坐标系中，绕原点O顺时针旋转得到（点，分别是点A，B的对应点）．已知点，．
（1）在坐标系中画出旋转后的；
（2）直接写出点，的坐标；
（3）在这个旋转过程中，求点B经过的路径的长．
【答案】（1）解：如图，为所作图形；
（2），；
（3）解：，
点经过的路径的长为．
【知识点】点的坐标；弧长的计算；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】（2）解：点的坐标为，点的坐标为；
故答案为：，；
【分析】(1) 根据网格特点和 “点绕原点顺时针旋转 90°” 的坐标变换规律，找到点 A、B 的对应点 A'、B'，再顺次连接 O、A'、B' 得到旋转后的三角形。
(2) 直接根据平面直角坐标系，读取旋转后点 A'、B' 的坐标。
(3) 先利用勾股定理求出 OB 的长度，再根据弧长公式计算点 B 绕原点旋转 90° 所经过的弧长。
（1）解：如图，为所作图形；
；
（2）解：点的坐标为，点的坐标为；
（3）解：，
点经过的路径的长为．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？
【答案】解：设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元．
根据题意，得
解得
所以，每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 先设两种礼盒的单价为未知数，再根据题目给出的两组购买总价列出二元一次方程组，最后解方程组得到两种礼盒的单价。
20．如图，在中，，点O在边上，与相切于点D，与相交于A，E两点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明：∵是的切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，根据勾股定理，得
，
解得，
所以的半径是7.5．
【知识点】切线的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1) 连接 OD，利用切线性质得 OD⊥BC，结合∠C=90° 推出 OD∥AC，再由 OD=OA 得∠ADO=∠DAO，进而证得∠DAO=∠CAD，即 AD 平分∠BAC。
(2) 先由 AE 是直径得∠ADE=90°，结合角相等证明△BDE∽△BAD，利用相似比和已知条件求出 BD 的长，最后在 Rt△BOD 中用勾股定理列方程求出⊙O 的半径。
（1）证明：∵是的切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，根据勾股定理，得
，
解得，
所以的半径是7.5．
21．某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种．
方式一：直接获得25元购物券；
方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券．
下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位）
请根据上面的图表完成以下问题：
（1）________；
（2）当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）；
（3）小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由．
【答案】（1）21
（2）
（3）解：选择方式二，理由如下：
方式一：25元购物券；
方式二：，
转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：．
，
选择方式二更合算．
【知识点】利用频率估计概率；加权平均数及其计算；概率的简单应用
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39，
∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近，
∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4．
故答案为：．
【分析】(1) 根据频率的计算公式 “次数 = 总次数 × 频率”，代入总次数 50 和频率 0.42 求出 a 的值。
(2) 观察频率统计表，当转动次数足够大时，频率稳定在 0.4 附近，利用频率估计概率即可得到概率为 0.4。
(3) 先根据圆心角之比求出各面额购物券的概率，再利用加权平均数算出转动一次转盘获得购物券的平均数，最后将平均数与方式一的 25 元比较，判断方式二更合算。
（1）解：，
故答案为：．
（2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39，
∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近，
∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4．
故答案为：．
（3）解：选择方式二，理由如下：
方式一：25元购物券；
方式二：，
转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：．
，
选择方式二更合算．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得．
（1）如图2，___________度；
（2）如图2，求点到靠背的距离；（精确到）
（3）如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知杯托凹陷深度为，求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度．
【答案】（1）
（2）解：延长交于点，
∵，，
∴，
，，
，
答：点到靠背的距离约为；
（3）解：过点作，则，
，
，
，
，
水杯的高为：，
乘客水杯的最大高度为．
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】（1）解：如图，
由题意可得，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】(1)根据 AB 垂直地面、CD 平行地面得出 AB∥CD，再结合∠ABC=24°，利用平行线同旁内角互补求出∠BCE 的度数。
(2)延长 EC 交 AB 于点 F，构造 Rt△BCF，利用正弦函数定义，结合 BC 长度和∠ABC 度数计算出 CF 的长度，即点 C 到靠背 AB 的距离。
(3)过点 E 作 EG⊥CD，在 Rt△CGE 中利用正切函数求出 GE 的长度，再加上杯托凹陷深度 0.7cm，得到水杯的最大高度。
（1）解：如图，
由题意可得，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
（2）解：延长交于点，
∵，，
∴，
，，
，
答：点到靠背的距离约为；
（3）解：过点作，则，
，
，
，
，
水杯的高为：，
乘客水杯的最大高度为．
23．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，其中，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，若点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，轴分别交直线于点，，求的最大值；
（3）如图3，将二次函数的图象沿轴向上翻折形成图象，将直线向上平移个单位长度得到直线，若与图象有两个交点，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵，在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设，其中，
∵轴，点在直线上，
∴，
∴，
∵二次函数的开口向下，对称轴为，
∴当时，的最大值为，
∴的最大值为；
（3）或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：中，
取，得，
解得：，，
∴，
∵，
∴沿轴翻折后的解析式为，
设直线向上平移个单位得到直线为，
如图，当直线过点时，
，
∴；
当直线过点时，如图，
，
∴；
当直线与翻折后的抛物线相切时，如图，
，
∴，
∴，
解得：，
∴的取值范围为或．
【分析】(1)将 A (3，0)、C (0，-3) 两点坐标代入抛物线 y=x2+bx+c，列方程组求出 b 和 c 的值，得到抛物线表达式。
(2)先判断△FPE 是等腰直角三角形，得到 EF 等于根号 2 倍的 PE，再设点 P 坐标，用 x 表示 PE 的长度，把求 EF 最大值转成求 PE 最大值，用二次函数性质算出结果。
(3)先求出原抛物线沿 x 轴翻折后的解析式，再分别算出平移直线过 A、B 两点时的 m 值，以及直线和翻折后抛物线相切时的 m 值，最后确定 m 的取值范围。
（1）解：∵，在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设，其中，
∵轴，点在直线上，
∴，
∴，
∵二次函数的开口向下，对称轴为，
∴当时，的最大值为，
∴的最大值为；
（3）解：中，
取，得，
解得：，，
∴，
∵，
∴沿轴翻折后的解析式为，
设直线向上平移个单位得到直线为，
如图，当直线过点时，
，
∴；
当直线过点时，如图，
，
∴；
当直线与翻折后的抛物线相切时，如图，
，
∴，
∴，
解得：，
∴的取值范围为或．
1 / 12026年广东省惠州市知行学校第一次模拟考试九年级数学学科试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．的绝对值是 （　　）
A． B． C． D．
2．下列由正多边形设计的图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．惠州西湖新春灯会于2026年2月14日至3月3日共计接待游客60.3万人次，60.3万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．在信息技术考试中，抽得6名学生的成绩（单位：分）如下：则这6名学生成绩的中位数和众数是（　　）
A．8和8 B．和8 C．9和8 D．10和10
6．如图，在中，，，，，根据尺规作图痕迹可知，的周长是（　　）
A．17 B．18.5 C．20 D．25
7．在一个不透明的袋子中装有10枚黑棋和若干枚白棋，这些棋子除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一枚棋子，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸棋试验后发现，摸到黑棋的频率稳定在，则袋中白棋约有（　　）
A．8枚 B．30枚 C．40枚 D．50枚
8．如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（　　）
A． B． C． D．
9．已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪会报警，则下列说法错误的是（　　）
A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大
B．当时，甲醛检测仪会报警
C．当时，的阻值为
D．当房间内甲醛质量浓度低于时，的阻值高于
10．阅读理解：把数用大括号围起来，如：、，我们称之为“集”，其中大括号内的数称其为“集”的元素．如果一个“集”满足：只要其中有一个元素a，使得还是这个“集”的元素，这样的“集”我们称之为“回归集”．若“集”是“回归集”，则n的值个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共15分）
11．比较大小：　 　4（填“>”，“<”或“=”）．
12．因式分解： 　 　．
13．已知，是关于的一元二次方程两个实数根，则　 　．
14．已知圆锥的底面半径为7，高为24，则它侧面展开图的面积是　 　．
15．如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为　 　．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．计算：
17．已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，绕原点O顺时针旋转得到（点，分别是点A，B的对应点）．已知点，．
（1）在坐标系中画出旋转后的；
（2）直接写出点，的坐标；
（3）在这个旋转过程中，求点B经过的路径的长．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．年是农历马年，某非遗工坊推出“马年生肖”剪纸礼盒，分为“福马”礼盒和“奔马”礼盒两种．若购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元，购买个“福马”礼盒和个“奔马”礼盒共需元．求每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别是多少元？
20．如图，在中，，点O在边上，与相切于点D，与相交于A，E两点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，，求的半径．
21．某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种．
方式一：直接获得25元购物券；
方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券．
下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位）
请根据上面的图表完成以下问题：
（1）________；
（2）当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）；
（3）小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．图1是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图2，支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得．
（1）如图2，___________度；
（2）如图2，求点到靠背的距离；（精确到）
（3）如图3，靠背绕点旋转至与小桌板支架重合，已知杯托凹陷深度为，求乘客水杯（恰好放进杯托，空隙忽略不计）的最大高度．
23．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点，其中，．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，若点为第四象限抛物线上一动点，过点作轴，轴分别交直线于点，，求的最大值；
（3）如图3，将二次函数的图象沿轴向上翻折形成图象，将直线向上平移个单位长度得到直线，若与图象有两个交点，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵是负数，根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数．
∴它的绝对值是其相反数；
故答案为：D．
【分析】利用绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的相反数是0）分析求解即可.
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、 将图形绕某一点旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，A 不符合题意；B、 将图形绕其中心旋转 180° 后能与自身完全重合，是中心对称图形，B 符合题意；
C、 将图形绕某一点旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，C 不符合题意；
D、 将图形绕某一点旋转 180° 后无法与自身重合，不是中心对称图形，D 不符合题意；
故答案为：B。
【分析】先明确中心对称图形的定义，再对每个选项逐一验证，通过 “旋转 180° 重合” 的规则筛选出符合条件的图形。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】万，将其写成形式时，，小数点向左移动了位，故，即，
故答案为：B。
【分析】先将“万”单位转化为普通数字，再确定和的值，需满足，的绝对值等于小数点移动的位数。
4．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与并非同类二次根式，不能直接合并系数，其结果不等于，A不符合题意；
B、化简为，与并非同类二次根式，不能直接合并系数，结果不等于，B不符合题意；
C、与是同类二次根式，合并同类二次根式只需合并系数，3减1等于2，结果为，C符合题意；
D、2是有理数，是无理数，两者无法直接合并运算，结果不等于，D不符合题意；
故答案为：C。
【分析】先判断根式是否为同类二次根式，同类根式才能合并系数；非同类根式或根式与有理数不能直接合并；同时需先对非最简二次根式进行化简，再判断能否合并。
5．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据题意，众数是8，中位数是，
故答案为：B．
【分析】利用众数的定义及计算方法（众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。众数有时不只一个，如果有两个或两个以上的数值出现次数相同且最多，则这些数值都是这组数据的众数）和中位数的定义及计算方法（将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。如果数据量是奇数，则中位数是正中间的那个数；如果数据量是偶数，则中位数是中间两个数的平均值）分析求解即可.
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：由作图痕迹可知，AD 平分∠BAC，且 DP 垂直于 AB。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠DAC = ∠DAB；又因为∠C = ∠APD = 90°，AD 为公共边，所以
△ACD ≌ △APD（AAS）。
由全等三角形性质可得：AP = AC = 5，CD = PD。因此 BP = AB - AP = 13 - 5 = 8。
△BPD 的周长为 PD + DB + PB，将 PD 替换为 CD，可得：周长=CD+DB+PB=BC+PB。
代入 BC=12、PB=8，得周长=12+8=20。
故答案为：C。
【分析】先识别作图痕迹得到角平分线与垂直条件，通过证明全等三角形实现线段等量替换，再将三角形周长转化为已知线段之和，从而简化计算。
7．【答案】C
【知识点】解分式方程；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中白棋数量为枚，根据大量重复摸棋试验中频率稳定值近似等于概率，可知摸到黑棋的概率为0.2。由黑棋数量为10枚、总棋子数为枚，列方程，解得，即袋中白棋约有40枚，
故答案为：C。
【分析】先明确大量重复试验下频率可近似替代概率，再结合黑棋数量、总棋子数与概率的三者关系，通过分式方程求解未知数，最终确定白棋数量。
8．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵点，，
∴，，
∵与位似，位似中心为点O，
∴，
∴，
∴的面积与积之比．
故答案为：C．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后求出的面积与积之比即可．
9．【答案】B
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】A、 由图②可知，甲醛质量浓度越小，的阻值越大，因此空气中甲醛浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大，A说法正确，
B、 由图②可知，时对应，且随增大而减小，故时，但无法确定，此时检测仪不一定报警，B说法错误，
C、 由图②数据可知，与成反比例关系，，当时，，C说法正确，
D、 当时，，因随减小而增大，故时，，D说法正确，
故答案为：B。
【分析】先从图②提取随增大而减小的规律，再通过已知点计算反比例函数表达式，最后结合报警阈值逐一验证各选项。
10．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；分类讨论
【解析】【解答】解：①当时，，
∴6是集合中的元素，则，
②当，且时，
，
即，
，
解得或，
③当，且时，
，
即，
解得，
综上所述，n的值为6，1，，0．
故选D．
【分析】根据新定义分类讨论，结合因式分解法解方程即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴.
故填：.
【分析】先估算出在那两个整数之间，再比较与4的大小.
12．【答案】2x（x-3）（x+3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=2x( )=2x(x+3)(x－3)．
【分析】首先提公因式2x，再将括号内的因式用平方差公式分解即可求解。
13．【答案】2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：对于一元二次方程，
，，
．
故答案为：2。
【分析】先根据韦达定理求出方程两根之和与两根之积，再将其代入所求式子计算出最终结果。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；圆锥的计算
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径为7，高为24，
∴圆锥的母线长，
∵圆锥的侧面积公式为（其中为底面半径，为母线长），
∴圆锥侧面展开图的面积．
【分析】先求出母线长，再利用圆锥侧面积公式列出算式求解即可.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，
是等腰直角三角形，
，
由折叠可知，，，
设，
则，
，
解得
，
．
故答案为：；
【分析】先根据矩形和折叠性质得到 AB=BC+BE 及 BF+EF=BC，再结合等腰直角三角形的边长关系设未知数，列方程求解 BE，最后算出AB的长度。
16．【答案】解：
。
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数混合运算法则（含乘方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先分别计算零指数幂、特殊角的正弦值和负整数指数幂，再依次进行乘法和加减运算，得出最终结果。
17．【答案】解：原式∵是方程的一个根，
∴，即，
∴原式．
【知识点】平方差公式及应用；一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先将方程的已知根代入原方程，推导出c2 2c=1，再化简待求代数式并进行整体代入，从而计算出代数式的值。
18．【答案】（1）解：如图，为所作图形；
（2），；
（3）解：，
点经过的路径的长为．
【知识点】点的坐标；弧长的计算；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【解答】（2）解：点的坐标为，点的坐标为；
故答案为：，；
【分析】(1) 根据网格特点和 “点绕原点顺时针旋转 90°” 的坐标变换规律，找到点 A、B 的对应点 A'、B'，再顺次连接 O、A'、B' 得到旋转后的三角形。
(2) 直接根据平面直角坐标系，读取旋转后点 A'、B' 的坐标。
(3) 先利用勾股定理求出 OB 的长度，再根据弧长公式计算点 B 绕原点旋转 90° 所经过的弧长。
（1）解：如图，为所作图形；
；
（2）解：点的坐标为，点的坐标为；
（3）解：，
点经过的路径的长为．
19．【答案】解：设每个“福马”礼盒和“奔马”礼盒的价格分别为元，元．
根据题意，得
解得
所以，每个“福马”礼盒的价格为元，每个“奔马”礼盒的价格为元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】 先设两种礼盒的单价为未知数，再根据题目给出的两组购买总价列出二元一次方程组，最后解方程组得到两种礼盒的单价。
20．【答案】（1）证明：∵是的切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，根据勾股定理，得
，
解得，
所以的半径是7.5．
【知识点】切线的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1) 连接 OD，利用切线性质得 OD⊥BC，结合∠C=90° 推出 OD∥AC，再由 OD=OA 得∠ADO=∠DAO，进而证得∠DAO=∠CAD，即 AD 平分∠BAC。
(2) 先由 AE 是直径得∠ADE=90°，结合角相等证明△BDE∽△BAD，利用相似比和已知条件求出 BD 的长，最后在 Rt△BOD 中用勾股定理列方程求出⊙O 的半径。
（1）证明：∵是的切线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，根据勾股定理，得
，
解得，
所以的半径是7.5．
21．【答案】（1）21
（2）
（3）解：选择方式二，理由如下：
方式一：25元购物券；
方式二：，
转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：．
，
选择方式二更合算．
【知识点】利用频率估计概率；加权平均数及其计算；概率的简单应用
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39，
∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近，
∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4．
故答案为：．
【分析】(1) 根据频率的计算公式 “次数 = 总次数 × 频率”，代入总次数 50 和频率 0.42 求出 a 的值。
(2) 观察频率统计表，当转动次数足够大时，频率稳定在 0.4 附近，利用频率估计概率即可得到概率为 0.4。
(3) 先根据圆心角之比求出各面额购物券的概率，再利用加权平均数算出转动一次转盘获得购物券的平均数，最后将平均数与方式一的 25 元比较，判断方式二更合算。
（1）解：，
故答案为：．
（2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39，
∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近，
∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4．
故答案为：．
（3）解：选择方式二，理由如下：
方式一：25元购物券；
方式二：，
转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：．
，
选择方式二更合算．
22．【答案】（1）
（2）解：延长交于点，
∵，，
∴，
，，
，
答：点到靠背的距离约为；
（3）解：过点作，则，
，
，
，
，
水杯的高为：，
乘客水杯的最大高度为．
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；解直角三角形；解直角三角形的其他实际应用；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】（1）解：如图，
由题意可得，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】(1)根据 AB 垂直地面、CD 平行地面得出 AB∥CD，再结合∠ABC=24°，利用平行线同旁内角互补求出∠BCE 的度数。
(2)延长 EC 交 AB 于点 F，构造 Rt△BCF，利用正弦函数定义，结合 BC 长度和∠ABC 度数计算出 CF 的长度，即点 C 到靠背 AB 的距离。
(3)过点 E 作 EG⊥CD，在 Rt△CGE 中利用正切函数求出 GE 的长度，再加上杯托凹陷深度 0.7cm，得到水杯的最大高度。
（1）解：如图，
由题意可得，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
（2）解：延长交于点，
∵，，
∴，
，，
，
答：点到靠背的距离约为；
（3）解：过点作，则，
，
，
，
，
水杯的高为：，
乘客水杯的最大高度为．
23．【答案】（1）解：∵，在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设，其中，
∵轴，点在直线上，
∴，
∴，
∵二次函数的开口向下，对称轴为，
∴当时，的最大值为，
∴的最大值为；
（3）或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：中，
取，得，
解得：，，
∴，
∵，
∴沿轴翻折后的解析式为，
设直线向上平移个单位得到直线为，
如图，当直线过点时，
，
∴；
当直线过点时，如图，
，
∴；
当直线与翻折后的抛物线相切时，如图，
，
∴，
∴，
解得：，
∴的取值范围为或．
【分析】(1)将 A (3，0)、C (0，-3) 两点坐标代入抛物线 y=x2+bx+c，列方程组求出 b 和 c 的值，得到抛物线表达式。
(2)先判断△FPE 是等腰直角三角形，得到 EF 等于根号 2 倍的 PE，再设点 P 坐标，用 x 表示 PE 的长度，把求 EF 最大值转成求 PE 最大值，用二次函数性质算出结果。
(3)先求出原抛物线沿 x 轴翻折后的解析式，再分别算出平移直线过 A、B 两点时的 m 值，以及直线和翻折后抛物线相切时的 m 值，最后确定 m 的取值范围。
（1）解：∵，在抛物线上，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设，其中，
∵轴，点在直线上，
∴，
∴，
∵二次函数的开口向下，对称轴为，
∴当时，的最大值为，
∴的最大值为；
（3）解：中，
取，得，
解得：，，
∴，
∵，
∴沿轴翻折后的解析式为，
设直线向上平移个单位得到直线为，
如图，当直线过点时，
，
∴；
当直线过点时，如图，
，
∴；
当直线与翻折后的抛物线相切时，如图，
，
∴，
∴，
解得：，
∴的取值范围为或．
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