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广东省深圳市福田区深圳中学梅香学校2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试卷
1．2023年，中国新能源汽车市场快速增长，成为中国汽车行业的一抹亮色，新能源汽车品牌也如雨后春笋，不断涌现．下列是新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知下列不等式一定成立的是(　　)
A． B． C． D．
3．在机器人编程课上，小明的任务是编写程序控制机器人将一块三角形部件从初始位置的移动到目标位置的．机器人每次移动指令包括水平平移和竖直平移两个步骤．根据移动前后的部件位置（如图），小明需要选择正确的平移指令是（　　）
A．把向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把向左平移4个单位，再向上平移2个单位
4．下列各式从左到右变形中，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．在数轴上表示一个不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．
6．如图①，一个容量为500mL的杯子中装有200mL的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图②，设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为（　　）
A． B． C． D．
7．甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，请你选出正确的作图是（　　）
问题：某旅游景区内有一块三角形绿地，如图所示，先要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，在图中确定休息点的位置
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．分解因式：xy-x＝　 　．
10．如图，A，B的坐标为(1，0)，(0，2)，若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为　 　．
11．某湿地修复项目中，研究人员需监测两种关键水质指标－－溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线描述，污染物浓度由直线描述．已知在第天时，溶解氧浓度与污染物浓度相等（均为），对应交点．当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围是　 　．
12．如图，“三等分角器”是由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连，并可绕点P转动，C点固定，O，A可在槽内滑动，，若，则的度数为　 　°．
13．如图，是等边内一点，，，，则的边长为　 　．
（提示：将绕点顺时针旋转得到，连接）
14．解不等式：
（1）；
（2）．
15．（1）求不等式组的解集，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
（2）分解因式：①；②．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）若点的坐标为，画出经过平移后得到的，并直接写出点的坐标；
（2）若和关于原点O成中心对称，画出，并直接写出点的坐标；
（3）若绕着坐标原点O按逆时针方向旋转得到，画出，并直接写出点的坐标．
17．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与交于点G．
（1）求证：是的垂直平分线；
（2）若，，，求的面积．
18．某生态社区为创建"零碳公共空间"，计划采购两种清洁能源设备：小型风力发电机和光伏储能箱．已知首批采购2台小型风力发电机和3台光伏储能箱耗资69万元，第二批采购3台小型风力发电机和1台光伏储能箱耗资58万元．
（1）求一台小型风力发电机和一台光伏储能箱的售价分别是多少万元？
（2）此生态社区计划购买小型风力发电机和光伏储能箱两种设备共20台．为保障基础供电和控制噪音，要求小型风力发电机的数量不少于光伏储能箱的数量2倍，且小型风力发电机数量不超过16台，请你求出所有购买方案，并指出最省钱的方案．
19．某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于的多项式中，如果取某个值使得这个多项式等于0，那么是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于的二次多项式中，当时，多项式等于0，于是它有一个因式是，设，展开，得，所以，，解得．
（1）小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当时，二次多项式等于0，于是这个多项式有一个因式是 ，进一步求出另一个因式是 ．
（2）小红问小亮，如果告诉你当时，二次多项式等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出，并进一步求出分解因式的结果．如果不可以，请说明理由．
20．请依次完成以下三个问题：
（1）如图1，在正方形中，若，分别是线段，上的点，，把绕点顺时针旋转得到，易证和 全等，线段，和之间的数量关系为 ．
（2）如图2，在等腰直角中，，，为线段上的点，，，，求线段的长；
（3）如图3，在直角中，，，，为线段上的点，，，，直接写出线段和的长．提示：取中点，连接
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：B、C、D不能找到一点，使其绕该点旋转180度后与原来图形重合，故B、C、D不是中心对称图形，不符合题意；
A能找到一点，使A绕该点旋转180度后与原来图形重合，故A是中心对称图形，符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，可得，原不等式不成立，不符合题意；
B、由，可得，原不等式不成立，不符合题意；
C、由，可得，原不等式成立，符合题意；
D、由，可得，原不等式不成立，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键。不等式性质1：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向；不等式性质2：不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向；不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
对于选项A：根据不等式的基本性质1可知：当时，两边同时减去2，可得，而不是x-2＜y-2；
对于选项B：根据不等式的基本性质2可知：当时，两边同时除以2，可得，而不是 ；
对于选项C：根据不等式的基本性质2可知：，两边同时乘以2，可得；
对于选项D：根据不等式的基本性质3可知：，两边同时乘以-2，可得，并非-2x＜-2y；
由此即可判断出答案.
3．【答案】C
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：根据平移的图像可知，把向右平移4个单位，再向上平移2个单位即可到目标位置的，
故答案为：C.
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不符合因式分解．
B．，左边是多项式，右边是整式与的乘积，符合因式分解的定义．
C．，左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法．
D．，右边是多项式，未形成积的形式．不符合因式分解．
故答案为∶B.
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
5．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组的解集是．
故答案为：C．
【分析】根据不等式解集的性质：“小于向左，大于向右，即可求解，然后再根据边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”即可得．
6．【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意可知起始水位为，增加个玻璃球后，
此时的水位为：，
结果水没有满，
即，水和玻璃球的总体积小于，
故不等式为：，
故选：A．
【分析】根据题意建立不等式即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】角平分线的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵点到和两边的距离相等，
∴点在的角平分线上，
甲图所作为和的角平分线的交点，点不在边上，不符合题意；
乙图所作与AB没有交点，不符合题意；
丙图所作为的角平分线与交于点，符合题意；
丁图所作为线段的垂直平分线，只能到点A，点B距离相等，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据角平分线的判定定理知点到和两边的距离相等，可得点在的角平分线上，据此判断即可各个作图即可．
8．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线且时最小，即此时最小，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，，
同理可得，则，
∴，
∴当取得最小值时，的度数为，
故答案为：D．
【分析】连接，根据全等三角形判定定理可得，则，即，当三点共线且时最小，即此时最小，根据等腰三角形性质可得，则，即当最小时，，同理可得，则，再根据三角形外角性质即可求出答案.
9．【答案】x(y－1)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：xy-x＝x(y－1)
故答案为：x(y－1).
【分析】提取公因式x的值即可。
10．【答案】0
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得B点向上平移了2个单位，
由A点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得A点向右平移了2个单位，
由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，
∴点A、B均按此规律平移，
∴a=2，b=2，
∴a-b=0．
故答案为：0.
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析可得a=2，b=2，再求出a-b=0即可．
11．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵在上，
∴
解得：
根据函数图象可得，当时， 溶解氧浓度不低于污染物浓度，
故答案为：．
【分析】将点代入求出m的值，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
12．【答案】20
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵OC=OP
∴∠P=∠POC
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：20．
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，熟知等腰三角形的性质和三角形外角的性质是解题关键。根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：，，再由三角形的外角性质：三角形的外角等于不相邻的两内角之和可推出：∠OAC=2∠P和∠AOB=∠P+∠OAP=∠P+2∠P，代入数据求解即可得出答案．
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，连接
∴，，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
又，
∴，
∴为直角三角形，
∴
∵为等边三角形
∴
∴
∴
在中，
故答案为：．
【分析】先证出为等边三角形，利用等边三角形的性质可得，再利用勾股定理的逆定理证出为直角三角形，可得，再结合，再求出，最后利用勾股定理求出AB的长即可.
14．【答案】（1）解：
∴
解得：.
（2）解：
∴
解得：
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
（1）解：
∴
解得：
（2）解：
∴
解得：
15．【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
在数轴上表示为：
（2）①；
②
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可；
（2）①利用平方差公式的定义及计算方法（运用平方差公式对某些多项式进行因式分解，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和与这两个数的差的积）分析求解即可；
② 利用提公因式法的定义及计算方法（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式）分析求解即可.
16．【答案】（1）解：如图，为所作，点的坐标为；
（2）解：如图，为所作，点的坐标为；
（3）解：如图，为所作，点的坐标为
【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）由点平移后对应的点的坐标为，得出先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到，画出图形即可得出答案；
（2）由中心对称的性质即可得出答案；
（3）画出旋转后的图形，结合图形即可得出答案．
（1）如图，为所作，点的坐标为；
（2）如图，为所作，点的坐标为；
（3）如图，为所作，点的坐标为
17．【答案】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴A、D都在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线.
（2）解：∵，，，
∴
．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得，，从而可证出是的垂直平分线；
（2）利用三角形的面积公式及割补法可得．
（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴A、D都在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线；
（2）解：∵，，，
∴
．
18．【答案】（1）解：设一台小型风力发电机的售价为万元，一台光伏储能箱的售价为万元，
根据题意得，
解得：
答：一台小型风力发电机的售价为万元，一台光伏储能箱的售价为万元.
（2）解：设购买小型风力发电机台，则购买光伏储能箱台，
根据题意得，
解得：
∵为整数，
∴
共有种方案，
购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱台，费用为万元
购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱5台，费用为万元
购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱台，费用为万元，
所以最省钱的方案为：购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱台.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一台小型风力发电机的售价为万元，一台光伏储能箱的售价为万元，利用“ 采购2台小型风力发电机和3台光伏储能箱耗资69万元，第二批采购3台小型风力发电机和1台光伏储能箱耗资58万元 ”列出方程组求解即可；
（2）设购买小型风力发电机台，则购买光伏储能箱台，利用“ 小型风力发电机的数量不少于光伏储能箱的数量2倍，且小型风力发电机数量不超过16台 ”列出不等式组求出x的取值范围，从而可得所有方案，再求出各种方案的费用，最后比较大小即可.
（1）解：设一台小型风力发电机的售价为万元，一台光伏储能箱的售价为万元，根据题意得，
解得：
答：一台小型风力发电机的售价为万元，一台光伏储能箱的售价为万元
（2）解：设购买小型风力发电机台，则购买光伏储能箱台，根据题意得，
解得：
∵为整数，
∴
共有种方案，
购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱台，费用为万元
购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱5台，费用为万元
购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱台，费用为万元，
所以最省钱的方案为：购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱台
19．【答案】（1），
（2）解：分解因式的结果为，
理由如下，∵当时，二次多项式等于0，
∴这个多项式有一个因式是
设，
展开得，
∴，
解得：．
∴另一个因式是，
∴分解因式的结果为
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：∵当时，二次多项式等于0，
∴这个多项式有一个因式是
设，
展开得，
∴，
解得：．
∴另一个因式是，
故答案为：，．
【分析】（1）设，利用多项式乘多项式的计算方法展开并利用待定系数法求出b的值，最后求解即可；
（2）设，利用多项式乘多项式的计算方法展开并利用待定系数法求出b的值，最后求解即可.
（1）解：∵当时，二次多项式等于0，
∴这个多项式有一个因式是
设，
展开，得，所以，解得．
∴另一个因式是，
故答案为：，．
（2）解：分解因式的结果为，理由如下，
∵当时，二次多项式等于0，
∴这个多项式有一个因式是
设，
展开，得，所以，解得．
∴另一个因式是，
∴分解因式的结果为
20．【答案】（1），
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得：，，，
又∵在等腰直角中，，
∴
∴
，
，
在和中，
，
，
，
∵，
∴
在中，
∴.
（3），
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；旋转全等模型
【解析】【解答】（1）解：由旋转的性质可得：，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（3）直角中，，，
∴，
取中点，连接
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
是等边三角形，
，
由旋转的性质可得：，，，，
，
，
，，
，
，
作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
∵，，
∴
设，则，，
∴，
，，
在中，
∴
解得：，
．
【分析】（1）利用旋转的性质可得，， ，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）将绕点顺时针旋转得到，连接，先证出，利用全等三角形的性质可得MD=DE，再结合，，利用勾股定理求出MD的长，从而得解；
（3） 作交的延长线于点， 先求出 ， 设，则，， ，利用勾股定理可得 ，将数据代入可得，最后求出x的值即可.
（1）解：由旋转的性质可得：，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得：，，，
又∵在等腰直角中，，
∴
∴
，
，
在和中，
，
，
，
∵，
∴
在中，
∴
（3）直角中，，，
∴，
取中点，连接
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
是等边三角形，
，
由旋转的性质可得：，，，，
，
，
，，
，
，
作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
∵，，
∴
设，则，，
∴，
，，
在中，
∴
解得：，
．
1 / 1广东省深圳市福田区深圳中学梅香学校2024-2025学年下学期八年级期中考试数学试卷
1．2023年，中国新能源汽车市场快速增长，成为中国汽车行业的一抹亮色，新能源汽车品牌也如雨后春笋，不断涌现．下列是新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：B、C、D不能找到一点，使其绕该点旋转180度后与原来图形重合，故B、C、D不是中心对称图形，不符合题意；
A能找到一点，使A绕该点旋转180度后与原来图形重合，故A是中心对称图形，符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．已知下列不等式一定成立的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由，可得，原不等式不成立，不符合题意；
B、由，可得，原不等式不成立，不符合题意；
C、由，可得，原不等式成立，符合题意；
D、由，可得，原不等式不成立，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键。不等式性质1：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向；不等式性质2：不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向；不等式性质3：不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
对于选项A：根据不等式的基本性质1可知：当时，两边同时减去2，可得，而不是x-2＜y-2；
对于选项B：根据不等式的基本性质2可知：当时，两边同时除以2，可得，而不是 ；
对于选项C：根据不等式的基本性质2可知：，两边同时乘以2，可得；
对于选项D：根据不等式的基本性质3可知：，两边同时乘以-2，可得，并非-2x＜-2y；
由此即可判断出答案.
3．在机器人编程课上，小明的任务是编写程序控制机器人将一块三角形部件从初始位置的移动到目标位置的．机器人每次移动指令包括水平平移和竖直平移两个步骤．根据移动前后的部件位置（如图），小明需要选择正确的平移指令是（　　）
A．把向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把向左平移4个单位，再向上平移2个单位
【答案】C
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：根据平移的图像可知，把向右平移4个单位，再向上平移2个单位即可到目标位置的，
故答案为：C.
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
4．下列各式从左到右变形中，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不符合因式分解．
B．，左边是多项式，右边是整式与的乘积，符合因式分解的定义．
C．，左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法．
D．，右边是多项式，未形成积的形式．不符合因式分解．
故答案为∶B.
【分析】利用因式分解的定义（因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式）逐个分析求解即可.
5．在数轴上表示一个不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：不等式组的解集是．
故答案为：C．
【分析】根据不等式解集的性质：“小于向左，大于向右，即可求解，然后再根据边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”即可得．
6．如图①，一个容量为500mL的杯子中装有200mL的水，将四颗相同的玻璃球放入这个杯中，结果水没有满，如图②，设每颗玻璃球的体积为，根据题意可列不等式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意可知起始水位为，增加个玻璃球后，
此时的水位为：，
结果水没有满，
即，水和玻璃球的总体积小于，
故不等式为：，
故选：A．
【分析】根据题意建立不等式即可求出答案.
7．甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，请你选出正确的作图是（　　）
问题：某旅游景区内有一块三角形绿地，如图所示，先要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，在图中确定休息点的位置
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】角平分线的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：∵点到和两边的距离相等，
∴点在的角平分线上，
甲图所作为和的角平分线的交点，点不在边上，不符合题意；
乙图所作与AB没有交点，不符合题意；
丙图所作为的角平分线与交于点，符合题意；
丁图所作为线段的垂直平分线，只能到点A，点B距离相等，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据角平分线的判定定理知点到和两边的距离相等，可得点在的角平分线上，据此判断即可各个作图即可．
8．如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当三点共线且时最小，即此时最小，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，，
同理可得，则，
∴，
∴当取得最小值时，的度数为，
故答案为：D．
【分析】连接，根据全等三角形判定定理可得，则，即，当三点共线且时最小，即此时最小，根据等腰三角形性质可得，则，即当最小时，，同理可得，则，再根据三角形外角性质即可求出答案.
9．分解因式：xy-x＝　 　．
【答案】x(y－1)
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：xy-x＝x(y－1)
故答案为：x(y－1).
【分析】提取公因式x的值即可。
10．如图，A，B的坐标为(1，0)，(0，2)，若将线段AB平移至A1B1，则a﹣b的值为　 　．
【答案】0
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得B点向上平移了2个单位，
由A点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得A点向右平移了2个单位，
由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，
∴点A、B均按此规律平移，
∴a=2，b=2，
∴a-b=0．
故答案为：0.
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析可得a=2，b=2，再求出a-b=0即可．
11．某湿地修复项目中，研究人员需监测两种关键水质指标－－溶解氧浓度（单位：）和污染物浓度（单位：）随时间（天）的变化．溶解氧浓度由直线描述，污染物浓度由直线描述．已知在第天时，溶解氧浓度与污染物浓度相等（均为），对应交点．当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时范围是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：∵在上，
∴
解得：
根据函数图象可得，当时， 溶解氧浓度不低于污染物浓度，
故答案为：．
【分析】将点代入求出m的值，再结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可.
12．如图，“三等分角器”是由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连，并可绕点P转动，C点固定，O，A可在槽内滑动，，若，则的度数为　 　°．
【答案】20
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵OC=OP
∴∠P=∠POC
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：20．
【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，熟知等腰三角形的性质和三角形外角的性质是解题关键。根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：，，再由三角形的外角性质：三角形的外角等于不相邻的两内角之和可推出：∠OAC=2∠P和∠AOB=∠P+∠OAP=∠P+2∠P，代入数据求解即可得出答案．
13．如图，是等边内一点，，，，则的边长为　 　．
（提示：将绕点顺时针旋转得到，连接）
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，连接
∴，，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
又，
∴，
∴为直角三角形，
∴
∵为等边三角形
∴
∴
∴
在中，
故答案为：．
【分析】先证出为等边三角形，利用等边三角形的性质可得，再利用勾股定理的逆定理证出为直角三角形，可得，再结合，再求出，最后利用勾股定理求出AB的长即可.
14．解不等式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
∴
解得：.
（2）解：
∴
解得：
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】（1）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
（1）解：
∴
解得：
（2）解：
∴
解得：
15．（1）求不等式组的解集，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
（2）分解因式：①；②．
【答案】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：
在数轴上表示为：
（2）①；
②
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可；
（2）①利用平方差公式的定义及计算方法（运用平方差公式对某些多项式进行因式分解，其结构特征是：等式的左边是两个数的平方差，右边是这两个数的和与这两个数的差的积）分析求解即可；
② 利用提公因式法的定义及计算方法（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式）分析求解即可.
16．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）若点的坐标为，画出经过平移后得到的，并直接写出点的坐标；
（2）若和关于原点O成中心对称，画出，并直接写出点的坐标；
（3）若绕着坐标原点O按逆时针方向旋转得到，画出，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图，为所作，点的坐标为；
（2）解：如图，为所作，点的坐标为；
（3）解：如图，为所作，点的坐标为
【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）由点平移后对应的点的坐标为，得出先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度即可得到，画出图形即可得出答案；
（2）由中心对称的性质即可得出答案；
（3）画出旋转后的图形，结合图形即可得出答案．
（1）如图，为所作，点的坐标为；
（2）如图，为所作，点的坐标为；
（3）如图，为所作，点的坐标为
17．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与交于点G．
（1）求证：是的垂直平分线；
（2）若，，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴A、D都在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线.
（2）解：∵，，，
∴
．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得，，从而可证出是的垂直平分线；
（2）利用三角形的面积公式及割补法可得．
（1）证明：∵是的角平分线，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴A、D都在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线；
（2）解：∵，，，
∴
．
18．某生态社区为创建"零碳公共空间"，计划采购两种清洁能源设备：小型风力发电机和光伏储能箱．已知首批采购2台小型风力发电机和3台光伏储能箱耗资69万元，第二批采购3台小型风力发电机和1台光伏储能箱耗资58万元．
（1）求一台小型风力发电机和一台光伏储能箱的售价分别是多少万元？
（2）此生态社区计划购买小型风力发电机和光伏储能箱两种设备共20台．为保障基础供电和控制噪音，要求小型风力发电机的数量不少于光伏储能箱的数量2倍，且小型风力发电机数量不超过16台，请你求出所有购买方案，并指出最省钱的方案．
【答案】（1）解：设一台小型风力发电机的售价为万元，一台光伏储能箱的售价为万元，
根据题意得，
解得：
答：一台小型风力发电机的售价为万元，一台光伏储能箱的售价为万元.
（2）解：设购买小型风力发电机台，则购买光伏储能箱台，
根据题意得，
解得：
∵为整数，
∴
共有种方案，
购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱台，费用为万元
购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱5台，费用为万元
购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱台，费用为万元，
所以最省钱的方案为：购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱台.
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设一台小型风力发电机的售价为万元，一台光伏储能箱的售价为万元，利用“ 采购2台小型风力发电机和3台光伏储能箱耗资69万元，第二批采购3台小型风力发电机和1台光伏储能箱耗资58万元 ”列出方程组求解即可；
（2）设购买小型风力发电机台，则购买光伏储能箱台，利用“ 小型风力发电机的数量不少于光伏储能箱的数量2倍，且小型风力发电机数量不超过16台 ”列出不等式组求出x的取值范围，从而可得所有方案，再求出各种方案的费用，最后比较大小即可.
（1）解：设一台小型风力发电机的售价为万元，一台光伏储能箱的售价为万元，根据题意得，
解得：
答：一台小型风力发电机的售价为万元，一台光伏储能箱的售价为万元
（2）解：设购买小型风力发电机台，则购买光伏储能箱台，根据题意得，
解得：
∵为整数，
∴
共有种方案，
购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱台，费用为万元
购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱5台，费用为万元
购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱台，费用为万元，
所以最省钱的方案为：购买小型风力发电机台，购买光伏储能箱台
19．某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于的多项式中，如果取某个值使得这个多项式等于0，那么是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于的二次多项式中，当时，多项式等于0，于是它有一个因式是，设，展开，得，所以，，解得．
（1）小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当时，二次多项式等于0，于是这个多项式有一个因式是 ，进一步求出另一个因式是 ．
（2）小红问小亮，如果告诉你当时，二次多项式等于0，那么可以对它分解因式吗？如果可以，请求出，并进一步求出分解因式的结果．如果不可以，请说明理由．
【答案】（1），
（2）解：分解因式的结果为，
理由如下，∵当时，二次多项式等于0，
∴这个多项式有一个因式是
设，
展开得，
∴，
解得：．
∴另一个因式是，
∴分解因式的结果为
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】（1）解：∵当时，二次多项式等于0，
∴这个多项式有一个因式是
设，
展开得，
∴，
解得：．
∴另一个因式是，
故答案为：，．
【分析】（1）设，利用多项式乘多项式的计算方法展开并利用待定系数法求出b的值，最后求解即可；
（2）设，利用多项式乘多项式的计算方法展开并利用待定系数法求出b的值，最后求解即可.
（1）解：∵当时，二次多项式等于0，
∴这个多项式有一个因式是
设，
展开，得，所以，解得．
∴另一个因式是，
故答案为：，．
（2）解：分解因式的结果为，理由如下，
∵当时，二次多项式等于0，
∴这个多项式有一个因式是
设，
展开，得，所以，解得．
∴另一个因式是，
∴分解因式的结果为
20．请依次完成以下三个问题：
（1）如图1，在正方形中，若，分别是线段，上的点，，把绕点顺时针旋转得到，易证和 全等，线段，和之间的数量关系为 ．
（2）如图2，在等腰直角中，，，为线段上的点，，，，求线段的长；
（3）如图3，在直角中，，，，为线段上的点，，，，直接写出线段和的长．提示：取中点，连接
【答案】（1），
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得：，，，
又∵在等腰直角中，，
∴
∴
，
，
在和中，
，
，
，
∵，
∴
在中，
∴.
（3），
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；旋转全等模型
【解析】【解答】（1）解：由旋转的性质可得：，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（3）直角中，，，
∴，
取中点，连接
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
是等边三角形，
，
由旋转的性质可得：，，，，
，
，
，，
，
，
作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
∵，，
∴
设，则，，
∴，
，，
在中，
∴
解得：，
．
【分析】（1）利用旋转的性质可得，， ，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）将绕点顺时针旋转得到，连接，先证出，利用全等三角形的性质可得MD=DE，再结合，，利用勾股定理求出MD的长，从而得解；
（3） 作交的延长线于点， 先求出 ， 设，则，， ，利用勾股定理可得 ，将数据代入可得，最后求出x的值即可.
（1）解：由旋转的性质可得：，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得：，，，
又∵在等腰直角中，，
∴
∴
，
，
在和中，
，
，
，
∵，
∴
在中，
∴
（3）直角中，，，
∴，
取中点，连接
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，
是等边三角形，
，
由旋转的性质可得：，，，，
，
，
，，
，
，
作交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
∵，，
∴
设，则，，
∴，
，，
在中，
∴
解得：，
．
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