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广东省韶关市浈江区行之实验学校2024-2025学年下学期八年级期中考试 数学试题
1．下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
5．若一直角三角形的两边长分别是，，则第三边长为（　　）
A． B． C．或 D．
6．如图，矩形中，对角线、交于点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
7．在四边形中， ，要使四边形是平行四边形，则还应满足（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（　　）
A． B． C． D．平分
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
10．如图，依次连接边长为1的小正方形各边的中点，得到第二个小正方形，再依次连接第二个小正方形各边的中点得到第三个小正方形，按这样的规律第2025个小正方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．当 时，二次根式 的值是　 　.
12．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为　 　．
13．如图，在正方形内作等边，连接，则的度数为 　 　．
14．如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合），且交于，交于，则阴影部分的面积是　 　．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝2，则AE的长为　 　．
16．计算：
（1）．
（2）
17．已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
18．如图，四边形是平行四边形，，，，垂足分别为E，F．证明：．
19．某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点A、B分别在、上，斜坡AB的长为18米，过点B作于点C，且线段AC的长为米．
（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚为60°，过点M作于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
20．如图，矩形的对角线相交于，点是的中点，交延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求的长．
21．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．
（1）求证：；
（2）求证：DE－BF＝EF；
（3）若AB＝2，BG＝1，求线段EF的长．
22．阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积 + 4个直角三角形的面积，从而得数学等式： ；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：
【初步运用】
（1）如图1，若b=2a ，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a= 4，b= 6此时空白部分的面积为 ；
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程.
知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y ：斜边x＝定值k
23．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　 　；
（2）当t＝　 　时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】根据二次根式的定义可得 中得被开方数无论x为何值都是非负数，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，进行判断求解即可。
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．是最简二次根式；
B．，故不是最简二次根式；
C．是最简二次根式；
D．是最简二次根式；
故答案为：B．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法、二次根式的加法、二次根式的减法的计算方法逐项分析判断即可.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、因为，故不能作为直角三角形三边长度；
B、因为，故能作为直角三角形三边长度；
C、因为，不能组成三角形，故不能作为直角三角形三边长度；
D、因为，故不能作为直角三角形三边长度．
故选：B．
【分析】
判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设直角三角形第三边长为x，分两种情况讨论：
①当6和8均为直角边时，由勾股定理得：
，解得(边长为正，舍去负根)；
②当8为斜边、6为直角边时，由勾股定理得：
，解得(边长为正，舍去负根)．
故第三边长为或．
故选：C．
【分析】设直角三角形第三边长为x，分两种情况讨论：①当6和8均为直角边时，②当8为斜边、6为直角边时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，且，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质可得出OA=OB=4，再根据∠AOB=60°，可得出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出AB=4。
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图
A、由不能证明，故A不符合题意；
B、∵
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，故B符合题意；
C、∵
∴ AD∥BC，
又∵，无法证明四边形是平行四边形．故C不符合题意．
D、由不能证明，故D不符合题意；
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形逐一进行判断即可．
8．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
当平分时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，故D符合题意；
而或或都不能得到四边形是菱形，
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）分析求解即可.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠BAE=90°，AE=AB，
∵∠EAF+∠AEF=90°，∠EAF+∠BAC=90°，
∴∠AEF=∠BAC，
在△AEF和△BAC中，
，
∴△AEF≌△BAC（AAS），
∴EF=AC=8，AF=BC=7，
在Rt△ECF中，EF=8，FC=FA+AC=8+7=15，
根据勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，先证出△AEF≌△BAC（AAS），利用全等三角形的性质可得EF=AC=8，AF=BC=7，再利用线段的和差求出FC的长，最后利用勾股定理求出CE的长即可.
10．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据题意得：第一个小正方形的面积为1，
第二个小正方形的面积为，
第三个小正方形的面积为，
……，
第n个小正方形的面积为，
∴第2025个小正方形的面积为．
故答案为：B
【分析】先求出前几项中正方形的面积可得规律第n个小正方形的面积为，再将n=2025代入计算即可.
11．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】把x=3代入二次根式，可得 .
故答案为：2
【分析】把x=3代入到二次根式中然后求出算术平方根即可.
12．【答案】24
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形为菱形，
，，
为直角三角形．
，且点为线段的中点，
．
．
故答案为：24．
【分析】利用菱形的性质可得，，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=6，最后求出菱形的周长即可.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】利用正方形的性质可得，利用等边三角形的性质可得，再利用等量代换可得，再利用角的运算求出即可。
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设，交于点，
四边形为菱形，
，．
，，
，．
四边形是平行四边形．
．即阴影部分的面积等于的面积．
的面积等于菱形的面积的一半，菱形的面积，
图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
【分析】
根据已知条件可得，四边形是平行四边形．则，阴影部分的面积等于的面积．根据菱形的性质即可求解．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝8，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠ECF，
∵点F为边DC的中点，
∴DF＝CF＝4，
又∵∠DFA＝∠CFE，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AF＝EF，
∵CD∥AB，
∴∠DFA＝∠FAB，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
又∵DG⊥AF，
∴AG＝GF，
∵GF＝＝＝2，
∴AG＝GF＝2，
∴AF＝4＝EF，
∴AE＝8，
故答案为：8．
【分析】先证出△ADF≌△ECF（ASA），利用全等三角形的性质可得AF＝EF，再利用角平分线的定义和平行线的性质以及等量代换可得∠DAF＝∠DFA，再利用等角对等边的性质可得AD＝DF，再利用勾股定理求出AG＝GF＝2，最后求出AE＝8即可.
16．【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可；
（2）先利用0指数幂、负整数指数幂、算术平方根和实数的绝对值化简，再计算即可.
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）平方差公式化简，再将x，y值代入即可求出答案.
（2）根据完全平方公式化简，再将x，y值代入即可求出答案.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．【答案】解：（1）在Rt△ABC中，；
（2）∵，
∴，
∴，
∵在Rt△ABC中，，
∴
∴，
∴，
∴．
综上所述，长度增加了2米．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠AMN，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得AN，再根据边之间的关系即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：，
，，
点是的中点，，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，且，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形.
（2）解：由（1）得：，
，
是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合OA=OD，即可证出平行四边形是菱形；
（2）利用等边三角形和菱形的性质可得，，再利用角的运算求出∠ACF的度数，最后利用含30°角的直角三角形的性质可得．
（1）证明：，
，，
点是的中点，，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，且，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）得：，
，
是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
．
21．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠AED＝∠DEF＝90°，
∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEF＝∠AED＝90°，
∴∠BAF＋∠DAE＝∠ADE＋∠DAE＝90°．
∴∠BAF＝∠ADE．
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ADE≌△BAF．
（2）∵△DAE≌△ABF，
∴AE＝BF，DE＝AF
∵AF－AE＝EF，
∴DE－BF＝EF．
（3）∵∠ABC＝90°，
∴AG2＝AB2＋BG2＝12＋22＝5，
∴．
∵S△ABG＝，
∴．
在Rt△ABF中，AF2＝AB2－BF2＝22－＝，
∴AF=，
∵AE=BF，EF=AF-AE，
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；等积变换
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得∠BAF＝∠ADE，再利用“AAS”证出△ADE≌△BAF即可；
（2）利用全等三角形的性质可得AE＝BF，DE＝AF，再利用线段的和差及等量代换可得DE－BF＝EF；
（3）利用勾股定理求出AG的长，再利用三角形的面积公式可得S△ABG＝，求出BF的长，再利用勾股定理求出AF的长，最后利用线段的和差求出即可.
22．【答案】[探索新知]：；
[初步运用]：（1）5：9；（2）28；
[迁移运用]
由补充知识可得大正三角形的高为，小正三角形的高为，全等三角形的高为，则由大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积可得
∴
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】[探索新知]大正方形边长为，所以面积＝，小正方形的边长为，所以面积=，
直角三角形的面积=，由大正方形的面积＝小正方形的面积 + 4个直角三角形的面积可得
故答案为：；
[初步运用]（1）将b=2a代入得，∴，即小正方形面积为
大正方形面积=，
∴ 小正方形面积：大正方形面积＝：=5：9
故答案为：5：9；
（2）∵a= 4，b= 6
∴小正方形面积=，直角三角形面积=
∴空白部分面积=小正方形面积－两个直角三角形面积=
故答案为：
【分析】[探索新知]分别表示出大正方形，小正方形，直角三角形面积，再由面积关系可得关系式；
[初步运用]（1）将b=2a代入可推出，即小正方形面积为
大正方形面积=，可求出比值；
（2）空白部分面积为小正方形面积减去2个直角三角形面积；
[迁移运用]大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，分别求出面积代入关系式化简即可.
23．【答案】（1）6；
（2）8；
解：（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABP＝×BP×AB=×2t×4=4t；（0＜t＜4）；
②当点P在CD上运动时，
S△ABP＝×AB×BC=×4×8=16；（4≤t≤6）；
③当点P在AD上运动时，
S△ABP＝×AB×AP=×4×（20-2t）=-4t+40；（6＜t≤10）；
（4）t=2s或t=3s或t=s
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的概念；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）由题意得：BP=2t=2×3=6，
故答案为：6；
（2）如图，作∠ABC的角平分线交AD于F，
∴∠ABF=∠FBC，
∵∠A=∠ABC=∠BCD=，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=4，
∴DF=AD-AF=8-4=4，
∴BC+CD+DF=8+4+4=16，
∴2t=16，解得t=8．
∴当t=8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，且点P到AB与AD距离一样时，
∵点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP=4，
∴2t=4，解得t=2s；
②当点P在BC上，且P到DE与AD距离一样时，如图，过P作PF⊥DE于点F，
则PF=4，
∵PF⊥DE，
∴∠PFE=∠DCE=90°，
∴在△PFE和△DCE中，
，
∴△PFE≌△DCE(AAS)，
∴PE=DE=5，
∴BP=BC+CE-PE=8+3-5=6，
∴；
③当点P在CD上，则P到BE与DE距离一样时，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
设PC=PH=x，则，
，
∴，
解得：x=1.5，
∴BC+CP=8+1.5=9.5，
∴．
综上所述：t=2s或t=3s或t=s时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
【分析】（1）根据点的运动即可求出答案.
（2）作∠ABC的角平分线交AD于F，则∠ABF=∠FBC，根据矩形判定定理可得四边形ABCD是矩形，根据直线平行性质可得∠AFB=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，根据等角对等边可得AF=AB=4，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动时，根据三角形面积即可求出答案.
（4）分情况讨论：①当点P在BC上，且点P到AB与AD距离一样时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；②当点P在BC上，且P到DE与AD距离一样时，过P作PF⊥DE于点F，则PF=4，根据全等三角形判定定理可得△PFE≌△DCE(AAS)，则PE=DE=5，根据边之间的关系可得BP，再根据时间=路程÷速度即可求出答案；③当点P在CD上，则P到BE与DE距离一样时，过点P作PH⊥DE于点H，设PC=PH=x，则，，建立方程，解方程可得x=1.5，根据边之间的关系，结合时间=路程÷速度即可求出答案.
1 / 1广东省韶关市浈江区行之实验学校2024-2025学年下学期八年级期中考试 数学试题
1．下列式子一定是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】根据二次根式的定义可得 中得被开方数无论x为何值都是非负数，
故答案为：C．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，进行判断求解即可。
2．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．是最简二次根式；
B．，故不是最简二次根式；
C．是最简二次根式；
D．是最简二次根式；
故答案为：B．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，故A不正确，不符合题意；
B、，故B不正确，不符合题意；
C、，故C不正确，不符合题意；
D、，故D正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的乘法、二次根式的加法、二次根式的减法的计算方法逐项分析判断即可.
4．下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、因为，故不能作为直角三角形三边长度；
B、因为，故能作为直角三角形三边长度；
C、因为，不能组成三角形，故不能作为直角三角形三边长度；
D、因为，故不能作为直角三角形三边长度．
故选：B．
【分析】
判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
5．若一直角三角形的两边长分别是，，则第三边长为（　　）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设直角三角形第三边长为x，分两种情况讨论：
①当6和8均为直角边时，由勾股定理得：
，解得(边长为正，舍去负根)；
②当8为斜边、6为直角边时，由勾股定理得：
，解得(边长为正，舍去负根)．
故第三边长为或．
故选：C．
【分析】设直角三角形第三边长为x，分两种情况讨论：①当6和8均为直角边时，②当8为斜边、6为直角边时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
6．如图，矩形中，对角线、交于点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，且，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质可得出OA=OB=4，再根据∠AOB=60°，可得出是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出AB=4。
7．在四边形中， ，要使四边形是平行四边形，则还应满足（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图
A、由不能证明，故A不符合题意；
B、∵
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，故B符合题意；
C、∵
∴ AD∥BC，
又∵，无法证明四边形是平行四边形．故C不符合题意．
D、由不能证明，故D不符合题意；
【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形逐一进行判断即可．
8．如图，中，，，要判定四边形是菱形，还需要添加的条件是（　　）
A． B． C． D．平分
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
当平分时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，故D符合题意；
而或或都不能得到四边形是菱形，
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）分析求解即可.
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝7，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；同侧一线三等角全等模型（锐角）
【解析】【解答】解：过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠BAE=90°，AE=AB，
∵∠EAF+∠AEF=90°，∠EAF+∠BAC=90°，
∴∠AEF=∠BAC，
在△AEF和△BAC中，
，
∴△AEF≌△BAC（AAS），
∴EF=AC=8，AF=BC=7，
在Rt△ECF中，EF=8，FC=FA+AC=8+7=15，
根据勾股定理得：．
故答案为：D．
【分析】过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，先证出△AEF≌△BAC（AAS），利用全等三角形的性质可得EF=AC=8，AF=BC=7，再利用线段的和差求出FC的长，最后利用勾股定理求出CE的长即可.
10．如图，依次连接边长为1的小正方形各边的中点，得到第二个小正方形，再依次连接第二个小正方形各边的中点得到第三个小正方形，按这样的规律第2025个小正方形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘方法则；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：根据题意得：第一个小正方形的面积为1，
第二个小正方形的面积为，
第三个小正方形的面积为，
……，
第n个小正方形的面积为，
∴第2025个小正方形的面积为．
故答案为：B
【分析】先求出前几项中正方形的面积可得规律第n个小正方形的面积为，再将n=2025代入计算即可.
11．当 时，二次根式 的值是　 　.
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】把x=3代入二次根式，可得 .
故答案为：2
【分析】把x=3代入到二次根式中然后求出算术平方根即可.
12．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，连接，若，则菱形的周长为　 　．
【答案】24
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形为菱形，
，，
为直角三角形．
，且点为线段的中点，
．
．
故答案为：24．
【分析】利用菱形的性质可得，，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得AB=6，最后求出菱形的周长即可.
13．如图，在正方形内作等边，连接，则的度数为 　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】利用正方形的性质可得，利用等边三角形的性质可得，再利用等量代换可得，再利用角的运算求出即可。
14．如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合），且交于，交于，则阴影部分的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设，交于点，
四边形为菱形，
，．
，，
，．
四边形是平行四边形．
．即阴影部分的面积等于的面积．
的面积等于菱形的面积的一半，菱形的面积，
图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
【分析】
根据已知条件可得，四边形是平行四边形．则，阴影部分的面积等于的面积．根据菱形的性质即可求解．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝2，则AE的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD＝8，AB∥CD，
∴∠ADF＝∠ECF，
∵点F为边DC的中点，
∴DF＝CF＝4，
又∵∠DFA＝∠CFE，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴AF＝EF，
∵CD∥AB，
∴∠DFA＝∠FAB，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠FAB，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴AD＝DF，
又∵DG⊥AF，
∴AG＝GF，
∵GF＝＝＝2，
∴AG＝GF＝2，
∴AF＝4＝EF，
∴AE＝8，
故答案为：8．
【分析】先证出△ADF≌△ECF（ASA），利用全等三角形的性质可得AF＝EF，再利用角平分线的定义和平行线的性质以及等量代换可得∠DAF＝∠DFA，再利用等角对等边的性质可得AD＝DF，再利用勾股定理求出AG＝GF＝2，最后求出AE＝8即可.
16．计算：
（1）．
（2）
【答案】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可；
（2）先利用0指数幂、负整数指数幂、算术平方根和实数的绝对值化简，再计算即可.
（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
17．已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）平方差公式化简，再将x，y值代入即可求出答案.
（2）根据完全平方公式化简，再将x，y值代入即可求出答案.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．如图，四边形是平行四边形，，，，垂足分别为E，F．证明：．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，则，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．某高速公路管理部门工作人员在对某段高速公路进行安全巡检过程中，发现该高速公路旁的一斜坡存在落石隐患．该斜坡横断面示意图如图所示，水平线，点A、B分别在、上，斜坡AB的长为18米，过点B作于点C，且线段AC的长为米．
（1）求该斜坡的坡高BC；（结果用最简根式表示）
（2）为降低落石风险，该管理部门计划对该斜坡进行改造，改造后的斜坡坡脚为60°，过点M作于点N，求改造后的斜坡长度比改造前的斜坡长度增加了多少米？
【答案】解：（1）在Rt△ABC中，；
（2）∵，
∴，
∴，
∵在Rt△ABC中，，
∴
∴，
∴，
∴．
综上所述，长度增加了2米．
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠AMN，根据含30°角的直角三角形性质可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得AN，再根据边之间的关系即可求出答案.
20．如图，矩形的对角线相交于，点是的中点，交延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，，
点是的中点，，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，且，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形.
（2）解：由（1）得：，
，
是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合OA=OD，即可证出平行四边形是菱形；
（2）利用等边三角形和菱形的性质可得，，再利用角的运算求出∠ACF的度数，最后利用含30°角的直角三角形的性质可得．
（1）证明：，
，，
点是的中点，，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，且，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
（2）解：由（1）得：，
，
是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
．
21．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．
（1）求证：；
（2）求证：DE－BF＝EF；
（3）若AB＝2，BG＝1，求线段EF的长．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，
∵DE⊥AG，
∴∠AED＝∠DEF＝90°，
∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEF＝∠AED＝90°，
∴∠BAF＋∠DAE＝∠ADE＋∠DAE＝90°．
∴∠BAF＝∠ADE．
在△ABF和△DAE中，
，
∴△ADE≌△BAF．
（2）∵△DAE≌△ABF，
∴AE＝BF，DE＝AF
∵AF－AE＝EF，
∴DE－BF＝EF．
（3）∵∠ABC＝90°，
∴AG2＝AB2＋BG2＝12＋22＝5，
∴．
∵S△ABG＝，
∴．
在Rt△ABF中，AF2＝AB2－BF2＝22－＝，
∴AF=，
∵AE=BF，EF=AF-AE，
∴
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；等积变换
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质及角的运算和等量代换可得∠BAF＝∠ADE，再利用“AAS”证出△ADE≌△BAF即可；
（2）利用全等三角形的性质可得AE＝BF，DE＝AF，再利用线段的和差及等量代换可得DE－BF＝EF；
（3）利用勾股定理求出AG的长，再利用三角形的面积公式可得S△ABG＝，求出BF的长，再利用勾股定理求出AF的长，最后利用线段的和差求出即可.
22．阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积 + 4个直角三角形的面积，从而得数学等式： ；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：
【初步运用】
（1）如图1，若b=2a ，则小正方形面积：大正方形面积＝ ；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a= 4，b= 6此时空白部分的面积为 ；
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程.
知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y ：斜边x＝定值k
【答案】[探索新知]：；
[初步运用]：（1）5：9；（2）28；
[迁移运用]
由补充知识可得大正三角形的高为，小正三角形的高为，全等三角形的高为，则由大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积可得
∴
【知识点】勾股定理的证明
【解析】【解答】[探索新知]大正方形边长为，所以面积＝，小正方形的边长为，所以面积=，
直角三角形的面积=，由大正方形的面积＝小正方形的面积 + 4个直角三角形的面积可得
故答案为：；
[初步运用]（1）将b=2a代入得，∴，即小正方形面积为
大正方形面积=，
∴ 小正方形面积：大正方形面积＝：=5：9
故答案为：5：9；
（2）∵a= 4，b= 6
∴小正方形面积=，直角三角形面积=
∴空白部分面积=小正方形面积－两个直角三角形面积=
故答案为：
【分析】[探索新知]分别表示出大正方形，小正方形，直角三角形面积，再由面积关系可得关系式；
[初步运用]（1）将b=2a代入可推出，即小正方形面积为
大正方形面积=，可求出比值；
（2）空白部分面积为小正方形面积减去2个直角三角形面积；
[迁移运用]大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，分别求出面积代入关系式化简即可.
23．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　 　；
（2）当t＝　 　时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
【答案】（1）6；
（2）8；
解：（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABP＝×BP×AB=×2t×4=4t；（0＜t＜4）；
②当点P在CD上运动时，
S△ABP＝×AB×BC=×4×8=16；（4≤t≤6）；
③当点P在AD上运动时，
S△ABP＝×AB×AP=×4×（20-2t）=-4t+40；（6＜t≤10）；
（4）t=2s或t=3s或t=s
【知识点】平行线的性质；三角形的面积；三角形全等及其性质；角平分线的概念；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）由题意得：BP=2t=2×3=6，
故答案为：6；
（2）如图，作∠ABC的角平分线交AD于F，
∴∠ABF=∠FBC，
∵∠A=∠ABC=∠BCD=，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠FBC，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AF=AB=4，
∴DF=AD-AF=8-4=4，
∴BC+CD+DF=8+4+4=16，
∴2t=16，解得t=8．
∴当t=8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，且点P到AB与AD距离一样时，
∵点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP=4，
∴2t=4，解得t=2s；
②当点P在BC上，且P到DE与AD距离一样时，如图，过P作PF⊥DE于点F，
则PF=4，
∵PF⊥DE，
∴∠PFE=∠DCE=90°，
∴在△PFE和△DCE中，
，
∴△PFE≌△DCE(AAS)，
∴PE=DE=5，
∴BP=BC+CE-PE=8+3-5=6，
∴；
③当点P在CD上，则P到BE与DE距离一样时，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
设PC=PH=x，则，
，
∴，
解得：x=1.5，
∴BC+CP=8+1.5=9.5，
∴．
综上所述：t=2s或t=3s或t=s时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
【分析】（1）根据点的运动即可求出答案.
（2）作∠ABC的角平分线交AD于F，则∠ABF=∠FBC，根据矩形判定定理可得四边形ABCD是矩形，根据直线平行性质可得∠AFB=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，根据等角对等边可得AF=AB=4，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当点P在BC上运动时，②当点P在CD上运动时，③当点P在AD上运动时，根据三角形面积即可求出答案.
（4）分情况讨论：①当点P在BC上，且点P到AB与AD距离一样时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案；②当点P在BC上，且P到DE与AD距离一样时，过P作PF⊥DE于点F，则PF=4，根据全等三角形判定定理可得△PFE≌△DCE(AAS)，则PE=DE=5，根据边之间的关系可得BP，再根据时间=路程÷速度即可求出答案；③当点P在CD上，则P到BE与DE距离一样时，过点P作PH⊥DE于点H，设PC=PH=x，则，，建立方程，解方程可得x=1.5，根据边之间的关系，结合时间=路程÷速度即可求出答案.
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