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广东省佛山市南海区桂城街道文翰中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点），跷跷板的一头着地时，点在同一水平线上，若时，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
4．下列选项是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
5．对于命题“若，则小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，将三角形沿方向平移得到三角形，已知，则的外长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．关于x的分式方程的增根为（　　）
A．1 B． C． D．不存在
10．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
11．因式分解：　 　．
12．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
13．将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的坐标是　 　．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，则的度数是　 　．
15．如图，射线是的平分线，C是射线上一点，于点F．若D是射线上一点，且，则的面积是　 　．
16．解不等式组：．
17．已知，，求多项式的值．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点分别为，，．按要求画出图形，并回答问题：
（1）画，使它与关于点成中心对称；则的坐标为______．
（2）平移，使点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，则的坐标为______．
（3）若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为______．
20．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.
(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
(2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
21．（1）如图1，在为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程.
要证直线垂直平分，只要证点、点O都在的垂直平分线上.只要证 ______=______，______=______
（2）如图（2），在中，，点D、E分别在上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由.
22．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台.已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元财买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理河水量如下表所示：
污水处理设备 A型 B型
价格（万元／台） m
月处理污水量（吨／台） 200 180
（1）求的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问每月最多处理污水量的吨数是多少．
23．在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【问题呈现】如图1，内部有一点P，连接，求的最小值．
【问题解快】小明是这样做的：他将绕点C顺时针旋转得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因此．
（1）由_______（数学依据）可知：的最小值与线段的_______的长度相等，此时_______
（2）【类比应用】如图2，在中，为内一点，连接，求的最小值．
（3）【生活实际】如图3，是某新建公园的一块四边形空地，其中，米，米，规划部门计划在等腰区域种植花卉，其中是边上的两个动点，且始终保持．同时为了方便市民观赏与休息，决定在这块空地内部的点P处建造一个凉亭，从P点分别向处修建文化长廊，为节约修建文化长廊的成本，不考虑其他因素，是否存在这样的点P，使得最小，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：D．
【分析】
根据中心对称图形的概念即可求解．
2．【答案】D
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、右边不是整式的积的形式，故A不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，故B不符合题意；
C、属于整式的乘法运算，不属于因式分解，故C不符合题意；
D、是因式分解，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，据此逐项进行判断即可.
3．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，点在同一水平线上，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半．
4．【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】A. 不是分式，不符合题意，
B. 不是最简分式，不符合题意，
C. ，不是最简分式，不符合题意，
D. 是最简分式，符合题意，
故答案为：D
【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、，，其中，不符合命题的条件，所以不符合要求，故A选项不符合题意；
B，，其中，并且，即，这个例子不能说明命题是假命题，故B选项不符合题意；
C、，，其中，并且，即，这个例子不能说明命题是假命题，故C选项不符合题意；
D、，，其中，并且，即，这个例子能说明命题是假命题，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用假命题的定义及证明命题是假命题的举例方法求解即可.
6．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形沿方向平移得到三角形，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据平移性质即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，且点共线，
，
∴．
故选：．
【分析】根据旋转性质可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由 DE 是 AC 的垂直平分线，可得 AE=EC，因此∠C=∠EAC。设∠C=α，则∠EAC=α。
在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，所以∠BAC+∠C=90°。而∠BAC=∠BAE+∠EAC=22°+α，代入得 α+α+22°=90°。
解方程 2α+22°=90°，得 α=34°，即∠C=34°。
故答案为：C。
【分析】先利用线段垂直平分线的性质得到 AE=EC，推出∠C=∠EAC，再结合直角三角形两锐角互余，列出方程 α+α+22°=90°，解得∠C=34°。
9．【答案】A
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得
（x+1）2-4=x2-1
2x=2
解之：x=1，
当x=1时x2-1=1-1=0，
∴x=1是原方程的增根.
故答案为：A.
【分析】先去分母，两边同时乘以（x+1）（x-1），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，将其解代入最简公分母，若最简公分母为0，则其根是增根，据此可求解.
10．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解①得，
不等式组的解集是，
．
故选：C．
【分析】解不等式组，再根据题意即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用提公因式法的定义及计算方法（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式）分析求解即可.
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若想让分式在实数范围内有意义，就要分母不为0，即本题中的，故
故答案为：.
【分析】本题主要考查分式有意义的基本条件，通过分数有意义，分母不为0即可求解.
13．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴，
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
14．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：∵点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理及勾股定理的逆定理证出，，再利用角的运算求出即可.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
射线是的平分线，，，
∴，
∴的面积是．
故答案为：．
【分析】
过点作于点，根据角平分线的性质可得 PC=CF=3 ，在三角形ODC中，OD为底，PC为高，根据三角形的面积公式即可求解．
16．【答案】解：
解①得
解②得
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
17．【答案】解：
当，时， 原式．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
18．【答案】解：
，
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得x+1，再将x的值代入计算即可.
19．【答案】（1）解：如图，即为所求，A1（-2，-2），
（2）解：如图，即为所求，A2的坐标为（4，6）．
（3）(1，2)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于点C的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
（1）解：如图，即为所求，A1（-2，-2），
故答案为：（-2，-2）；
（2）解：如图，即为所求，A2的坐标为（4，6）．
故答案为：（4，6）；
（3）解：若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心P的坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
20．【答案】解：（1）全等，理由是：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵∠A=∠B=90°，AE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）是直角三角形，理由是：
如图，
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE是直角三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据等角对等边可得DE=CE，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得∠3=∠4，再根据角之间的关系可得∠DEC=90°，再根据直角三角形判定定理即可求出答案.
21．【答案】解：（1）；
（2）如图，直线即为所求：
连接交于点，过点作直线即为边的垂直平分线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线为为边的垂直平分线．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）要证直线垂直平分，只要证点、点O都在的垂直平分线上．只要证；
故答案为：.
【分析】（1）利用线段垂直平分线的判定方法分析求解即可；
（2）连接交于点，过点作直线即为边的垂直平分线，先证出，再利用全等三角形的性质及等角对等边的性质和等量代换可得AB=AC，从而可证出直线为为边的垂直平分线．
22．【答案】（1）解：由题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
即.
（2）解：型污水处理设备的单价为18万元，型污水处理设备的单价为15万元，设买型污水处理设备台，则B型台，
根据题意得：，
解得，
由于是整数，则有种方案，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
答：每月最多处理污水量的吨数为吨．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）利用“ 用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元财买B型号的污水处理设备的台数相同 ”列出方程求解即可；
（2）设买型污水处理设备台，则B型台，先利用“ 购买污水处理设备的资金不超过165万元 ”求出x的取值范围，再求出所有方案的吨数即可.
（1）解：由题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
即；
（2）解：∵型污水处理设备的单价为18万元，型污水处理设备的单价为15万元，
设买型污水处理设备台，则B型台，
根据题意得：，
解得，
由于是整数，则有种方案，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
答：每月最多处理污水量的吨数为吨．
23．【答案】解：（1）两点之间，线段最短；；；
（2）将绕点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵两点之间，线段最短，
∴当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长；
如图所示，过点E作交延长线于G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为；
（3）如图所示，过点Q分别作的垂线，垂足分别为T，N，连接，则四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，
在中，由勾股定理得米，
在中，由勾股定理得米，
∴，即点Q为的中点；
∵，
∴，
又∵米，
∴是等边三角形，
∴，
∴米；
如图所示，将绕点Q顺时针旋转得到，连接，
同理可得，的最小值为线段的长，
由旋转的性质可得米，，
∴，
∴米，
∴米，
∴米，
∴米，
∴的最小值为米．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）将绕点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵两点之间，线段最短，
∴当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，
∴此时.
【分析】（1）先利用旋转的性质可得，证出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换求解，最后利用两点之间线段最短求解即可；
（2）先证出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，再证出当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，最后求解即可；
（3）过点Q分别作的垂线，垂足分别为T，N，连接，先证出，利用全等三角形的性质可得，再利用（2）的证明方法可得的最小值为米．
1 / 1广东省佛山市南海区桂城街道文翰中学2024-2025学年八年级下学期5月期中数学试题
1．中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是中心对称图形；
B、不是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、是中心对称图形．
故选：D．
【分析】
根据中心对称图形的概念即可求解．
2．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、右边不是整式的积的形式，故A不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，故B不符合题意；
C、属于整式的乘法运算，不属于因式分解，故C不符合题意；
D、是因式分解，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式积的形式，据此逐项进行判断即可.
3．如图是一个跷跷板的示意图，立柱与地面垂直（于点），跷跷板的一头着地时，点在同一水平线上，若时，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵，点在同一水平线上，
∴是直角三角形，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半．
4．下列选项是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】A. 不是分式，不符合题意，
B. 不是最简分式，不符合题意，
C. ，不是最简分式，不符合题意，
D. 是最简分式，符合题意，
故答案为：D
【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可。
5．对于命题“若，则小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、，，其中，不符合命题的条件，所以不符合要求，故A选项不符合题意；
B，，其中，并且，即，这个例子不能说明命题是假命题，故B选项不符合题意；
C、，，其中，并且，即，这个例子不能说明命题是假命题，故C选项不符合题意；
D、，，其中，并且，即，这个例子能说明命题是假命题，故D选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用假命题的定义及证明命题是假命题的举例方法求解即可.
6．如图，将三角形沿方向平移得到三角形，已知，则的外长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵三角形沿方向平移得到三角形，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据平移性质即可求出答案.
7．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点共线，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，且点共线，
，
∴．
故选：．
【分析】根据旋转性质可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
8．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由 DE 是 AC 的垂直平分线，可得 AE=EC，因此∠C=∠EAC。设∠C=α，则∠EAC=α。
在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，所以∠BAC+∠C=90°。而∠BAC=∠BAE+∠EAC=22°+α，代入得 α+α+22°=90°。
解方程 2α+22°=90°，得 α=34°，即∠C=34°。
故答案为：C。
【分析】先利用线段垂直平分线的性质得到 AE=EC，推出∠C=∠EAC，再结合直角三角形两锐角互余，列出方程 α+α+22°=90°，解得∠C=34°。
9．关于x的分式方程的增根为（　　）
A．1 B． C． D．不存在
【答案】A
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得
（x+1）2-4=x2-1
2x=2
解之：x=1，
当x=1时x2-1=1-1=0，
∴x=1是原方程的增根.
故答案为：A.
【分析】先去分母，两边同时乘以（x+1）（x-1），将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，将其解代入最简公分母，若最简公分母为0，则其根是增根，据此可求解.
10．如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
解①得，
不等式组的解集是，
．
故选：C．
【分析】解不等式组，再根据题意即可求出答案.
11．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用提公因式法的定义及计算方法（如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式）分析求解即可.
12．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若想让分式在实数范围内有意义，就要分母不为0，即本题中的，故
故答案为：.
【分析】本题主要考查分式有意义的基本条件，通过分数有意义，分母不为0即可求解.
13．将点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到点，
∴，
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：∵点A，B，C，P都在格点（网格线的交点）上，且点在的边上，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
故答案为：.
【分析】先利用勾股定理及勾股定理的逆定理证出，，再利用角的运算求出即可.
15．如图，射线是的平分线，C是射线上一点，于点F．若D是射线上一点，且，则的面积是　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
射线是的平分线，，，
∴，
∴的面积是．
故答案为：．
【分析】
过点作于点，根据角平分线的性质可得 PC=CF=3 ，在三角形ODC中，OD为底，PC为高，根据三角形的面积公式即可求解．
16．解不等式组：．
【答案】解：
解①得
解②得
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
17．已知，，求多项式的值．
【答案】解：
当，时， 原式．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
18．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先利用分式的混合运算化简可得x+1，再将x的值代入计算即可.
19．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点分别为，，．按要求画出图形，并回答问题：
（1）画，使它与关于点成中心对称；则的坐标为______．
（2）平移，使点的对应点的坐标为，画出平移后对应的，则的坐标为______．
（3）若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为______．
【答案】（1）解：如图，即为所求，A1（-2，-2），
（2）解：如图，即为所求，A2的坐标为（4，6）．
（3）(1，2)
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于点C的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
（1）解：如图，即为所求，A1（-2，-2），
故答案为：（-2，-2）；
（2）解：如图，即为所求，A2的坐标为（4，6）．
故答案为：（4，6）；
（3）解：若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心P的坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
20．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.
(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；
(2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由．
【答案】解：（1）全等，理由是：
∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵∠A=∠B=90°，AE=BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）；
（2）是直角三角形，理由是：
如图，
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴∠3=∠4，
∵∠3+∠5=90°，
∴∠4+∠5=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE是直角三角形．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据等角对等边可得DE=CE，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得∠3=∠4，再根据角之间的关系可得∠DEC=90°，再根据直角三角形判定定理即可求出答案.
21．（1）如图1，在为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程.
要证直线垂直平分，只要证点、点O都在的垂直平分线上.只要证 ______=______，______=______
（2）如图（2），在中，，点D、E分别在上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由.
【答案】解：（1）；
（2）如图，直线即为所求：
连接交于点，过点作直线即为边的垂直平分线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴直线为为边的垂直平分线．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）要证直线垂直平分，只要证点、点O都在的垂直平分线上．只要证；
故答案为：.
【分析】（1）利用线段垂直平分线的判定方法分析求解即可；
（2）连接交于点，过点作直线即为边的垂直平分线，先证出，再利用全等三角形的性质及等角对等边的性质和等量代换可得AB=AC，从而可证出直线为为边的垂直平分线．
22．为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台.已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元财买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理河水量如下表所示：
污水处理设备 A型 B型
价格（万元／台） m
月处理污水量（吨／台） 200 180
（1）求的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问每月最多处理污水量的吨数是多少．
【答案】（1）解：由题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
即.
（2）解：型污水处理设备的单价为18万元，型污水处理设备的单价为15万元，设买型污水处理设备台，则B型台，
根据题意得：，
解得，
由于是整数，则有种方案，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
答：每月最多处理污水量的吨数为吨．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）利用“ 用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元财买B型号的污水处理设备的台数相同 ”列出方程求解即可；
（2）设买型污水处理设备台，则B型台，先利用“ 购买污水处理设备的资金不超过165万元 ”求出x的取值范围，再求出所有方案的吨数即可.
（1）解：由题意得：，
解得，
经检验是原方程的解，且符合题意，
即；
（2）解：∵型污水处理设备的单价为18万元，型污水处理设备的单价为15万元，
设买型污水处理设备台，则B型台，
根据题意得：，
解得，
由于是整数，则有种方案，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
答：每月最多处理污水量的吨数为吨．
23．在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【问题呈现】如图1，内部有一点P，连接，求的最小值．
【问题解快】小明是这样做的：他将绕点C顺时针旋转得到，连接，可得为等边三角形，故，由旋转可得，因此．
（1）由_______（数学依据）可知：的最小值与线段的_______的长度相等，此时_______
（2）【类比应用】如图2，在中，为内一点，连接，求的最小值．
（3）【生活实际】如图3，是某新建公园的一块四边形空地，其中，米，米，规划部门计划在等腰区域种植花卉，其中是边上的两个动点，且始终保持．同时为了方便市民观赏与休息，决定在这块空地内部的点P处建造一个凉亭，从P点分别向处修建文化长廊，为节约修建文化长廊的成本，不考虑其他因素，是否存在这样的点P，使得最小，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）两点之间，线段最短；；；
（2）将绕点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵两点之间，线段最短，
∴当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长；
如图所示，过点E作交延长线于G，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为；
（3）如图所示，过点Q分别作的垂线，垂足分别为T，N，连接，则四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴米，
∴是等腰直角三角形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，
在中，由勾股定理得米，
在中，由勾股定理得米，
∴，即点Q为的中点；
∵，
∴，
又∵米，
∴是等边三角形，
∴，
∴米；
如图所示，将绕点Q顺时针旋转得到，连接，
同理可得，的最小值为线段的长，
由旋转的性质可得米，，
∴，
∴米，
∴米，
∴米，
∴米，
∴的最小值为米．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1）将绕点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转的性质可得，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵两点之间，线段最短，
∴当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，
∴此时.
【分析】（1）先利用旋转的性质可得，证出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，再利用线段的和差及等量代换求解，最后利用两点之间线段最短求解即可；
（2）先证出是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，再证出当四点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，最后求解即可；
（3）过点Q分别作的垂线，垂足分别为T，N，连接，先证出，利用全等三角形的性质可得，再利用（2）的证明方法可得的最小值为米．
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