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湖南省邵阳市2026年九年级数学中考第一次模拟试卷
1．下列实数中，最小的数是（　　）
A．0.618 B．0 C． D．-2
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3． 下列判断正确的是（　　）
A．若点关于轴的对称点在第二象限，则
B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长
C．4的平方根是2
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4．2025年4 月 19 日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京开跑.本次比赛全程约21公里，这意味着采用双足步态的人形机器人要完成约 25 万次精密关节运动.将数据“250000”用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销.“最畅销”涉及的统计量是（　　）.
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
7．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原点O为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似，若△OA'B'与△OAB的相似比为2：1.则点A的对应点A'的坐标为（　　）
A．（-2，-1） B．（-4，-2） C．（-1，-2） D．（-2，-4）
8．我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
9．将分式方程去分母后得到的整式方程为（　　）
A．x+1＝2x B．x+2＝1 C．1＝2x D．x＝2（x+1）
10．如图，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B落在AC边上的点E处，若AB=4，BC=5，AC=6，则△CDE的周长为（　　）
A．5 B．6 C．6.5 D．7
11．实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则m+1　 　0.（填“>”“=”或“<”）
12．不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为　 　.
13．如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=54°，则∠BOC=　 　°.

14． 若 是一元二次方程 的一个根，则c的值为　 　.
15．如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适当长为半径画弧.交射线EA于点M.交EF于点N.再分别以点M，N为圆心.大于MN的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G，若∠AEF=80°，则∠EGF的度数为　 　.
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-1的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC=BC，则实数k的值为　 　
17．计算：
18．先化简，再求值：其中
19．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD=∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点B是AD的中点，且BE=3，求⊙O的半径.
20．在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的pH值进行了整理、描述及分析.
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26.
乙基地水体的pH值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21.
【整理数据】
7.00≤x<7.30 7.30≤x<7.60 7.60≤x<7.90 7.90≤x<8.20 8.20≤x≤8.50
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【描述数据】
【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空：b=　 　，c=　 　；
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体pH值的日变化量（pH值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求.
21．请你根据下列素材，完成有关任务.
背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质.
素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍.
请完成下列任务：
⑴任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元
⑵任务二 给出最节省费用的购买方案.
22．数学实践
【问题背景】
中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成65°夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】
用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角
【模型建立】
环节一：数据收集
两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为65°.
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F，AB=CD=1.8m，BE=DF=0.3m，∠AEF=∠CFE=65°，EF=0.6m，求OE的长度.（结果精确到0.1，参考数据：
【模型求解】
【问题总结】
交叉点O距顶端A的长度即OA为 m时，支架与地面形成65°夹角，这样更贴合作物的生长规律.
23．综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究.
特例研究
在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O.
（1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　 　，k的值为　 　；
（2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值；
（3）类比探究
如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上.猜想的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中∠ABC=β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）.
24．已知抛物线过点A（-1，0），B（m，0），与y轴交于点C.点B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D，交BC于点E.
（1）当m=3时，求抛物线的解析式；
（2）如图1，在（1）的条件下，若，求直线AF的解析式；
（3）要使得成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）；
（4）如图2，，当m为何值时，OD的长度等于1
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，，
∴最小的数是．
故答案为：D.
【分析】根据正数大于0，负数小于0解答即可．
2．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故此选项错误；
B.，故此选项错误；
C.，故此选项错误；
D.，故此选项正确；
故选：D．
【分析】本题以整式的运算为背景，考查了合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式以及积的乘方等基本运算规则。解题时需要逐一核对每个选项：合并同类项时系数相加、字母及指数不变；同底数幂相乘应为指数相加而非相乘；完全平方公式展开后包含两项乘积的2倍；积的乘方需将括号内每个因式分别乘方。熟练掌握这些运算法则是正确判断的关键。
3．【答案】A
【知识点】垂线的概念；中心投影；点的坐标与象限的关系；求算术平方根
【解析】【解答】解：A：若点关于轴的对称点在第二象限，则，正确，符合题意；
B：夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由长变短，错误，不符合题意；
C：4的平方根是±2，错误，不符合题意；
D：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据第二象限内点的坐标特征可判断A；根据投影性质可判断B选项；根据平方根定义可判断C，根据垂线可判断D.
4．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 250000 =.
故选：A.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
5．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，
得，结合，
可得该不等式组的解集为，
故该解集在数轴上表示如下：
故答案为：C.
【分析】先求出不等式x-1≥0的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分，然后在数轴上表示即可．
6．【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：“最畅销”涉及的统计量是众数，
故选：D．
【分析】根据众数的定义解答即可．
7．【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵与位似，相似比为，
∴，
∵，位似中心为原点，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据位似比为k的两个图形，则对应点的横、纵坐标同时乘以k或-k解答即可．
8．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为
．
故答案为：C．
【分析】根据主视图是从正面看到的图形解答即可．
9．【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边都乘以得：
故答案为：A .
【分析】给方程两边同时乘以各分母的最简公分母即可化分式方程为整式方程.
10．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可得，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的性质得到，，从而求出CE=2，然后根据解答即可．
11．【答案】<
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：观察数轴，得，且，
∴
即，
故答案为：<．
【分析】根据数轴上点m的位置可得，且，进而得到解答即可．
12．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋子中绿球的个数为6，
球的总数为13，
所以抽到绿球的概率为，
故答案为：．
【分析】根据概率公式解答即可．
13．【答案】117
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵是的内切圆，
∴，，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】根据是的内切圆得出，，再根据三角形的内角和定理解答即可．
14．【答案】3
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=1代入方程得1-4+c=0，解得c=3.
故填 ：3.
【分析】将方程的根代入方程即可得c的值.
15．【答案】40°
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图可得，平分，
∴，
∵，
∴．
故答案为：40°.
【分析】根据作图可得平分，即可得到∠AEG=40°，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可．
16．【答案】-6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：当时，，解得，
∴点B的坐标为，
∵点C坐标为，
∴，
设点A坐标为，
∴
∵，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去）
∴，
∴点A坐标为，
∴，
解得，
故答案为：.
【分析】根据直线的解析式求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据，利用两点间距离公式得到，求出m的值即可得到点A坐标，代入反比例函数解析式求出k的值解答即可．
17．【答案】解：原式=1-3+6+2=1-3+6+2=6.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算零指数幂、乘方和负整数次幂、绝对值，然后加减解答即可.
18．【答案】解：原式
原式=3×1=3.
【知识点】有理数的乘方法则；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先运算括号内的分式加减，再把除法化成乘法，然后分解因式约分化简，最后代入m的值计算即可．
19．【答案】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠A+∠ABC=90°.
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB，
∵∠BCD=∠A，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵点B是AD的中点，
∴BD=AB=2OC.
∵OB=OC，
∴OD=OB+BD=3OC，
∵BE⊥AD，
∴∠DBE=90°，
又∵∠OCD=90°，
∴DE=3BE=9，
在Rt△DBE中，
即⊙O半径为
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理的推论得到，即可得到，根据等边对等角可得，进而推出，证明结论；
（2）根据线段之间的数量关系得到，求出，进而求出的长，再根据勾股定理求出的长解答即可．
20．【答案】（1）由题意得：a=24-4-2-9-2=7，
补全频数分布直方图如下：
（2）7.67；7.79
（3）甲基地水体的pH值更稳定，理由：
因为甲基地水体的pH值的方差比乙基地水体的pH值的方差小，所以甲基地水体的pH值更稳定
（4）甲基地水体的pH值的极差为：8.26-7.27=0.99<1，
乙基地水体的pH值的极差为：8.21-7.11=1.1>1，
所以甲基地的pH值符合要求，乙基地的pH值不符合要求.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（2）甲基地水体的值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多，
则；
乙基地水体的值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81：
则；
故答案为：；；
【分析】（1）先根据乙组数据的个数减去其它组数据求得a的值，补全频数分布直方图即可；
（2）根据中位数、众数的定义解答；
（3）比较两组数据的方差的，解答即可；
（4）计算两组数据值最大值与最小值的差解答即可．
21．【答案】解：⑴设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，
根据题意得：
解得：.
答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元；
⑵设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w元，则购买（60-m）个排球，根据题意得：w=150m+100（60-m）=50m+6000，
∵k=50>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵60-m≤2m，
解得：m≥20，
∴当m=20时，w取得最小值，此时60-m=60-20=40（个）.
答：当购买20个篮球，40个排球时，总费用最低.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个篮球元，每个排球元，根据题意“ 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等 ， 买2个篮球和5个排球共需800元 ”列方程组解答即可；
（2）设购买篮球m个，费用为元，先求出的取值范围，由总费用等于两种球的费用和列函数关系式，然后根据函数的增减性得到最值即可．
22．【答案】【模型建立】根据线段的和差解答即可.解：数学抽象：如图，过作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【问题总结】0.8
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：【问题总结】∵，，
∴.
故答案为：0.8m；
【分析】【模型建立】如图，过作于，根据三线合一可得，然后利用余弦的定义可得答案；
【问题总结】根据线段和差解答即可.
23．【答案】（1）45°；
（2）根据题意得△AEF∽△AOB，
∴△AFB∽△AEO，
（3）的值与α无关，理由如下，如图，
同理可证△AFB∽△AEO，
∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵O是AB的垂直平分线与BD的交点，
∴AO=BO，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
过点O作OG⊥AB于点G，
的值与α无关
（4）同理可证，
∵BE=OE+OB，
即
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）∵正方形，
∴，，
∴旋转角为，，
故答案为：；；
【分析】（1）利用正方形的性质和旋转的性质解答即可；
（2）根据题意可得得，进而可得，，然后得到，进而根据对应边成比例得到，即可得到结论；
（3）同理可得，即可得到，根据菱形的性质，根据垂直平分线求得，再根据余弦的定义解答即可；
（4）同理可得，，然后根据线段的和差解答即可．
24．【答案】（1）解：当m=3时，二次函数的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0），
∴设二次函数的交点式为y=a（x+1）（x-3），
∴-3a=-4，
解得
∴函数的解析式为；
（2）对于二次函数
令x=0，可得y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4），则OC=4，
∵∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵OB=3，OC=4
如图，作∠DCE的角平分线CG交x轴于点G，则∠OCG=∠BCG，AF⊥CG，
设G到BC的距离为d，则d=OG，
∵∠OCG=∠OAD，
∵A（-1，0），则OA=1，
设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），代入
解得
∴直线AF的解析式；
（3）当m=4时，OB=OC=4，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∵∠DCE=∠DEC，
∴∠CDE=90°，则D，O重合，F，B重合，
又∵F是第四象限的点，
∴当∠OCB>45°时，则∠CDF<90°，m>4，
∴要使得∠DCE=∠DEC成立，m的取值范围为m>4
（4）∵OD=OA=1，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠ADO=45°，
∴∠OCB=∠DCE=∠DEC=67.5°，
在Rt△OBC中，∠OBC=22.5°，
如图所示，取H（4，0），
∴OC=OH，
∴△OCH是等腰直角三角形，
∴∠OCH=45°，
∴∠HCB=∠OBC=22.5°，
即
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据解析式求得点C的坐标，进而求出，作的角平分线交轴于点，根据角平分线的性质得到d=OG，利用三角形的面积求得，然后求出∠OAD的正切，从而求得点的坐标，求出一次函数的解析式即可．
（3）先找到临界值，当时，△OBC是等腰直角三角形，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，即当时，解答即可解；
（4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而求出，取即可得到是等腰直角三角形，进而求得，根据线段的和差解答即可．
1 / 1湖南省邵阳市2026年九年级数学中考第一次模拟试卷
1．下列实数中，最小的数是（　　）
A．0.618 B．0 C． D．-2
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，，
∴最小的数是．
故答案为：D.
【分析】根据正数大于0，负数小于0解答即可．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故此选项错误；
B.，故此选项错误；
C.，故此选项错误；
D.，故此选项正确；
故选：D．
【分析】本题以整式的运算为背景，考查了合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式以及积的乘方等基本运算规则。解题时需要逐一核对每个选项：合并同类项时系数相加、字母及指数不变；同底数幂相乘应为指数相加而非相乘；完全平方公式展开后包含两项乘积的2倍；积的乘方需将括号内每个因式分别乘方。熟练掌握这些运算法则是正确判断的关键。
3． 下列判断正确的是（　　）
A．若点关于轴的对称点在第二象限，则
B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长
C．4的平方根是2
D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【答案】A
【知识点】垂线的概念；中心投影；点的坐标与象限的关系；求算术平方根
【解析】【解答】解：A：若点关于轴的对称点在第二象限，则，正确，符合题意；
B：夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由长变短，错误，不符合题意；
C：4的平方根是±2，错误，不符合题意；
D：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据第二象限内点的坐标特征可判断A；根据投影性质可判断B选项；根据平方根定义可判断C，根据垂线可判断D.
4．2025年4 月 19 日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京开跑.本次比赛全程约21公里，这意味着采用双足步态的人形机器人要完成约 25 万次精密关节运动.将数据“250000”用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 250000 =.
故选：A.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，
得，结合，
可得该不等式组的解集为，
故该解集在数轴上表示如下：
故答案为：C.
【分析】先求出不等式x-1≥0的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”得到公共部分，然后在数轴上表示即可．
6．在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销.“最畅销”涉及的统计量是（　　）.
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】D
【知识点】众数
【解析】【解答】解：“最畅销”涉及的统计量是众数，
故选：D．
【分析】根据众数的定义解答即可．
7．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别是O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原点O为位似中心，在第三象限画△OA'B'与△OAB位似，若△OA'B'与△OAB的相似比为2：1.则点A的对应点A'的坐标为（　　）
A．（-2，-1） B．（-4，-2） C．（-1，-2） D．（-2，-4）
【答案】B
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵与位似，相似比为，
∴，
∵，位似中心为原点，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据位似比为k的两个图形，则对应点的横、纵坐标同时乘以k或-k解答即可．
8．我国“深蓝2号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据三视图的概念，可知该正六棱柱的主视图为
．
故答案为：C．
【分析】根据主视图是从正面看到的图形解答即可．
9．将分式方程去分母后得到的整式方程为（　　）
A．x+1＝2x B．x+2＝1 C．1＝2x D．x＝2（x+1）
【答案】A
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：给方程两边都乘以得：
故答案为：A .
【分析】给方程两边同时乘以各分母的最简公分母即可化分式方程为整式方程.
10．如图，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B落在AC边上的点E处，若AB=4，BC=5，AC=6，则△CDE的周长为（　　）
A．5 B．6 C．6.5 D．7
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可得，，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的性质得到，，从而求出CE=2，然后根据解答即可．
11．实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则m+1　 　0.（填“>”“=”或“<”）
【答案】<
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：观察数轴，得，且，
∴
即，
故答案为：<．
【分析】根据数轴上点m的位置可得，且，进而得到解答即可．
12．不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋子中绿球的个数为6，
球的总数为13，
所以抽到绿球的概率为，
故答案为：．
【分析】根据概率公式解答即可．
13．如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=54°，则∠BOC=　 　°.

【答案】117
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵是的内切圆，
∴，，
∵，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】根据是的内切圆得出，，再根据三角形的内角和定理解答即可．
14． 若 是一元二次方程 的一个根，则c的值为　 　.
【答案】3
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将x=1代入方程得1-4+c=0，解得c=3.
故填 ：3.
【分析】将方程的根代入方程即可得c的值.
15．如图，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，连接EF，以点E为圆心，适当长为半径画弧.交射线EA于点M.交EF于点N.再分别以点M，N为圆心.大于MN的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在∠AEF的内部相交于点H，画射线EH交CD于点G，若∠AEF=80°，则∠EGF的度数为　 　.
【答案】40°
【知识点】角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图可得，平分，
∴，
∵，
∴．
故答案为：40°.
【分析】根据作图可得平分，即可得到∠AEG=40°，然后根据两直线平行，内错角相等解答即可．
16．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-1的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为（0，3），连接AC，BC，若AC=BC，则实数k的值为　 　
【答案】-6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：当时，，解得，
∴点B的坐标为，
∵点C坐标为，
∴，
设点A坐标为，
∴
∵，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去）
∴，
∴点A坐标为，
∴，
解得，
故答案为：.
【分析】根据直线的解析式求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据，利用两点间距离公式得到，求出m的值即可得到点A坐标，代入反比例函数解析式求出k的值解答即可．
17．计算：
【答案】解：原式=1-3+6+2=1-3+6+2=6.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先计算零指数幂、乘方和负整数次幂、绝对值，然后加减解答即可.
18．先化简，再求值：其中
【答案】解：原式
原式=3×1=3.
【知识点】有理数的乘方法则；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先运算括号内的分式加减，再把除法化成乘法，然后分解因式约分化简，最后代入m的值计算即可．
19．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD=∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若点B是AD的中点，且BE=3，求⊙O的半径.
【答案】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∴∠A+∠ABC=90°.
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB，
∵∠BCD=∠A，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
即∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵点B是AD的中点，
∴BD=AB=2OC.
∵OB=OC，
∴OD=OB+BD=3OC，
∵BE⊥AD，
∴∠DBE=90°，
又∵∠OCD=90°，
∴DE=3BE=9，
在Rt△DBE中，
即⊙O半径为
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理的推论得到，即可得到，根据等边对等角可得，进而推出，证明结论；
（2）根据线段之间的数量关系得到，求出，进而求出的长，再根据勾股定理求出的长解答即可．
20．在2025年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的pH值进行了检测，并对一天（24小时）内每小时的pH值进行了整理、描述及分析.
【收集数据】
甲基地水体的pH值数据：
7.27，7.28，7.34，7.35，7.36，7.51，7.53，7.67，7.67，7.67，7.67，7.67，7.81，7.81，7.88，7.91，8.01，8.02，8.03，8.07，8.16，8.17，8.23，8.26，8.26.
乙基地水体的pH值数据：
7.11，7.12，7.14，7.25，7.36，7.52，7.63，7.67，7.69，7.75，7.77，7.77，7.81，7.84，7.89，8.01，8.12，8.13，8.14，8.16，8.17，8.18，8.20，8.21.
【整理数据】
7.00≤x<7.30 7.30≤x<7.60 7.60≤x<7.90 7.90≤x<8.20 8.20≤x≤8.50
甲 2 5 7 7 3
乙 4 2 9 a 2
【描述数据】
【分析数据】
平均数 众数 中位数 方差
甲 7.79 b 7.81 0.10
乙 7.78 7.77 c 0.13
根据以上信息解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）填空：b=　 　，c=　 　；
（3）请判断甲、乙哪个基地水体的pH值更稳定，并说明理由；
（4）已知两基地对水体pH值的日变化量（pH值最大值与最小值的差）要求为0.5~1，分别判断并说明该日两基地的pH值是否符合要求.
【答案】（1）由题意得：a=24-4-2-9-2=7，
补全频数分布直方图如下：
（2）7.67；7.79
（3）甲基地水体的pH值更稳定，理由：
因为甲基地水体的pH值的方差比乙基地水体的pH值的方差小，所以甲基地水体的pH值更稳定
（4）甲基地水体的pH值的极差为：8.26-7.27=0.99<1，
乙基地水体的pH值的极差为：8.21-7.11=1.1>1，
所以甲基地的pH值符合要求，乙基地的pH值不符合要求.
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；分析数据的波动程度；众数
【解析】【解答】解：（2）甲基地水体的值数据中，7.67出现了4次，出现次数最多，
则；
乙基地水体的值数据中，由小到大排列中间两个数为7.77和7.81：
则；
故答案为：；；
【分析】（1）先根据乙组数据的个数减去其它组数据求得a的值，补全频数分布直方图即可；
（2）根据中位数、众数的定义解答；
（3）比较两组数据的方差的，解答即可；
（4）计算两组数据值最大值与最小值的差解答即可．
21．请你根据下列素材，完成有关任务.
背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质.
素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等；
素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元；
素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍.
请完成下列任务：
⑴任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元
⑵任务二 给出最节省费用的购买方案.
【答案】解：⑴设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，
根据题意得：
解得：.
答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元；
⑵设购买m个篮球，该校购买篮球和排球共花费w元，则购买（60-m）个排球，根据题意得：w=150m+100（60-m）=50m+6000，
∵k=50>0，
∴w随m的增大而增大，
又∵60-m≤2m，
解得：m≥20，
∴当m=20时，w取得最小值，此时60-m=60-20=40（个）.
答：当购买20个篮球，40个排球时，总费用最低.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每个篮球元，每个排球元，根据题意“ 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等 ， 买2个篮球和5个排球共需800元 ”列方程组解答即可；
（2）设购买篮球m个，费用为元，先求出的取值范围，由总费用等于两种球的费用和列函数关系式，然后根据函数的增减性得到最值即可．
22．数学实践
【问题背景】
中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成65°夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】
用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角
【模型建立】
环节一：数据收集
两根竹竿长度均为1.8米，插入地下的部分为0.3米，竹竿与地面接触点间距为0.6米且与地面所形成的夹角均为65°.
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F，AB=CD=1.8m，BE=DF=0.3m，∠AEF=∠CFE=65°，EF=0.6m，求OE的长度.（结果精确到0.1，参考数据：
【模型求解】
【问题总结】
交叉点O距顶端A的长度即OA为 m时，支架与地面形成65°夹角，这样更贴合作物的生长规律.
【答案】【模型建立】根据线段的和差解答即可.解：数学抽象：如图，过作于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【问题总结】0.8
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：【问题总结】∵，，
∴.
故答案为：0.8m；
【分析】【模型建立】如图，过作于，根据三线合一可得，然后利用余弦的定义可得答案；
【问题总结】根据线段和差解答即可.
23．综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究.
特例研究
在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O.
（1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　 　，k的值为　 　；
（2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值；
（3）类比探究
如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上.猜想的值是否与α有关，并说明理由；
（4）若（3）中∠ABC=β，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）.
【答案】（1）45°；
（2）根据题意得△AEF∽△AOB，
∴△AFB∽△AEO，
（3）的值与α无关，理由如下，如图，
同理可证△AFB∽△AEO，
∵菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵O是AB的垂直平分线与BD的交点，
∴AO=BO，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
过点O作OG⊥AB于点G，
的值与α无关
（4）同理可证，
∵BE=OE+OB，
即
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）∵正方形，
∴，，
∴旋转角为，，
故答案为：；；
【分析】（1）利用正方形的性质和旋转的性质解答即可；
（2）根据题意可得得，进而可得，，然后得到，进而根据对应边成比例得到，即可得到结论；
（3）同理可得，即可得到，根据菱形的性质，根据垂直平分线求得，再根据余弦的定义解答即可；
（4）同理可得，，然后根据线段的和差解答即可．
24．已知抛物线过点A（-1，0），B（m，0），与y轴交于点C.点B是x轴正半轴上的动点，点F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D，交BC于点E.
（1）当m=3时，求抛物线的解析式；
（2）如图1，在（1）的条件下，若，求直线AF的解析式；
（3）要使得成立，请探索m的取值范围（直接写出结果）；
（4）如图2，，当m为何值时，OD的长度等于1
【答案】（1）解：当m=3时，二次函数的图象与x轴交于A（-1，0），B（3，0），
∴设二次函数的交点式为y=a（x+1）（x-3），
∴-3a=-4，
解得
∴函数的解析式为；
（2）对于二次函数
令x=0，可得y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4），则OC=4，
∵∠CDE=∠CED，
∴CD=CE，
∵OB=3，OC=4
如图，作∠DCE的角平分线CG交x轴于点G，则∠OCG=∠BCG，AF⊥CG，
设G到BC的距离为d，则d=OG，
∵∠OCG=∠OAD，
∵A（-1，0），则OA=1，
设直线AF的解析式为y=kx+b（k≠0），代入
解得
∴直线AF的解析式；
（3）当m=4时，OB=OC=4，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∵∠DCE=∠DEC，
∴∠CDE=90°，则D，O重合，F，B重合，
又∵F是第四象限的点，
∴当∠OCB>45°时，则∠CDF<90°，m>4，
∴要使得∠DCE=∠DEC成立，m的取值范围为m>4
（4）∵OD=OA=1，
∴△OAD是等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠ADO=45°，
∴∠OCB=∠DCE=∠DEC=67.5°，
在Rt△OBC中，∠OBC=22.5°，
如图所示，取H（4，0），
∴OC=OH，
∴△OCH是等腰直角三角形，
∴∠OCH=45°，
∴∠HCB=∠OBC=22.5°，
即
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）根据解析式求得点C的坐标，进而求出，作的角平分线交轴于点，根据角平分线的性质得到d=OG，利用三角形的面积求得，然后求出∠OAD的正切，从而求得点的坐标，求出一次函数的解析式即可．
（3）先找到临界值，当时，△OBC是等腰直角三角形，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，即当时，解答即可解；
（4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而求出，取即可得到是等腰直角三角形，进而求得，根据线段的和差解答即可．
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