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广东深圳市高级中学2025-2026学年下学期3月学情自测九年级数学
1．2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：不能计算，故A选项不正确；
，故B选项正确；
，故C选项不正确；
，故D选项不正确，
故答案为：B．
【分析】根据同类项定义及合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
3．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴（米），
故选：A．
【分析】根据余弦定义即可求出答案.
4．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
5．如图，在正方形网格中，以格点为圆心画圆，使该圆经过格点，，并在圆弧上取点，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接、，
，，
由网格可知，
，
故选：B．
【分析】连接并延长，交于点，连接、，则，，由网格可知，根据等腰直角三角形性质可得，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出答案.
6．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；平行线的应用-求角度；平行公理；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据物理学原理得互相平行，即可得和等于，进一步得等于，再根据平行得和等于，根据等于即可得，进一步得等于与的和，计算即可得的度数是.
7．“五一”旅游黄金周期间，几名同学包租一辆面包车前往某景区游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费．设参加游玩的同学为人，则可得方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设参加游玩的同学为人，则原来的几名同学每人分担的车费为：元，出发时每名同学分担的车费为：元，
根据题意得：．
故答案为：D．
【分析】设参加游玩的同学为人，根据每个同学比原来少分担3元车费即可得到．
8．如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形沿折叠，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质，结合正方形的性质得相等，平行，即可证明和相似，根据相似性质得，即可得，代入计算即可得答案.
9． 已知x=2是关于x的方程5x-m=8的解，则m的值是　 　.
【答案】2
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程可得：
5×2-m=8，解得：m=2
故答案为：2
【分析】将x=2代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案.
10． 周末，小亮打算在“甘坑古镇”、“大芬油画村”、“龙城公园”、“鹤湖新居”、“园山风景区”这五个景点中随机选择一个去游玩，恰好选中“龙城公园”的概率是　 　.
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】简单随机事件的概率直接利用概率公式计算即可.
11．如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图，
∵正比例函数与反比例函数相交于点和点，
∴，
∵的横坐标为1，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴点关于原点对称，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正比例函数与反比例函数相交于点和点得，再根据的横坐标为1，得，即可得，进一步得，根据图像得正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，即可得即可.
12．赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物．如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径，拱高，则拱桥的半径为　 　m．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设所在圆的圆心为O，半径为，如图，
由已知得，．在中，由勾股定理得
，即，
解得，
∴拱桥的半径为．
故答案为：
【分析】设弧所在圆的圆心为，连接，，圆的半径为，由垂径定理得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．如图，正方形中，，点为中点，点在延长线上，且，连接并延长，交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形中，，点为中点，
∴，，
作于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形性质得等于，点为中点，即可得相等，等于，相等，等于，等于，作垂直于点，即可得平行，平行，进一步证明
相似，即可得相等，即可得，根据证明
相似，即可得相等，代入数据得，根据勾股定理得即可得答案.
14．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法约分化为最简，再把a的值代入计算解题．
16．第四届全民阅读大会于2025年4月23日在山西太原开幕．大会的主题是“培育读书风尚建设文化强国”．某校借此机会举办了主题为“书香校园重读经典”的演讲比赛，满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及以上为合格，达到9分及以上为优秀．从九年级一班和九年级二班各随机抽取10名同学的成绩，并进行整理．
数据整理：小晋将随机抽取的两个班级的成绩整理成如下统计图：
数据分析：小晋对两个班级的成绩进行了如下分析：
班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 合格率 优秀率
九年级一班 7 6
九年级二班 7.3 8
根据上述信息回答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）在所抽取同学的成绩中，每班成绩前的同学可以得到“阅读小能手”的称号．被抽到的小张同学的成绩是7分，他没有得到“阅读小能手”的称号．请你判断小张是哪个班级的同学，并说明理由．
（3）请你结合表格中的信息，对两个班级的成绩进行评价．（写出两条即可）
【答案】（1）8；6；
（2）解：小张是九年级二班的同学，理由如下：九年级一班成绩的中位数是分，九年级二班成绩的中位数是分，小张的成绩是分
∵，且小张同学没有得到“阅读小能手”称号，
∴小张是力年级二班的同学.
（3）解：根据题意得：①九年级一班成绩的优秀率为，高于九年级二班成绩的优秀率，所以从优秀率角度看，九年级一班的成绩比九年级二班的成绩好.
②九年级一班成绩的合格率为，高于九年级二班成绩的合格率，所以从合格率角度看，九年级一班的成绩比九年级二班的成绩好.
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：根据条形统计图可得，九年级一班得分中分的最多，则，
九年级二班得分分别为：则中位数为，
.
故答案为：8；6；.
【分析】（1）根据条形统计图，结合众数， 中位数的定义可得九年级二班成绩众数为6， 九年级一班 中位数为8， 九年级二班合格率为.
（2）根据九年级一班成绩的中位数是分，九年级二班成绩的中位数是分，小张的成绩是分两个班的中位数，根据，即可得小张同学没有得到“阅读小能手”称号.
（3） 请你结合表格中的信息，对两个班级的成绩进行评价 即可.
（1）解：根据条形统计图可得，九年级一班得分中分的最多，则，
九年级二班得分分别为：则中位数为，
；
（2）解：小张是九年级二班的同学，理由如下：
九年级一班成绩的中位数是分，九年级二班成绩的中位数是分，小张的成绩是分
∵，且小张同学没有得到“阅读小能手”称号，
∴小张是力年级二班的同学；
（3）解：答案不唯一，例如：
①九年级一班成绩的优秀率为，高于九年级二班成绩的优秀率，所以从优秀率角度看，九年级一班的成绩比九年级二班的成绩好；
②九年级一班成绩的合格率为，高于九年级二班成绩的合格率，所以从合格率角度看，九年级一班的成绩比九年级二班的成绩好；
③九年级二班成绩的平均数为7.3分，高于九年级一班成绩的平均数7分，所以从平均数角度看，九年级二班的成绩比九年级一班的成绩好；
④九年级二班成绩的中位数为8分，高于九年级一班成绩的中位数6分，所以从中位数角度看，九年级二班的成绩比九年级一班的成绩好；
⑤九年级二班成绩的众数为8分，高于九年级一班成绩的众数6分，所以从众数角度看，九年级二班的成绩比九年级一班的成绩好；等等．
17．在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如下表所示：
品名 百香果 金桔
成本/箱 30元 40元
（1）求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？
（2）深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）．张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大．
【答案】（1）解：设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，
根据题意，得
解这个方程组，得，
答：每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元．
（2）解：每箱百香果的利润为：（元），
每箱金桔的利润为：（元），
设张先生将箱金桔和（400－m）箱百香果进行搭配销售，获利为元，
则，
，
随的增大而增大．
又，当时，最大，
此时百香果的箱数为：（箱）．
答：张先生将100箱百香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
（2）求出每箱百香果，金桔的利润，设张先生将箱金桔和（400－m）箱百香果进行搭配销售，获利为元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，
根据题意，得
解这个方程组，得，
答：每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元．
（2）解：每箱百香果的利润为：（元），
每箱金桔的利润为：（元），
设张先生将箱金桔和（400－m）箱百香果进行搭配销售，获利为元，
则，
，
随的增大而增大．
又，当时，最大，
此时百香果的箱数为：（箱）．
答：张先生将100箱百香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大．
18．如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接．
（1）证明：四边形为菱形；
（2）与相交于点，若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，
，
，
点为中点，
，
在和中，
，
，
，
点为中点，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
在中，，点为中点，
，
平行四边形是菱形.
（2）解：如图，
连接交于点，
由（1）可知：四边形是菱形，
，
，
，
点为中点，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
点为中点，为的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
设，
，解得：，
．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行，得相等，根据点为中点，得相等，进一步即可证明和全等，根据全等性质，结合点为中点，得相等，根据平行可判定四边形是平行四边形，再根据直角三角形性质得相等，即可判断
平行四边形是菱形.
（2）连接交于点H，根据菱形性质得垂直，相等，等于，相等，相等，等于，进而得等于，等于，根据勾股定理得等于，进一步得等于，再证明是的中位线得等于，根据平行可证明和相似，即可得相等，等于，设，列方程解出即可得出的长．
（1）证明：，
，
点为中点，
，
在和中，
，
，
，
点为中点，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
在中，，点为中点，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，如图所示：
由（1）可知：四边形是菱形，
，
，
，
点为中点，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
点为中点，为的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
设，
，
解得：，
．
19．太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为．
（1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是______；
（2）如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径为1.5米，凹面深度为0.25米，求抛物线的表达式______；
（3）如图4，在（2）的条件下，为平行于轴的入射光线，为反射光线，为切点，为焦点，当时，求点的横坐标；
（4）如图5，在（1）的条件下，点是焦点，表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当为时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）
（3）解：如图，过点作轴交于点，
根据题意可得点为焦点，坐标为，
轴，轴，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
当点在轴右边时，设，
把代入，
可得，
解得（负值舍去），
当点在轴左边时，点的横坐标为，即，
综上，点的横坐标为或；
（4）解：，
为等腰直角三角形，
设，
，
，
把代入抛物线表达式为，
解得（负值舍去），
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）解：，
所以焦点的坐标是，
故答案为：；
（2）
解：∵为1.5，
∴，
∵为0.25米，
∴，
设抛物线的表达式的表达式为，
把代入可得，
解得，
所以抛物线的表达式的表达式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）由图可得，设抛物线的表达式的表达式为，再根据待定系数法将点A坐标点代入表达式即可求出答案.
（3）过点作轴交于点，根据题意可得点为焦点，坐标为，根据直线平行性质可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，设，则，分情况讨论：当点在轴右边时，设，将点N坐标代入抛物线表达式即可求出答案；当点在轴左边时，点的横坐标为，即，即可求出答案.
（4）根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，设，则，即，再将点B坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
（1）解：，
所以焦点的坐标是，
故答案为：；
（2）解：∵为1.5，
∴，
∵为0.25米，
∴，
设抛物线的表达式的表达式为，
把代入可得，
解得，
所以抛物线的表达式的表达式为，
故答案为：；
（3）解：如图，过点作轴交于点，
根据题意可得点为焦点，坐标为，
轴，轴，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
当点在轴右边时，设，
把代入，
可得，
解得（负值舍去），
当点在轴左边时，点的横坐标为，即，
综上，点的横坐标为或；
（4）解：，
为等腰直角三角形，
设，
，
，
把代入抛物线表达式为，
解得（负值舍去），
．
20．【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴．
（1）【概念理解】下列图形一定是对称四边形的是　 　；（填序号）
（2）如图1，在平面直角坐标系中，若点，，，组成的四边形为对称四边形，则满足点的个数为　 　；
（3）【性质探究】如图2，对称四边形关于直线对称，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，求对称四边形的面积．
（4）【拓展应用】如图3，在菱形中，，点为对角线上一点，沿边折叠得到，延长交射线于，则当，，，组成的四边形为对称四边形时，求的值．（作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可）
【答案】（1）①③④
（2）3
（3）解：如图2，
∵对称四边形关于直线对称，点和点为对应点，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴对称四边形的面积．
（4）解：（Ⅰ）如图，
当点与点重合时，根据题意得：
垂直平分线段，
∴．
∴四边形为筝形，是对称四边形．
∵，，
∴为等边三角形．
根据图形折叠的性质可知，
∴．
∴．
（Ⅱ）如图，
当点在的延长线上时，根据题意得：
，，
∴为等边三角形．
∴ ．
根据图形折叠的性质可得：，
∴．
∴．
∴．
∴四边形为筝形，是对称四边形．
根据题意可知．
∴．
∵，，
∴为等边三角形．
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（Ⅲ）如图，
当时，根据图形折叠的性质可知：
，，，．
∵，
∴．
∴，．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中
，，，
∴
∴
∴四边形为等腰梯形，是对称四边形．
在中，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
（Ⅳ）如图，
当时，根据题意得：
，，
∴．
∴．
∴．
∴．
根据图形折叠的性质可知，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中
，，，
∴．
∴．
∴四边形为等腰梯形，是对称四边形．
在中，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
综上所述，或或或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①矩形的一条对称轴为一条边的垂直平分线，所以矩形一定是对称四边形.
②平行四边形（非矩形、菱形和正方形）没有对称轴，所以平行四边形不一定是对称四边形.
③等腰梯形的对称轴为底的垂直平分线，所以等腰梯形一定是对称四边形.
④筝形的对称轴为直线，所以筝形一定是对称四边形．
故答案为：①③④
（2）如图，
根据题意可知：四边形不可能为菱形和正方形，
∴当四边形分别为矩形、等腰梯形和筝形时，四边形是对称四边形，
∴点在图中的位置如图所示，共有个．
故答案为：.
【分析】（1）根据对称四边形的定义，分别对①②③④逐个判断即可得答案.
（2）根据题意可知：四边形不可能为菱形和正方形，即可得当四边形分别为矩形、等腰梯形和筝形时，四边形是对称四边即可得答案.
（3）对称四边形关于直线对称，点和点为对应点，即可得垂直，相等，进一步根据已知可证明相似，根据相似性质得到相等，根据勾股定理得，进而可求得对称四边形的面积．
（4）当点与点重合时，根据题意得垂直平分线段，相等，进一步判断为等边三角形，再根据折叠的性质可知相等，即可得，即可得，同理得当点在的延长线上时，，当时，，当时，，综合即可得答案.
（1）①矩形的一条对称轴为一条边的垂直平分线，所以矩形一定是对称四边形；②平行四边形（非矩形、菱形和正方形）没有对称轴，所以平行四边形不一定是对称四边形；③等腰梯形的对称轴为底的垂直平分线，所以等腰梯形一定是对称四边形；④筝形的对称轴为直线，所以筝形一定是对称四边形．
故答案为：①③④
（2）根据题意可知，四边形不可能为菱形和正方形，所以当四边形分别为矩形、等腰梯形和筝形时，四边形是对称四边形，所以，点在图中的位置如图所示，共有个．
故答案为：
（3）∵对称四边形关于直线对称，点和点为对应点，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴对称四边形的面积．
（4）（Ⅰ）如图所示，当点与点重合时．
根据题意可知垂直平分线段，
∴．
∴四边形为筝形，是对称四边形．
∵，，
∴为等边三角形．
根据图形折叠的性质可知，
∴．
∴．
（Ⅱ）如图所示，当点在的延长线上时．
根据题意可知，，，
∴为等边三角形．
∴ ．
根据图形折叠的性质可得，
∴．
∴．
∴．
∴四边形为筝形，是对称四边形．
根据题意可知．
∴．
∵，，
∴为等边三角形．
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（Ⅲ）如图所示，当时．
根据图形折叠的性质可知，，，．
∵，
∴．
∴，．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中
，，，
∴
∴
∴四边形为等腰梯形，是对称四边形．
在中，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
（Ⅳ）如图所示，当时．
根据题意可知，．
∴．
∴．
∴．
∴．
根据图形折叠的性质可知，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中
，，，
∴．
∴．
∴四边形为等腰梯形，是对称四边形．
在中，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
综上所述，或或或．
1 / 1广东深圳市高级中学2025-2026学年下学期3月学情自测九年级数学
1．2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则的长是（　　）
A． B． C． D．
4．是一款先进的人工智能助手，可提供高效、精准的信息检索和智能对话服务．其活跃用户数在上线21天后达到了万．将万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形网格中，以格点为圆心画圆，使该圆经过格点，，并在圆弧上取点，连接，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．“五一”旅游黄金周期间，几名同学包租一辆面包车前往某景区游玩，面包车的租价为180元，出发时，又增加了2名学生，结果每个同学比原来少分担3元车费．设参加游玩的同学为人，则可得方程（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9． 已知x=2是关于x的方程5x-m=8的解，则m的值是　 　.
10． 周末，小亮打算在“甘坑古镇”、“大芬油画村”、“龙城公园”、“鹤湖新居”、“园山风景区”这五个景点中随机选择一个去游玩，恰好选中“龙城公园”的概率是　 　.
11．如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数与反比例函数相交于点和点．若的横坐标为1，则的坐标为　 　．
12．赵州桥始建于隋朝，由匠师李春设计建造，屹立千年而不倒，是我国著名的历史文物．如图为某圆弧型石拱桥的侧面图，桥的跨径，拱高，则拱桥的半径为　 　m．
13．如图，正方形中，，点为中点，点在延长线上，且，连接并延长，交于点，则　 　．
14．计算：．
15．先化简，再求值：，其中．
16．第四届全民阅读大会于2025年4月23日在山西太原开幕．大会的主题是“培育读书风尚建设文化强国”．某校借此机会举办了主题为“书香校园重读经典”的演讲比赛，满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及以上为合格，达到9分及以上为优秀．从九年级一班和九年级二班各随机抽取10名同学的成绩，并进行整理．
数据整理：小晋将随机抽取的两个班级的成绩整理成如下统计图：
数据分析：小晋对两个班级的成绩进行了如下分析：
班级 平均数/分 中位数/分 众数/分 合格率 优秀率
九年级一班 7 6
九年级二班 7.3 8
根据上述信息回答下列问题：
（1）填空： ， ， ．
（2）在所抽取同学的成绩中，每班成绩前的同学可以得到“阅读小能手”的称号．被抽到的小张同学的成绩是7分，他没有得到“阅读小能手”的称号．请你判断小张是哪个班级的同学，并说明理由．
（3）请你结合表格中的信息，对两个班级的成绩进行评价．（写出两条即可）
17．在国家的“惠农政策”支持下，越来越多的农户将自己的农副产品销往全国各地．河源市农户张先生将种植的百香果和金桔以箱为单位售卖．已知2箱百香果和3箱金桔的价格为245元，1箱百香果和4箱金桔的价格为260元，百香果和金桔的成本价如下表所示：
品名 百香果 金桔
成本/箱 30元 40元
（1）求每箱百香果和每箱金桔的售价分别是多少元？
（2）深圳某公司决定向农户张先生采购400箱水果（对水果种类没有特别要求）．张先生目前仅有金桔和百香果各库存300箱，在只能整箱销售的情况下，张先生该如何搭配销售，在满足公司要求的情况下，获利最大．
18．如图，在中，，为中点，为中点，过点作交延长线于点，连接．
（1）证明：四边形为菱形；
（2）与相交于点，若，，求的长．
19．太阳灶是利用凹面镜会聚光的性质把太阳能收集起来，用于做饭、烧水的一种器具．目前应用最广泛的聚光式太阳造是利用镜面反射汇聚阳光，如图1，这种太阳灶的镜面设计，可以看成是抛物线绕其对称轴旋转一周所得的旋转抛物面，其原理是，如图2，若有一束平行光沿对称轴方向射向这个抛物面，则反射光线都会集中反射到一特殊点（即抛物线的焦点）的位置，于是形成聚光，达到加热的目的．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为．
（1）已知在平面直角坐标系中，某款太阳灶抛物线的表达式为，则焦点的坐标是______；
（2）如图3，用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，若太阳灶采光面的直径为1.5米，凹面深度为0.25米，求抛物线的表达式______；
（3）如图4，在（2）的条件下，为平行于轴的入射光线，为反射光线，为切点，为焦点，当时，求点的横坐标；
（4）如图5，在（1）的条件下，点是焦点，表示太阳灶边缘（最远程）反射光同对称轴的夹角，当为时，求点的坐标．
20．【定义】如果一个凸四边形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，则称该四边形为对称四边形，称该直线为对称轴．
（1）【概念理解】下列图形一定是对称四边形的是　 　；（填序号）
（2）如图1，在平面直角坐标系中，若点，，，组成的四边形为对称四边形，则满足点的个数为　 　；
（3）【性质探究】如图2，对称四边形关于直线对称，对角线，相交于点，过点作于点，交于点，若，求对称四边形的面积．
（4）【拓展应用】如图3，在菱形中，，点为对角线上一点，沿边折叠得到，延长交射线于，则当，，，组成的四边形为对称四边形时，求的值．（作答要求：画出所有满足条件的情况示意图，并写出相应的答案即可）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：不能计算，故A选项不正确；
，故B选项正确；
，故C选项不正确；
，故D选项不正确，
故答案为：B．
【分析】根据同类项定义及合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴（米），
故选：A．
【分析】根据余弦定义即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如下图所示，连接并延长，交于点，连接、，
，，
由网格可知，
，
故选：B．
【分析】连接并延长，交于点，连接、，则，，由网格可知，根据等腰直角三角形性质可得，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；平行线的应用-求角度；平行公理；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，
由题意可知：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据物理学原理得互相平行，即可得和等于，进一步得等于，再根据平行得和等于，根据等于即可得，进一步得等于与的和，计算即可得的度数是.
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设参加游玩的同学为人，则原来的几名同学每人分担的车费为：元，出发时每名同学分担的车费为：元，
根据题意得：．
故答案为：D．
【分析】设参加游玩的同学为人，根据每个同学比原来少分担3元车费即可得到．
8．【答案】D
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形沿折叠，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】根据折叠的性质，结合正方形的性质得相等，平行，即可证明和相似，根据相似性质得，即可得，代入计算即可得答案.
9．【答案】2
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将x=2代入方程可得：
5×2-m=8，解得：m=2
故答案为：2
【分析】将x=2代入方程可得关于m的一次方程，解方程即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】简单随机事件的概率直接利用概率公式计算即可.
11．【答案】
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：如图，
∵正比例函数与反比例函数相交于点和点，
∴，
∵的横坐标为1，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
∴，
∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴点关于原点对称，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正比例函数与反比例函数相交于点和点得，再根据的横坐标为1，得，即可得，进一步得，根据图像得正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，即可得即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：设所在圆的圆心为O，半径为，如图，
由已知得，．在中，由勾股定理得
，即，
解得，
∴拱桥的半径为．
故答案为：
【分析】设弧所在圆的圆心为，连接，，圆的半径为，由垂径定理得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；正方形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形中，，点为中点，
∴，，
作于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据正方形性质得等于，点为中点，即可得相等，等于，相等，等于，等于，作垂直于点，即可得平行，平行，进一步证明
相似，即可得相等，即可得，根据证明
相似，即可得相等，代入数据得，根据勾股定理得即可得答案.
14．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法约分化为最简，再把a的值代入计算解题．
16．【答案】（1）8；6；
（2）解：小张是九年级二班的同学，理由如下：九年级一班成绩的中位数是分，九年级二班成绩的中位数是分，小张的成绩是分
∵，且小张同学没有得到“阅读小能手”称号，
∴小张是力年级二班的同学.
（3）解：根据题意得：①九年级一班成绩的优秀率为，高于九年级二班成绩的优秀率，所以从优秀率角度看，九年级一班的成绩比九年级二班的成绩好.
②九年级一班成绩的合格率为，高于九年级二班成绩的合格率，所以从合格率角度看，九年级一班的成绩比九年级二班的成绩好.
【知识点】频数（率）分布直方图；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：根据条形统计图可得，九年级一班得分中分的最多，则，
九年级二班得分分别为：则中位数为，
.
故答案为：8；6；.
【分析】（1）根据条形统计图，结合众数， 中位数的定义可得九年级二班成绩众数为6， 九年级一班 中位数为8， 九年级二班合格率为.
（2）根据九年级一班成绩的中位数是分，九年级二班成绩的中位数是分，小张的成绩是分两个班的中位数，根据，即可得小张同学没有得到“阅读小能手”称号.
（3） 请你结合表格中的信息，对两个班级的成绩进行评价 即可.
（1）解：根据条形统计图可得，九年级一班得分中分的最多，则，
九年级二班得分分别为：则中位数为，
；
（2）解：小张是九年级二班的同学，理由如下：
九年级一班成绩的中位数是分，九年级二班成绩的中位数是分，小张的成绩是分
∵，且小张同学没有得到“阅读小能手”称号，
∴小张是力年级二班的同学；
（3）解：答案不唯一，例如：
①九年级一班成绩的优秀率为，高于九年级二班成绩的优秀率，所以从优秀率角度看，九年级一班的成绩比九年级二班的成绩好；
②九年级一班成绩的合格率为，高于九年级二班成绩的合格率，所以从合格率角度看，九年级一班的成绩比九年级二班的成绩好；
③九年级二班成绩的平均数为7.3分，高于九年级一班成绩的平均数7分，所以从平均数角度看，九年级二班的成绩比九年级一班的成绩好；
④九年级二班成绩的中位数为8分，高于九年级一班成绩的中位数6分，所以从中位数角度看，九年级二班的成绩比九年级一班的成绩好；
⑤九年级二班成绩的众数为8分，高于九年级一班成绩的众数6分，所以从众数角度看，九年级二班的成绩比九年级一班的成绩好；等等．
17．【答案】（1）解：设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，
根据题意，得
解这个方程组，得，
答：每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元．
（2）解：每箱百香果的利润为：（元），
每箱金桔的利润为：（元），
设张先生将箱金桔和（400－m）箱百香果进行搭配销售，获利为元，
则，
，
随的增大而增大．
又，当时，最大，
此时百香果的箱数为：（箱）．
答：张先生将100箱百香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
（2）求出每箱百香果，金桔的利润，设张先生将箱金桔和（400－m）箱百香果进行搭配销售，获利为元，根据题意建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设每箱百香果的售价为元，每箱金桔的售价为元，
根据题意，得
解这个方程组，得，
答：每箱百香果和每箱金桔的售价分别为40元，55元．
（2）解：每箱百香果的利润为：（元），
每箱金桔的利润为：（元），
设张先生将箱金桔和（400－m）箱百香果进行搭配销售，获利为元，
则，
，
随的增大而增大．
又，当时，最大，
此时百香果的箱数为：（箱）．
答：张先生将100箱百香果和300箱金桔进行搭配销售时，获利最大．
18．【答案】（1）证明：如图，
，
，
点为中点，
，
在和中，
，
，
，
点为中点，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
在中，，点为中点，
，
平行四边形是菱形.
（2）解：如图，
连接交于点，
由（1）可知：四边形是菱形，
，
，
，
点为中点，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
点为中点，为的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
设，
，解得：，
．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据平行，得相等，根据点为中点，得相等，进一步即可证明和全等，根据全等性质，结合点为中点，得相等，根据平行可判定四边形是平行四边形，再根据直角三角形性质得相等，即可判断
平行四边形是菱形.
（2）连接交于点H，根据菱形性质得垂直，相等，等于，相等，相等，等于，进而得等于，等于，根据勾股定理得等于，进一步得等于，再证明是的中位线得等于，根据平行可证明和相似，即可得相等，等于，设，列方程解出即可得出的长．
（1）证明：，
，
点为中点，
，
在和中，
，
，
，
点为中点，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
在中，，点为中点，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：连接交于点，如图所示：
由（1）可知：四边形是菱形，
，
，
，
点为中点，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
点为中点，为的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
，
设，
，
解得：，
．
19．【答案】（1）
（2）
（3）解：如图，过点作轴交于点，
根据题意可得点为焦点，坐标为，
轴，轴，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
当点在轴右边时，设，
把代入，
可得，
解得（负值舍去），
当点在轴左边时，点的横坐标为，即，
综上，点的横坐标为或；
（4）解：，
为等腰直角三角形，
设，
，
，
把代入抛物线表达式为，
解得（负值舍去），
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行线的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）解：，
所以焦点的坐标是，
故答案为：；
（2）
解：∵为1.5，
∴，
∵为0.25米，
∴，
设抛物线的表达式的表达式为，
把代入可得，
解得，
所以抛物线的表达式的表达式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）由图可得，设抛物线的表达式的表达式为，再根据待定系数法将点A坐标点代入表达式即可求出答案.
（3）过点作轴交于点，根据题意可得点为焦点，坐标为，根据直线平行性质可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，设，则，分情况讨论：当点在轴右边时，设，将点N坐标代入抛物线表达式即可求出答案；当点在轴左边时，点的横坐标为，即，即可求出答案.
（4）根据等腰直角三角形判定定理可得为等腰直角三角形，设，则，即，再将点B坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
（1）解：，
所以焦点的坐标是，
故答案为：；
（2）解：∵为1.5，
∴，
∵为0.25米，
∴，
设抛物线的表达式的表达式为，
把代入可得，
解得，
所以抛物线的表达式的表达式为，
故答案为：；
（3）解：如图，过点作轴交于点，
根据题意可得点为焦点，坐标为，
轴，轴，
，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
，
当点在轴右边时，设，
把代入，
可得，
解得（负值舍去），
当点在轴左边时，点的横坐标为，即，
综上，点的横坐标为或；
（4）解：，
为等腰直角三角形，
设，
，
，
把代入抛物线表达式为，
解得（负值舍去），
．
20．【答案】（1）①③④
（2）3
（3）解：如图2，
∵对称四边形关于直线对称，点和点为对应点，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴对称四边形的面积．
（4）解：（Ⅰ）如图，
当点与点重合时，根据题意得：
垂直平分线段，
∴．
∴四边形为筝形，是对称四边形．
∵，，
∴为等边三角形．
根据图形折叠的性质可知，
∴．
∴．
（Ⅱ）如图，
当点在的延长线上时，根据题意得：
，，
∴为等边三角形．
∴ ．
根据图形折叠的性质可得：，
∴．
∴．
∴．
∴四边形为筝形，是对称四边形．
根据题意可知．
∴．
∵，，
∴为等边三角形．
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（Ⅲ）如图，
当时，根据图形折叠的性质可知：
，，，．
∵，
∴．
∴，．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中
，，，
∴
∴
∴四边形为等腰梯形，是对称四边形．
在中，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
（Ⅳ）如图，
当时，根据题意得：
，，
∴．
∴．
∴．
∴．
根据图形折叠的性质可知，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中
，，，
∴．
∴．
∴四边形为等腰梯形，是对称四边形．
在中，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
综上所述，或或或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①矩形的一条对称轴为一条边的垂直平分线，所以矩形一定是对称四边形.
②平行四边形（非矩形、菱形和正方形）没有对称轴，所以平行四边形不一定是对称四边形.
③等腰梯形的对称轴为底的垂直平分线，所以等腰梯形一定是对称四边形.
④筝形的对称轴为直线，所以筝形一定是对称四边形．
故答案为：①③④
（2）如图，
根据题意可知：四边形不可能为菱形和正方形，
∴当四边形分别为矩形、等腰梯形和筝形时，四边形是对称四边形，
∴点在图中的位置如图所示，共有个．
故答案为：.
【分析】（1）根据对称四边形的定义，分别对①②③④逐个判断即可得答案.
（2）根据题意可知：四边形不可能为菱形和正方形，即可得当四边形分别为矩形、等腰梯形和筝形时，四边形是对称四边即可得答案.
（3）对称四边形关于直线对称，点和点为对应点，即可得垂直，相等，进一步根据已知可证明相似，根据相似性质得到相等，根据勾股定理得，进而可求得对称四边形的面积．
（4）当点与点重合时，根据题意得垂直平分线段，相等，进一步判断为等边三角形，再根据折叠的性质可知相等，即可得，即可得，同理得当点在的延长线上时，，当时，，当时，，综合即可得答案.
（1）①矩形的一条对称轴为一条边的垂直平分线，所以矩形一定是对称四边形；②平行四边形（非矩形、菱形和正方形）没有对称轴，所以平行四边形不一定是对称四边形；③等腰梯形的对称轴为底的垂直平分线，所以等腰梯形一定是对称四边形；④筝形的对称轴为直线，所以筝形一定是对称四边形．
故答案为：①③④
（2）根据题意可知，四边形不可能为菱形和正方形，所以当四边形分别为矩形、等腰梯形和筝形时，四边形是对称四边形，所以，点在图中的位置如图所示，共有个．
故答案为：
（3）∵对称四边形关于直线对称，点和点为对应点，
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴对称四边形的面积．
（4）（Ⅰ）如图所示，当点与点重合时．
根据题意可知垂直平分线段，
∴．
∴四边形为筝形，是对称四边形．
∵，，
∴为等边三角形．
根据图形折叠的性质可知，
∴．
∴．
（Ⅱ）如图所示，当点在的延长线上时．
根据题意可知，，，
∴为等边三角形．
∴ ．
根据图形折叠的性质可得，
∴．
∴．
∴．
∴四边形为筝形，是对称四边形．
根据题意可知．
∴．
∵，，
∴为等边三角形．
∴．
又∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
（Ⅲ）如图所示，当时．
根据图形折叠的性质可知，，，．
∵，
∴．
∴，．
∴，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中
，，，
∴
∴
∴四边形为等腰梯形，是对称四边形．
在中，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
（Ⅳ）如图所示，当时．
根据题意可知，．
∴．
∴．
∴．
∴．
根据图形折叠的性质可知，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中
，，，
∴．
∴．
∴四边形为等腰梯形，是对称四边形．
在中，，
∴．
∴，．
∵，
∴．
∴．
综上所述，或或或．
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