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广西壮族自治区柳州市柳东新区启智中学等校2025-2026学年九年级下学期数学学业水平阶段质量检测（3月）
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是．
故答案为：C.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相番薯解答即可.
2．电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.57109 B．1.571010 C．1.571011 D．0.1571011
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】
根据科学记数法，将一个大于10数据表示成为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
3．将两本相同的课本按如图进行叠放，得到一个几何体，则它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 主视图是：
故答案为：A．
【分析】
根据三视图得到：主视图是从正面看得到的图形，观察立体图形从正面看，看到的图形是由两个一样的长方形上下叠放组成的长方形，由此可解答.
4．如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其数学道理是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．平行于同一条直线的两条直线平行
【答案】A
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：观察图形： 拉一条直的参照线
所以原理是：两点确定一条直线．
故答案为：A
【分析】
根据建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其数学道理是两点确定一条直线，解答即可．
5．已知，则在平面直角坐标系中，所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，，即点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴点所在的象限是第二象限；
故答案为：B．
【分析】
根据平面坐标系内各象限点的坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，再由a，b的符号可得点所在的象限，解答即可．
6．下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不能合并，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，对选项逐个判断即可．
7．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即建筑物的高是．
故选：B．
【分析】根据直线平行判定定理可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
8．已知反比例函数，则下列描述不正确的是（　　）
A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数解析式为，，
∴图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，故A正确，D错误；
在中，当时，，故图象必经过点，故B正确；
∵，
∴且，
∴图象不可能与坐标轴相交，故C正确；
故答案为：D．
【分析】
根据反比例函数中可得图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，可判断A、D；求出时的函数值，可判断B；根据反比例函数图象不过原点可判断C，逐一判断即可解答．
9．若方程的两个根是和，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵和是方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入计算即可.
10．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设人数为人，货物总价为钱，
由题意得：．
故答案为：B．
【分析】
设人数为人，货物总价为钱 ，根据“人出七，盈二”列方程得；根据“人出六，不足三”列方程得，由此即可解答．
11．就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过作交的延长线于，连接，过作交的延长线于，连接，
，
，
四边形、、是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
（），
，，
，
四边形是平行四边形，
，
同理可证：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：D．
【分析】过作交的延长线于，连接，过作交的延长线于，连接，根据正方形性质可得，，，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得（），则，，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，同理可证：四边形是平行四边形，则，再根据三角形面积之间的关系即可求出答案.
12．数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为400m的跑道的消息，鼓励同学们试着给要建的跑道画一个示意图．要求跑道的两端是半圆形，中间是直线跑道，且跑道中间矩形面积最大．下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形直线跑道，矩形面积为，由题意得：
∵，
∴当时，y最大，即直线跑道长应为，
半圆形的直径为
所以应设计矩形的长为，宽约为时，矩形面积最大．
故选：B．
【分析】设矩形直线跑道，矩形面积为，根据题意建立函数式，结合二次函数性质即可求出答案.
13．使分式 有意义的 的取值范围是　 　.
【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0，解得：x≠2.
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式的分母不能为0，列出不等式，求解即可。
14．把多项式分解因式的结果是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
根据因式分解的方法：该多项式符合平方差公式，用公式分解即可解答．
15．如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，、交于点，
在扇形中，，点为的三等分点，
，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
故答案为：．
【分析】
根据点为的三等分点得，，根据得，根据直角三角形的性质得到=1，根据勾股定理得=，在中，利用的正切计算得=，再由割补法表示出，再利用扇形和三角形的面积公式计算即可解答．
16．如图，在菱形ABCD中，连接BD，点E在AB上，连接CE交BD于点F，作FG⊥BC于点G，∠BEC＝3∠BCE，BF＝DF，若FG＝，则AB的长为　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接AC交BD于M，如图所示：
设BF＝5a，则DF＝11a，
∴BD＝16a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ACB＝∠ACD，AB＝BC，AB∥CD，BM＝DM＝BD＝8a，
∴FM＝BM﹣BF＝3a，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ECD，
∵∠BEC＝3∠BCE，
∴∠ECD＝3∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴CF平分∠ACB，
∵FG⊥BC，FM⊥AC，
∴FG＝FM＝，
∴3a＝，
∴a＝，
∴BF＝，BM＝2，
在Rt△FMC和Rt△FGC中，，
∴Rt△FMC≌Rt△FGC（HL），
∴CG＝CM，
在Rt△BFG中，BG＝＝1，
设CG＝CM＝x，则BC＝x+1，
在Rt△BMC中，由勾股定理得：22+x2＝（x+1）2，
解得：x＝，
∴AB＝BC＝．
【分析】
连接AC交BD于M，设BF＝5a，表示出DF，BD，根据菱形的性质得到 AC⊥BD，∠ACB＝∠ACD，AB＝BC，AB∥CD，BM＝DM＝BD＝8a， 再表示出FM，由平行线的性质得到 ∠BEC＝∠ECD， 根据∠BEC＝3∠BCE推导出得到CF平分∠ACB，根据角平分线的性质得到 FG＝FM＝， 即可求得 a＝， 再根据勾股定理求出BF＝，BM＝2，再利用HL证明Rt△FMC≌Rt△FGC根据全等三角形的性质得到CG＝CM，再利用勾股定理求出BG=1，设CG＝CM＝x，表示出BC＝x+1，再利用勾股定理建立方程求出 x＝， 即可得到 AB＝BC＝，由此即可解答.
17．（1）计算：
（2）解分式方程：
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
【知识点】负整数指数幂；解分式方程；化简含绝对值有理数；有理数乘法与乘方的互化；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算乘方、再计算算术平方根、再算绝对值|-2|=2、算负整数指数幂，最后进行加减运算，解答即可．
（2）根据解分式方程的步骤：先将分式方程变形，去公分母化为整式方程，解整式方程后进行检验，解答即可．
18．如图，已知矩形，
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的平分线，交边于点．
②过作，垂足为；
（2）求证：四边形是正方形．
【答案】（1）解：如图，即为所作：
（2）证明：∵平分，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
【知识点】矩形的性质；矩形的判定；正方形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图：以A为圆心一定长度为半径画弧，再以交点为圆心一定长度为半径画弧交于一点再连接交点和A点交BC于点E；根据作垂线的方法：以E为圆心一定长度为半径画弧， 再以交点为圆心一定长度为半径画弧交于一点，连接点E和交点，作图即可解答；
（2）根据角平分线的定义得到，根据矩形的性质得到，，根据平行线的性质得到，再由等角对等边得到，再根据有三个角是直角的四边形是矩形得到四边形是矩形， 再根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形是正方形 ，解答即可．
（1）解：如图，即为所作：
（2）证明：∵平分，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
19．某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图：
已知组的具体体重为（单位：）：，，，，，，，
组别 体重（） 频数（人）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ，所抽取学生体重的中位数是 ；
（2）所抽取学生平均体重为，小敏的体重是，小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由．
（3）学校决定选出优秀运动达人带动同学们参加体育运动，若从3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）6；56
（2）解：不正确．
因为小敏的体重是高于中位数，
所以小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平，
故小敏的推测不正确；
（3）解：将个男生分别用、、表示，个女生用表示，
画树状图如下：
由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中抽到名男生和名女生的结果数有种，
抽到名男生和名女生的概率是．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数
【解析】【解析】
解：（1）调查的总人数为（人）
∴，
一共调查了人，
中位数是第人的体重，
又组人，组人，组人，
中位数在组，
组的具体体重为（单位：）：，，，，，，，，
中位数为；
故答案为：，；
【分析】
（1）根据总人数=组的人数对应的百分数，的值=总人数-其余各组人数，根据中位数的定义25个人为单数，将数据从小到大排列后取最中间的一个数，求解即可；
（2）根据中位数为56， 小敏的体重 在所抽取的学生中处于中上游水平，判断即可解答；
（3）先画出树状图得到 一共有种等可能性的结果数 ， 抽到名男生和名女生的结果数有种，根据概率公式求解即可解答．
（1）解：调查的总人数为（人）
∴，
一共调查了人，
中位数是第人的体重，
又组人，组人，组人，
中位数在组，
组的具体体重为（单位：）：，，，，，，，，
中位数为；
故答案为：，；
（2）解：不正确．
因为小敏的体重是高于中位数，
所以小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平，
故小敏的推测不正确；
（3）解：将个男生分别用、、表示，个女生用表示，
画树状图如下：
由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中抽到名男生和名女生的结果数有种，
抽到名男生和名女生的概率是．
20．如图，已知是的直径，是的弦，，连接交于点E，连接，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，所对的弧是同弧，
．
是 的直径，
，
，
，
即，
是 的切线；
（2）解：在中，，
，，
，
作，
，
，
，
，
，
∴，
，
，，
.
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，，则，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据圆周角定理的推论可得，再根据角之间的关系可得，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得BE，作，根据直线平行判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：，
，
，
，
，
，所对的弧是同弧，
．
是 的直径，
，
，
，
即，
是 的切线；
（2）解：在中，，
，，
，
作，
，
，
，
，
，
∴，
，
，，
.
21．波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，，，，求连杆的最小值．（结果精确到）
（参考数据：）
【答案】解：如图，
连接交于点，过点作于点，过点作于点．
由题意可知四边形和四边形是矩形．
∴
由轴对称的性质可得
∵
∴
∴
∵
∴，
在中，，
∴
在中，，
∴
∴
∴
解得
∴
当点运动到点处时，即三点共线时，取得最小值，即
答：连杆的最小值是．
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用；正切的概念
【解析】【分析】连接交于点，过点作于点，过点作于点．根据矩形的性质得到，根据轴对称的性质得到，从而计算，HG=1，再计算角度，，根据正切的三角函数得到CG=EG，在中，解直角三角形得到AH，MN，再建立方程求得，，再根据点的位置固定不变，可得的值最小为线段的长度，解答即可．
22．项目式学习
项目主题：无人机喷洒农药研究．
项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性．
驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济．
建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为．
（1）试确定点A所在抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度．
（3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长．
【答案】解：（1），点与点到点的距离相等，
，
点的坐标为．
，
点的坐标为．
设点所在抛物线的函数表达式为，
将点代入得．
解得．
点所在抛物线的函数表达式为．
（2）以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，
喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变．
，由题可知点和点关于轴对称，
可以设点的坐标为．
将点代入，
得．
点的坐标为．
此时无人机摄像头距离地面的高度为．
．
答∶ 无人机应该下降的高度为．
（3）
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】
解：（3） ∵，点坐标为，
∴点坐标为 ．
∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同，
设所在抛物线表达式为
∵无人机高度为，
∵抛物线是从点（相对高度），
∴代入到中，得
．
解得， ．
，
关于y轴对称，
，
长
故答案为：
【分析】
（1）根据题意得到，再分别写出点的坐标为，点的坐标为，设点所在抛物线的函数表达式为，根据待定系数法将将点代入函数解析式求得，写出函数解析式解答即可.
（2）根据坐标系的特点得出喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变，由EF的长度设点的坐标为．代入（1）中的函数解析式得到点的坐标为，从而求得此时无人机摄像头距离地面的高度为，解答即可．
（3）根据已知条件表示出点坐标为 ，再根据题意设所在抛物线表达式为 由无人机高度为 可将 代入函数解析式中解方程得到x的值，然后表示出P的坐标，再由P，Q对称得到PQ的长度，解答即可．
23．综合与探究
问题情境：
如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决：
（3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积．
【答案】解：四边形是正方形，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
．
由旋转的性质，得，，，
，
，
，
由折叠的性质，知，
在中，，
，即；
解：或，
理由如下：
如下图所示，
，
，
在中，，
根据旋转的性质可得：，
则，
，，
，．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据矩形的四个角都是直角可得，根据折叠的性质可证，，从而可证四边形是正方形；
根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得：，根据平行线的判断方法得出，进而得，根据旋转的性质可得，，从而可证，根据相似三角形的性质可得；
利用勾股定理可得，根据旋转的性质可得：，从而可求，，，根据三角形的面积公式求解即可．
1 / 1广西壮族自治区柳州市柳东新区启智中学等校2025-2026学年九年级下学期数学学业水平阶段质量检测（3月）
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．电影《哪吒之魔童闹海》自上映以来，好评如潮，截至2025年4月22日，总票房已超157亿元，再次刷新中国电影票房纪录．将数据157亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.57109 B．1.571010 C．1.571011 D．0.1571011
3．将两本相同的课本按如图进行叠放，得到一个几何体，则它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其数学道理是（　　）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．平行于同一条直线的两条直线平行
5．已知，则在平面直角坐标系中，所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（　　）
A． B． C． D．
8．已知反比例函数，则下列描述不正确的是（　　）
A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小
9．若方程的两个根是和，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．2
10．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
11．就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
12．数学活动课上，老师向同学们讲学校正在规划筹建周长为400m的跑道的消息，鼓励同学们试着给要建的跑道画一个示意图．要求跑道的两端是半圆形，中间是直线跑道，且跑道中间矩形面积最大．下面是四位同学给出的示意图，你认为正确的是（　　）
A． B．
C． D．
13．使分式 有意义的 的取值范围是　 　.
14．把多项式分解因式的结果是　 　．
15．如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为　 　．
16．如图，在菱形ABCD中，连接BD，点E在AB上，连接CE交BD于点F，作FG⊥BC于点G，∠BEC＝3∠BCE，BF＝DF，若FG＝，则AB的长为　 　．
17．（1）计算：
（2）解分式方程：
18．如图，已知矩形，
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作的平分线，交边于点．
②过作，垂足为；
（2）求证：四边形是正方形．
19．某校为了了解九年级学生的身体健康情况，从九年级随机抽取了若干名学生，测量他们的体重（均取整数，单位：kg），并将他们的体重进行整理，绘制了如下统计表与统计图：
已知组的具体体重为（单位：）：，，，，，，，
组别 体重（） 频数（人）
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ，所抽取学生体重的中位数是 ；
（2）所抽取学生平均体重为，小敏的体重是，小敏推测自己的体重在所抽取的学生中处于中下游水平，请问小敏的推测正确吗？请简单说明理由．
（3）学校决定选出优秀运动达人带动同学们参加体育运动，若从3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
20．如图，已知是的直径，是的弦，，连接交于点E，连接，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求．
21．波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，，，，求连杆的最小值．（结果精确到）
（参考数据：）
22．项目式学习
项目主题：无人机喷洒农药研究．
项目背景：无人机喷洒农药高效、便捷，同时可以避免作业人员直接与农药接触，有利于增强喷药作业的安全性．
驱动问题：如何使无人机喷洒农药更高效、经济．
建立模型：如图1是无人机的示意图，其中点为无人机的摄像头，是喷药口，，在同一条水平直线上，．如图2，以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系．喷药口点和点到点的距离相等，每个喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面都是形状相同的抛物线，抛物线与轴的交点为．
（1）试确定点A所在抛物线的函数表达式．
问题解决：
（2）启动无人机后，无人机摄像头距地面的初始高度为，为了精准喷药，需要调整无人机的高度到图3位置，使相邻田地之间的田埂（宽度为的区域，且，田埂高度忽略不计）恰好不被喷洒农药，求无人机应该下降的高度．
（3）如图4，在直线上再增加2个喷药口和，在左侧，在右侧，且，当无人机上升到距地面的高度为时，直接写出此时喷洒农药覆盖区域宽度的长．
23．综合与探究
问题情境：
如图1，四边形是矩形，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，连接．
猜想证明：
（1）判断四边形的形状，并说明理由．
深入探究：
（2）创新小组在解决了上述问题后，继续将矩形沿所在直线折叠，使点，分别落在，边上的点，处，交于点，展开铺平．将绕点逆时针方向旋转，得到，点，的对应点分别为，，如图，连接，．试探究线段，之间的数量关系，并说明理由．问题解决：
（3）在的条件下，若，，在旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是．
故答案为：C.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相番薯解答即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】
根据科学记数法，将一个大于10数据表示成为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答.
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 主视图是：
故答案为：A．
【分析】
根据三视图得到：主视图是从正面看得到的图形，观察立体图形从正面看，看到的图形是由两个一样的长方形上下叠放组成的长方形，由此可解答.
4．【答案】A
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：观察图形： 拉一条直的参照线
所以原理是：两点确定一条直线．
故答案为：A
【分析】
根据建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其数学道理是两点确定一条直线，解答即可．
5．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，，即点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∴点所在的象限是第二象限；
故答案为：B．
【分析】
根据平面坐标系内各象限点的坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，再由a，b的符号可得点所在的象限，解答即可．
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不能合并，计算错误，不符合题意；
B、，计算错误，不符合题意；
C、，计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，对选项逐个判断即可．
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
即建筑物的高是．
故选：B．
【分析】根据直线平行判定定理可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数解析式为，，
∴图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，故A正确，D错误；
在中，当时，，故图象必经过点，故B正确；
∵，
∴且，
∴图象不可能与坐标轴相交，故C正确；
故答案为：D．
【分析】
根据反比例函数中可得图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，可判断A、D；求出时的函数值，可判断B；根据反比例函数图象不过原点可判断C，逐一判断即可解答．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵和是方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再将其代入计算即可.
10．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设人数为人，货物总价为钱，
由题意得：．
故答案为：B．
【分析】
设人数为人，货物总价为钱 ，根据“人出七，盈二”列方程得；根据“人出六，不足三”列方程得，由此即可解答．
11．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过作交的延长线于，连接，过作交的延长线于，连接，
，
，
四边形、、是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
（），
，，
，
四边形是平行四边形，
，
同理可证：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：D．
【分析】过作交的延长线于，连接，过作交的延长线于，连接，根据正方形性质可得，，，，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得（），则，，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，同理可证：四边形是平行四边形，则，再根据三角形面积之间的关系即可求出答案.
12．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形直线跑道，矩形面积为，由题意得：
∵，
∴当时，y最大，即直线跑道长应为，
半圆形的直径为
所以应设计矩形的长为，宽约为时，矩形面积最大．
故选：B．
【分析】设矩形直线跑道，矩形面积为，根据题意建立函数式，结合二次函数性质即可求出答案.
13．【答案】x≠2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得：x﹣2≠0，解得：x≠2.
故答案为：x≠2.
【分析】根据分式的分母不能为0，列出不等式，求解即可。
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】
根据因式分解的方法：该多项式符合平方差公式，用公式分解即可解答．
15．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；扇形面积的计算；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，、交于点，
在扇形中，，点为的三等分点，
，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
故答案为：．
【分析】
根据点为的三等分点得，，根据得，根据直角三角形的性质得到=1，根据勾股定理得=，在中，利用的正切计算得=，再由割补法表示出，再利用扇形和三角形的面积公式计算即可解答．
16．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接AC交BD于M，如图所示：
设BF＝5a，则DF＝11a，
∴BD＝16a，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ACB＝∠ACD，AB＝BC，AB∥CD，BM＝DM＝BD＝8a，
∴FM＝BM﹣BF＝3a，
∵AB∥CD，
∴∠BEC＝∠ECD，
∵∠BEC＝3∠BCE，
∴∠ECD＝3∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴CF平分∠ACB，
∵FG⊥BC，FM⊥AC，
∴FG＝FM＝，
∴3a＝，
∴a＝，
∴BF＝，BM＝2，
在Rt△FMC和Rt△FGC中，，
∴Rt△FMC≌Rt△FGC（HL），
∴CG＝CM，
在Rt△BFG中，BG＝＝1，
设CG＝CM＝x，则BC＝x+1，
在Rt△BMC中，由勾股定理得：22+x2＝（x+1）2，
解得：x＝，
∴AB＝BC＝．
【分析】
连接AC交BD于M，设BF＝5a，表示出DF，BD，根据菱形的性质得到 AC⊥BD，∠ACB＝∠ACD，AB＝BC，AB∥CD，BM＝DM＝BD＝8a， 再表示出FM，由平行线的性质得到 ∠BEC＝∠ECD， 根据∠BEC＝3∠BCE推导出得到CF平分∠ACB，根据角平分线的性质得到 FG＝FM＝， 即可求得 a＝， 再根据勾股定理求出BF＝，BM＝2，再利用HL证明Rt△FMC≌Rt△FGC根据全等三角形的性质得到CG＝CM，再利用勾股定理求出BG=1，设CG＝CM＝x，表示出BC＝x+1，再利用勾股定理建立方程求出 x＝， 即可得到 AB＝BC＝，由此即可解答.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
【知识点】负整数指数幂；解分式方程；化简含绝对值有理数；有理数乘法与乘方的互化；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先计算乘方、再计算算术平方根、再算绝对值|-2|=2、算负整数指数幂，最后进行加减运算，解答即可．
（2）根据解分式方程的步骤：先将分式方程变形，去公分母化为整式方程，解整式方程后进行检验，解答即可．
18．【答案】（1）解：如图，即为所作：
（2）证明：∵平分，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
【知识点】矩形的性质；矩形的判定；正方形的判定；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作图：以A为圆心一定长度为半径画弧，再以交点为圆心一定长度为半径画弧交于一点再连接交点和A点交BC于点E；根据作垂线的方法：以E为圆心一定长度为半径画弧， 再以交点为圆心一定长度为半径画弧交于一点，连接点E和交点，作图即可解答；
（2）根据角平分线的定义得到，根据矩形的性质得到，，根据平行线的性质得到，再由等角对等边得到，再根据有三个角是直角的四边形是矩形得到四边形是矩形， 再根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形是正方形 ，解答即可．
（1）解：如图，即为所作：
（2）证明：∵平分，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
19．【答案】（1）6；56
（2）解：不正确．
因为小敏的体重是高于中位数，
所以小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平，
故小敏的推测不正确；
（3）解：将个男生分别用、、表示，个女生用表示，
画树状图如下：
由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中抽到名男生和名女生的结果数有种，
抽到名男生和名女生的概率是．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数
【解析】【解析】
解：（1）调查的总人数为（人）
∴，
一共调查了人，
中位数是第人的体重，
又组人，组人，组人，
中位数在组，
组的具体体重为（单位：）：，，，，，，，，
中位数为；
故答案为：，；
【分析】
（1）根据总人数=组的人数对应的百分数，的值=总人数-其余各组人数，根据中位数的定义25个人为单数，将数据从小到大排列后取最中间的一个数，求解即可；
（2）根据中位数为56， 小敏的体重 在所抽取的学生中处于中上游水平，判断即可解答；
（3）先画出树状图得到 一共有种等可能性的结果数 ， 抽到名男生和名女生的结果数有种，根据概率公式求解即可解答．
（1）解：调查的总人数为（人）
∴，
一共调查了人，
中位数是第人的体重，
又组人，组人，组人，
中位数在组，
组的具体体重为（单位：）：，，，，，，，，
中位数为；
故答案为：，；
（2）解：不正确．
因为小敏的体重是高于中位数，
所以小敏的体重在所抽取的学生中处于中上游水平，
故小敏的推测不正确；
（3）解：将个男生分别用、、表示，个女生用表示，
画树状图如下：
由树状图可知一共有种等可能性的结果数，其中抽到名男生和名女生的结果数有种，
抽到名男生和名女生的概率是．
20．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，所对的弧是同弧，
．
是 的直径，
，
，
，
即，
是 的切线；
（2）解：在中，，
，，
，
作，
，
，
，
，
，
∴，
，
，，
.
【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，，则，根据同弧所对的圆周角相等可得，根据圆周角定理的推论可得，再根据角之间的关系可得，即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得BE，作，根据直线平行判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：，
，
，
，
，
，所对的弧是同弧，
．
是 的直径，
，
，
，
即，
是 的切线；
（2）解：在中，，
，，
，
作，
，
，
，
，
，
∴，
，
，，
.
21．【答案】解：如图，
连接交于点，过点作于点，过点作于点．
由题意可知四边形和四边形是矩形．
∴
由轴对称的性质可得
∵
∴
∴
∵
∴，
在中，，
∴
在中，，
∴
∴
∴
解得
∴
当点运动到点处时，即三点共线时，取得最小值，即
答：连杆的最小值是．
【知识点】两点之间线段最短；矩形的性质；轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用；正切的概念
【解析】【分析】连接交于点，过点作于点，过点作于点．根据矩形的性质得到，根据轴对称的性质得到，从而计算，HG=1，再计算角度，，根据正切的三角函数得到CG=EG，在中，解直角三角形得到AH，MN，再建立方程求得，，再根据点的位置固定不变，可得的值最小为线段的长度，解答即可．
22．【答案】解：（1），点与点到点的距离相等，
，
点的坐标为．
，
点的坐标为．
设点所在抛物线的函数表达式为，
将点代入得．
解得．
点所在抛物线的函数表达式为．
（2）以无人机摄像头所在位置为坐标原点，竖直方向为轴，水平方向为轴，建立平面直角坐标系，
喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变．
，由题可知点和点关于轴对称，
可以设点的坐标为．
将点代入，
得．
点的坐标为．
此时无人机摄像头距离地面的高度为．
．
答∶ 无人机应该下降的高度为．
（3）
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；关于坐标轴对称的点的坐标特征；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】
解：（3） ∵，点坐标为，
∴点坐标为 ．
∵所在抛物线形状与所在抛物线相同，二次项系数相同，
设所在抛物线表达式为
∵无人机高度为，
∵抛物线是从点（相对高度），
∴代入到中，得
．
解得， ．
，
关于y轴对称，
，
长
故答案为：
【分析】
（1）根据题意得到，再分别写出点的坐标为，点的坐标为，设点所在抛物线的函数表达式为，根据待定系数法将将点代入函数解析式求得，写出函数解析式解答即可.
（2）根据坐标系的特点得出喷药口喷出的药水在竖直方向的最大横截面的抛物线的函数表达式始终不变，由EF的长度设点的坐标为．代入（1）中的函数解析式得到点的坐标为，从而求得此时无人机摄像头距离地面的高度为，解答即可．
（3）根据已知条件表示出点坐标为 ，再根据题意设所在抛物线表达式为 由无人机高度为 可将 代入函数解析式中解方程得到x的值，然后表示出P的坐标，再由P，Q对称得到PQ的长度，解答即可．
23．【答案】解：四边形是正方形，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，，
四边形是矩形，
四边形是正方形；
，
理由如下：
四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
．
由旋转的性质，得，，，
，
，
，
由折叠的性质，知，
在中，，
，即；
解：或，
理由如下：
如下图所示，
，
，
在中，，
根据旋转的性质可得：，
则，
，，
，．
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】根据矩形的四个角都是直角可得，根据折叠的性质可证，，从而可证四边形是正方形；
根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可得：，根据平行线的判断方法得出，进而得，根据旋转的性质可得，，从而可证，根据相似三角形的性质可得；
利用勾股定理可得，根据旋转的性质可得：，从而可求，，，根据三角形的面积公式求解即可．
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