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浙江宁波市慈溪市实验中学2025-2026学年九年级第二学期第一次模拟考数学试题
1．下列四个数中，最小的是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴最小的是，
故选：C．
【分析】本题以有理数的大小比较为背景，考查了正数、零、负数之间的大小关系以及绝对值的化简与负数比较的法则。解题时需先化简选项中的绝对值，将各数统一为具体数值，再依据“正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小”这一规则逐项比较，最终找出其中最小的数。掌握负数比较的特殊方法是解答本题的关键。
2．人眼可见的蓝光波长约为．用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】，
故选C．
【分析】把一个绝对值较小的数字常用科学记数法表示成的形式，其中取这个数字左边第一个非0数字前面0的个数．
3．如图中的几何体是由6个大小相同的小正方体组成的，该几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可得该几何体的俯视图为．
故选：A
【分析】本题以由小正方体组成的立体图形为背景，考查了三视图中的俯视图概念及空间想象能力。俯视图是指从几何体的正上方垂直向下观察所得到的平面图形，画图时要注意各列小正方体的前后位置关系以及每一列的最高层数（通常用方格或正方形表示，有立方体的位置画一个正方形，并可根据需要标注层数或仅以形状表示）。解题的关键是分清行与列，从上面观察时，能看到的是每个位置最上方的小正方体底面，因此遮挡关系按“从上往下”处理。根据图中6个小正方体的摆放位置，正确识别从上方看到的形状即可选出正确答案。
4．每年的月日是全国爱眼日．为了解某初中学校名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（　　）
A．抽取八年级名女生进行调查
B．按学籍号随机抽取名学生进行调查
C．抽取九年级名男生进行调查
D．按学籍号随机抽取名学生进行调查
【答案】B
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：A中，抽取八年级名女生进行调查不具有代表性，不符合题意．
B中，按学籍号随机抽取名学生进行调查是随机抽样，符合题意；
C中，抽取九年级名男生进行调查不具有代表性，不符合题意．
D中，按学籍号随机抽取名学生进行调查，样本容量太小，不符合题意；
故选：B．
【分析】
为了获取能够客观反映问题的结果，通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本，这种抽样的方法叫做随机抽样．样本的选取应具有随机性、代表性、容量应足够大．
5．某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（　　）
A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4
【答案】D
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：由图可得：样本中这一分数段的频数为，
故样本中这一分数段的频率是．
故选：D
【分析】本题以频数分布直方图为背景，考查了频率的计算方法。频率是指某一组数据的频数与样本容量的比值，公式为频率 = 频数 ÷ 样本容量。解题的关键是先根据直方图读出各分数段的频数（注意纵轴表示人数），用样本总量50减去其他各段的频数之和，得到70.5～80.5这一段的频数为20；再代入公式计算出频率为20 ÷ 50 = 0.4。注意频率通常用小数或百分数表示，结果不带单位，且所有组的频率之和等于1。
6．如图，一束光线从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知，延长交于点，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
故答案为：D．
【分析】根据对顶角相等，角的和差关系计算的度数，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”即可求解．
7．已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴该反比例函数的图象在第二，四象限，在这两个象限内，随的增大而增大，
又 ∵，
，
故选：D．
【分析】本题以反比例函数为背景，考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及函数值的大小比较。解题的关键是依据比例系数k=-5<0判断出函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大。由< 0可知点A、B在第二象限，且，根据增减性得0 <；由> 0可知点C在第四象限，此时 < 0。综合可得，即。注意反比例函数的增减性要分象限讨论，不能跨象限直接比较。
8．七巧板源于我国宋代，是广受欢迎的智力游戏．如图，用两副七巧板拼出一幅“勾股图”．若一副七巧板的面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∴，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：C．
【分析】结合图形得，，从而求出，进而利用三角形面积公式即可求解.
9．数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（　　）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴x的取值范围是，
由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
∴，
由图可知，当时的函数图象位于x轴的下方，
∴当时，，
又∵当时，，
∴，
故选：D．
【分析】根据函数图象的图象可知x不能取到-m，判断m的取值范围，再利用时的函数图象位于第四象限判断n的正负解答即可．
10．如图，是正方形的对角线，E为边上的动点（不与端点重合），点F在的延长线上，且，过点F作于点G，连结，．则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点G作于，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，是定值，故A符合题意；
，不是定值，故B不符合题意；
，不是定值，故C不符合题意；
，不是定值，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质可得，，，结合得，根据等腰三角形的判定可设，，则利用勾股定理求出的值，然后根据等腰三角形”三线合一“性质得，根据直角三角形斜边上的中线性质得的值，于是求出的值，最后逐项代入进行分析即可求解.
11．分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】利用平方差公式分解因式解答．
12．若 ，则 =　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】根据题意可得：原式= +1= .
【分析】根据比例的性质，两边都+1得到分式的值.
13．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是　 　．
【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：和是以点为位似中心的位似图形，
，，
，，
，
，
与的面积比是．
故答案为：．
【分析】本题以位似图形为背景，考查了位似变换的性质以及相似三角形的面积比与相似比的关系。解题的关键是明确位似图形一定相似，且对应点连线交于位似中心，对应边互相平行。由OA：OD=1：3可得位似比为1：3，因此，相似比为1：3。根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得面积比为(1：3)2 = 1：9。注意位似比即为相似比，面积比是相似比的平方，且结果应写成最简整数比形式。
14．如图，的切线与直径的延长线交于点，点为切点，连接．若，则的度数为　 　°．
【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案：35．
【分析】连接OP，根据切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，然后根据直角三角形两锐角互余可求出，再根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”即可求解．
15．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是　 　．
【答案】9
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设、是方程的两根，
解得，，
∵原方程是“邻根方程”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为9．
故答案为：9．
【分析】本题以新定义“邻根方程”为背景，考查了一元二次方程根的判别式、求根公式以及二次函数最值的求法。解题的关键是紧扣“邻根方程”中两根之差为1的定义，利用求根公式表示出两根并作差，从而推导出a与b之间的等量关系，最后将该关系代入目标代数式，利用配方法即可求出t的最大值。
16．如图，点E在菱形的边上，将沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴如图，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，
，
则垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】本题以菱形中的折叠问题为背景，综合考查了菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数以及垂直平分线的性质。解题的关键是通过折叠和菱形性质得到 AB = AF，从而B = AFB，结合 ADBC 及折叠得D = AFE，推出多个角相等。作辅助线 EG BC 并构造 CG = GH，利用垂直平分线得 CE = HE，再证，得到比例关系。由 cos B = 得 cosECH =，在 Rt△ECG 中设 CG = a，则 CE = 5a，CH = 2a，代入相似比例求出 EF =a，最后得到。注意辅助线的构造以及对多个角度相等关系的推导是突破难点。
17．按要求解答
（1）计算∶
（2）先化简，再求值，其中，．
【答案】（1）解：
（2）解：
，
当，时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题包含两个小题，分别考查了实数的混合运算和整式的化简求值。
（1）涉及乘方、立方根、算术平方根以及有理数的四则运算。解题的关键是注意运算顺序：先算乘方、立方根和算术平方根，再算乘法，最后算加减。易错点在于-1^2表示1的平方的相反数，结果为-1； = -8；= -3；。依次计算后合并即可得结果-3。
（2）考查整式的混合运算及代入求值。先利用平方差公式(x+2y)(x-2y)=x2-4y2，完全平方公式(x+4y)2=x2+8xy+16y2，合并同类项后再除以4y，化简得-2x-5y。最后将x=5，y=2代入求值得-20。注意去括号时符号的变化以及除法运算中各项分别除以4y。
（1）解：
．
（2）解：
，
当，时，原式．
18．为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
【答案】（1），随机
（2）解：画出树状图如图：
由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种，
∴．
恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种，
∴，是随机事件；
故答案为：，随机；
【分析】
（1）直接利用概率公式，求解即可；
（2）画出树状图，再利用概率公式求解即可．
（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种，
∴，是随机事件；
故答案为：，随机；
（2）画出树状图如图：
由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种，
∴．
19．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，点E，F分别为，的中点，连接，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵分别是的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题以平行四边形及其对角线中点为背景，考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形斜边中线定理的综合运用。
（1）利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点条件推出OE＝OF，从而依据对角线互相平分证得四边形BFDE为平行四边形；
（2）先由已知边长关系求出BO的长，再在Rt△ABD中运用勾股定理求得斜边AO，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE的长度。灵活运用这些基本定理是解题的关键。
（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵分别是的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴．
20．在直角坐标系中，设函数与函数（，，是常数，）的图象交于点，．
（1）求函数，的表达式．
（2）当时，比较与的大小．（直接写出结果）
（3）若点在函数的图象上，将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵两个函数图象交于点，．
∴，
∴，，
∴，
∵点，在直线图象上，
，
解得，
∴；
（2）解：两个函数图象如图所示，
由图可知，当时，；
（3）解：设点C坐标为，
∵将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，
∴，
∵点D恰好落在函数的图象上，
∴，
整理得，
∴或，
∴点的坐标为或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）画出图象，观察图象即可判断求解；
（3）根据点的平移法则设点C坐标为，写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标．
（1）解：∵两个函数图象交于点，．
∴，
∴，，
∴，
∵点，在直线图象上，
，
解得，
∴；
（2）解：两个函数图象如图所示，
由图可知，当时，；
（3）解：设点C坐标为，
∵将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，
∴，
∵点D恰好落在函数的图象上，
∴，
整理得，
∴或，
∴点的坐标为或．
21．如图，某型号订书机的主要部件托板与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧，长为的推动器和书钉三段，连杆的一端通过销子与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端并随着的增大拉动推动器向销子方向移动．现测得销子，之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子到手柄端点的距离．
（1）如图①，当连杆勾住点时，若，求此时书钉的长度（结果精确到，参考数据：，）；
（2）如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点时，求．
【答案】（1）解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
答：此时书钉的长度为
（2）解：过点作，
由题意，得：，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题以订书机的工作过程为背景，考查了解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理、线段的和差关系以及余弦的定义。解题的关键是根据题意准确识别图形中的线段长度关系，并构造直角三角形进行计算。
（1）求书钉长度AE。已知OA=OB=10.7，OF=3.5，DE=1.2，且连杆勾住点D时DF OB。先由DF = BF - DE = (OB - OF) - DE = (10.7 - 3.5) - 1.2 = 6，在Rt△ ODF中利用勾股定理求出，再由AE = OA - OD - DE10.7 - 6.946 - 1.2 2.6（cm）。
（2）已知新书钉长度AE=3.5，求cos ∠AOB。由OD = OA - DE - AE = 10.7 - 1.2 - 3.5 = 6。过点F作FG OA于点G，设OG = x，则DG = OD - OG = 6 - x。分别在Rt△ OFG和Rt△ DFG中利用勾股定理表示FG2，得OF2 - OG2 = DF2 - DG2。代入OF=3.5，DF=6，DG=6-x，解方程3.52 - x2 = 62 - (6-x)2，解得x =。最后在Rt△ OFG中，。注意辅助线的构造以及利用“双勾股”列方程是解决第（2）问的核心。
（1）解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
答：此时书钉的长度为；
（2）过点作，
由题意，得：，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴．
22．我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值．
对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如：
原式
．
所以，当，时，此式的最小值为2．
试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，
∵，
∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
此时多项式取得最大值为
（2）解：
，
∵，，
∴，当且仅当且时等号成立，
由可得，，
将代入可得，
故当，时，
多项式的最小值为
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】本题以配方法为背景，考查了利用完全平方公式求二次三项式的最值问题，以及二元二次多项式的最值求解。解题的关键是灵活运用配方法，将多项式转化为若干个完全平方式与常数的和（或差）的形式，再根据平方的非负性确定最值及取最值时字母的值。
（1）求 -3x2+6x+10 的最大值。先提取二次项系数 -3 对 x2-2x 配方：-3(x2-2x)+10 = -3[(x-1)2-1]+10 = -3(x-1)2+13。由于 -3(x-1)2 0，所以多项式最大值为13，当且仅当 x-1=0 即 x=1 时取得。
（2）求 x2-2xy+2y2+2x-6y+8 的最小值。先视 x 为主元，对含 x 的项配方：x2-2(y-1)x + [-(y-1)]2 - (y-1)2 + 2y2-6y+8 = (x-y+1)2 + (y2-4y+7)。再对 y2-4y+7 配方得 (y-2)2+3。原式化为 (x-y+1)2+(y-2)2+3。由平方的非负性得最小值3，当 x-y+1=0 且 y-2=0 即 x=1，y=2 时取得。注意在二元配方时，合理选择配方的顺序（先配 x 再配 y）是解题的关键。
（1）解：
，
∵，
∴，
∴，当且仅当，即时，等号成立，此时多项式取得最大值为；
（2）解：
，
∵，，
∴，当且仅当且时等号成立，
由可得，，
将代入可得，
故当，时，多项式的最小值为．
23．已知二次函数，m为实数．
（1）若，求该函数图象的对称轴．
（2）当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值．
（3）若点，，且，，试比较与大小．
【答案】（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】本题以二次函数为背景，综合考查了二次函数的对称轴、开口方向、在给定区间上的最值问题、以及利用中点坐标与对称轴的位置关系比较函数值大小，涉及分类讨论思想。
（1）将m=1代入解析式化简为y=x2-4x+3，利用对称轴公式x=求得对称轴为直线x=2。
（2）先将解析式化为一般式y=x2-(2m+2)x+m2+2m，对称轴为x=m+1，开口向上。由自变量范围m+2 x 3得m1，此时对称轴x=m+1 m+2，因此在区间上函数随x增大而增大。最小值在x=m+2处，值为0；最大值在x=3处，值为m2-4m+3。由最大值与最小值之差为8得方程m2-4m+3-0=8，解得m=5（舍去，不满足m 1）或m=-1，故m=-1。
（3）由中点坐标公式得A、B两点横坐标的中点为2m-3，对称轴为x=m+1。开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大。比较中点与对称轴的位置：若中点等于对称轴（2m-3=m+1即m=4），则两点关于对称轴对称，；若中点小于对称轴（m<4），则点A到对称轴的距离大于点B，故；若中点大于对称轴（m>4），则点A到对称轴的距离小于点B，故。注意由可确定A在左、B在右，从而正确判断距离大小。
（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为；
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，．
24．如图，为直径，C为圆O上一动点，且C在直径上方，连接，，点M为中点，连接，与相交于点N．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，连接，，当时，求的值；
（3）如图3，作于H，，与交于点K（点K在下方），与交于点E．若，，求：
①的直径；
②的长．
【答案】（1）证明：∵点M为中点，
∴，
∵为直径，
∴，即，
∴
（2）解：如图，连接交于点，
∵点M为中点，
∴，，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：①延长交于点，
∵点M为中点，
∴，
∵，且为直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
∵为直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，，
∴，
由①可得：，，
∵，
∴，
过点作于点，
设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题以圆为背景，综合考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数以及方程思想。第（1）问为基础证明，第（2）（3）问综合性较强，需合理添加辅助线并灵活运用几何定理。
（1）由点M为AC中点，根据垂径定理得OM AC；由AB为直径得 ACB = 90，即BC AC，从而OMBC。
（2）连接OM交AC于点G。由垂径定理得OM AC，AG = CG；由O为AB中点得OG为△ ABC的中位线，故BC = 2OG。由ON BM及垂径定理得BN = MN，再证，得MG = BC = 2OG，从而OA = OM = OG + MG = 3OG。在Rt△AOG中由勾股定理得，则，所以。
（3）①延长MH交⊙O于点F。由M为AC中点及MH AB，结合垂径定理得AM = AF；由AB为直径得ACB = 90，且MF = AM + AF = AM + MC = AC，故AC = MF = 2MH = 2。在Rt△ ABC中，由勾股定理得，即直径为3。
②设AH = a，则BH = 3 - a。由直径所对圆周角为直角得 AMB = 90，结合MH AB可证，得，代入MH =解得a =（舍去2），则AH =，BH = 2。由勾股定理得AM = 3，BM = 3。计算，由①得，且BMK = BAC，故。过点E作EP BM于点P，设PE =b，由得BP = 2b；由得MP = 4b。由BM = MP + BP = 6b = 3得，则PE = 1，，。由勾股定理得BE =，ME = 3，从而AE = AB - BE = 2。连接BK，由圆周角定理得，结合得，所以，代入得，解得EK = 2。
（1）证明：∵点M为中点，
∴，
∵为直径，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，连接交于点，
∵点M为中点，
∴，，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①延长交于点，
∵点M为中点，
∴，
∵，且为直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
∵为直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，，
∴，
由①可得：，，
∵，
∴，
过点作于点，
设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江宁波市慈溪市实验中学2025-2026学年九年级第二学期第一次模拟考数学试题
1．下列四个数中，最小的是（　　）
A． B．0 C． D．
2．人眼可见的蓝光波长约为．用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
3．如图中的几何体是由6个大小相同的小正方体组成的，该几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
4．每年的月日是全国爱眼日．为了解某初中学校名学生的视力情况，某兴趣小组的同学制定了如下调查方案，最合理的是（　　）
A．抽取八年级名女生进行调查
B．按学籍号随机抽取名学生进行调查
C．抽取九年级名男生进行调查
D．按学籍号随机抽取名学生进行调查
5．某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（　　）
A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4
6．如图，一束光线从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知，延长交于点，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．已知 是反比例函数 图象上的三个点，若 ，则 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
8．七巧板源于我国宋代，是广受欢迎的智力游戏．如图，用两副七巧板拼出一幅“勾股图”．若一副七巧板的面积为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．数学兴趣小组借助绘图软件探究函数的图象．现输入一组m，n的值，得到的函数图象如图所示，由此可以推断输入的m，n的值满足（　　）
A．， B．， C．， D．，
10．如图，是正方形的对角线，E为边上的动点（不与端点重合），点F在的延长线上，且，过点F作于点G，连结，．则下列比值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
11．分解因式： 　 　．
12．若 ，则 =　 　．
13．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则与的面积比是　 　．
14．如图，的切线与直径的延长线交于点，点为切点，连接．若，则的度数为　 　°．
15．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．若关于的方程是“邻根方程”，令，则的最大值是　 　．
16．如图，点E在菱形的边上，将沿折叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是　 　．
17．按要求解答
（1）计算∶
（2）先化简，再求值，其中，．
18．为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
19．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，点E，F分别为，的中点，连接，，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，求线段的长．
20．在直角坐标系中，设函数与函数（，，是常数，）的图象交于点，．
（1）求函数，的表达式．
（2）当时，比较与的大小．（直接写出结果）
（3）若点在函数的图象上，将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，点恰好落在函数的图象上，求点的坐标．
21．如图，某型号订书机的主要部件托板与手柄的长度相等，均为，其中托板分为弹簧，长为的推动器和书钉三段，连杆的一端通过销子与手柄相连，另一端可在段滑动，当托板与手柄的夹角张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端并随着的增大拉动推动器向销子方向移动．现测得销子，之间的距离为，连杆与推动器的长度之和等于销子到手柄端点的距离．
（1）如图①，当连杆勾住点时，若，求此时书钉的长度（结果精确到，参考数据：，）；
（2）如图②，已知一条新书钉的长度为，当装好一条新书钉且连杆勾住点时，求．
22．我们学过配方法，对于二次三项式，当二次项系数为1时，加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式，从而求出这个多项式的最大（或最小）值．
对于含字母参数a的关于x的多项式，我们同样可以用配方法求出它的最大（或最小）值，如：
原式
．
所以，当，时，此式的最小值为2．
试用上述方法求下列多项式的最小（或最大）值，并说明此时字母所取的值：
（1）；
（2）．
23．已知二次函数，m为实数．
（1）若，求该函数图象的对称轴．
（2）当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值．
（3）若点，，且，，试比较与大小．
24．如图，为直径，C为圆O上一动点，且C在直径上方，连接，，点M为中点，连接，与相交于点N．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，连接，，当时，求的值；
（3）如图3，作于H，，与交于点K（点K在下方），与交于点E．若，，求：
①的直径；
②的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的绝对值的方法；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴最小的是，
故选：C．
【分析】本题以有理数的大小比较为背景，考查了正数、零、负数之间的大小关系以及绝对值的化简与负数比较的法则。解题时需先化简选项中的绝对值，将各数统一为具体数值，再依据“正数大于0，0大于负数，两个负数比较时绝对值大的反而小”这一规则逐项比较，最终找出其中最小的数。掌握负数比较的特殊方法是解答本题的关键。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】，
故选C．
【分析】把一个绝对值较小的数字常用科学记数法表示成的形式，其中取这个数字左边第一个非0数字前面0的个数．
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可得该几何体的俯视图为．
故选：A
【分析】本题以由小正方体组成的立体图形为背景，考查了三视图中的俯视图概念及空间想象能力。俯视图是指从几何体的正上方垂直向下观察所得到的平面图形，画图时要注意各列小正方体的前后位置关系以及每一列的最高层数（通常用方格或正方形表示，有立方体的位置画一个正方形，并可根据需要标注层数或仅以形状表示）。解题的关键是分清行与列，从上面观察时，能看到的是每个位置最上方的小正方体底面，因此遮挡关系按“从上往下”处理。根据图中6个小正方体的摆放位置，正确识别从上方看到的形状即可选出正确答案。
4．【答案】B
【知识点】抽样调查的可靠性
【解析】【解答】解：A中，抽取八年级名女生进行调查不具有代表性，不符合题意．
B中，按学籍号随机抽取名学生进行调查是随机抽样，符合题意；
C中，抽取九年级名男生进行调查不具有代表性，不符合题意．
D中，按学籍号随机抽取名学生进行调查，样本容量太小，不符合题意；
故选：B．
【分析】
为了获取能够客观反映问题的结果，通常按照总体中每个个体都有相同的被抽取机会的原则抽取样本，这种抽样的方法叫做随机抽样．样本的选取应具有随机性、代表性、容量应足够大．
5．【答案】D
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：由图可得：样本中这一分数段的频数为，
故样本中这一分数段的频率是．
故选：D
【分析】本题以频数分布直方图为背景，考查了频率的计算方法。频率是指某一组数据的频数与样本容量的比值，公式为频率 = 频数 ÷ 样本容量。解题的关键是先根据直方图读出各分数段的频数（注意纵轴表示人数），用样本总量50减去其他各段的频数之和，得到70.5～80.5这一段的频数为20；再代入公式计算出频率为20 ÷ 50 = 0.4。注意频率通常用小数或百分数表示，结果不带单位，且所有组的频率之和等于1。
6．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
故答案为：D．
【分析】根据对顶角相等，角的和差关系计算的度数，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”即可求解．
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴该反比例函数的图象在第二，四象限，在这两个象限内，随的增大而增大，
又 ∵，
，
故选：D．
【分析】本题以反比例函数为背景，考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及函数值的大小比较。解题的关键是依据比例系数k=-5<0判断出函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大。由< 0可知点A、B在第二象限，且，根据增减性得0 <；由> 0可知点C在第四象限，此时 < 0。综合可得，即。注意反比例函数的增减性要分象限讨论，不能跨象限直接比较。
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：根据题意，得，，
∴，
∴，
∴的面积为：，
故答案为：C．
【分析】结合图形得，，从而求出，进而利用三角形面积公式即可求解.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴x的取值范围是，
由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
∴，
由图可知，当时的函数图象位于x轴的下方，
∴当时，，
又∵当时，，
∴，
故选：D．
【分析】根据函数图象的图象可知x不能取到-m，判断m的取值范围，再利用时的函数图象位于第四象限判断n的正负解答即可．
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点G作于，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，是定值，故A符合题意；
，不是定值，故B不符合题意；
，不是定值，故C不符合题意；
，不是定值，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质可得，，，结合得，根据等腰三角形的判定可设，，则利用勾股定理求出的值，然后根据等腰三角形”三线合一“性质得，根据直角三角形斜边上的中线性质得的值，于是求出的值，最后逐项代入进行分析即可求解.
11．【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】利用平方差公式分解因式解答．
12．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】根据题意可得：原式= +1= .
【分析】根据比例的性质，两边都+1得到分式的值.
13．【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：和是以点为位似中心的位似图形，
，，
，，
，
，
与的面积比是．
故答案为：．
【分析】本题以位似图形为背景，考查了位似变换的性质以及相似三角形的面积比与相似比的关系。解题的关键是明确位似图形一定相似，且对应点连线交于位似中心，对应边互相平行。由OA：OD=1：3可得位似比为1：3，因此，相似比为1：3。根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得面积比为(1：3)2 = 1：9。注意位似比即为相似比，面积比是相似比的平方，且结果应写成最简整数比形式。
14．【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：连接，
∵是的切线，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故答案：35．
【分析】连接OP，根据切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，然后根据直角三角形两锐角互余可求出，再根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”即可求解．
15．【答案】9
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设、是方程的两根，
解得，，
∵原方程是“邻根方程”，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，最大值为9．
故答案为：9．
【分析】本题以新定义“邻根方程”为背景，考查了一元二次方程根的判别式、求根公式以及二次函数最值的求法。解题的关键是紧扣“邻根方程”中两根之差为1的定义，利用求根公式表示出两根并作差，从而推导出a与b之间的等量关系，最后将该关系代入目标代数式，利用配方法即可求出t的最大值。
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由折叠的性质可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴如图，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，
，
则垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】本题以菱形中的折叠问题为背景，综合考查了菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数以及垂直平分线的性质。解题的关键是通过折叠和菱形性质得到 AB = AF，从而B = AFB，结合 ADBC 及折叠得D = AFE，推出多个角相等。作辅助线 EG BC 并构造 CG = GH，利用垂直平分线得 CE = HE，再证，得到比例关系。由 cos B = 得 cosECH =，在 Rt△ECG 中设 CG = a，则 CE = 5a，CH = 2a，代入相似比例求出 EF =a，最后得到。注意辅助线的构造以及对多个角度相等关系的推导是突破难点。
17．【答案】（1）解：
（2）解：
，
当，时，原式
【知识点】利用整式的混合运算化简求值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题包含两个小题，分别考查了实数的混合运算和整式的化简求值。
（1）涉及乘方、立方根、算术平方根以及有理数的四则运算。解题的关键是注意运算顺序：先算乘方、立方根和算术平方根，再算乘法，最后算加减。易错点在于-1^2表示1的平方的相反数，结果为-1； = -8；= -3；。依次计算后合并即可得结果-3。
（2）考查整式的混合运算及代入求值。先利用平方差公式(x+2y)(x-2y)=x2-4y2，完全平方公式(x+4y)2=x2+8xy+16y2，合并同类项后再除以4y，化简得-2x-5y。最后将x=5，y=2代入求值得-20。注意去括号时符号的变化以及除法运算中各项分别除以4y。
（1）解：
．
（2）解：
，
当，时，原式．
18．【答案】（1），随机
（2）解：画出树状图如图：
由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种，
∴．
恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种，
∴，是随机事件；
故答案为：，随机；
【分析】
（1）直接利用概率公式，求解即可；
（2）画出树状图，再利用概率公式求解即可．
（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种，
∴，是随机事件；
故答案为：，随机；
（2）画出树状图如图：
由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种，
∴．
19．【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵分别是的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】本题以平行四边形及其对角线中点为背景，考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形斜边中线定理的综合运用。
（1）利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点条件推出OE＝OF，从而依据对角线互相平分证得四边形BFDE为平行四边形；
（2）先由已知边长关系求出BO的长，再在Rt△ABD中运用勾股定理求得斜边AO，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE的长度。灵活运用这些基本定理是解题的关键。
（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵分别是的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴．
20．【答案】（1）解：∵两个函数图象交于点，．
∴，
∴，，
∴，
∵点，在直线图象上，
，
解得，
∴；
（2）解：两个函数图象如图所示，
由图可知，当时，；
（3）解：设点C坐标为，
∵将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，
∴，
∵点D恰好落在函数的图象上，
∴，
整理得，
∴或，
∴点的坐标为或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法可求解；
（2）画出图象，观察图象即可判断求解；
（3）根据点的平移法则设点C坐标为，写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标．
（1）解：∵两个函数图象交于点，．
∴，
∴，，
∴，
∵点，在直线图象上，
，
解得，
∴；
（2）解：两个函数图象如图所示，
由图可知，当时，；
（3）解：设点C坐标为，
∵将点先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点，
∴，
∵点D恰好落在函数的图象上，
∴，
整理得，
∴或，
∴点的坐标为或．
21．【答案】（1）解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
答：此时书钉的长度为
（2）解：过点作，
由题意，得：，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题以订书机的工作过程为背景，考查了解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理、线段的和差关系以及余弦的定义。解题的关键是根据题意准确识别图形中的线段长度关系，并构造直角三角形进行计算。
（1）求书钉长度AE。已知OA=OB=10.7，OF=3.5，DE=1.2，且连杆勾住点D时DF OB。先由DF = BF - DE = (OB - OF) - DE = (10.7 - 3.5) - 1.2 = 6，在Rt△ ODF中利用勾股定理求出，再由AE = OA - OD - DE10.7 - 6.946 - 1.2 2.6（cm）。
（2）已知新书钉长度AE=3.5，求cos ∠AOB。由OD = OA - DE - AE = 10.7 - 1.2 - 3.5 = 6。过点F作FG OA于点G，设OG = x，则DG = OD - OG = 6 - x。分别在Rt△ OFG和Rt△ DFG中利用勾股定理表示FG2，得OF2 - OG2 = DF2 - DG2。代入OF=3.5，DF=6，DG=6-x，解方程3.52 - x2 = 62 - (6-x)2，解得x =。最后在Rt△ OFG中，。注意辅助线的构造以及利用“双勾股”列方程是解决第（2）问的核心。
（1）解：由题意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
答：此时书钉的长度为；
（2）过点作，
由题意，得：，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，
∴，解得：，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：
，
∵，
∴，
∴，
当且仅当，即时，等号成立，
此时多项式取得最大值为
（2）解：
，
∵，，
∴，当且仅当且时等号成立，
由可得，，
将代入可得，
故当，时，
多项式的最小值为
【知识点】配方法的应用
【解析】【分析】本题以配方法为背景，考查了利用完全平方公式求二次三项式的最值问题，以及二元二次多项式的最值求解。解题的关键是灵活运用配方法，将多项式转化为若干个完全平方式与常数的和（或差）的形式，再根据平方的非负性确定最值及取最值时字母的值。
（1）求 -3x2+6x+10 的最大值。先提取二次项系数 -3 对 x2-2x 配方：-3(x2-2x)+10 = -3[(x-1)2-1]+10 = -3(x-1)2+13。由于 -3(x-1)2 0，所以多项式最大值为13，当且仅当 x-1=0 即 x=1 时取得。
（2）求 x2-2xy+2y2+2x-6y+8 的最小值。先视 x 为主元，对含 x 的项配方：x2-2(y-1)x + [-(y-1)]2 - (y-1)2 + 2y2-6y+8 = (x-y+1)2 + (y2-4y+7)。再对 y2-4y+7 配方得 (y-2)2+3。原式化为 (x-y+1)2+(y-2)2+3。由平方的非负性得最小值3，当 x-y+1=0 且 y-2=0 即 x=1，y=2 时取得。注意在二元配方时，合理选择配方的顺序（先配 x 再配 y）是解题的关键。
（1）解：
，
∵，
∴，
∴，当且仅当，即时，等号成立，此时多项式取得最大值为；
（2）解：
，
∵，，
∴，当且仅当且时等号成立，
由可得，，
将代入可得，
故当，时，多项式的最小值为．
23．【答案】（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】本题以二次函数为背景，综合考查了二次函数的对称轴、开口方向、在给定区间上的最值问题、以及利用中点坐标与对称轴的位置关系比较函数值大小，涉及分类讨论思想。
（1）将m=1代入解析式化简为y=x2-4x+3，利用对称轴公式x=求得对称轴为直线x=2。
（2）先将解析式化为一般式y=x2-(2m+2)x+m2+2m，对称轴为x=m+1，开口向上。由自变量范围m+2 x 3得m1，此时对称轴x=m+1 m+2，因此在区间上函数随x增大而增大。最小值在x=m+2处，值为0；最大值在x=3处，值为m2-4m+3。由最大值与最小值之差为8得方程m2-4m+3-0=8，解得m=5（舍去，不满足m 1）或m=-1，故m=-1。
（3）由中点坐标公式得A、B两点横坐标的中点为2m-3，对称轴为x=m+1。开口向上时，离对称轴越远的点函数值越大。比较中点与对称轴的位置：若中点等于对称轴（2m-3=m+1即m=4），则两点关于对称轴对称，；若中点小于对称轴（m<4），则点A到对称轴的距离大于点B，故；若中点大于对称轴（m>4），则点A到对称轴的距离小于点B，故。注意由可确定A在左、B在右，从而正确判断距离大小。
（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为；
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，．
24．【答案】（1）证明：∵点M为中点，
∴，
∵为直径，
∴，即，
∴
（2）解：如图，连接交于点，
∵点M为中点，
∴，，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：①延长交于点，
∵点M为中点，
∴，
∵，且为直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
∵为直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，，
∴，
由①可得：，，
∵，
∴，
过点作于点，
设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题以圆为背景，综合考查了垂径定理、圆周角定理、三角形中位线、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数以及方程思想。第（1）问为基础证明，第（2）（3）问综合性较强，需合理添加辅助线并灵活运用几何定理。
（1）由点M为AC中点，根据垂径定理得OM AC；由AB为直径得 ACB = 90，即BC AC，从而OMBC。
（2）连接OM交AC于点G。由垂径定理得OM AC，AG = CG；由O为AB中点得OG为△ ABC的中位线，故BC = 2OG。由ON BM及垂径定理得BN = MN，再证，得MG = BC = 2OG，从而OA = OM = OG + MG = 3OG。在Rt△AOG中由勾股定理得，则，所以。
（3）①延长MH交⊙O于点F。由M为AC中点及MH AB，结合垂径定理得AM = AF；由AB为直径得ACB = 90，且MF = AM + AF = AM + MC = AC，故AC = MF = 2MH = 2。在Rt△ ABC中，由勾股定理得，即直径为3。
②设AH = a，则BH = 3 - a。由直径所对圆周角为直角得 AMB = 90，结合MH AB可证，得，代入MH =解得a =（舍去2），则AH =，BH = 2。由勾股定理得AM = 3，BM = 3。计算，由①得，且BMK = BAC，故。过点E作EP BM于点P，设PE =b，由得BP = 2b；由得MP = 4b。由BM = MP + BP = 6b = 3得，则PE = 1，，。由勾股定理得BE =，ME = 3，从而AE = AB - BE = 2。连接BK，由圆周角定理得，结合得，所以，代入得，解得EK = 2。
（1）证明：∵点M为中点，
∴，
∵为直径，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，连接交于点，
∵点M为中点，
∴，，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①延长交于点，
∵点M为中点，
∴，
∵，且为直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
∵为直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，，
∴，
由①可得：，，
∵，
∴，
过点作于点，
设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
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