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四川省绵阳市涪城区2026年初中数学学业质量第一次模拟监测试卷
1．大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（　　）
A．1 B． C． D．3
【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为a，中正方形的边长为b，小正方形的边长为c，
根据题意，得，
故，
∵
∴正方形ABCD的边长可能值为，
故答案为：B．
【分析】根据正方形的面积求出边长，根据实数的比较大小解答即可．
2．据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来.用科学记数法表示35000000是（　　）.
A．3.5×106 B．3.5×107 C．35×106 D．35×107
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示35000000是：3.5×107
故答案为：B.
【分析】科学记数法表示一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中1≤＜10，n等于原数的整数位数减1，据此即可解决问题.
3．若（a-b）2=9，a2-b2=15，且a＜b，则ab的值为（　　）
A．4 B．-4 C．6 D．-6
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：．
【分析】利用平方差公式可得，即可得到，然后利用完全平方公式的变形计算即可．
4．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．正方形 B．长边形 C．等边三角形 D．圆
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：正方形是轴对称图形（对称轴为对边中点所在的直线和对角线所在的直线），也是中心对称图形（旋转后重合），故A不符合题意；
长方形是轴对称图形（对称轴为对边中点所在的直线），也是中心对称图形（旋转后重合），故 B不符合题意；
等边三角形是轴对称图形（对称轴为三条高所在直线），但不是中心对称图形（旋转后不重合），故C符合题意；
圆是轴对称图形（对称轴为任意直径所在的直线），也是中心对称图形（旋转后重合），故 D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】轴对称图形是沿直线对折后重合的图形，中心对称图形是绕点旋转后重合的图形，据此解答即可．
5． f（x）=ex是一个数学函数，它表示自然数e的指数次幂．其中自然数e是一个无理数（e=2.718281828459045 ）则在下列实数中，（　　）也是无理数．
A． B． C．3.14 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是分数，是有理数，不符合题意；
是整数，是有理数，不符合题意；
是有限小数，是有理数，不符合题意；
是无限不循环小数，是无理数，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据无理数是无限不循环小数解答即可．
6．如图，下列说法错误的是（　　）
A．图②与图③的主视图形状不同 B．图①与图③的俯视图形状相同
C．图②与图③的左视图形状相同 D．图②、图③各自的三视图相同
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、图②的主视图为矩形，图③的主视图为圆形，图②与图③的主视图形状不同正确，不符合题意；
B、图①与图③的俯视图都为圆形，图①与图③的俯视图形状相同，正确，不符合题意；
C、图②的左视图为正方形，图③的左视图为圆形，图②与图③的左视图形状不相同，原说法错误，符合题意；
D、图②的三视图都为正方形、图③的三视图都为圆形，图②、图③各自的三视图相同，正确，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据几何体三视图解答即可．
7．某校九年级二班45名同学在学校举行的“爱心涌动校园”募捐活动中捐款情况如下表所示：
捐款数（元） 10 20 30 40 50
捐款人数（人） 8 17 16 2 2
则对全班捐款的45个数据，下列说法错误的是（　　）
A．众数是20 B．平均数是24 C．中位数是30 D．方差是
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A．众数是20，
∵在这一组数据中20是出现次数最多的，
∴众数是20，
故本选项正确；
B．平均数是24，
∵
，
故本选项正确；
C．中位数是30，
∵将这组数据按从小到大的顺序排列：，，，，，
∴处于中间位置的那个数是20，
∴这组数据的中位数是20；
故本选项错误；
D．方差是，
∵
，
故本选项正确．
故答案为：C．
【分析】根据众数、中位数的定义，平均数、方差的计算公式计算逐项判断解答即可．
8． 1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（　　）
A．676 B．675 C．674 D．1350
【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：由题知：这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现，
又∵，
∴这一列数的前2025个数中，偶数的个数为675．
故答案为：B．
【分析】发现这列数连续三个数中必有两个奇数，一个偶数，据此解答即可．
9．一个扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的面积为（　　）
A．6π B．12π C．18π D．36π
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】根据扇形面积公式为计算即可．
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AD=8，CD=4，那么tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】余角；求正切值
【解析】【解答】解：在中，，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
故答案为：
【分析】根据等角的余角相等得到，然后利用正切的定义解答即可．
11．已知y关于x的二次函数y=2mx2+（1-m）x-1-m，下列结论中：①当m=-1时，函数图象的顶点坐标为（，）；②当m≠0时，函数图象总过定点；③当m＞0时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于．所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①当时，，
∴顶点坐标为，故①正确．
②当时，，
当时，y的值与m无关，
此时，，
当时，；
当时，，
∴函数图象总经过两个定点，，故②正确；
③当时，由得：，
，
∴．
∴，．
∴，
∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，故③正确．
故答案为：A．
【分析】将时的二次函数配方得到顶点式判断①；当时，该二次函数解析式变形为，即可得到时，y的值与m无关，求出的根，即可得定点坐标判断②；当时，令y=0，求出函数图象与x轴的交点的横坐标判断③解答即可．
12．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（-3，0）、B（1，0）．下列结论：①2a-b=0；②2c=3b；③当a＜0时，无论m取何值都有a-b≥am2+bm；④若a＜0时，抛物线交y轴于点C，且△ABC是等腰三角形，c=或；⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点E（x1，y1）、F（x2，y2）且x1＜x2，x1+x2＞-2，则y1＞y2；则其中正确的是（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：如图，
①二次函数与轴交于点、．
二次函数的对称轴为，即，
．故①正确；
②．
∴，
二次函数与轴交于点、．
，，
，
．故②错误；
③，
抛物线开口向下．
时，二次函数有最大值．
．
即．故③正确；
④由图象可得，．
当时，则，解得，
当时，则，解得
故是等腰三角形时，或，故④正确；
⑤∵抛物线交轴于点、，交y轴于正半轴，
∴开口向下，
∵，，
∴点E在点F左侧，中点横坐标为，
则中点在对称轴右侧，
∴点比更接近对称轴，
，故⑤正确；
故正确的为①③④⑤．
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的对称性得到对称轴为直线，即，整理判断①；将点代入函数关系式，再利用b=2a，可得、的关系判断②；函数开口向下，时取得最大值，即可判断③；分为或时，两种情况，根据勾股定理求出的值判断④；根据抛物线图象上点的坐标特征，利用函数的增减性判断⑤解答即可．
13．因式分解：（y2-8）2-64=　 　．
【答案】y2（y+4）（y-4）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用平方差公式分解因式解答即可.
14．一副直角三角板（一个含有30°角，一个含有45°角）按如图所示摆放，若直线a∥b，则∠1的度数为　 　．
【答案】15°
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，延长一直角边交直线a于一点，
∵
∴
由三角形外角性质，可得，
∴
故答案为：．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，然后利用三角形外角解答即可．
15．已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是　 　.
【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：关于x的分式方程化为整式方程得，
，
解得，
由于分式方程的解为非负数，即，
所以，
当时，，
因此k的取值范围为且，
故答案为：且．
【分析】本题以含参分式方程的解的非负性问题为背景，考查了分式方程的解法、不等式的求解以及分式方程增根的概念。解题的关键是先将分式方程转化为整式方程并求出解，然后根据“解是非负数”这一条件列出关于k的不等式，同时要注意排除使原分式方程无意义（即分母为0）的增根情况，从而确定k的最终取值范围。
16．某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为　 　元．
【答案】54
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设定价为x元.根据题意可得，
，
解之得：，，
∵销售量尽可能大，
∴，
故答案为：.
【分析】设定价为x元，利用“销售量×单利润”列出方程，求出x的值解答即可.
17．已知二次函数y=ax2-4ax+4的图象开口向下，与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线CD交于点N，当点N在第一象限，且∠OMB=∠CNA时，a=　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：由题意可得如图所示：
∵，图象开口向下，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，对称轴与轴交点，
令，得，
∴，
点与点关于对称轴对称，
∴，
∵，，
∴，
∴，
连接交对称轴于点H，过点D分别作，
∴，
∴，
∴，
设，则有，
由点A与点D关于对称轴对称可知：，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：.
【分析】根据题意得到对称轴为直线，顶点坐标为，对称轴与轴交点，，，根据两角对应相等得到，即可得到，连接交对称轴于点H，过点D分别作，根据正切的定义设，即可得到BD长，进而求出∠BAH的正切解答即可．
18．已知：如图，将长方形纸片沿着CE所在直线对折，B点落在点B'处，CD与EB'交于点F，如果AB=10cm，AD=6cm，AE=2cm，则EF的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：，，
∴，
由折叠可得
四边形是长方形，
，
，
∵由折叠可得，
，
，
设，则，
∵在长方形中，，，
∴由折叠可得，，
∴在中，，
∴，
解得，
，
故答案为：．
【分析】根据折叠的性质可得，根据平行可得，即可得到，进而可知以，设，即可得到，在中利用勾股定理解答即可．
19．计算：
（1）(-1)3++32-20260；
（2）先化简，再求值：(1-)，其中x=-1．
【答案】（1）解：原式=-3+3+9-1=8
（2）解：原式=
=
=
当x=-1时，
原式=
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先运算有理数的乘法、算术平方根、城防、零指数幂的，然后加减解答即可．
（2）先运算括号内分式的减法，然后把除法化为乘法，分解因式约分化简，再将x的值代入计算解答即可．
20．某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
（1）本次共调查了 名学生，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m的值是　 　，D对应的扇形圆心角的度数是　 　；
（3）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数；
（4）某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加知识竞赛．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
【答案】（1）50；
解：等级的人数为人，
补全条形统计图，如图所示：

（2）30；72°
（3）解：根据题意得：2000×=400（名），
则估计该校不合格的学生人数约为400名
（4）根据题意，列表如下：
1 2 3 4
1 　 （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） 　 （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） 　 （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） 　
所有等可能的情况数有12种，其中和为奇数的有（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），共8种，
∴P（小明参加）==，P（小亮参加）=1-=，
∵≠，
∴这个游戏规则不公平．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；游戏公平性；概率的简单应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次共调查了人
故答案为：．
（2）
∴，
对应的扇形圆心角的度数是，
故答案为：，72°．
【分析】（1）运用优秀等级的人数除以占比得出本次参与调查的人数，然后求出B等级的人数，补全统计图即可；
（2）根据C等级的人数除以考查总人数乘以100%求出的值，根据组人数的占比乘以求出圆心角即可；
（3）运用全校总人数乘以良好和优秀人数的占比解答即可；
（4）列表得到所有等可能情况，找出符合条件的结果数，计算出小明和销量橡胶的概率，比较判断游戏公平性即可．
21．为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
【答案】（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元；
（2）解：设购进件种农产品，则购进件种农产品，
根据题意得：，
解得：．
设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则
，即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题中的两个相等关系“3件A种农产品的费用+2件B种农产品的费用=660，4件A种农产品的费用+1件B种农产品的费用=630”列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题中的两个不等关系“A种农产品的件数≤B种农产品件数的3倍，m件种农产品的费用+（40-m）件B种农产品的费用≤5400”列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组求出m的范围，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，根据总利润=m件种农产品的利润+（40-m）件B种农产品的利润可得总利润w与m之间的函数关系式，然后由一次函数的性质即可求解．
（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元；
（2）解：购进件种农产品，则购进件种农产品，
根据题意得：，
解得：．
设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则
，即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多．
22．如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点D（0，-1），且与反比例函数y=的图象交于点A（2，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象，求使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
【答案】（1）解：（1）把D（0，-1），A（2，1）代入y=kx+b，得：
，
解得：
∴y=x-1；
把A（2，1）代入，得：m=1×2=2；
∴
（2）联立，
解得或，
∴B（-1，-2），
由图象可知：
反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围为：x＜-1或0＜x＜2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出两个函数的解析式即可；
（2）先联立两解析式求出交点坐标，然后借助图象，得到双曲线在直线上方时自变量x的取值范围解答即可．
23．如图，△ABC中，∠B=90°，AM是角平分线，O是AC上一点，经过点A、点M的⊙O分别交AB，AC于点E，点F．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：CM2=CF CA；
（3）若CF=2，sinC=，求AE的长．
【答案】（1）解：BC与⊙O的位置关系为BC与⊙O相切，理由：
连接OM，如图，
∵AM是角平分线，∴∠BAM=∠CAM，
∵OA=OM，∴∠CAM=∠OMA，
∴∠OMA=∠BAM，
∴AB∥OM，∴∠B+∠OMB=180°，
∵∠B=90°，∴∠OMB=90°，
∴OM⊥BC，
∵OM为⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
（2）证明：连接OM，MF，如图，
由（1）知：OM⊥BC，
∴∠OMC=90°，
∴∠CMA=∠OMC+∠OMA=90°+∠OMA．
∵AF为⊙O的直径，∴∠AMF=90°，
∴∠CFM=∠AMF+∠OAM=90°+∠OAM．
∵OA=OM，
∴∠OAM=∠OMA，
∴∠CFM=∠CMA，
∵∠C=∠C，
∴△CFM∽△CMA，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
由（1）知，
在中，，
设，则，
∴，
解得，
∴，，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等边对等角得到∠OMA=∠BAM，即可得到，进而可得，证明结论即可；
（2）连接，得到∠CFM=∠CMA，∠C=∠C即可得到，根据对应边成比例证明结论即可；
（3）连接，在中根据正切的定义设，则，即可得到，求得a的值，再根据正弦的定义求得长解答即可．
24．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在直线AB上，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，点F是线段DE的中点，连接AF．
（1）如图1，当点D在BA的延长线上时，连接AE．
①AE与BD之间的位置关系是　 　，数量关系是　 　；
②若CD=3，则线段AF=　 　；
（2）如图2，当点D在AB的延长线上时，若点G是线段AD的中点，连接FG，试探究BD与FG的数量与位置关系并证明；
（3）如图3，连接CF和BE，若BC=2，当线段CF取最小值时，请求出△BCE的面积．
【答案】（1）AE⊥BD；AE=BD；3
（2）BD=2FG，BD⊥FG，
证明：如图2中，连接AE．
∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD=180°-45°=135°，
∴∠DAE=135°-45°=90°，
∵AG=GD，EF=FD，
∴GF=AE=BD，FG∥AE，
∴BD=2GF，∠DGF=∠DAE=90°，
∴BD⊥FG
（3）如图3中，
∵CF是等腰直角△CDE斜边上的高，
∴当CD最小时，CF的值最小，
根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD的值最小（如图4中），
此时四边形AECD是正方形，DE∥CB，
∴.
【知识点】三角形的面积；正方形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）①如图1中，设交于点O．
∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段，
∴，
，
∵
∴，
故答案为：3；
【分析】（1）①设交于点O．根据等腰直角三角形的性质，利用SAS得到△ACE≌△BCD，即可得到∠CEA=∠CDB，AE=BD，进而得到结论；
②根据都股定理求出DE长，再根据直角三角形斜边中线性质解答即可；
（2）连接AE．根据等腰直角三角形的性质，利用SAS得到△ACE≌△BCD，即可得到BD=AE，∠CAE=∠CBD，然后证明FG∥AE，得到结论即可；
（3）根据题意得到CD最小时，CF的值最小，此时AECD是正方形，根据三角形的面积公式计算即可.
25．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，CE，BD交于点G．
（1）若BD⊥CE，BD=1，CE=，则四边形BCDE的面积为　 　；
（2）若BD+CE=，△ABC的最大面积为S．设BD=x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若（2）问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数y的图象．直线y=k1x-k1交该图象于点F，H（F点在H点左边），过点H的直线l：y=k2x+b交该图象于另一点Q，过点F，Q的直线与直线x=1交于点K．若S△HFK=S△HKQ，试问直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：∵△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
当四边形BCDE的面积最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则BM≤BG，DN≤DG，
∵四边形BCDE的面积=S△BCE+S△DCE
=
=
∴四边形BCDE的面积最大=
∵
∴
∴
∴当时，S最大为；
（3）解：直线l过定点
由（2）知：，
∴，
∴，
∵直线y=k1x-k1交图象于点F，H（F点在H点左边）
设，，
∵
∴
∴根据韦达定理得，
∴，
∵，
∴K为FQ的中点，
过点F，Q的直线与直线x=1交于点K，
∴
∴
∴
设H
∴，
∴直线l：，
即
=，
∵，
∴，
∴
=，
∵，
∴当x-1=0，即x=1时，y=1+1=2，
∴直线l过定点（1，2）
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴四边形的面积
；
故答案为：.
【分析】（1）根据四边形的面积解答即可；
（2）根据三角形的中位线定理得到，即可得到，进而得到四边形的面积最大时，最大，过点作，过点作，即可得到，进而得到四边形的最大面积，得到二次函数，化为顶点式求出最大值解答即可；
（3）先求出平移后抛物线的解析式，设，，联立得到，然后根据根与系数的关系得到，，即可得到，进而可得K为FQ的中点，求出点Q的坐标，设H，即可得到QH的解析式，整理解答即可．
1 / 1四川省绵阳市涪城区2026年初中数学学业质量第一次模拟监测试卷
1．大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（　　）
A．1 B． C． D．3
2．据统计我国每年浪费的粮食约35000000吨，我们要勤俭节约，反对浪费，积极的加入“光盘行动”中来.用科学记数法表示35000000是（　　）.
A．3.5×106 B．3.5×107 C．35×106 D．35×107
3．若（a-b）2=9，a2-b2=15，且a＜b，则ab的值为（　　）
A．4 B．-4 C．6 D．-6
4．下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）
A．正方形 B．长边形 C．等边三角形 D．圆
5． f（x）=ex是一个数学函数，它表示自然数e的指数次幂．其中自然数e是一个无理数（e=2.718281828459045 ）则在下列实数中，（　　）也是无理数．
A． B． C．3.14 D．
6．如图，下列说法错误的是（　　）
A．图②与图③的主视图形状不同 B．图①与图③的俯视图形状相同
C．图②与图③的左视图形状相同 D．图②、图③各自的三视图相同
7．某校九年级二班45名同学在学校举行的“爱心涌动校园”募捐活动中捐款情况如下表所示：
捐款数（元） 10 20 30 40 50
捐款人数（人） 8 17 16 2 2
则对全班捐款的45个数据，下列说法错误的是（　　）
A．众数是20 B．平均数是24 C．中位数是30 D．方差是
8． 1202年前数学家斐波那契在《计算之书》中记载了一列数：1，1，2，3，5，…，这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之和．则在这一列数的前2025个数中，偶数的个数为（　　）
A．676 B．675 C．674 D．1350
9．一个扇形的圆心角为60°，半径为6，则该扇形的面积为（　　）
A．6π B．12π C．18π D．36π
10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AD=8，CD=4，那么tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
11．已知y关于x的二次函数y=2mx2+（1-m）x-1-m，下列结论中：①当m=-1时，函数图象的顶点坐标为（，）；②当m≠0时，函数图象总过定点；③当m＞0时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于．所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①②
12．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于点A（-3，0）、B（1，0）．下列结论：①2a-b=0；②2c=3b；③当a＜0时，无论m取何值都有a-b≥am2+bm；④若a＜0时，抛物线交y轴于点C，且△ABC是等腰三角形，c=或；⑤抛物线交y轴于正半轴，抛物线上的两点E（x1，y1）、F（x2，y2）且x1＜x2，x1+x2＞-2，则y1＞y2；则其中正确的是（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
13．因式分解：（y2-8）2-64=　 　．
14．一副直角三角板（一个含有30°角，一个含有45°角）按如图所示摆放，若直线a∥b，则∠1的度数为　 　．
15．已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是　 　.
16．某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为　 　元．
17．已知二次函数y=ax2-4ax+4的图象开口向下，与y轴的交点为A，顶点为B，对称轴与x轴的交点为C，点A与点D关于对称轴对称，直线BD与x轴交于点M，直线AB与直线CD交于点N，当点N在第一象限，且∠OMB=∠CNA时，a=　 　．
18．已知：如图，将长方形纸片沿着CE所在直线对折，B点落在点B'处，CD与EB'交于点F，如果AB=10cm，AD=6cm，AE=2cm，则EF的长为　 　．
19．计算：
（1）(-1)3++32-20260；
（2）先化简，再求值：(1-)，其中x=-1．
20．某校对学生进行了一次系统全面的垃圾分类宣传．为了解这次宣传的效果，从全校学生中随机抽取部分学生进行了一次测试，测试结果共分为四个等级：A．优秀；B．良好；C．及格；D．不及格．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计表．
（1）本次共调查了 名学生，请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，m的值是　 　，D对应的扇形圆心角的度数是　 　；
（3）若该校共有2000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校不合格的学生人数；
（4）某班要从在这次测试成绩为优秀的小明和小亮中选一人参加知识竞赛．班长设计了如下游戏来确定人选，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4．然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，两人同时从袋中各摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明参加，否则小亮参加．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．
21．为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
22．如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点D（0，-1），且与反比例函数y=的图象交于点A（2，1）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象，求使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
23．如图，△ABC中，∠B=90°，AM是角平分线，O是AC上一点，经过点A、点M的⊙O分别交AB，AC于点E，点F．
（1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：CM2=CF CA；
（3）若CF=2，sinC=，求AE的长．
24．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D在直线AB上，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，点F是线段DE的中点，连接AF．
（1）如图1，当点D在BA的延长线上时，连接AE．
①AE与BD之间的位置关系是　 　，数量关系是　 　；
②若CD=3，则线段AF=　 　；
（2）如图2，当点D在AB的延长线上时，若点G是线段AD的中点，连接FG，试探究BD与FG的数量与位置关系并证明；
（3）如图3，连接CF和BE，若BC=2，当线段CF取最小值时，请求出△BCE的面积．
25．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，连接DE，CE，BD交于点G．
（1）若BD⊥CE，BD=1，CE=，则四边形BCDE的面积为　 　；
（2）若BD+CE=，△ABC的最大面积为S．设BD=x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若（2）问中x取任意实数，将函数S的图象依次向右、向上平移1个单位长度，得到函数y的图象．直线y=k1x-k1交该图象于点F，H（F点在H点左边），过点H的直线l：y=k2x+b交该图象于另一点Q，过点F，Q的直线与直线x=1交于点K．若S△HFK=S△HKQ，试问直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：设大正方形的边长为a，中正方形的边长为b，小正方形的边长为c，
根据题意，得，
故，
∵
∴正方形ABCD的边长可能值为，
故答案为：B．
【分析】根据正方形的面积求出边长，根据实数的比较大小解答即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示35000000是：3.5×107
故答案为：B.
【分析】科学记数法表示一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中1≤＜10，n等于原数的整数位数减1，据此即可解决问题.
3．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
故选：．
【分析】利用平方差公式可得，即可得到，然后利用完全平方公式的变形计算即可．
4．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：正方形是轴对称图形（对称轴为对边中点所在的直线和对角线所在的直线），也是中心对称图形（旋转后重合），故A不符合题意；
长方形是轴对称图形（对称轴为对边中点所在的直线），也是中心对称图形（旋转后重合），故 B不符合题意；
等边三角形是轴对称图形（对称轴为三条高所在直线），但不是中心对称图形（旋转后不重合），故C符合题意；
圆是轴对称图形（对称轴为任意直径所在的直线），也是中心对称图形（旋转后重合），故 D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】轴对称图形是沿直线对折后重合的图形，中心对称图形是绕点旋转后重合的图形，据此解答即可．
5．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是分数，是有理数，不符合题意；
是整数，是有理数，不符合题意；
是有限小数，是有理数，不符合题意；
是无限不循环小数，是无理数，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据无理数是无限不循环小数解答即可．
6．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、图②的主视图为矩形，图③的主视图为圆形，图②与图③的主视图形状不同正确，不符合题意；
B、图①与图③的俯视图都为圆形，图①与图③的俯视图形状相同，正确，不符合题意；
C、图②的左视图为正方形，图③的左视图为圆形，图②与图③的左视图形状不相同，原说法错误，符合题意；
D、图②的三视图都为正方形、图③的三视图都为圆形，图②、图③各自的三视图相同，正确，不符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据几何体三视图解答即可．
7．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A．众数是20，
∵在这一组数据中20是出现次数最多的，
∴众数是20，
故本选项正确；
B．平均数是24，
∵
，
故本选项正确；
C．中位数是30，
∵将这组数据按从小到大的顺序排列：，，，，，
∴处于中间位置的那个数是20，
∴这组数据的中位数是20；
故本选项错误；
D．方差是，
∵
，
故本选项正确．
故答案为：C．
【分析】根据众数、中位数的定义，平均数、方差的计算公式计算逐项判断解答即可．
8．【答案】B
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数列中的规律
【解析】【解答】解：由题知：这列数按“奇数，奇数，偶数”循环出现，
又∵，
∴这一列数的前2025个数中，偶数的个数为675．
故答案为：B．
【分析】发现这列数连续三个数中必有两个奇数，一个偶数，据此解答即可．
9．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：．
故答案为：A．
【分析】根据扇形面积公式为计算即可．
10．【答案】D
【知识点】余角；求正切值
【解析】【解答】解：在中，，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：D．
故答案为：
【分析】根据等角的余角相等得到，然后利用正切的定义解答即可．
11．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①当时，，
∴顶点坐标为，故①正确．
②当时，，
当时，y的值与m无关，
此时，，
当时，；
当时，，
∴函数图象总经过两个定点，，故②正确；
③当时，由得：，
，
∴．
∴，．
∴，
∴函数图象截x轴所得的线段长度大于，故③正确．
故答案为：A．
【分析】将时的二次函数配方得到顶点式判断①；当时，该二次函数解析式变形为，即可得到时，y的值与m无关，求出的根，即可得定点坐标判断②；当时，令y=0，求出函数图象与x轴的交点的横坐标判断③解答即可．
12．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：如图，
①二次函数与轴交于点、．
二次函数的对称轴为，即，
．故①正确；
②．
∴，
二次函数与轴交于点、．
，，
，
．故②错误；
③，
抛物线开口向下．
时，二次函数有最大值．
．
即．故③正确；
④由图象可得，．
当时，则，解得，
当时，则，解得
故是等腰三角形时，或，故④正确；
⑤∵抛物线交轴于点、，交y轴于正半轴，
∴开口向下，
∵，，
∴点E在点F左侧，中点横坐标为，
则中点在对称轴右侧，
∴点比更接近对称轴，
，故⑤正确；
故正确的为①③④⑤．
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的对称性得到对称轴为直线，即，整理判断①；将点代入函数关系式，再利用b=2a，可得、的关系判断②；函数开口向下，时取得最大值，即可判断③；分为或时，两种情况，根据勾股定理求出的值判断④；根据抛物线图象上点的坐标特征，利用函数的增减性判断⑤解答即可．
13．【答案】y2（y+4）（y-4）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用平方差公式分解因式解答即可.
14．【答案】15°
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，延长一直角边交直线a于一点，
∵
∴
由三角形外角性质，可得，
∴
故答案为：．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，然后利用三角形外角解答即可．
15．【答案】且
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式；去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：关于x的分式方程化为整式方程得，
，
解得，
由于分式方程的解为非负数，即，
所以，
当时，，
因此k的取值范围为且，
故答案为：且．
【分析】本题以含参分式方程的解的非负性问题为背景，考查了分式方程的解法、不等式的求解以及分式方程增根的概念。解题的关键是先将分式方程转化为整式方程并求出解，然后根据“解是非负数”这一条件列出关于k的不等式，同时要注意排除使原分式方程无意义（即分母为0）的增根情况，从而确定k的最终取值范围。
16．【答案】54
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设定价为x元.根据题意可得，
，
解之得：，，
∵销售量尽可能大，
∴，
故答案为：.
【分析】设定价为x元，利用“销售量×单利润”列出方程，求出x的值解答即可.
17．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：由题意可得如图所示：
∵，图象开口向下，
∴对称轴为直线，顶点坐标为，对称轴与轴交点，
令，得，
∴，
点与点关于对称轴对称，
∴，
∵，，
∴，
∴，
连接交对称轴于点H，过点D分别作，
∴，
∴，
∴，
设，则有，
由点A与点D关于对称轴对称可知：，
∴，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：.
【分析】根据题意得到对称轴为直线，顶点坐标为，对称轴与轴交点，，，根据两角对应相等得到，即可得到，连接交对称轴于点H，过点D分别作，根据正切的定义设，即可得到BD长，进而求出∠BAH的正切解答即可．
18．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：，，
∴，
由折叠可得
四边形是长方形，
，
，
∵由折叠可得，
，
，
设，则，
∵在长方形中，，，
∴由折叠可得，，
∴在中，，
∴，
解得，
，
故答案为：．
【分析】根据折叠的性质可得，根据平行可得，即可得到，进而可知以，设，即可得到，在中利用勾股定理解答即可．
19．【答案】（1）解：原式=-3+3+9-1=8
（2）解：原式=
=
=
当x=-1时，
原式=
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）先运算有理数的乘法、算术平方根、城防、零指数幂的，然后加减解答即可．
（2）先运算括号内分式的减法，然后把除法化为乘法，分解因式约分化简，再将x的值代入计算解答即可．
20．【答案】（1）50；
解：等级的人数为人，
补全条形统计图，如图所示：

（2）30；72°
（3）解：根据题意得：2000×=400（名），
则估计该校不合格的学生人数约为400名
（4）根据题意，列表如下：
1 2 3 4
1 　 （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） 　 （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） 　 （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） 　
所有等可能的情况数有12种，其中和为奇数的有（1，2），（1，4），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，1），（4，3），共8种，
∴P（小明参加）==，P（小亮参加）=1-=，
∵≠，
∴这个游戏规则不公平．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；游戏公平性；概率的简单应用；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）本次共调查了人
故答案为：．
（2）
∴，
对应的扇形圆心角的度数是，
故答案为：，72°．
【分析】（1）运用优秀等级的人数除以占比得出本次参与调查的人数，然后求出B等级的人数，补全统计图即可；
（2）根据C等级的人数除以考查总人数乘以100%求出的值，根据组人数的占比乘以求出圆心角即可；
（3）运用全校总人数乘以良好和优秀人数的占比解答即可；
（4）列表得到所有等可能情况，找出符合条件的结果数，计算出小明和销量橡胶的概率，比较判断游戏公平性即可．
21．【答案】（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元；
（2）解：设购进件种农产品，则购进件种农产品，
根据题意得：，
解得：．
设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则
，即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题中的两个相等关系“3件A种农产品的费用+2件B种农产品的费用=660，4件A种农产品的费用+1件B种农产品的费用=630”列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题中的两个不等关系“A种农产品的件数≤B种农产品件数的3倍，m件种农产品的费用+（40-m）件B种农产品的费用≤5400”列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组求出m的范围，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，根据总利润=m件种农产品的利润+（40-m）件B种农产品的利润可得总利润w与m之间的函数关系式，然后由一次函数的性质即可求解．
（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元；
（2）解：购进件种农产品，则购进件种农产品，
根据题意得：，
解得：．
设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则
，即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多．
22．【答案】（1）解：（1）把D（0，-1），A（2，1）代入y=kx+b，得：
，
解得：
∴y=x-1；
把A（2，1）代入，得：m=1×2=2；
∴
（2）联立，
解得或，
∴B（-1，-2），
由图象可知：
反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围为：x＜-1或0＜x＜2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出两个函数的解析式即可；
（2）先联立两解析式求出交点坐标，然后借助图象，得到双曲线在直线上方时自变量x的取值范围解答即可．
23．【答案】（1）解：BC与⊙O的位置关系为BC与⊙O相切，理由：
连接OM，如图，
∵AM是角平分线，∴∠BAM=∠CAM，
∵OA=OM，∴∠CAM=∠OMA，
∴∠OMA=∠BAM，
∴AB∥OM，∴∠B+∠OMB=180°，
∵∠B=90°，∴∠OMB=90°，
∴OM⊥BC，
∵OM为⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切；
（2）证明：连接OM，MF，如图，
由（1）知：OM⊥BC，
∴∠OMC=90°，
∴∠CMA=∠OMC+∠OMA=90°+∠OMA．
∵AF为⊙O的直径，∴∠AMF=90°，
∴∠CFM=∠AMF+∠OAM=90°+∠OAM．
∵OA=OM，
∴∠OAM=∠OMA，
∴∠CFM=∠CMA，
∵∠C=∠C，
∴△CFM∽△CMA，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
由（1）知，
在中，，
设，则，
∴，
解得，
∴，，
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据角平分线的定义和等边对等角得到∠OMA=∠BAM，即可得到，进而可得，证明结论即可；
（2）连接，得到∠CFM=∠CMA，∠C=∠C即可得到，根据对应边成比例证明结论即可；
（3）连接，在中根据正切的定义设，则，即可得到，求得a的值，再根据正弦的定义求得长解答即可．
24．【答案】（1）AE⊥BD；AE=BD；3
（2）BD=2FG，BD⊥FG，
证明：如图2中，连接AE．
∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE，∠CAE=∠CBD=180°-45°=135°，
∴∠DAE=135°-45°=90°，
∵AG=GD，EF=FD，
∴GF=AE=BD，FG∥AE，
∴BD=2GF，∠DGF=∠DAE=90°，
∴BD⊥FG
（3）如图3中，
∵CF是等腰直角△CDE斜边上的高，
∴当CD最小时，CF的值最小，
根据垂线段最短可知，当CD⊥AB时，CD的值最小（如图4中），
此时四边形AECD是正方形，DE∥CB，
∴.
【知识点】三角形的面积；正方形的判定与性质；旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）①如图1中，设交于点O．
∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵将线段绕点C逆时针旋转得到线段，
∴，
，
∵
∴，
故答案为：3；
【分析】（1）①设交于点O．根据等腰直角三角形的性质，利用SAS得到△ACE≌△BCD，即可得到∠CEA=∠CDB，AE=BD，进而得到结论；
②根据都股定理求出DE长，再根据直角三角形斜边中线性质解答即可；
（2）连接AE．根据等腰直角三角形的性质，利用SAS得到△ACE≌△BCD，即可得到BD=AE，∠CAE=∠CBD，然后证明FG∥AE，得到结论即可；
（3）根据题意得到CD最小时，CF的值最小，此时AECD是正方形，根据三角形的面积公式计算即可.
25．【答案】（1）
（2）解：∵△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
当四边形BCDE的面积最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点B作BM⊥CE，过点D作DN⊥CE，则BM≤BG，DN≤DG，
∵四边形BCDE的面积=S△BCE+S△DCE
=
=
∴四边形BCDE的面积最大=
∵
∴
∴
∴当时，S最大为；
（3）解：直线l过定点
由（2）知：，
∴，
∴，
∵直线y=k1x-k1交图象于点F，H（F点在H点左边）
设，，
∵
∴
∴根据韦达定理得，
∴，
∵，
∴K为FQ的中点，
过点F，Q的直线与直线x=1交于点K，
∴
∴
∴
设H
∴，
∴直线l：，
即
=，
∵，
∴，
∴
=，
∵，
∴当x-1=0，即x=1时，y=1+1=2，
∴直线l过定点（1，2）
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴四边形的面积
；
故答案为：.
【分析】（1）根据四边形的面积解答即可；
（2）根据三角形的中位线定理得到，即可得到，进而得到四边形的面积最大时，最大，过点作，过点作，即可得到，进而得到四边形的最大面积，得到二次函数，化为顶点式求出最大值解答即可；
（3）先求出平移后抛物线的解析式，设，，联立得到，然后根据根与系数的关系得到，，即可得到，进而可得K为FQ的中点，求出点Q的坐标，设H，即可得到QH的解析式，整理解答即可．
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