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2026年浙江省浙里初中升学联考仿真数学卷(二)
1．的相反数是（　　）
A． B．2026 C． D．
2．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．年月日，一列满载个集装箱的中欧班列从成都国际铁路港驶出，标志着中欧班列累计开行量正式突破列大关．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．要清晰反映、豆包等5款大模型在连续一周内，每日处理用户问题数量的变化趋势，最合适的统计图是（　　）
A．折线统计图 B．扇形统计图
C．条形统计图 D．频数分布直方图
5．如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（　　）
A． B． C． D．
6．如果点 、、 在反比例函数 （） 的图象上，那么（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在正十边形中，的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线；③以点为圆心，以为半径画弧交直线于点；④连接交于点．则（　　）
A． B． C． D．
10．在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
11．分解因式： －9=　 　．
12．将抛物线向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为　 　．
13．随着我国电子技术的高速发展，360全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为　 　米．
14．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为　 　 ．
15．如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则　 　．
16．如图，内接于，是上一点，，连接交于，平分，，，则　 　．
17．计算：．
18．解方程组：
19．某校七年级共有500名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，童威随机抽取m名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图．
学生读书数量统计表
阅读量/本 学生人数
1 15
2 a
3 b
4 5
（1）直接写出m、a、b的值；
（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？
20．某校八年级一班数学兴趣小组在探索末尾数字是5的两位数的平方时发现：
，
即：末尾数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25，例如：．
（1）利用上述结论直接写出___________；
（2）若两位数的十位数字为，请用代数式推理方式说明上述结论的准确性．
21．大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB=100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求：
（1）若AD=140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？
（2）若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为，求路线AD的长．
22．如图，为的直径，C，E为上的两点，若平分，于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
23．如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接．
（1）求的值；
（2）求的最大值；
（3）当时，的取值范围是，且，求的值．
24．如图，已知正方形是上的两个动点，交于点．
（1）求证：；
（2）若四边形的面积为，求的长；
（3）求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2026，
故选：B．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义求解即可．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图形可得，该图形的主视图为：
，
故选：B．
【分析】本题以我国传统建筑中的“燕尾榫”为背景，考查了简单几何体的三视图，重点是对主视图概念的理解与空间想象能力。主视图是指从几何体的正前方观察所得到的视图，画图时要注意观察物体的轮廓、虚实线（看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线）以及各部分之间的相对位置。根据给定带榫头部分的形状，从前向后观察，判断出可见的轮廓线，从而确定正确的选项。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
【分析】本题以中欧班列开行量为背景，考查了科学记数法的表示方法。科学记数法的标准形式为 a，其中 1 |a| < 10，n 为整数。解题的关键是确定 a 和 n：将原数的小数点向左移动，直到整数部分只有一位数，得到 a = 1.2；移动的位数即为指数 n，120000 的小数点向左移动 5 位，故 n = 5。注意 a 不能小于1或大于等于10，且 n 等于原数整数位数减1。
4．【答案】A
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：∵折线统计图的特点是能清晰展示数据随时间的变化趋势，
∵题目要求反映5款大模型连续一周内每日处理用户问题数量的变化趋势，
∴最合适的统计图是折线统计图，
故选：A．
【分析】本题以多款AI大模型一周内的用户问题数量为背景，考查了不同统计图的适用场景。解题的关键是明确“反映变化趋势”这一核心需求：折线统计图适合展示数据随时间或其他顺序的变化趋势；扇形统计图用于显示各部分占总体的比例关系；条形统计图用于比较不同类别的具体数值；频数分布直方图用于展示数据的分布情况。根据题意，需要呈现连续一周内每日数量的增减变化，因此折线统计图最为合适。
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
与是位似图形，
与的位似比是．
与的相似比为，
与的面积比为，
故选：B．
【分析】根据位似的定义得到与的相似比，然后根据相似三角形的性质解答即可．
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数为，
∴，，．
∵，
∴，即，
∴．
故选：C．
【分析】本题以反比例函数为背景，考查了函数图象上点的坐标特征以及有理数的大小比较。解题的关键是直接代入横坐标求出对应的函数值表达式：由y =（k>0）可得，= -k，。由于k>0，可知和均为负数，且-k < - < 0，而为正数，因此最大，最小，从而得出。注意负数的比较：绝对值大的反而小。
7．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，设正十边形的中心为点O，连接，
则，
由圆周角定理得，，
故答案为：B．
【分析】设正十边形的中心为点O，连接OC，由正n边形的中心角为可求出∠BOC的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求出∠A的度数.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺，
∴由勾股定理得，
故选：D．
【分析】本题以《九章算术》中的“勾股”问题为背景，考查了列一元二次方程解决实际问题的能力，涉及勾股定理的应用以及古代长度单位的换算。解题的关键是理清题意：长方形门的周长是6尺8寸，即6.8尺，因此半周长（长+宽）为3.4尺，但题中已知“户高多于六尺八寸”实际指的是高比宽多6尺8寸（6.8尺）。设门高为x尺，则门宽为(x-6.8)尺，对角线长为1丈=10尺。根据勾股定理，高、宽与对角线满足x2 + (x-6.8)2 = 102。注意单位统一（都化为尺）是正确列式的关键。
9．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C
【分析】本题以尺规作图为背景，综合考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理。解题的关键是连接AG，由作图步骤可知EF垂直平分AB，从而得到GA=GB；再根据“以B为圆心，BA为半径画弧”可得BG=BA，因此AB=BG=AG，推出△ ABG为等边三角形，故∠ABG=60°。在△ABC中，由AB=BC且∠ ABC=90°得∠BAP=45°。最后在△ABP中利用三角形内角和为180°，即可求出∠APB=180°-60°-45°=75°。理解尺规作图每一步的几何意义是正确推理的前提。
10．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，点在一次函数图象上，
∴，解得：，
、当时，则，当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意；
、当时，则，当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意；
、当时，则，
∵点在第一象限内，
∴，，
∴，故该选项判断正确，符合题意；
、同理可得该选项判断错误，不符合题意．
故选：C
【分析】本题以一次函数为背景，考查了利用待定系数法求参数k、b的表达式，并根据点P(m，n)在第一象限内的条件进行符号判断。解题的关键是将A(2，2)和P(m，n)代入y=kx+b得到方程组，解得k=，b=。注意点P与A不重合，故m2。然后逐项分析：对于A、B，通过b的分子2(n-m)与分母2-m的符号组合判断b的正负；对于C、D，条件m+n=2m可化简为n=m，代入k的表达式得k==1>0，从而判断k的符号。分析时需考虑m>2或m<2对分母符号的影响，以及m与n的大小关系对分子符号的影响。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向下平移2个单位长度，
∴新抛物线的表达式为．
故答案为：．
【分析】本题以抛物线平移为背景，考查了二次函数图象的平移规律。解题的关键是熟记口诀“上加下减，左加右减”：上下平移针对函数值y进行加减，向下平移a个单位，就在原解析式末尾减去a；左右平移针对自变量x进行加减。本题中抛物线y=5x2向下平移2个单位，因此只需在常数项位置减去2，得到新解析式y=5x2-2。注意平移不改变二次项系数。
13．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据扇形的弧长公式，
该可视区域形成的扇形弧长（米）．
故答案为：
【分析】本题以汽车360全景影像的可视范围为背景，考查了扇形弧长公式的实际应用。解题的关键是正确识别扇形弧长公式 l = 中的各个量： n 为圆心角度数（即可视角度40°）， r 为扇形半径（3米）。将已知数值代入公式后，进行约分计算： l = == 。注意结果保留 的形式，并正确书写单位（米）。理解公式中角度与弧度的对应关系（此处使用角度制）是正确列式的关键。
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】 【解答】解：列表如下：
　 A B C D
A 　
B 　
C 　
D 　
共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的有：，，，，共4种，
∴小灯泡发光的概率是．
故答案为：．
【分析】本题以电路开关为背景，考查了用列表法或树状图法求简单随机事件的概率。解题的关键是弄清小灯泡发光的条件：必须同时闭合A和B，或者同时闭合C和D。从A、B、C、D四个开关中随机闭合两个，总共有6种等可能的结果（不计顺序），分别是：AB、AC、AD、BC、BD、CD。其中能让小灯泡发光的结果只有AB和CD，共2种。根据概率公式，所求概率为。注意列举时要做到不重复、不遗漏。
15．【答案】25
【知识点】勾股定理；菱形的性质；中心对称的性质
【解析】【解答】解：在菱形中，与互相垂直平分，
∴，，
又∵与关于点D成中心对称，
∴，
∴，，，
∴，
在中，．
故答案为：25
【分析】本题以菱形和中心对称为背景，考查了菱形的对角线性质（互相垂直平分）、中心对称的性质（对应边相等、对应角相等）以及勾股定理的应用。解题的关键分三步：先由菱形对角线互相平分求出 AP = 7，BP = PD = 8；再根据 △ EFD 与△ APD 关于点 D 成中心对称，得出对应边相等：PD = DF = 8，AP = EF = 7，且对应角相等得 ∠ EFD = ∠APD = 90°；然后求出 BF = BD + DF = 16 + 8 = 24；最后在 Rt△BFE 中利用勾股定理 BE === 25。注意中心对称图形全等以及正确找出对应边是解题的关键。
16．【答案】10
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故答案为：10
【分析】本题以圆内接三角形为背景，综合考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、圆周角定理的推论（直径所对圆周角为直角）以及勾股定理。解题的关键是延长AO交⊙O于点F，连接FC、OB。先由角平分线和平行线推出∠BAE =∠ BEA，得AB = BE =；再证，利用相似比例方程求出AO =；然后求出AF =，FE =，并证明FC = FE；最后由直径所对圆周角为直角得∠ ACF = 90°，在Rt△ ACF中利用勾股定理求出AC = 10。注意辅助线的构造以及相似三角形对应边的准确对应是突破难点。
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了算术平方根的化简、特殊角30°的正弦值记忆以及零指数幂的运算法则。解题时需依次处理各项：先分别算出、sin30°和的具体数值，再按照先乘除后加减的顺序进行计算。其中特别要注意任何非零数的零次幂都等于1，以及三角函数值需准确代入。掌握这些基础运算规则是解答本题的关键。
18．【答案】解：，
，
，
解得，
将代入：，
解得，
∴该方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题以二元一次方程组的求解为背景，考查了加减消元法解二元一次方程组的方法。解题的关键是观察方程组中未知数的系数，通过将其中一个方程变形（如本题中第一个方程乘以2），使两个方程中某一未知数的系数互为相反数或相等，然后将两个方程相加或相减消去该未知数，得到一个一元一次方程，求解后再将结果代入原方程求出另一个未知数，最终得到方程组的解。
19．【答案】解：（1）m的值是50，a的值是10，b的值是20；
（2）（1×15+2×10+3×20+4×5）×=1150（本），
答：该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是1150本．
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，
m=15÷30%=50，b=50×40%=20，a=50﹣15﹣20﹣5=10，
即m的值是50，a的值是10，b的值是20；
【分析】本题以学生课外阅读调查为背景，考查了扇形统计图与统计表的综合应用、样本容量的计算以及用样本估计总体的统计思想。
（1）根据“1本”人数15人及对应百分比30%，求出样本容量 m = 50；再根据“3本”所占百分比40%得 b = 20；由总人数减去其他部分得 a = 10；
（2）先计算样本平均阅读量，再乘以全校总人数500，估计出全校阅读总量约为1150本。
20．【答案】（1）9025
（2）解：由题意：这个两位数为：，
它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25为：，
，
末尾数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：9025
【分析】本题以探索“末位数字是5的两位数的平方”规律为背景，考查了代数推理与整式运算的应用。
（1）直接运用规律：十位数字9与下一个自然数10相乘得90，末尾加上25得9025。
（2）先用字母表示该两位数为10m+5，再计算其平方：(10m+5)2 = 100m2+ 100m + 25 = 100m(m+1) + 25，其中100m(m+1)表示“十位数字与下一个自然数的乘积”再乘以100（即末尾空出两位），再加上25正好对应“末尾写上25”。通过整式的恒等变形，证明了上述规律的正确性。掌握用字母表示数并进行代数推理是解决此类问题的核心。
（1）解：；
（2）解：由题意：这个两位数为：，
它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25为：，
，
末尾数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25．
21．【答案】（1）解：如图，过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，则四边形ABEF是矩形，
∴AF=BE，EF=AB，
在Rt△ADF中，AD=140，∠FAD=30°，
∴DF=，AF=，
在Rt△CDE中，∠DCE=60°，DE=EF-DF=100-70=30，
∴CE=，
∴BC=BE+CE=（米）；
（2）解：设CD=x，AD=4x，在Rt△ADF中，∠FAD=30°，
∴DF=，
在Rt△CDE中，∠DCE=60°，
∴，
∵DF+DE=EF=100，
解得x=，
∴AD=4x=（米）．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题以大跳台滑雪比赛的赛道为背景，考查了解直角三角形的实际应用。解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为数学问题。
（1）过点D作DEBC于E，过A作AF ED延长线于F，得到矩形ABEF，然后在Rt△ ADF和Rt△ CDE中，利用三角函数分别求出AF、DF、DE、CE的长度，进而求出BC的长度；
（2）设CD =x，AD = 4x，分别在Rt△ADF和Rt△ CDE中，利用三角函数表示出DF和DE的长度，再根据DF + DE = EF = AB = 100列出方程，求解x，进而得到AD的长度。
（1）解：如图，过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，
则四边形ABEF是矩形，
∴AF=BE，EF=AB，
在Rt△ADF中，AD=140，∠FAD=30°，
∴DF=，AF=，
在Rt△CDE中，∠DCE=60°，DE=EF-DF=100-70=30，
∴CE=，
∴BC=BE+CE=（米）；
（2）设CD=x，AD=4x，
在Rt△ADF中，∠FAD=30°，
∴DF=，
在Rt△CDE中，∠DCE=60°，
∴，
∵DF+DE=EF=100，
解得x=，
∴AD=4x=（米）．
22．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线
（2）解：如图，过O作于点F，
∴，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；切线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】本题以圆为背景，综合考查了切线的判定、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用。
（1）证明CD是切线，关键是连接半径OC。由OA=OC得∠OAC=∠ OCA，结合AC平分∠EAB得∠ OAC=∠DAC，从而∠ DAC=∠OCA，推出ADOC。再由CD AD可得OC CD，最后根据“过半径外端且垂直于半径的直线是切线”证得结论。
（2）求DE的长，需要过点O作OF AE于点F。由垂径定理得AF=EF；结合已知垂直关系可证四边形OCDF为矩形，得OF=CD=3，DF=OC=OA=6。在Rt△AOF中利用勾股定理求出AF=3，则EF=AF=3，最后DE=DF-EF=6-3=3。注意辅助线的合理构造以及矩形性质的灵活运用是解题的关键。
（1）证明：如图，连接，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线．
（2）解：如图，过O作于点F，
∴，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
．
23．【答案】（1）解：把代入
得，，
解得，
把代入
得，，
解得，
∴．
（2）解：过点作交于，交于点，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴
∴当时，有最大值为．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴当有最大值时，取到最大值，
∴的最大值为
（3）解：由得，∴顶点为，即当时，有最大值4，
∵抛物线对称轴为，
∴当时或时，值相等，即，
①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得（舍），；
②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，
∴，不符合题意；
③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴都不符合，舍去；
综上所述，
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题以二次函数与一次函数的综合为背景，考查了待定系数法求解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数最值的求解以及二次函数在给定区间上的取值范围分类讨论。
（1）将点 A 和 B 的坐标代入抛物线解析式，联立方程组求出 a 和 b；再将点 B 代入直线解析式求出 k。
（2）过点 P 作 PD AB 交 BC 于点 H，用 m 表示 P 和 H 的纵坐标，得到 PH 关于 m 的二次函数，求出其最大值。再通过证明，得到 PQ 与 PH 的比例关系，从而求出 PQ 的最大值。
（3）将抛物线化为顶点式，得到对称轴和最大值。根据 m 与对称轴及区间端点的位置关系分三种情况讨论，结合的值列方程，求解得到 m 的值。
（1）解：把代入得，，
解得，
把代入得，，
解得，
∴．
（2）解：过点作交于，交于点，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴
∴当时，有最大值为．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴当有最大值时，取到最大值，
∴的最大值为．
（3）解：由得，
∴顶点为，即当时，有最大值4，
∵抛物线对称轴为，
∴当时或时，值相等，即，
①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得（舍），；
②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，
∴，不符合题意；
③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴都不符合，舍去；
综上所述，．
24．【答案】（1）证明：如图
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
即，
设，其中，
则，
∴，
解得或（舍），
∵，
∴，
∴，即，
（3）解：由（1）得，
∴，
设，
则，，
∴，，
设，则，其中，
，即，
，解得，
，
的最小值为，
的最小值为
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题以正方形中的动点问题为背景，综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数最值以及一元二次方程根的判别式等知识。
（1）证明CE = DF，关键是通过CEDF和正方形性质得到 1 = 3，结合CD = DA， A = CDE = 90°，用ASA证得，从而对应边相等。
（2）求CE的长。先由全等得面积相等，推出。设DG = a，CG = b，根据直角三角形面积和勾股定理得方程组ab = 4，，解得a = 4，b = 2（或互换，由a < b确定）。再证，利用相似比，代入数据求出。
（3）求的最小值。由全等设AF = DE = x，则AE = 6 - x，分别用x表示EF2和DF2。令k =，整理成关于x的一元二次方程(k-2)x2+ 12x + 36k - 36 = 0，由x为实数得判别式0，解出k，即k的最小值为，开方后得的最小值为。注意开方结果的化简技巧。
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
即，
设，其中，则，
∴，
解得或（舍），
∵，
∴，
∴，即，
；
（3）解：由（1）得，
∴，
设，则，，
∴，，
设，则，其中，
，即，
，解得，
，
的最小值为，
的最小值为．
1 / 12026年浙江省浙里初中升学联考仿真数学卷(二)
1．的相反数是（　　）
A． B．2026 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：的相反数是2026，
故选：B．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数的定义求解即可．
2．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件，燕尾榫是“万榫之母”．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图形可得，该图形的主视图为：
，
故选：B．
【分析】本题以我国传统建筑中的“燕尾榫”为背景，考查了简单几何体的三视图，重点是对主视图概念的理解与空间想象能力。主视图是指从几何体的正前方观察所得到的视图，画图时要注意观察物体的轮廓、虚实线（看得见的棱画实线，看不见的棱画虚线）以及各部分之间的相对位置。根据给定带榫头部分的形状，从前向后观察，判断出可见的轮廓线，从而确定正确的选项。
3．年月日，一列满载个集装箱的中欧班列从成都国际铁路港驶出，标志着中欧班列累计开行量正式突破列大关．数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
【分析】本题以中欧班列开行量为背景，考查了科学记数法的表示方法。科学记数法的标准形式为 a，其中 1 |a| < 10，n 为整数。解题的关键是确定 a 和 n：将原数的小数点向左移动，直到整数部分只有一位数，得到 a = 1.2；移动的位数即为指数 n，120000 的小数点向左移动 5 位，故 n = 5。注意 a 不能小于1或大于等于10，且 n 等于原数整数位数减1。
4．要清晰反映、豆包等5款大模型在连续一周内，每日处理用户问题数量的变化趋势，最合适的统计图是（　　）
A．折线统计图 B．扇形统计图
C．条形统计图 D．频数分布直方图
【答案】A
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：∵折线统计图的特点是能清晰展示数据随时间的变化趋势，
∵题目要求反映5款大模型连续一周内每日处理用户问题数量的变化趋势，
∴最合适的统计图是折线统计图，
故选：A．
【分析】本题以多款AI大模型一周内的用户问题数量为背景，考查了不同统计图的适用场景。解题的关键是明确“反映变化趋势”这一核心需求：折线统计图适合展示数据随时间或其他顺序的变化趋势；扇形统计图用于显示各部分占总体的比例关系；条形统计图用于比较不同类别的具体数值；频数分布直方图用于展示数据的分布情况。根据题意，需要呈现连续一周内每日数量的增减变化，因此折线统计图最为合适。
5．如图，与位似，其位似中心为点O，且，则与的面积比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴
与是位似图形，
与的位似比是．
与的相似比为，
与的面积比为，
故选：B．
【分析】根据位似的定义得到与的相似比，然后根据相似三角形的性质解答即可．
6．如果点 、、 在反比例函数 （） 的图象上，那么（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数为，
∴，，．
∵，
∴，即，
∴．
故选：C．
【分析】本题以反比例函数为背景，考查了函数图象上点的坐标特征以及有理数的大小比较。解题的关键是直接代入横坐标求出对应的函数值表达式：由y =（k>0）可得，= -k，。由于k>0，可知和均为负数，且-k < - < 0，而为正数，因此最大，最小，从而得出。注意负数的比较：绝对值大的反而小。
7．如图，在正十边形中，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，设正十边形的中心为点O，连接，
则，
由圆周角定理得，，
故答案为：B．
【分析】设正十边形的中心为点O，连接OC，由正n边形的中心角为可求出∠BOC的度数，进而根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可求出∠A的度数.
8．《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈尺，1尺寸）设门高x尺，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设门高尺，则宽为尺，而对角线长为10尺，
∴由勾股定理得，
故选：D．
【分析】本题以《九章算术》中的“勾股”问题为背景，考查了列一元二次方程解决实际问题的能力，涉及勾股定理的应用以及古代长度单位的换算。解题的关键是理清题意：长方形门的周长是6尺8寸，即6.8尺，因此半周长（长+宽）为3.4尺，但题中已知“户高多于六尺八寸”实际指的是高比宽多6尺8寸（6.8尺）。设门高为x尺，则门宽为(x-6.8)尺，对角线长为1丈=10尺。根据勾股定理，高、宽与对角线满足x2 + (x-6.8)2 = 102。注意单位统一（都化为尺）是正确列式的关键。
9．如图，在中，，．按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线；③以点为圆心，以为半径画弧交直线于点；④连接交于点．则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接，如图，
由作法得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：C
【分析】本题以尺规作图为背景，综合考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理。解题的关键是连接AG，由作图步骤可知EF垂直平分AB，从而得到GA=GB；再根据“以B为圆心，BA为半径画弧”可得BG=BA，因此AB=BG=AG，推出△ ABG为等边三角形，故∠ABG=60°。在△ABC中，由AB=BC且∠ ABC=90°得∠BAP=45°。最后在△ABP中利用三角形内角和为180°，即可求出∠APB=180°-60°-45°=75°。理解尺规作图每一步的几何意义是正确推理的前提。
10．在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵点，点在一次函数图象上，
∴，解得：，
、当时，则，当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意；
、当时，则，当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意；
、当时，则，
∵点在第一象限内，
∴，，
∴，故该选项判断正确，符合题意；
、同理可得该选项判断错误，不符合题意．
故选：C
【分析】本题以一次函数为背景，考查了利用待定系数法求参数k、b的表达式，并根据点P(m，n)在第一象限内的条件进行符号判断。解题的关键是将A(2，2)和P(m，n)代入y=kx+b得到方程组，解得k=，b=。注意点P与A不重合，故m2。然后逐项分析：对于A、B，通过b的分子2(n-m)与分母2-m的符号组合判断b的正负；对于C、D，条件m+n=2m可化简为n=m，代入k的表达式得k==1>0，从而判断k的符号。分析时需考虑m>2或m<2对分母符号的影响，以及m与n的大小关系对分子符号的影响。
11．分解因式： －9=　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
12．将抛物线向下平移2个单位长度，所得新抛物线的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵将抛物线向下平移2个单位长度，
∴新抛物线的表达式为．
故答案为：．
【分析】本题以抛物线平移为背景，考查了二次函数图象的平移规律。解题的关键是熟记口诀“上加下减，左加右减”：上下平移针对函数值y进行加减，向下平移a个单位，就在原解析式末尾减去a；左右平移针对自变量x进行加减。本题中抛物线y=5x2向下平移2个单位，因此只需在常数项位置减去2，得到新解析式y=5x2-2。注意平移不改变二次项系数。
13．随着我国电子技术的高速发展，360全景影像应用于汽车中使得驾驶安全上了一个新的台阶，如图是使用了该技术的某品牌汽车，车前可视范围是一个半径为3米，可视角度为的扇形，则该可视区域形成的扇形弧长为　 　米．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：根据扇形的弧长公式，
该可视区域形成的扇形弧长（米）．
故答案为：
【分析】本题以汽车360全景影像的可视范围为背景，考查了扇形弧长公式的实际应用。解题的关键是正确识别扇形弧长公式 l = 中的各个量： n 为圆心角度数（即可视角度40°）， r 为扇形半径（3米）。将已知数值代入公式后，进行约分计算： l = == 。注意结果保留 的形式，并正确书写单位（米）。理解公式中角度与弧度的对应关系（此处使用角度制）是正确列式的关键。
14．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为　 　 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】 【解答】解：列表如下：
　 A B C D
A 　
B 　
C 　
D 　
共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的有：，，，，共4种，
∴小灯泡发光的概率是．
故答案为：．
【分析】本题以电路开关为背景，考查了用列表法或树状图法求简单随机事件的概率。解题的关键是弄清小灯泡发光的条件：必须同时闭合A和B，或者同时闭合C和D。从A、B、C、D四个开关中随机闭合两个，总共有6种等可能的结果（不计顺序），分别是：AB、AC、AD、BC、BD、CD。其中能让小灯泡发光的结果只有AB和CD，共2种。根据概率公式，所求概率为。注意列举时要做到不重复、不遗漏。
15．如图，菱形中，对角线，相交于点P，与关于点D成中心对称．若，，则　 　．
【答案】25
【知识点】勾股定理；菱形的性质；中心对称的性质
【解析】【解答】解：在菱形中，与互相垂直平分，
∴，，
又∵与关于点D成中心对称，
∴，
∴，，，
∴，
在中，．
故答案为：25
【分析】本题以菱形和中心对称为背景，考查了菱形的对角线性质（互相垂直平分）、中心对称的性质（对应边相等、对应角相等）以及勾股定理的应用。解题的关键分三步：先由菱形对角线互相平分求出 AP = 7，BP = PD = 8；再根据 △ EFD 与△ APD 关于点 D 成中心对称，得出对应边相等：PD = DF = 8，AP = EF = 7，且对应角相等得 ∠ EFD = ∠APD = 90°；然后求出 BF = BD + DF = 16 + 8 = 24；最后在 Rt△BFE 中利用勾股定理 BE === 25。注意中心对称图形全等以及正确找出对应边是解题的关键。
16．如图，内接于，是上一点，，连接交于，平分，，，则　 　．
【答案】10
【知识点】圆周角定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点，连接，，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
故答案为：10
【分析】本题以圆内接三角形为背景，综合考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、圆周角定理的推论（直径所对圆周角为直角）以及勾股定理。解题的关键是延长AO交⊙O于点F，连接FC、OB。先由角平分线和平行线推出∠BAE =∠ BEA，得AB = BE =；再证，利用相似比例方程求出AO =；然后求出AF =，FE =，并证明FC = FE；最后由直径所对圆周角为直角得∠ ACF = 90°，在Rt△ ACF中利用勾股定理求出AC = 10。注意辅助线的构造以及相似三角形对应边的准确对应是突破难点。
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了算术平方根的化简、特殊角30°的正弦值记忆以及零指数幂的运算法则。解题时需依次处理各项：先分别算出、sin30°和的具体数值，再按照先乘除后加减的顺序进行计算。其中特别要注意任何非零数的零次幂都等于1，以及三角函数值需准确代入。掌握这些基础运算规则是解答本题的关键。
18．解方程组：
【答案】解：，
，
，
解得，
将代入：，
解得，
∴该方程组的解为：．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题以二元一次方程组的求解为背景，考查了加减消元法解二元一次方程组的方法。解题的关键是观察方程组中未知数的系数，通过将其中一个方程变形（如本题中第一个方程乘以2），使两个方程中某一未知数的系数互为相反数或相等，然后将两个方程相加或相减消去该未知数，得到一个一元一次方程，求解后再将结果代入原方程求出另一个未知数，最终得到方程组的解。
19．某校七年级共有500名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，童威随机抽取m名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图．
学生读书数量统计表
阅读量/本 学生人数
1 15
2 a
3 b
4 5
（1）直接写出m、a、b的值；
（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？
【答案】解：（1）m的值是50，a的值是10，b的值是20；
（2）（1×15+2×10+3×20+4×5）×=1150（本），
答：该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是1150本．
【知识点】统计表；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，
m=15÷30%=50，b=50×40%=20，a=50﹣15﹣20﹣5=10，
即m的值是50，a的值是10，b的值是20；
【分析】本题以学生课外阅读调查为背景，考查了扇形统计图与统计表的综合应用、样本容量的计算以及用样本估计总体的统计思想。
（1）根据“1本”人数15人及对应百分比30%，求出样本容量 m = 50；再根据“3本”所占百分比40%得 b = 20；由总人数减去其他部分得 a = 10；
（2）先计算样本平均阅读量，再乘以全校总人数500，估计出全校阅读总量约为1150本。
20．某校八年级一班数学兴趣小组在探索末尾数字是5的两位数的平方时发现：
，
即：末尾数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25，例如：．
（1）利用上述结论直接写出___________；
（2）若两位数的十位数字为，请用代数式推理方式说明上述结论的准确性．
【答案】（1）9025
（2）解：由题意：这个两位数为：，
它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25为：，
，
末尾数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25
【知识点】完全平方公式及运用；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】（1）解：；
故答案为：9025
【分析】本题以探索“末位数字是5的两位数的平方”规律为背景，考查了代数推理与整式运算的应用。
（1）直接运用规律：十位数字9与下一个自然数10相乘得90，末尾加上25得9025。
（2）先用字母表示该两位数为10m+5，再计算其平方：(10m+5)2 = 100m2+ 100m + 25 = 100m(m+1) + 25，其中100m(m+1)表示“十位数字与下一个自然数的乘积”再乘以100（即末尾空出两位），再加上25正好对应“末尾写上25”。通过整式的恒等变形，证明了上述规律的正确性。掌握用字母表示数并进行代数推理是解决此类问题的核心。
（1）解：；
（2）解：由题意：这个两位数为：，
它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25为：，
，
末尾数字是5的两位数的平方，可以先写出它的十位数字与其下一个自然数的乘积，再在末尾接着写上25．
21．大跳台滑雪比赛的某段赛道如图所示，中国选手谷爱凌从离水平地面100米高的A点出发（AB=100米），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处，求：
（1）若AD=140米，则她滑行的水平距离BC为多少米？
（2）若她滑行的两段路线AD与CD的长度比为，求路线AD的长．
【答案】（1）解：如图，过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，则四边形ABEF是矩形，
∴AF=BE，EF=AB，
在Rt△ADF中，AD=140，∠FAD=30°，
∴DF=，AF=，
在Rt△CDE中，∠DCE=60°，DE=EF-DF=100-70=30，
∴CE=，
∴BC=BE+CE=（米）；
（2）解：设CD=x，AD=4x，在Rt△ADF中，∠FAD=30°，
∴DF=，
在Rt△CDE中，∠DCE=60°，
∴，
∵DF+DE=EF=100，
解得x=，
∴AD=4x=（米）．
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】本题以大跳台滑雪比赛的赛道为背景，考查了解直角三角形的实际应用。解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为数学问题。
（1）过点D作DEBC于E，过A作AF ED延长线于F，得到矩形ABEF，然后在Rt△ ADF和Rt△ CDE中，利用三角函数分别求出AF、DF、DE、CE的长度，进而求出BC的长度；
（2）设CD =x，AD = 4x，分别在Rt△ADF和Rt△ CDE中，利用三角函数表示出DF和DE的长度，再根据DF + DE = EF = AB = 100列出方程，求解x，进而得到AD的长度。
（1）解：如图，过点D作DE⊥BC于E，过A作AF⊥ED交延长线于F，
则四边形ABEF是矩形，
∴AF=BE，EF=AB，
在Rt△ADF中，AD=140，∠FAD=30°，
∴DF=，AF=，
在Rt△CDE中，∠DCE=60°，DE=EF-DF=100-70=30，
∴CE=，
∴BC=BE+CE=（米）；
（2）设CD=x，AD=4x，
在Rt△ADF中，∠FAD=30°，
∴DF=，
在Rt△CDE中，∠DCE=60°，
∴，
∵DF+DE=EF=100，
解得x=，
∴AD=4x=（米）．
22．如图，为的直径，C，E为上的两点，若平分，于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线
（2）解：如图，过O作于点F，
∴，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理；切线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】本题以圆为背景，综合考查了切线的判定、角平分线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、矩形的判定与性质以及勾股定理的应用。
（1）证明CD是切线，关键是连接半径OC。由OA=OC得∠OAC=∠ OCA，结合AC平分∠EAB得∠ OAC=∠DAC，从而∠ DAC=∠OCA，推出ADOC。再由CD AD可得OC CD，最后根据“过半径外端且垂直于半径的直线是切线”证得结论。
（2）求DE的长，需要过点O作OF AE于点F。由垂径定理得AF=EF；结合已知垂直关系可证四边形OCDF为矩形，得OF=CD=3，DF=OC=OA=6。在Rt△AOF中利用勾股定理求出AF=3，则EF=AF=3，最后DE=DF-EF=6-3=3。注意辅助线的合理构造以及矩形性质的灵活运用是解题的关键。
（1）证明：如图，连接，
，
，
∵平分，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线．
（2）解：如图，过O作于点F，
∴，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
．
23．如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为，与轴交于点，直线过点和点．点是第一象限内抛物线上的点，设点的横坐标为，过点作于点，连接．
（1）求的值；
（2）求的最大值；
（3）当时，的取值范围是，且，求的值．
【答案】（1）解：把代入
得，，
解得，
把代入
得，，
解得，
∴．
（2）解：过点作交于，交于点，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴
∴当时，有最大值为．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴当有最大值时，取到最大值，
∴的最大值为
（3）解：由得，∴顶点为，即当时，有最大值4，
∵抛物线对称轴为，
∴当时或时，值相等，即，
①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得（舍），；
②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，
∴，不符合题意；
③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴都不符合，舍去；
综上所述，
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】本题以二次函数与一次函数的综合为背景，考查了待定系数法求解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数最值的求解以及二次函数在给定区间上的取值范围分类讨论。
（1）将点 A 和 B 的坐标代入抛物线解析式，联立方程组求出 a 和 b；再将点 B 代入直线解析式求出 k。
（2）过点 P 作 PD AB 交 BC 于点 H，用 m 表示 P 和 H 的纵坐标，得到 PH 关于 m 的二次函数，求出其最大值。再通过证明，得到 PQ 与 PH 的比例关系，从而求出 PQ 的最大值。
（3）将抛物线化为顶点式，得到对称轴和最大值。根据 m 与对称轴及区间端点的位置关系分三种情况讨论，结合的值列方程，求解得到 m 的值。
（1）解：把代入得，，
解得，
把代入得，，
解得，
∴．
（2）解：过点作交于，交于点，
∵点的横坐标为，
∴，，
∴
∴当时，有最大值为．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与轴交于点，
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴当有最大值时，取到最大值，
∴的最大值为．
（3）解：由得，
∴顶点为，即当时，有最大值4，
∵抛物线对称轴为，
∴当时或时，值相等，即，
①当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得（舍），；
②当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，
∴，不符合题意；
③当时，则在时，取得最大值，时取得最小值，即，，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴都不符合，舍去；
综上所述，．
24．如图，已知正方形是上的两个动点，交于点．
（1）求证：；
（2）若四边形的面积为，求的长；
（3）求的最小值．
【答案】（1）证明：如图
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
（2）解：，
，
，
即，
设，其中，
则，
∴，
解得或（舍），
∵，
∴，
∴，即，
（3）解：由（1）得，
∴，
设，
则，，
∴，，
设，则，其中，
，即，
，解得，
，
的最小值为，
的最小值为
【知识点】二次函数的最值；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题以正方形中的动点问题为背景，综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数最值以及一元二次方程根的判别式等知识。
（1）证明CE = DF，关键是通过CEDF和正方形性质得到 1 = 3，结合CD = DA， A = CDE = 90°，用ASA证得，从而对应边相等。
（2）求CE的长。先由全等得面积相等，推出。设DG = a，CG = b，根据直角三角形面积和勾股定理得方程组ab = 4，，解得a = 4，b = 2（或互换，由a < b确定）。再证，利用相似比，代入数据求出。
（3）求的最小值。由全等设AF = DE = x，则AE = 6 - x，分别用x表示EF2和DF2。令k =，整理成关于x的一元二次方程(k-2)x2+ 12x + 36k - 36 = 0，由x为实数得判别式0，解出k，即k的最小值为，开方后得的最小值为。注意开方结果的化简技巧。
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
即，
设，其中，则，
∴，
解得或（舍），
∵，
∴，
∴，即，
；
（3）解：由（1）得，
∴，
设，则，，
∴，，
设，则，其中，
，即，
，解得，
，
的最小值为，
的最小值为．
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