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贵州省贵阳市南明区永乐第一中学2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题
1． 下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．0
2．下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是(　　)
A． B．
C． D．
3．在平面直角坐标系中，点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．下列等式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．手机通用的信号强度单位是（毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，货船与港口相距35海里，货船相对港口的位置用有序数对（南偏西，35海里）来描述，那么港口相对货船的位置可描述为（　　）
A．（南偏西，35海里） B．（北偏西，35海里）
C．（北偏东，35海里） D．（北偏东，35海里）
8．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
9．“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格中，点A，B，C均在格点上．若点，，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．给出下列命题：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）相等的角是对顶角；
（3）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作该点到直线的距离；
（4）不相交的两条直线叫作平行线．
其中真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
11．若，则的值为（　　）
A． B．5 C．15 D．25
12．如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则∠3的度数为（　　）
A．104° B．128° C．138° D．156°
13．如图，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是，理由是　 　．
14．若m，n都是无理数，且，请写出一组满足条件的m，n的值：　 　．
15．如图，，平 分，交 于 点 ，若 ，则的度数为　 　 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点，，，…，那么点的坐标为　 　．
17．计算：
（1）
（2）
18．完成下列推理过程．
如图，，，．
求证：．
推理过程：
，，
（ ）．
（ ）．
（ ）．
（已知），
（等式的基本事实）．
．
（ ）．
19．已知和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根．
20．已知点，根据条件，求点A的坐标．
（1）点A的横坐标是纵坐标的2倍．
（2）点A在过点且与轴平行的直线上．
21．阅读下列解题过程：
；
；
；
……
（1）计算：________；
（2）按照你所发现的规律，猜想：_______；（n为正整数）
（3）计算：．
22．如图，在的正方形网格中有三角形，点均在格点上.
（1）画出点到直线的最短路径；
（2）过点画出的平行线，交于点；
（3）将三角形向左平移格，再向下平移格后得到三角形，画出三角形.
23．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片．
（1）大正方形纸片的边长是___________；
（2）若沿着大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为 ，且面积为
24．如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴于点F．
（1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；
（2）求点F的坐标；
（3）点P为x轴上一点，若三角形的面积和三角形的面积相等，求出点P的坐标．
25．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，．
（1）观察猜想：将图1中的三角尺沿的方向平移至图2的位置，使得点O与点N重合，与相交于点E，则 ；
（2）操作探究：将图1中的三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图3，且OD恰好平分，与相交于点E，求的度数；
（3）深化拓展：将图1中的三角尺绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转多少度时，边恰好与边平行？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、∵是有理数不是无理数，∴A不符合题意；
B、∵是无理数，∴B符合题意；
C、∵是有理数不是无理数，∴C不符合题意；
D、∵0是有理数不是无理数，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用无理数的定义逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：A．∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2=180°；故本选项错误；
B．∠1、∠2是对顶角，∠1=∠2；故本选项正确；
C．根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；
D．根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．
故选：B．
【分析】根据补角，对顶角，直线平行性质，三角形外角性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴点一定在第四象限，
故答案为：D．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））求解即可.
4．【答案】B
【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： A：，式子错误，不符合题意；
B：，式子正确，符合题意；
C：，式子错误，不符合题意；
D：，式子错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用二次根式的性质计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
则信号最强的是．
故答案为：D．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴（同位角相等，两直线平行）
故A正确，不符合题意；
∵，
∴（内错角相等，两直线平行）
故B正确，不符合题意；
∵，
∴（同位角相等，两直线平行）
故C不正确，符合题意；
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行）
故D正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：由题意知货船A相对港口B的位置可描述为北偏东，35海里．
故选：D．
【分析】根据方位角即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
所以应在③段上．
故选：C
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：根据点，，
建立直角坐标系如图：
则，
故选：C．
【分析】根据点，，确定原点，从而建立坐标系，再根据点C的位置写出坐标即可.
10．【答案】A
【知识点】点到直线的距离；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：同位角相等的前提是两直线平行，若两直线不平行，同位角不相等，故命题（1）错误；
对顶角相等，但相等的角未必是对顶角，例如平行线中的同位角，故命题（2）错误；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫该点到直线的距离，故命题（3）错误；
同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，故命题（4）错误；
那么真命题个数为0个，
故答案为：A．
【分析】利用两直线平行同位角相等、对顶角的定义、点到直线的距离的定义以及平行线的定义逐项分析判断即可.
11．【答案】A
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∴，
解得：，
∴
故答案为：A．
【分析】运用非负数的性质和立方根求得，再代入求解即可．
12．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据平行线性质求出，再根据邻补角的定义求出，最后根据三角形外角性质得出．
13．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵ 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，是点到直线的垂线段
∴ 搭建方式最短的是，理由是垂线段最短
故答案为：垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵m，n都是无理数，且，
∴（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）
【分析】利用无理数的定义及无理数加减法的计算方法逐项分析判断即可.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴
∵平分，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，……，
纵坐标每四个点一个循环，
，
是第507个周期的第三个点，
每一个周期第三个点的坐标为：，，，……，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出规律纵坐标每四个点一个循环，再求出，最后求出即可.
17．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（2）根据二次根式，立方根性质化简，再计算加减即可求出答案.
（3）根据二次根式，立方根性质，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】证明：，，
（垂直的定义）．
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同位角相等）．
（已知），
（等式的基本事实）．
．
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等．
【知识点】垂线的概念；推理与论证；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法、平行线的性质以及等量代换和推理方法和步骤分析求解即可.
19．【答案】解：∵和互为相反数，
∴+=0，
∴，解得：，
∵的平方根是它本身，
∴，解得：，
∴．
【知识点】相反数的意义与性质；平方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据相反数的性质可得x，y值，再代入代数式，结合立方根的定义即可求出答案.
20．【答案】（1）解：点A的横坐标是纵坐标的2倍，
，
解得，
，
点A的坐标为．
（2）解：点A在过点且与轴平行的直线上，
，
，
，
点A的坐标为．
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】（1）根据横纵坐标的关系列方程求解即可.(2)当点与y轴平行时，横坐标相同，列式求解即可。
21．【答案】（1）
（2）
（3）解：原式
．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘法法则；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：
；
（2）解：依据上述运算的规律可得：
＝；
【分析】（1）根据算术平方根即可求出答案.
（2）根据前结合等式的变换，总结规律即可求出答案.
（3）根据（2）中规律化简，结合有理数的乘法即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：依据上述运算的规律可得：
＝；
（3）解：原式
．
22．【答案】（1）解：如图，根据网格作垂直特点可得，
∴即为所求；
（2）解：如图
向下平移个单位得到，则与与，
∴即为所求；
（3）解：如图
利用网格特点和平移的性质如图，
∴三角形即为所求．
【知识点】垂线段最短及其应用；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据垂线段最短作图即可.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据平移性质作图即可.
（1）根据网格作垂直特点可得，
∴即为所求；
（2）向下平移个单位得到，则与与，
∴即为所求；
（3）利用网格特点和平移的性质如图，
∴三角形即为所求．
23．【答案】（1）；
（2）解：设长方形纸片的长为，宽为，
由题意可得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
则，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使裁出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）大正方形的边长是，
故答案为：；
【分析】（1）根据正方形面积即可求出答案.
（2）设长方形纸片的长为，宽为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）大正方形的边长是，
故答案为：；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，则，
解得：，（不符合题意，舍去），
则，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使裁出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．
24．【答案】（1）；
（2）解：如图，连接，
设，
∵，，且，
，
解得，
∴点F的坐标为.
（3）解：∵，
∴．
当点P在x轴上时，设，
则，
解得或，
∴此时点P的坐标为或．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；一元一次方程的实际应用-几何问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
故答案为：.
【分析】（1）利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，即可得到点A、B的坐标；
（2）设，利用三角形的面积公式及割补法可得，再求出t的值即可；
（3）设，利用三角形的面积公式及三角形的面积和三角形的面积相等列出方程，再求解即可.
（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，设，
∵，，且，
，
解得，
∴点F的坐标为；
（3）解：∵，
∴．
当点P在x轴上时，设，
则，
解得或，
∴此时点P的坐标为或．
25．【答案】（1）105°
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①如图，当在上方，设与相交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴当边旋转75°时，恰好与平行；
②如图，当在的下方，设直线与相交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴旋转角为，
∴当边旋转255°时，恰好与平行；
综上所述，当边旋转75°或255°时，边恰好与边平行．
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）解：∵，，
∴，
故答案为：105°．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理进行求解；
（2）根据角平分线的定义可得，从而得，进而根据平行线的判定推出，最后根据平行线的性质即可求解；
（3）①在上方时，设与相交于点，由平行线的性质得，利用三角形内角和定理得，即为旋转角度数；②当在的下方时，设直线与相交于点，同理求出，从而得旋转角为.
1 / 1贵州省贵阳市南明区永乐第一中学2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题
1． 下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C． D．0
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、∵是有理数不是无理数，∴A不符合题意；
B、∵是无理数，∴B符合题意；
C、∵是有理数不是无理数，∴C不符合题意；
D、∵0是有理数不是无理数，∴D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用无理数的定义逐项分析判断即可.
2．下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：A．∠1、∠2是邻补角，∠1+∠2=180°；故本选项错误；
B．∠1、∠2是对顶角，∠1=∠2；故本选项正确；
C．根据平行线的性质：同位角相等，同旁内角互补，内错角相等；故本选项错误；
D．根据三角形的外角一定大于与它不相邻的内角；故本选项错误．
故选：B．
【分析】根据补角，对顶角，直线平行性质，三角形外角性质逐项进行判断即可求出答案.
3．在平面直角坐标系中，点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴点一定在第四象限，
故答案为：D．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））求解即可.
4．下列等式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】算术平方根；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： A：，式子错误，不符合题意；
B：，式子正确，符合题意；
C：，式子错误，不符合题意；
D：，式子错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用二次根式的性质计算求解即可。
5．手机通用的信号强度单位是（毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，
∴，
则信号最强的是．
故答案为：D．
【分析】先利用估算无理数大小的方法化简，再利用实数比较大小的方法（正数大于零，零大于负数，两个负数比较大小绝对值越大其值越小）分析求解即可.
6．如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴（同位角相等，两直线平行）
故A正确，不符合题意；
∵，
∴（内错角相等，两直线平行）
故B正确，不符合题意；
∵，
∴（同位角相等，两直线平行）
故C不正确，符合题意；
∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行）
故D正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】根据直线平行判定定理即可求出答案.
7．如图，货船与港口相距35海里，货船相对港口的位置用有序数对（南偏西，35海里）来描述，那么港口相对货船的位置可描述为（　　）
A．（南偏西，35海里） B．（北偏西，35海里）
C．（北偏东，35海里） D．（北偏东，35海里）
【答案】D
【知识点】用方向和距离确定物体的位置
【解析】【解答】解：由题意知货船A相对港口B的位置可描述为北偏东，35海里．
故选：D．
【分析】根据方位角即可求出答案.
8．在数轴上标注了四段范围，如图，则表示的点落在（　　）
A．段① B．段② C．段③ D．段④
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
所以应在③段上．
故选：C
【分析】估算无理数的范围即可求出答案.
9．“凌波仙子生尘袜，水上轻盈步微月．”宋朝诗人黄庭坚以水中仙女借喻水仙花．如图，将水仙花图置于正方形网格中，点A，B，C均在格点上．若点，，则点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质
【解析】【解答】解：根据点，，
建立直角坐标系如图：
则，
故选：C．
【分析】根据点，，确定原点，从而建立坐标系，再根据点C的位置写出坐标即可.
10．给出下列命题：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）相等的角是对顶角；
（3）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫作该点到直线的距离；
（4）不相交的两条直线叫作平行线．
其中真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】点到直线的距离；对顶角及其性质；真命题与假命题；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：同位角相等的前提是两直线平行，若两直线不平行，同位角不相等，故命题（1）错误；
对顶角相等，但相等的角未必是对顶角，例如平行线中的同位角，故命题（2）错误；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫该点到直线的距离，故命题（3）错误；
同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，故命题（4）错误；
那么真命题个数为0个，
故答案为：A．
【分析】利用两直线平行同位角相等、对顶角的定义、点到直线的距离的定义以及平行线的定义逐项分析判断即可.
11．若，则的值为（　　）
A． B．5 C．15 D．25
【答案】A
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，
∴，
解得：，
∴
故答案为：A．
【分析】运用非负数的性质和立方根求得，再代入求解即可．
12．如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则∠3的度数为（　　）
A．104° B．128° C．138° D．156°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】根据平行线性质求出，再根据邻补角的定义求出，最后根据三角形外角性质得出．
13．如图，想在河的两岸搭建一座桥，搭建方式最短的是，理由是　 　．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵ 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，是点到直线的垂线段
∴ 搭建方式最短的是，理由是垂线段最短
故答案为：垂线段最短
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
14．若m，n都是无理数，且，请写出一组满足条件的m，n的值：　 　．
【答案】
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵m，n都是无理数，且，
∴（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）
【分析】利用无理数的定义及无理数加减法的计算方法逐项分析判断即可.
15．如图，，平 分，交 于 点 ，若 ，则的度数为　 　 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴
∵平分，
∴，
故答案为：．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义即可求出答案.
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点，，，…，那么点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵，，，，，……，
纵坐标每四个点一个循环，
，
是第507个周期的第三个点，
每一个周期第三个点的坐标为：，，，……，
，
，
故答案为：．
【分析】先求出规律纵坐标每四个点一个循环，再求出，最后求出即可.
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（2）根据二次根式，立方根性质化简，再计算加减即可求出答案.
（3）根据二次根式，立方根性质，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．完成下列推理过程．
如图，，，．
求证：．
推理过程：
，，
（ ）．
（ ）．
（ ）．
（已知），
（等式的基本事实）．
．
（ ）．
【答案】证明：，，
（垂直的定义）．
（同位角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同位角相等）．
（已知），
（等式的基本事实）．
．
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，同位角相等．
【知识点】垂线的概念；推理与论证；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】利用平行线的判定方法、平行线的性质以及等量代换和推理方法和步骤分析求解即可.
19．已知和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根．
【答案】解：∵和互为相反数，
∴+=0，
∴，解得：，
∵的平方根是它本身，
∴，解得：，
∴．
【知识点】相反数的意义与性质；平方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【分析】根据相反数的性质可得x，y值，再代入代数式，结合立方根的定义即可求出答案.
20．已知点，根据条件，求点A的坐标．
（1）点A的横坐标是纵坐标的2倍．
（2）点A在过点且与轴平行的直线上．
【答案】（1）解：点A的横坐标是纵坐标的2倍，
，
解得，
，
点A的坐标为．
（2）解：点A在过点且与轴平行的直线上，
，
，
，
点A的坐标为．
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】（1）根据横纵坐标的关系列方程求解即可.(2)当点与y轴平行时，横坐标相同，列式求解即可。
21．阅读下列解题过程：
；
；
；
……
（1）计算：________；
（2）按照你所发现的规律，猜想：_______；（n为正整数）
（3）计算：．
【答案】（1）
（2）
（3）解：原式
．
【知识点】探索数与式的规律；有理数的乘法法则；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：
；
（2）解：依据上述运算的规律可得：
＝；
【分析】（1）根据算术平方根即可求出答案.
（2）根据前结合等式的变换，总结规律即可求出答案.
（3）根据（2）中规律化简，结合有理数的乘法即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：依据上述运算的规律可得：
＝；
（3）解：原式
．
22．如图，在的正方形网格中有三角形，点均在格点上.
（1）画出点到直线的最短路径；
（2）过点画出的平行线，交于点；
（3）将三角形向左平移格，再向下平移格后得到三角形，画出三角形.
【答案】（1）解：如图，根据网格作垂直特点可得，
∴即为所求；
（2）解：如图
向下平移个单位得到，则与与，
∴即为所求；
（3）解：如图
利用网格特点和平移的性质如图，
∴三角形即为所求．
【知识点】垂线段最短及其应用；平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据垂线段最短作图即可.
（2）根据平移性质作图即可.
（3）根据平移性质作图即可.
（1）根据网格作垂直特点可得，
∴即为所求；
（2）向下平移个单位得到，则与与，
∴即为所求；
（3）利用网格特点和平移的性质如图，
∴三角形即为所求．
23．如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片．
（1）大正方形纸片的边长是___________；
（2）若沿着大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为 ，且面积为
【答案】（1）；
（2）解：设长方形纸片的长为，宽为，
由题意可得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
则，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使裁出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】（1）大正方形的边长是，
故答案为：；
【分析】（1）根据正方形面积即可求出答案.
（2）设长方形纸片的长为，宽为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）大正方形的边长是，
故答案为：；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，则，
解得：，（不符合题意，舍去），
则，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使裁出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．
24．如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足，线段交y轴于点F．
（1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　；
（2）求点F的坐标；
（3）点P为x轴上一点，若三角形的面积和三角形的面积相等，求出点P的坐标．
【答案】（1）；
（2）解：如图，连接，
设，
∵，，且，
，
解得，
∴点F的坐标为.
（3）解：∵，
∴．
当点P在x轴上时，设，
则，
解得或，
∴此时点P的坐标为或．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；一元一次方程的实际应用-几何问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
故答案为：.
【分析】（1）利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，即可得到点A、B的坐标；
（2）设，利用三角形的面积公式及割补法可得，再求出t的值即可；
（3）设，利用三角形的面积公式及三角形的面积和三角形的面积相等列出方程，再求解即可.
（1）解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴，，
故答案为：；
（2）解：如图，连接，设，
∵，，且，
，
解得，
∴点F的坐标为；
（3）解：∵，
∴．
当点P在x轴上时，设，
则，
解得或，
∴此时点P的坐标为或．
25．如图1，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中，．
（1）观察猜想：将图1中的三角尺沿的方向平移至图2的位置，使得点O与点N重合，与相交于点E，则 ；
（2）操作探究：将图1中的三角尺绕点O按顺时针方向旋转，使一边在的内部，如图3，且OD恰好平分，与相交于点E，求的度数；
（3）深化拓展：将图1中的三角尺绕点O按沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转多少度时，边恰好与边平行？
【答案】（1）105°
（2）解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：①如图，当在上方，设与相交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴当边旋转75°时，恰好与平行；
②如图，当在的下方，设直线与相交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴旋转角为，
∴当边旋转255°时，恰好与平行；
综上所述，当边旋转75°或255°时，边恰好与边平行．
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；角平分线的概念；平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）解：∵，，
∴，
故答案为：105°．
【分析】（1）利用三角形的内角和定理进行求解；
（2）根据角平分线的定义可得，从而得，进而根据平行线的判定推出，最后根据平行线的性质即可求解；
（3）①在上方时，设与相交于点，由平行线的性质得，利用三角形内角和定理得，即为旋转角度数；②当在的下方时，设直线与相交于点，同理求出，从而得旋转角为.
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