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15第5章《特殊平行四边形》阶段测试二
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【分析】根据正方形和矩形的性质逐项分析可得结论．
【解答】解：∵正方形和矩形都是特殊的平行四边形，
∴正方形和矩形具有平行四边形所有的性质，包括对角线互相平分，
∵正方形的对角线相等且互相垂直，矩形的对角线只相等但不垂直，
∴正方形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直．
故选：C．
2．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是正方形的是（　　）
A．AC＝BC＝CD＝DA B．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AB＝BC，CD⊥DA
【分析】根据正方形的判定对角线相等且互相垂直平分是正方形对各个选项进行分析从而得到答案．
【解答】解：因为对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，
故C选项符合题意，
故选：C．
3．（3分）如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED．延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为（　　）
A．65° B．70° C．60° D．80°
【分析】根据正方形的性质得出CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，根据SAS可证得△BEC≌△DEC，根据对顶角相等求出∠AEF，根据正方形的性质求出∠DAC，根据三角形的内角和定理求出即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA，
在△BEC和△DEC中，
，
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
∵∠DEB＝140°，
∴∠DEC＝∠BEC＝70°，
∴∠AEF＝∠BEC＝70°，
∵∠DAB＝90°，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴∠AFE＝180°﹣70°﹣45°＝65°，
故选：A．
4．（3分）如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，若正方形ABCD周长为a，则EF+EG等于（　　）
A． B． C．a D．2a
【分析】由正方形的性质可知∠BAC＝∠ACB，又知EF⊥AB，EG⊥BC，可得EG＝CG，EF＝AF．
【解答】解：∵E是正方形ABCD对角线AC上一点，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，
∴EG＝CG，EF＝AF，
∵正方形ABCD周长为a，
∴BC，
∴EF+EG等于，
故选：A．
5．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是对角线AC上一点，且AE＝2CE，则ED的长度为（　　）
A．4 B． C． D．
【分析】过E作EF⊥CD于F，由正方形ABCD的边长为6，可得CD＝6，ACCD＝6，∠ACD＝45°，而AE＝2CE，故CEAC＝2，根据△EFC是等腰直角三角形，求出EF＝CF2，DF＝CD﹣CF＝4，再用勾股定理可得答案．
【解答】解：过E作EF⊥CD于F，如图：
∵正方形ABCD的边长为6，
∴CD＝6，ACCD＝6，∠ACD＝45°，
∵AE＝2CE，
∴CEAC62，
∵EF⊥CD，∠ACD＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，
∴EF＝CF2，
∴DF＝CD﹣CF＝6﹣2＝4，
在Rt△DEF中，
DE2；
故选：D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形OABC，点A的坐标为（1，3）．将正方形OABC绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转90°，旋转2025秒后，点A的对应点A'的坐标为（　　）
A．（3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣1，﹣3） D．（1，3）
【分析】根据旋转速度计算出旋转的周期，根据2025内有几个周期判断此时A点的位置，根据全等三角形的判定与性质求解A点坐标即可．
【解答】解：旋转周期为：360°÷90°＝4（s），
∵2025÷4＝505……1，
∴旋转2025秒后的位置和旋转1秒后的位置相同，
过A作AE⊥y轴，过A′作A′F⊥x轴于F，如图：
∵A（1，3），
∴AE＝1，OE＝3，
∵∠AOA′＝90°，
∴∠AOF+∠A′OF＝90°，
又∵∠AOE+∠AOF＝90°，
∴∠AOE＝∠A′OF，
由旋转的性质可知，AO＝OA′，
在△AOE和△A′OF中，
，
∴△AOE≌△A′OF（AAS），
∴OF＝OE＝3，A′F＝AE＝1，
∴A′（3，﹣1）．
故选：A．
7．（3分）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．∠AFP＝∠BPQ
B．EF∥QP
C．四边形EFPQ是正方形
D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半
【分析】由四边形ABCD是正方形，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，又由AF＝BP＝CQ＝DE，即可得DF＝CE＝BQ＝AP，然后利用SAS即可证得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP，由此可得∠AFP＝∠BPQ；由此可判断A；由全等可证得EF＝FP＝PQ＝QE；由EF＝FP＝PQ＝QE，可判定四边形EFPQ是菱形，又由△APF≌△BPQ，易得∠FPQ＝90°，即可证得四边形EFPQ是正方形，由此可判断B，C；最后再判断D选项即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD，
∵AF＝BP＝CQ＝DE，
∴DF＝CE＝BQ＝AP，
∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），
∴EF＝FP＝PQ＝QE，∠AFP＝∠BPQ，故A选项正确，不符合题意；
∵EF＝FP＝PQ＝QE，
∴四边形EFPQ是菱形，
∴EF∥PQ，故B选项正确，不符合题意；
∵△APF≌△BQP，
∴∠AFP＝∠BPQ，
∵∠AFP+∠APF＝90°，
∴∠APF+∠BPQ＝90°，
∴∠FPQ＝90°，
∴四边形EFPQ是正方形．故C选项正确，不符合题意；
∵四边形PQEF的面积＝EF2，四边形ABCD面积＝AB2，
若四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半，
则EF2AB2，即EFAB．
若EFAB，则四边形PQEF的面积不是四边形ABCD面积的一半，
故D选项不一定正确，符合题意．
故选：D．
8．（3分）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN＝x，则DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．
【解答】解：设CN＝xcm，则DN＝（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN＝DN＝（8﹣x）cm，
而ECBC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝16+x2，
整理得16x＝48，所以x＝3．
故选：A．
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AB＝2，E是BC中点，点P在对角线AC上滑动，则BP+EP的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．3
【分析】根据正方形沿对角线的对称性，可得可得无论P在什么位置，都有PD＝PB；故均有BP+EP＝PD+PE成立；所以原题可以转化为求BP+PD的最小值问题，分析易得连接DE与AC，求得交点就是要求的点的位置；进而可得BP+EP＝DE，可得答案．
【解答】解：由正方形的对角线互相垂直平分，可得无论P在什么位置，都有PD＝PB；
故均有BP+EP＝PD+PE成立；
连接DE与AC，所得的交点，即为BP+EP的最小值时的位置，
此时BP+EP＝DE；
故选C．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则AF的长为（　　）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
【分析】首先延长FD到G，使DG＝BE，利用正方形的性质得∠B＝∠CDF＝∠CDG＝90°，CB＝CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE＝3，设AF＝x，利用GF＝EF，利用勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：如图，延长FD到G，使DG＝BE；
连接CG、EF；
∵四边形ABCD为正方形，
在△BCE与△DCG中，，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，
∴∠GCF＝45°，
在△GCF与△ECF中，，
∴△GCF≌△ECF（SAS），
∴GF＝EF，
∵CE＝3，CB＝6，
∴BE3，
∴AE＝3，
设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，
∴EF＝9﹣x．
在Rt△AEF中，由勾股定理得：（9﹣x）2＝9+x2，
∴x＝4，即AF＝4．
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形各边中点E、F、G、H，得到四边形EFGH的面积等于 　8　 cm2．
【分析】如图，在正方形ABCD中，连接AC，BD，根据三角形的中位线的性质就可以得出四边形EFGH的周长＝正方形ABCD的对角线的和．
【解答】解：连接AC，BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵点E、F、G、H是正方形各边的中点，
∴EF是△ABD的中位线，FG是△ABC的中位线，GH是△BCD的中位线，EH是△ADC的中位线，
∴四边形EFGH是正方形，
∴EFBD，FGAC，GHBD，EHAC，
∵正方形ABCD的周长为16cm，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝4cm，
∴BD＝AC＝4cm，
∴EF＝FG＝GH＝HE＝2cm，
∴四边形EFGH的面积为228（cm2）．
故答案为：8．
12．（3分）如图，有一个边长为4cm的正方形ABCD，将一块45°的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与BC边交于点E，与CD边交于点F．则四边形OECF的面积是　4　 cm2．
【分析】根据正方形的性质得出OA＝OB＝OC＝OD，∠BOC＝90°，∠OCF＝∠OBE＝45°，求出∠BOE＝∠COF，根据全等三角形的判定得出△BOE≌△COF，即可求出四边形EOCF的面积＝三角形BOC的面积，即可得出答案．
【解答】解：
连接AC和BD，则AC、BD都过O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∠BOC＝90°，∠OCF＝∠OBE＝45°，
∴S△BOCS正方形ABCD＝4cm×4cm4cm2，
∵∠EOF＝∠BOC＝90°，
∴∠BOE＝∠COF＝90°﹣∠EOC，
在△BOE和△COF中
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴S△BOE＝S△COF，
∴S四边形OECF＝S△EOC+S△COF＝S△EOC+S△BOE＝S△BOC＝4cm2
故答案为：4．
13．（3分）如图，以正方形ABCD的边CD为腰在CD右侧作等腰三角形DCE，其中DE＝DC，连接AE，若∠CDE＝40°，则∠AEC的度数为 　45°　 ．
【分析】过E作EF⊥CD交CD于F，可证∠EAD＝∠AEF，可求∠DCE＝∠DEC＝70°，从而可求∠CEF＝20°，，即可求解．
【解答】解：过E作EF⊥CD交CD于F，
∴∠EFD＝∠EFC＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴EF∥AD，
∴∠EAD＝∠AEF，
∵DE＝DC，∠CDE＝40°，
∴AD＝DE，
，
∴∠EAD＝∠DEA，
∠CEF＝90°﹣∠DCE＝20°，
∴∠AEF＝∠EDA，
∠DEF＝∠DEC﹣∠CEF＝50°，
∴，
∴∠AEC＝∠AEF+∠CEF，
＝25°+20°＝45°．
故答案为：45°．
14．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若，则∠CMB＝ 　67.5°　 ．线段BN的长为 　2　 ．
【分析】由正方形的性质得出∠ACB＝45°，由角平分线定义得出∠BCM＝22.5°，根据三角形内角和定理得出∠CMB＝67.5°；过M点作MH⊥AC，解直角三角形求出HM，AH长，再根据角平分线性质可得BM长，由此得到正方形的边长，求出OC和HC长，根据ON∥HM得到△CON∽△CHM得出，从而可求ON长，据此可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵AC是对角线，
∴∠ACB∠BCD90°＝45°，
∵CM是∠ACB的平分线，
∴∠BCM∠ACB45°＝22.5°，
∴∠CMB＝180°﹣90°﹣22.5°＝67.5°；
过M点作MH⊥AC，如图，
∵∠HAM＝45°，
∴HM＝AM sin∠HAM＝2，AH＝AM cos∠HAM＝2，
∵CM平分∠ACB，HM⊥AC，MB⊥CB，
∴BM＝HM＝2．
∴，
∴，
∴．，
∵AC⊥BD，MH⊥AC，
∴ON∥HM，
∴△CON∽△CHM．
∴，即，
∴，
∴BN＝OB﹣ON＝2，
故答案为：67.5°；2．
15．（3分）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝17，BE＝7，则MN＝　　 ．
【分析】连接CF，则MN为△DCF的中位线，根据勾股定理求出CF长，即可求出MN的长．
【解答】解：连接CF，
∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝17，BE＝7，
∴GF＝GB＝7，BC＝17，
∴GC＝GB+BC＝7+17＝24，
∴CF25，
∵M，N分别是DC，DF的中点，
∴MNCF，
故答案为：．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③；④．其中正确的结论是 　①②④　 .（填写所有正确结论的序号）
【分析】①依据“HL”判定Rt△ABE和Rt△ADF全等得BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，再根据BC＝CD即可得出CE＝CF，由此可对结论①进行判断；
②根据∠DAB＝90°，∠EAF＝60°得∠BAE+∠DAF＝∠DAB﹣∠EAF＝30°，由此得∠BAE＝∠DAF＝15°，由此可求出∠AEB的度数，进而可对结论②进行判断；
③连接AC交EF于点H，证明△AEC和△AFC全等得∠EAC＝∠FAC，由此得AH⊥EF，EH＝FHEF＝1，则AH，CH＝EH＝FHEF＝1，由此得AC＝AH+CH，进而得AB，CE，则BE＝BC﹣CE，据此得DF＝BE，进而可对结论③进行判断；
④根据AB可得出正方形的面积，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE＝EF＝AF＝2，∠EAF＝60°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，∠BAE＝∠DAF，
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，
∴CE＝CF，
故结论①正确；
②∵∠DAB＝90°，∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝∠DAB﹣∠EAF＝30°，
∵∠BAE＝∠DAF，
∴∠BAE＝∠DAF＝15°，
∴∠AEB＝90°﹣∠BAE＝75°，
故结论②正确；
③连接AC交EF于H，如图所示：
在△AEC和△AFC中，
，
∴△AEC≌△AFC，
∴∠EAC＝∠FAC，
∵△AEF为等边三角形，
∴AH⊥EF，EH＝FH2EF＝1，
在Rt△AEH中，由勾股定理得：AH，
∵CE＝CF，∠BCD＝90°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
又∵CH⊥EF，
∴CH＝EH＝FH＝1/2EF＝1，
∴AC＝AH+CH，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
即，
∴AB，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
在Rt△CEH中，由勾股定理得：CE，
∴BE＝BC﹣CE，
∴DF＝BE，
∴BE+DE，
故结论③不正确；
④∵AB，
∴正方形的面积为：，
故结论④正确，
综上所述：正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）正方形ABCD中，AB＝4，对角线交于点O，F是BO的中点，连接AF，求AF的长度．
【分析】首先根据勾股定理可求出BO和AO的长，因为正方形的对角线互相垂直，所以再利用勾股定理即可求出AF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝OD＝AO＝CO，BD⊥AC，
∵AB＝4，
∴AO2+BO2＝42，
∴OA＝OB＝2，
∵F是BO的中点，
∴OF，
∴AF．
18．（8分）如图，已知E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF为菱形．
（2）若，BE＝2，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）连接AC交BD于O，证AC与EF互相垂直平分，即可由菱形的判定定理得出结论；
（2）根据正方形的性质，利用勾股定理求得AC＝BD＝6，从而求得EF＝BD﹣NE﹣DF＝2，根据菱形的面积公式解答即可．
【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，DO＝BO，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）知：四边形AECF是菱形，
∵，
∴AC＝BD＝6，
∵BE＝DF＝2，
∴EF＝BD﹣BE﹣DF＝2，
∴菱形AECF的面积．
19．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP．
（1）试判断AF与BE的关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝5，AE＝2，求OP的长．
【分析】（1）根据正方形的四条边都相等可得AB＝AD，每一个角都是直角可得∠BAE＝∠D＝90°，然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF，从而得出结论；
（2）由△ABE≌△DAF得∠ABE＝∠DAF，进一步得∠AGE＝∠BGF＝90°，从而知GHBF，利用勾股定理求出BF的长即可得出答案．
【解答】解：（1）AF＝BE，且AF⊥BE，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，
在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴AF＝BE，∠DAF＝∠ABE，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴AF⊥BE；
（2）由（1）知∴△BAE≌△ADF，
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF＝90°，
∵点P为BF的中点，
∴OPBF，
∵BC＝AB＝CD＝5，AE＝DF＝2，
∴CF＝CD﹣DF＝5﹣2＝3，
∴BF，
∴OP．
20．（8分）如图，在4×4的网格中（每个小正方形的边长为1），每个小正方形的顶点叫作格点．已知点A在格点上，仅用无刻度的直尺，按以下要求画四边形，使其各顶点都在格点上．
（1）在图1中画一个以A为顶点，面积为6的平行四边形；
（2）在图2中画一个以A为顶点，不是正方形的菱形；
（3）在图3中画一个以A为顶点，面积最大的正方形．
【分析】（1）结合平行四边形的判定按要求画图即可．
（2）结合菱形的判定画图即可．
（3）结合正方形的判定按要求画图即可．
【解答】解：（1）如图1，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．
（2）如图2，菱形ABCD即为所求（答案不唯一）．
（3）如图3，正方形ABCD即为所求．
21．（8分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM＝ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
【分析】（1）证△OAM≌△OBN即可得；
（2）作OH⊥AD，由正方形的边长为4且E为OM的中点知OH＝HA＝2、HM＝4，再根据勾股定理得OM＝2，由直角三角形性质知MNOM．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，
∴∠OAM＝∠OBN＝135°，
∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠AOM＝∠BON，
∴△OAM≌△OBN（ASA），
∴OM＝ON；
（2）如图，过点O作OH⊥AD于点H，
∵正方形的边长为4，
∴OH＝HA＝2，
∵∠MAE＝∠MHO，
∴AE∥OH，
又∵E为OM的中点，
∴ME＝EO，
∴MA＝AH，
∴HM＝2AH＝4，
则OM2，
∴MNOM＝2．
22．（10分）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，点B，D为垂足．
（1）∠EAF＝　45°　 （直接写结果）．
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝2，求DF的长．
【分析】（1）根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，根据角平分线的定义得到∠AFE∠DFE，∠AEF∠BEF，求得∠AEF+∠AFE（∠DFE+∠BEF），根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）①作AG⊥EF于G，如图1所示：则∠AGE＝∠AGF＝90°，先证明四边形ABCD是矩形，再由角平分线的性质得出AB＝AD，即可得出四边形ABCD是正方形；
②设DF＝x，根据已知条件得到BC＝6，由①得四边形ABCD是正方形，求得BC＝CD＝4，根据全等三角形的性质得到BE＝EG＝2，同理，GF＝DF＝x，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】（1）解：∵∠C＝90°，
∴∠CFE+∠CEF＝90°，
∴∠DFE+∠BEF＝360°﹣90°＝270°，
∵AF平分∠DFE，AE平分∠BEF，
∴∠AFEDFE，∠AEFBEF，
∴∠AEF+∠AFE（∠DFE+∠BEF）270°＝135°，
∴∠EAF＝180°﹣∠AEF﹣∠AFE＝45°，
故答案为：45°；
（2）①证明：作AG⊥EF于G，如图1所示：
则∠AGE＝∠AGF＝90°，
∵AB⊥CE，AD⊥CF，
∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，
∴四边形ABCD是矩形，
∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，
∴AB＝AG，AD＝AG，
∴AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形；
②解：设DF＝x，
∵BE＝EC＝2，
∴BC＝4，
由①得四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝4，
在Rt△ABE与Rt△AGE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE＝EG＝2，
同理，GF＝DF＝x，
在Rt△CEF中，EC2+FC2＝EF2，
即22+（4﹣x）2＝（x+2）2，
解得：x，
∴DF的长为．
23．（10分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边BC上，BE的中垂线分别交AC，BC于点P，N，延长CB至点F，使，连结PD，PE，PF．
（1）求证：PE＝PD．
（2）设CE＝a（a＞0），四边形CDPE的面积S．
①用含a的代数式表示S．
②当△PEF为等腰三角形时，求S的值．
【分析】（1）连结PB，根据PN垂直平分BE，由正方形的轴对称性即可证明；
（2）解：①作PM⊥CD于点M，PN垂直平分BE，P为正方形ABCD对角线AC上一点，AC平分∠BCD，推出PN＝PM＝CN＝1，进而S＝S△PCE+S△PCD，
②△PEF为等腰三角形分两种情况（如图）：当FP＝FE时，即FP2＝FE2，当PE＝EF时，即PE2＝EF2，分别计算即可．
【解答】（1）证明：连结PB．
∵PN垂直平分BE，
∴PE＝PB，
又∵P为正方形ABCD对角线上一点，
由正方形的轴对称性得：PD＝PB，
∴PE＝PD；
（2）解：①如图，作PM⊥CD于点M，
∵PN垂直平分BE，
∴∠PNE＝∠PMD＝90°，
又∵P为正方形ABCD对角线AC上一点，
∴AC平分∠BCD，
∴PN＝PM＝CN＝1，
∴S＝S△PCE+S△PCDa（1）2（1）＝1+aa2，
∴S＝1+aa2；
②∵PF＞PB＝PE，
∴△PEF为等腰三角形分两种情况：
当FP＝FE时，即FP2＝FE2，
∴12+（1）2＝（2）2，
解得：a，
∴S＝（1）2＝（1）2，
当PE＝EF时，即PE2＝EF2，
∴（2）2＝（1）2+（1）2，
化简得：a2+8a﹣8＝0，
解得：a＝﹣4±2，
∵a＞0，
∴a＝﹣4+2，
∴S＝（1）2＝（1﹣2）2＝7﹣2，
综上可得：S或7﹣2．
24．（12分）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题；
（2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题；
（3）求出DF的长，由正方形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝ACAD＝6；
（3）解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB，
∴DF，
∴正方形DEFG的面积DF2（）2．中小学教育资源及组卷应用平台
15第5章《特殊平行四边形》阶段测试二
（测试范围：5.3 时间：120分钟 满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
2．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，能判定四边形ABCD是正方形的是（　　）
A．AC＝BC＝CD＝DA B．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AB＝BC，CD⊥DA
3．（3分）如图，正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB、ED．延长BE交AD于点F，若∠DEB＝140°，则∠AFE的度数为（　　）
A．65° B．70° C．60° D．80°
4．（3分）如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂足，若正方形ABCD周长为a，则EF+EG等于（　　）
A． B． C．a D．2a
5．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E是对角线AC上一点，且AE＝2CE，则ED的长度为（　　）
A．4 B． C． D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示的方式放置正方形OABC，点A的坐标为（1，3）．将正方形OABC绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转90°，旋转2025秒后，点A的对应点A'的坐标为（　　）
A．（3，﹣1） B．（3，1） C．（﹣1，﹣3） D．（1，3）
7．（3分）如图，点E，F，P，Q分别是正方形ABCD的四条边上的点，并且AF＝BP＝CQ＝DE，则下列结论不一定正确的是（　　）
A．∠AFP＝∠BPQ
B．EF∥QP
C．四边形EFPQ是正方形
D．四边形PQEF的面积是四边形ABCD面积的一半
8．（3分）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
9．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，AB＝2，E是BC中点，点P在对角线AC上滑动，则BP+EP的最小值是（　　）
A． B．2 C． D．3
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB、AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则AF的长为（　　）
A．4 B．3 C．2.5 D．2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形各边中点E、F、G、H，得到四边形EFGH的面积等于 　 　 cm2．
12．（3分）如图，有一个边长为4cm的正方形ABCD，将一块45°的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与BC边交于点E，与CD边交于点F．则四边形OECF的面积是　 　 cm2．
13．（3分）如图，以正方形ABCD的边CD为腰在CD右侧作等腰三角形DCE，其中DE＝DC，连接AE，若∠CDE＝40°，则∠AEC的度数为 　 　 ．
14．（3分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若，则∠CMB＝ 　 　 ．线段BN的长为 　 　 ．
15．（3分）如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝17，BE＝7，则MN＝　 　 ．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②∠AEB＝75°；③；④．其中正确的结论是 　 　 .（填写所有正确结论的序号）
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）正方形ABCD中，AB＝4，对角线交于点O，F是BO的中点，连接AF，求AF的长度．
18．（8分）如图，已知E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF为菱形．
（2）若，BE＝2，求四边形AECF的面积．
19．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，BE与AF相交于点O，P是BF的中点，连接OP．
（1）试判断AF与BE的关系，并证明你的结论；
（2）若AB＝5，AE＝2，求OP的长．
20．（8分）如图，在4×4的网格中（每个小正方形的边长为1），每个小正方形的顶点叫作格点．已知点A在格点上，仅用无刻度的直尺，按以下要求画四边形，使其各顶点都在格点上．
（1）在图1中画一个以A为顶点，面积为6的平行四边形；
（2）在图2中画一个以A为顶点，不是正方形的菱形；
（3）在图3中画一个以A为顶点，面积最大的正方形．
21．（8分）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM＝ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
22．（10分）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，点B，D为垂足．
（1）∠EAF＝　 　 （直接写结果）．
（2）①求证：四边形ABCD是正方形．
②若BE＝EC＝2，求DF的长．
23．（10分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边BC上，BE的中垂线分别交AC，BC于点P，N，延长CB至点F，使，连结PD，PE，PF．
（1）求证：PE＝PD．
（2）设CE＝a（a＞0），四边形CDPE的面积S．
①用含a的代数式表示S．
②当△PEF为等腰三角形时，求S的值．
24．（12分）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．

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