资源简介

高2028届高一（下）半期考试
数学答题卡
姓名 班级 座号 准考证号
注 意 事 项 1.答题前先将姓名、班级、座号、准考证号填写清楚。 2.选择题用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑。 3.非选择题使用黑色字迹签字笔书写，笔迹清楚。 4.保持卡面清洁，严禁折叠，严禁做标记。
填 涂 样 例 正确填涂 错误填涂 缺 考 （考生禁涂）
第Ⅰ卷、选择题 (1-8单选，每题5分，9-11多选,每题6分，共58 分)
（用2B铅笔填涂）
1 5 9 2 6 10 3 7 11 4 8
第Ⅱ卷 非选择题（共92分） （须用0.5毫米的黑色字迹中性笔书写）
三、填空题 （每题5分，共15分） 12. 13. 14.
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
四、解答题 （共77分） 15．（13分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
16.（15分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
（15分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
18（17分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
19.（17分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效2025~2026 学年度（下）半期考试
高 一 数 学
试卷满分：150 分，考试时间：120 分钟
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦擦干净后，再涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，须将答题卡交回。
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数-3+2i 和-1-4i 分别对应点 M，N，则 MN 对应的复数为
A．2-6i B．-2+6i C．4+2i D．-4-2i
2．将正方体 ABCD-A1B1C1D1 截去四面体 A1BB1C1 后，余下的多面体与原正方体比较， 未发生变化的是
A．顶点数 B．棱数 C．面数 D．表面积
3．已知向量 a=(2-x，-6)，b=(x，3)，且(2a+b)∥(a-2b)，则 x= A．-2 B．-1 C．1 D．2
4．已知正四棱锥的底面边长为3 2 ，侧棱长为 5，则它的体积为
A．18 B．21 C．24 D．27
5．如图，一张残损的纸条上写着：“在△ABC 中， AB=7，AC=8， （隐约可见数字‘6’）， 满足条件的△ABC 有两个．”则残损处可能是
A．BC=6 B．A=60 C．B=60 D．C=60
6．设 a，b 是两个向量，则 a∥b 的充要条件是
A．|a+b|=|a|+|b| B．|a2b|=|b2a| C．|a|b+|b|a=0 D．|a·b|2=a2b2
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四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
a2 ai
已知 a∈R，z=
1 + 3i
为纯虚数．
（1）求 a 和 z；
（2）设 w +1= w +z，求复数 w ．
16．（本小题满分 15 分）
如图，函数 f(x)=Asin(ωx+φ)（A>0，ω>0，|φ|<π）的图象 经过点 M(1，2)和 N( 5 ，0)，且与 y 轴交于点 P．
2
（1）求 P 的坐标；
（2）设∠PMN=α，∠MON=β，求 α-2β．
17．（本小题满分 15 分）
已知 a，b，c 是平面内的三个向量，其中 a，b 为单位向量，且(2a+b)⊥b．
（1）求 a 与 b 夹角的大小；
（2）设|a-2b|=|λa+b|，求 λ；
（3）设(2a+c)·(2b+c)=1，求|c|的取值范围．
18．（本小题满分 17 分）
如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AA1=1，AC=2．
（1）设∠ABC=60 ，求该三棱柱体积的最大值；
（2）设∠ABC=135 ，且三棱柱的所有顶点都在同一个球面 上，求该球的体积；
（3）设 AB=BC= 3 ，点 P 在 A1B 上运动，求 AP+PC1 的最小值．
19．（本小题满分 17 分）
如果三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称它为倍角三角形．设△ABC 的内
角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a b + c
= sin B ．
sin A
（1）判断△ABC 是否为倍角三角形，并说明理由；
（2）已知 1< c <2．
b
①证明：△ABC 是锐角三角形；
②若 c=2，求△ABC 面积的取值范围．
第 3 页 共 3 页2025~2026 学年度（下）半期考试
高一数学参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1~4．ABAC 5~8．DDCB
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．
9．ABD 10．ACD 11．BCD
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．200 13．-5 14．(1，4)
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．
(
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)
15．解：（1）法一：z=
a2 ai
1 3i
(a2 ai)(1 3i)
=
(1 3i)(1 3i)
(a2 3a) (a 3a2 )i
=
10
．（2 分）
因为 z 为纯虚数，所以 a2-3a=0，且 a+3a2≠0．（4 分）
解得 a=3，z=-3i．（6 分）
法二：设 z=bi（b∈R 且 b≠0），则 a2-ai=bi(1+3i)=-3b+bi．（2 分） 所以 a2=-3b，且-a=b．（4 分）
解得 b=-3，a=3，z=-3i．（6 分）
（2）设 w=x+yi（x,y∈R），则 w =x-yi，|w|=
x2 y 2 ．（8 分）
由 w +1=|w|+z，得 x+1-yi=
x2 y 2 -3i．（9 分）
所以 x+1=
x2 y 2 ，且 y=3．（11 分）
故 x+1=
x2 9 ，解得 x=4．（12 分）
所以复数 w=4+3i．（13 分）
16．解：（1）由已知，A=2．（1 分）
又周期 T=4( 5 -1)=6，故ω= 2π = π ．（2 分）
2 T 3
由 f(1)=2，得 sin( π +φ)=1，解得φ=2kπ+ π （k∈Z）．（3 分）
3 6
又因为|φ|<π，所以φ= π ．（4 分）
6
故 f(x)=2sin( π x+ π )，所以 f(0)=2sin π =1，故 P 的坐标为(0，1)．（5 分）
3 6 6
（2）法一：因为 MP =(-1，-1)， MN =( 3 ，-2)．（6 分）
2
(
所以
c
o
s
α
=
)MP MN

MP MN
3 2
= 2
2 5
2
= 2 ．（8 分）
10
由（2）知，|a+b|=1（令λ=1）．（11 分）
设 a+b 与 c 的夹角为φ（0≤φ≤π），且|c|=x，显然 x>0．
3 x2
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)
故-2+2xcosφ+x2=1，整理得 cosφ=
2 x
．（12 分）
因为|cosφ|≤1，所以|3-x2|≤2x．（13 分）
故-2x≤3-x2≤2x，解得-1≤x≤3，且 x≤-3 或 x≥1．（14 分） 所以|c|的取值范围是[1，3]．（15 分）
18．解：（1）在△ABC 中，设 AB=x，BC=y，由余弦定理，得 4=x2+y2-xy．（1 分） 又因为 x2+y2≥2xy，所以 xy≤4．（2 分）
（当且仅当 x=y=2 时取等号）（3 分）
故三棱柱的体积 V=( 1 AB·ACsin60 )·AA1= 3 xy，其最大值为 3 ．（5 分）
2 4
（2）设△ABC 的外接圆半径为 r，三棱柱外接球的半径为 R．
在△ABC 中，由正弦定理，得 2r=
AC
sin ABC
=2 2 ，故 r= 2 ．（7 分）
又因为 AA1=1，所以 R=
( 1 )2 ( 2 )2 = 3 ．（9 分）
2 2
故三棱柱外接球的体积 V= 4 πR3= 9 π．（11 分）
3
（3）由勾股定理，得 A1B=
2
(
1
)AB2 AA2 =2．同理，BC1=2．（12 分）
将△AA1B 和△C1A1B 展开到同一个平面（如图）．（13 分）
在 Rt△A1AB 中，∠AA1B=60 ．在正△BA1C1 中，∠C1A1B=60 ． 所以∠AA1C1=∠AA1B+∠C1A1B=120 ．（14 分）
在△AA1C1 中，由余弦定理，得
2 2 2 1
AC1 =1 +2 -2×1×2×(-
2
)=7，故 AC1= 7 ．（16 分）
因为 AP+PC1≥AC1，所以 AP+PC1 的最小值为 7 ．（17 分）
19．解：（1）由 a
= sin B 及正弦定理，得 a
= b ，整理得 a2=b2+bc．（1 分）
b c
sin A
b c a
由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA，得 bc=c2-2bccosA，故 b=c-2bcosA．（2 分）
再由正弦定理，得 sinB=sinC-2sinBcosA．（3 分）
又因为 sinC=sin(π-C)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，
所以 sinB=sinAcosB-cosAsinB，故 sinB=sin(A-B)．（4 分）
因为-π（2）（法一）①由（1）知，c=
2
a2 b2
b
，所以 c = a
(
2
)b b2
-1．（6 分）
由 1< c <2，得 2< a
<3，故 2 < a < 3 ．（7 分）
b b2 b
由正弦定理，得 2 < sin A < 3 ．（8 分）
sin B
由（1）知，A=2B，所以 sin A = sin 2B =2cosB．
sin B
sin B
故 2 2 2 6 4
此时，A=2B∈( π ， π )，C=π-3B∈( π ， π )．
3 2 4 2
所以△ABC 为锐角三角形．（10 分）
②由正弦定理，得 a= c sin A = 2 sin 2B
= 2 sin 2B ．（11 分）
sin C
sin(π 3B)
sin 3B
故△ABC 的面积 S= 1 acsinB=asinB= 2 sin 2B sin B ．（12 分）
2 sin 3B
因为 sin3B=sin(2B+B)=sin2BcosB+cos2BsinB，
所以 S= 2 sin 2B sin B
sin 2B cos B cos 2B sin B
= 2
1 1
．（13 分）
tan B
tan 2B
3 tan2 B
因为 tan2B=
2 tan B
1 tan 2 B
，所以 1 tan B
1 =
tan 2 B
2 tan B
．（14 分）
令 t=tanB．由①知， π 又因为函数 y=
3 t 2
6
= 1 ( 3
4
t) 在(
3
3 ,1)上单调递减，
(
3

t
2
<
4
3
，故
1
<
1

1
<
4
3
2
t
3
t
a
n
B
t
a
n
2
B
3
)2t 2 t 3
所以 1<
．（16 分）
所以△ABC 面积 S 的取值范围是( 3 ，2)．（17 分）
2
或解：（前同上）因为 sin3B=sin(2B+B)=sin2BcosB+cos2BsinB=2sinBcos2B+
(1-2sin2B)sinB=2sinB(1-sin2B)+(1-2sin2B)sinB=(3-4sin2B)sinB．
所以 S= 2 sin 2B = 4 sin B cos B ．（13 分）
3 4 sin 2 B
3 4 sin 2 B
故 S= 4 sin B cos B = 4 tan B
= 4 ．（14 分）
3 cos2 B sin 2 B
3 tan 2 B
3
tan B
tan B
令 t=tanB．由①知， π 6 4 3
又因为函数 y= 3 -t 在( 3 ,1)上单调递减，所以 2< 3 -t< 8 3 ．（16 分）
t 3 t 3
故 3 < 4
<2，所以△ABC 面积 S 的取值范围是( 3 ，2)．（17 分）
2 3
tan B
tan B 2
（法二）①由正弦定理，得 c = sin C ．由（1）知，C=π-3B，所以 c = sin 3B ．
b sin B
b sin B
又 1< c <2，故 1< sin 3B <2．（6 分）
b sin B
因为 sin3B=sin(2B+B)=sin2BcosB+cos2BsinB=2sinBcos2B+(1-2sin2B)sinB
=2sinB(1-sin2B)+(1-2sin2B)sinB=(3-4sin2B)sinB．（7 分） 所以 1<3-4sin2B<2，解得 1 4 2
因为 b（以下同法一）
2 2 6 4
②由正弦定理，得 a= c sin A = 2 sin 2B = 2 sin 2B ，
sin C
sin(π 3B)
sin 3B
故△ABC 的面积 S= 1 acsinB=asinB．（11 分）
2
又由正弦定理，得 a= b sin A = b sin 2B =2bcosB，故 S=2bsinBcosB．（12 分）
sin B
sin B
由 c=2 及①，得 2 = sin 3B =3-4sin2B，故 sin2B= 3 - 1
．（13 分）
b sin B
4 2b
所以 cos2B=1-sin2B= 1 + 1
．（14 分）
故 S2=4b2( 3 - 1
4
)( 1 + 1
2b
)= 1 (3b2+4b-4)．（15 分）
4 2b
4 2b 4
由 1< c <2 和 c=2，得 1b 4
所以△ABC 面积 S 的取值范围是( 3 ，2)．（17 分）
2
（对．于．不．同．解．法．，参．照．评．分．标．准．同．等．步．骤．，酌．情．给．分．或．扣．分．）

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