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广东省深圳市翠园东晓中学2024-2025学年九年级中考模拟试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．图1是我国古代的鲁班锁，图2是其中的一个构件，则该构件的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各数是一元二次方程的根的是（　　）
A．1 B．5 C．2 D．3
3．新郑大枣以极瘦皮、厚肉、小核、甜味香气浓郁而著称，被誉为枣中之王．现跟踪调查了新郑大枣树苗的移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计新郑大枣树苗移植成活的概率约是（　　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
4．小康打算制作如图1所示的花架，图2是小康设计的花架正面简易图．已知，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．美是一种感觉，当人体下半身长与身高比值越接近0.618时，越给人一种美感，如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.6，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）
A． B． C． D．
6．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（　　）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
7．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，可获得1870元的利润，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（　　）
A．在一定范围内，越小越大
B．当时，的阻值为
C．当踏板上人的质量为时，
D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．如果： = ， 那么： =　 　 ．
10．如图，小明将一张长方形纸片沿对角线折叠，落在处，交于点F，已知该纸片，．则的长为　 　．
11．某学校旁有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知米，长方形广告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度是　 　米．
12．若m是一元二次方程的根，则的值为　 　
13．如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．计算：
15．先化简，再求值：．其中．
16．某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：．积土成山．蜡炬成灰．物腐虫生．木已成舟．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，就加人化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．（物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质生成）
（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片的概率是___________；
（2）有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行大量重复试验．以抽到卡片为例，数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 2000
抽到卡片次数 30 70 126 251 500
抽到卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250
根据以上数据，抽到卡片的频率越来越稳定于__________（精确到0.01），所以该同学的说法__________；（用“正确”或“错误”填空）
（3）小娜随机抽取一张卡片记录后，放回并混在一起，再由小菲随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求她们恰好在同一个社团的概率．
17．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
18．如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求线段的长．
19．在综合实践课上，为了测量抛物线的开口大小，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“T”形尺按图1摆放，水平宽的中点为C，图象的顶点为D，测得为m厘米时，为n厘米．
【猜想】（1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表：
m 0 2 3 4 5 6 …
n 0 1 2.25 4 6.25 9 …
描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点．
猜想：n与m的关系式是 ▲ ．
【验证】（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案）
□方法1 □方法2
如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则：，所以点坐标为 ▲ ；将点坐标代入，得到n与m的关系式是 ▲ ． 如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n个单位得到点B的坐标，所以点B坐标为 ▲ ；将点B坐标代入，得到n与m的关系式是 ▲ ．
结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由 ▲ 决定．
【应用】（3）已知轴且，两个二次函数和的图象都经过A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值．
20．【问题初探】
数学课上，老师提出如下问题：
如图1，在矩形中，点E，F分别是，的中点，与相交于点G，求的值．
经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路：
小明：可以过中点作平行线，过点E作交于点H，如图2所示，或者过点F作交AB于点K，交于点Q，如图3所示…
小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点P…
（1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值： ．
【类比分析】
（2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由．
【学以致用】
（3）如图6，已知正方形中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形的中心与点B重合，连接，设的中点为M，将正方形绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该构件的主视图为：
故答案为：B．
【分析】根据三视图中主视图为从正面观察得到的平面图形，据此即可求解
2．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：A、把代入得：左边右边，不是原方程的解，故A不符合题意；
B、把代入得：左边右边，不是原方程的解，故B不符合题意；
C、把代入得：左边右边，不是原方程的解，故C不符合题意；
D、把代入得：左边右边，是原方程的解，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据方程的解得定义，把各选项的值逐一代入方程检验即可解答．
3．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值约是0.90．
故答案为：B．
【分析】由图可知成活概率在0.90上下波动，则可估计成活的概率估计值为0.90．
4．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，进而得到，即可得出答案．
5．【答案】D
【知识点】比例线段；黄金分割；分式方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：该女士下半身长，
设她应穿的高跟鞋的高度是，穿上高跟鞋后，下半身长变为，身高变为，
因为穿上高跟鞋后下半身长与身高的比值要接近0.618，所以可列方程：，
解得：，
故答案为：D．
【分析】先根据已知条件求出该女士下半身的长度为990cm，设她应穿的高跟鞋的高度是，则下半身长变为，根据穿上高跟鞋后下半身长与身高的比值为0.618列出方程：，解此方程即可.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意知：，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，是所列方程的解，
故答案为：D．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出CD的长即可.
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
故答案为：A．
【分析】本题根据条件“ 商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个 ”，上涨元时，则商品的单价为（40+x）元，单个商品的利润为（x+40-35）元，实际销量为（200-5x）个，而利润为1870元，此时即可列出方程。
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：A、由图2可知，在一定范围内，越小，越大，原说法正确，不符合题意；
B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意；
C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法正确，不符合题意；
D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为，由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值，，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项．
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】设a=3k，b=2k，代入 ，得
= .
故答案为： .
【分析】设a=3k，b=2k，代入 化简即可.
10．【答案】5
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：根据题意得：，
设，则，
在和中：，，
又，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
故答案为：5．
【分析】根据矩形性质与折叠的性质得到相等角，推出，，，设，则，再利用勾股定理列方程：，求解的长．
11．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；平行投影
【解析】【解答】解： 过点G作于点Q，于点P，如图所示
∵广告牌CDFH是长方形，
∴四边形是矩形，米，
在同一时间内，两个物体的实际高度和影长成正比例，
∴，即，
解得，
∴米．
故答案为：．
【分析】在平行光线下，同一时刻内不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例。本题据此做辅助线后，结合矩形的性质和判定即可得出四边形是矩形，并得到米，然后根据实际高度和影长成正比例列式，代入求出AP的长度，最后线段求和即可。
12．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程的根，
将m代入一元二次方程中，得，
∴，，
∴．
【分析】本题结合条件将m代入，然后变形得到，，再将整理变形并逐步代入替换，最后即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点H，设、相交于点M，
∵，
∴设，，
∵将沿翻折，得到，
∴，，
∵EH⊥AC，∠ACB=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴DH=EH=DF=x，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴∠FDM=∠EHM=90°，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】过点E作于点H，设、相交于点M，设，，由折叠性质得，，然后证明，得，利用勾股定理求出AB的值，代入数值从而得到得到，，进而得DH=EH=DF=x，即可证明是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得到，可得，接下来证明，得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程得x的值即可．
14．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据零指数幂的性质“任何一个不为零的数的零次幂都等于1”、二次格式的性质、特殊锐角三角函数值、绝对值的性质分别化简，再计算乘法，最后计算有理数的减法及合并同类二次根式即可.
15．【答案】解：
=（+）÷
=，
当x=-3时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则求得最简分式，再代入求值即可.
16．【答案】（1）
（2），错误
（3）解：列表如下
小菲
小娜 A B C D
A
B
C
D
由表可以看出，共有16种等可能的结果，其中小娜和小菲恰好在同一个社团的结果有4种，
∴（恰好在同一社团）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是；
（2）解：从表格的数据发现，随着实验次数的增加，抽到的频率在0.25上下波动，且逐渐稳定于，所以该同学的说法错误
故答案为：（1）；（2）；错误；
【分析】（1）根据概率公式，即从四张卡片中随机抽取一张，且每张卡片抽到的可能性相同，因此列式即可；
（2）用频率估计概率是通过大量重复试验中某一事件发生的频率来估计该事件发生的概率，其基本原理是频率的稳定性。本题根据频率的概念及表中频率稳定的数值，分析并判断即可；
（3）用列表法列出所有等可能结果有16种，从中找到符合条件的结果数有4种，最后根据概率公式列式计算即可．
（1）解：从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是；
（2）解：表格中抽到的频率在0.25上下波动，且随着抽卡的次数增加，频率逐渐稳定于，所以该同学的说法错误
故答案为：；错误；
（3）解：列表如下
小菲 小娜 A B C D
A
B
C
D
由表可以看出，共有16种等可能的结果，其中小娜和小菲恰好在同一个社团的结果有4种，
∴（恰好在同一社团）．
17．【答案】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）解：设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出，再解方程求解即可；
（2）根据题意求出w的函数解析式： ， 再根据一次函数的性质计算求解即可。
18．【答案】（1）证明：连接，如图
与相切于点，
，
，即，
=90°，
，
，
，
平分．
（2）解：如图
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；切线的性质；角平分线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）做辅助线后，根据切线的性质定理得到，根据“同位角相等、两直线平行”得到，依据“两直线平行、内错角相等”得到，然后结合等腰三角形的性质从而推出，即可得到结论；
（2）根据勾股定理求出AC=，然后结合圆周角定理和AA证明，列出对应边成比例后即可求出，再利用AA证明，列出对应边成比例后即可求出．
（1）证明：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
（2）解：，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
19．【答案】解：（1）解：描点连线绘制函数图象如下：
：
（2）解：方案一：点；，
方案二：点；，
结论：a．
（3）由题意知：，由（2）知①
对于抛物线，可知，
设
则，即
对于抛物线，
设
因为两个函数的顶点之间的距离是10，
所以，即，所以或
当时，代入①式，则有，所以
当时，代入①式，则有，所以
综上，或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）解：描点连线绘制函数图象如下：
由题意得，点，
将点B的坐标代入函数表达式得：：
故答案为：：
（2）解：方案一：点，
将点的坐标代入函数表达式得：；
则，
方案二：点
将点B的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，则，
结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由a决定．
【分析】（1）将表格里面的点在图2中描出来，然后顺次链接即可，进而写出函数关系式即可；
（2）方案一：；将点的坐标代入抛物线表达式即可求解；方案二：将点的坐标代入抛物线表达式即可求解；；
（3）对于第一个二次函数：，进而推出，设，则，对于第二个函数，设，然后根据两个函数的顶点之间的距离是10，得到，即可求出或，进而即可求解.
20．【答案】解：（1）．
（2）不变．
理由如下：设的中点为，连接，如下图所示．
是的中点，
是的中位线．
．
．
．
，
．
（3）或．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）延长交的延长线于点P，
图4
∵矩形，
∴，，
∴，，
∵点E为的中点，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
故答案为：.
（3）连接， 如下图
分别是，的中点，
是的中位线，
∴．
由题意，可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆．
当三点共线时，分以下两种情况进行讨论．
①当点在线段上时，连接，
过点作于点，如下图所示，
∵为正方形，B为中心，
∴
，
，
在中，，
．
．
．
②当点在线段上时，连接，过点作，如下图所示，
同理
∴
在中，
．
，
．
综上所述，的长为或．
【分析】（1）延长交的延长线于点P，利用矩形的性质以及线段中点可证得：，，，利用"AAS"证明，则，再证明即可得出，由线段的中点可得出，即可得出．
（2）设的中点为，连接，由三角形中位线的判定以及性质得出，进而得出，由相似三角形的性质进而得出，再结合即可得出．
（3）连接，先证明是的中位线，，根据题意可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆．当三点共线时，分以下两种情况进行讨论，①当点在线段上时，连接；②当点在线段上时，连接，过点作，分别根据线段间的数量关系计算即可.
1 / 1广东省深圳市翠园东晓中学2024-2025学年九年级中考模拟试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．图1是我国古代的鲁班锁，图2是其中的一个构件，则该构件的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该构件的主视图为：
故答案为：B．
【分析】根据三视图中主视图为从正面观察得到的平面图形，据此即可求解
2．下列各数是一元二次方程的根的是（　　）
A．1 B．5 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：A、把代入得：左边右边，不是原方程的解，故A不符合题意；
B、把代入得：左边右边，不是原方程的解，故B不符合题意；
C、把代入得：左边右边，不是原方程的解，故C不符合题意；
D、把代入得：左边右边，是原方程的解，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据方程的解得定义，把各选项的值逐一代入方程检验即可解答．
3．新郑大枣以极瘦皮、厚肉、小核、甜味香气浓郁而著称，被誉为枣中之王．现跟踪调查了新郑大枣树苗的移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计新郑大枣树苗移植成活的概率约是（　　）
A．0.95 B．0.90 C．0.85 D．0.80
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：这种树苗成活的频率稳定在0.90，成活的概率估计值约是0.90．
故答案为：B．
【分析】由图可知成活概率在0.90上下波动，则可估计成活的概率估计值为0.90．
4．小康打算制作如图1所示的花架，图2是小康设计的花架正面简易图．已知，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出，进而得到，即可得出答案．
5．美是一种感觉，当人体下半身长与身高比值越接近0.618时，越给人一种美感，如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.6，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例线段；黄金分割；分式方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：该女士下半身长，
设她应穿的高跟鞋的高度是，穿上高跟鞋后，下半身长变为，身高变为，
因为穿上高跟鞋后下半身长与身高的比值要接近0.618，所以可列方程：，
解得：，
故答案为：D．
【分析】先根据已知条件求出该女士下半身的长度为990cm，设她应穿的高跟鞋的高度是，则下半身长变为，根据穿上高跟鞋后下半身长与身高的比值为0.618列出方程：，解此方程即可.
6．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（　　）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题意知：，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，是所列方程的解，
故答案为：D．
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出CD的长即可.
7．将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的单价上涨元时，可获得1870元的利润，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
故答案为：A．
【分析】本题根据条件“ 商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个 ”，上涨元时，则商品的单价为（40+x）元，单个商品的利润为（x+40-35）元，实际销量为（200-5x）个，而利润为1870元，此时即可列出方程。
8．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（　　）
A．在一定范围内，越小越大
B．当时，的阻值为
C．当踏板上人的质量为时，
D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是
【答案】D
【知识点】反比例函数的实际应用；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：A、由图2可知，在一定范围内，越小，越大，原说法正确，不符合题意；
B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意；
C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法正确，不符合题意；
D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为，由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值，，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．如果： = ， 那么： =　 　 ．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】设a=3k，b=2k，代入 ，得
= .
故答案为： .
【分析】设a=3k，b=2k，代入 化简即可.
10．如图，小明将一张长方形纸片沿对角线折叠，落在处，交于点F，已知该纸片，．则的长为　 　．
【答案】5
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：根据题意得：，
设，则，
在和中：，，
又，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
故答案为：5．
【分析】根据矩形性质与折叠的性质得到相等角，推出，，，设，则，再利用勾股定理列方程：，求解的长．
11．某学校旁有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知米，长方形广告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度是　 　米．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；平行投影
【解析】【解答】解： 过点G作于点Q，于点P，如图所示
∵广告牌CDFH是长方形，
∴四边形是矩形，米，
在同一时间内，两个物体的实际高度和影长成正比例，
∴，即，
解得，
∴米．
故答案为：．
【分析】在平行光线下，同一时刻内不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例。本题据此做辅助线后，结合矩形的性质和判定即可得出四边形是矩形，并得到米，然后根据实际高度和影长成正比例列式，代入求出AP的长度，最后线段求和即可。
12．若m是一元二次方程的根，则的值为　 　
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵m是一元二次方程的根，
将m代入一元二次方程中，得，
∴，，
∴．
【分析】本题结合条件将m代入，然后变形得到，，再将整理变形并逐步代入替换，最后即可得出答案。
13．如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点E作于点H，设、相交于点M，
∵，
∴设，，
∵将沿翻折，得到，
∴，，
∵EH⊥AC，∠ACB=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴DH=EH=DF=x，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴∠FDM=∠EHM=90°，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】过点E作于点H，设、相交于点M，设，，由折叠性质得，，然后证明，得，利用勾股定理求出AB的值，代入数值从而得到得到，，进而得DH=EH=DF=x，即可证明是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得到，可得，接下来证明，得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程得x的值即可．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据零指数幂的性质“任何一个不为零的数的零次幂都等于1”、二次格式的性质、特殊锐角三角函数值、绝对值的性质分别化简，再计算乘法，最后计算有理数的减法及合并同类二次根式即可.
15．先化简，再求值：．其中．
【答案】解：
=（+）÷
=，
当x=-3时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则求得最简分式，再代入求值即可.
16．某校理科社团决定采用抽卡片的方式对招募来的学生进行分组，制作了除图片内容不同外，其他完全相同的四张卡片：．积土成山．蜡炬成灰．物腐虫生．木已成舟．每个同学从这四张卡片中随机抽取一张，抽到表示化学变化的卡片，就加人化学魔法社；抽到表示物理变化的卡片，就加入物理小天团．（物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质生成）
（1）从四张卡片中随机抽取一张，抽到卡片的概率是___________；
（2）有同学说抽到每种卡片的可能性不一样，于是老师组织同学进行大量重复试验．以抽到卡片为例，数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 2000
抽到卡片次数 30 70 126 251 500
抽到卡片频率 0.300 0.233 0.252 0.251 0.250
根据以上数据，抽到卡片的频率越来越稳定于__________（精确到0.01），所以该同学的说法__________；（用“正确”或“错误”填空）
（3）小娜随机抽取一张卡片记录后，放回并混在一起，再由小菲随机抽取一张，请用列表法或画树状图法求她们恰好在同一个社团的概率．
【答案】（1）
（2），错误
（3）解：列表如下
小菲
小娜 A B C D
A
B
C
D
由表可以看出，共有16种等可能的结果，其中小娜和小菲恰好在同一个社团的结果有4种，
∴（恰好在同一社团）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是；
（2）解：从表格的数据发现，随着实验次数的增加，抽到的频率在0.25上下波动，且逐渐稳定于，所以该同学的说法错误
故答案为：（1）；（2）；错误；
【分析】（1）根据概率公式，即从四张卡片中随机抽取一张，且每张卡片抽到的可能性相同，因此列式即可；
（2）用频率估计概率是通过大量重复试验中某一事件发生的频率来估计该事件发生的概率，其基本原理是频率的稳定性。本题根据频率的概念及表中频率稳定的数值，分析并判断即可；
（3）用列表法列出所有等可能结果有16种，从中找到符合条件的结果数有4种，最后根据概率公式列式计算即可．
（1）解：从四张卡片中随机抽取一张，抽到B卡片的概率是；
（2）解：表格中抽到的频率在0.25上下波动，且随着抽卡的次数增加，频率逐渐稳定于，所以该同学的说法错误
故答案为：；错误；
（3）解：列表如下
小菲 小娜 A B C D
A
B
C
D
由表可以看出，共有16种等可能的结果，其中小娜和小菲恰好在同一个社团的结果有4种，
∴（恰好在同一社团）．
17．某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少 最少花费是多少元
【答案】（1）解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元．
根据题意，得
解这个方程，得
经检验，是原方程的根．
答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元．
（2）解：设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，
由题意得：，解得．
∴
即，
∵，
∴随的增大而增大．
∴当时，取得最小值11200，此时；
答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出，再解方程求解即可；
（2）根据题意求出w的函数解析式： ， 再根据一次函数的性质计算求解即可。
18．如图，内接于，是的直径，过点作的切线交的延长线于点，过点作，交直线于点，交于点．
（1）求证：平分；
（2）若，求线段的长．
【答案】（1）证明：连接，如图
与相切于点，
，
，即，
=90°，
，
，
，
平分．
（2）解：如图
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；切线的性质；角平分线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）做辅助线后，根据切线的性质定理得到，根据“同位角相等、两直线平行”得到，依据“两直线平行、内错角相等”得到，然后结合等腰三角形的性质从而推出，即可得到结论；
（2）根据勾股定理求出AC=，然后结合圆周角定理和AA证明，列出对应边成比例后即可求出，再利用AA证明，列出对应边成比例后即可求出．
（1）证明：连接，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
平分．
（2）解：，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
19．在综合实践课上，为了测量抛物线的开口大小，数学探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究．把“T”形尺按图1摆放，水平宽的中点为C，图象的顶点为D，测得为m厘米时，为n厘米．
【猜想】（1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得m与n的部分数据如表：
m 0 2 3 4 5 6 …
n 0 1 2.25 4 6.25 9 …
描点：以表中各组对应值为点的坐标，在图2的直角坐标系内描出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点．
猜想：n与m的关系式是 ▲ ．
【验证】（2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的n与m也存在类似的关系式，并针对二次函数的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“□”内打“√”）并补全其推理过程；（根据需要，选用字母a，m，n，h，k表示答案）
□方法1 □方法2
如图3，平移二次函数图象，使得顶点D移到原点O的位置，则：，所以点坐标为 ▲ ；将点坐标代入，得到n与m的关系式是 ▲ ． 如图4，顶点D的横坐标加个单位，纵坐标加n个单位得到点B的坐标，所以点B坐标为 ▲ ；将点B坐标代入，得到n与m的关系式是 ▲ ．
结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由 ▲ 决定．
【应用】（3）已知轴且，两个二次函数和的图象都经过A，B两点．当两个函数图象的顶点之间的距离为10时，求a的值．
【答案】解：（1）解：描点连线绘制函数图象如下：
：
（2）解：方案一：点；，
方案二：点；，
结论：a．
（3）由题意知：，由（2）知①
对于抛物线，可知，
设
则，即
对于抛物线，
设
因为两个函数的顶点之间的距离是10，
所以，即，所以或
当时，代入①式，则有，所以
当时，代入①式，则有，所以
综上，或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）解：描点连线绘制函数图象如下：
由题意得，点，
将点B的坐标代入函数表达式得：：
故答案为：：
（2）解：方案一：点，
将点的坐标代入函数表达式得：；
则，
方案二：点
将点B的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，则，
结论：通过探究我们发现：抛物线的开口大小和方向由a决定．
【分析】（1）将表格里面的点在图2中描出来，然后顺次链接即可，进而写出函数关系式即可；
（2）方案一：；将点的坐标代入抛物线表达式即可求解；方案二：将点的坐标代入抛物线表达式即可求解；；
（3）对于第一个二次函数：，进而推出，设，则，对于第二个函数，设，然后根据两个函数的顶点之间的距离是10，得到，即可求出或，进而即可求解.
20．【问题初探】
数学课上，老师提出如下问题：
如图1，在矩形中，点E，F分别是，的中点，与相交于点G，求的值．
经过思考，小明同学和小慧同学分别给出如下解题思路：
小明：可以过中点作平行线，过点E作交于点H，如图2所示，或者过点F作交AB于点K，交于点Q，如图3所示…
小慧：还可以延长中点所在的线段，如图4，延长交的延长线于点P…
（1）请根据上述两位同学的思路，直接写出的值： ．
【类比分析】
（2）老师发现两位同学都利用了转化思想，为了帮助同学们更好地利用转化思想解决问题，老师改变题中的条件，如图5，将图1中的矩形改成菱形，其余条件不变，那么的值是否改变？请说明理由．
【学以致用】
（3）如图6，已知正方形中心为点O，边长为4，另一边长为的正方形的中心与点B重合，连接，设的中点为M，将正方形绕点B旋转，当A，E，F三点恰好在同一直线上时，请直接写出的长．
【答案】解：（1）．
（2）不变．
理由如下：设的中点为，连接，如下图所示．
是的中点，
是的中位线．
．
．
．
，
．
（3）或．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）延长交的延长线于点P，
图4
∵矩形，
∴，，
∴，，
∵点E为的中点，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
故答案为：.
（3）连接， 如下图
分别是，的中点，
是的中位线，
∴．
由题意，可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆．
当三点共线时，分以下两种情况进行讨论．
①当点在线段上时，连接，
过点作于点，如下图所示，
∵为正方形，B为中心，
∴
，
，
在中，，
．
．
．
②当点在线段上时，连接，过点作，如下图所示，
同理
∴
在中，
．
，
．
综上所述，的长为或．
【分析】（1）延长交的延长线于点P，利用矩形的性质以及线段中点可证得：，，，利用"AAS"证明，则，再证明即可得出，由线段的中点可得出，即可得出．
（2）设的中点为，连接，由三角形中位线的判定以及性质得出，进而得出，由相似三角形的性质进而得出，再结合即可得出．
（3）连接，先证明是的中位线，，根据题意可得点的运动路径是以点为圆心，以的长为半径的圆．当三点共线时，分以下两种情况进行讨论，①当点在线段上时，连接；②当点在线段上时，连接，过点作，分别根据线段间的数量关系计算即可.
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