资源简介

广东省深圳市南山区育才教育集团2025年3月初三第一次质量监测数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．截至2025年2月13日19时11分，《哪吒之魔童闹海》总票房（含预售）突破100亿元，用时仅仅16天，是中国影史上首个破百亿大关的电影．数据100亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．中国“二十四节气”已被列人联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
5．如图是2025年春节档万达影院某天影院排档期的四部影片，小明和小红各随机购买一张电影票，则他们看同一部影片的概率是（　　）．
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（　　）．
A． B． C． D．
7．某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行菱形有25个，每个菱形的边长为．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为．校门部分打开时，每个菱形原的角缩小为．则校门打开了（　　）．
A． B． C． D．
8．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于数学测量的数学著作．其中第一题是测量海岛高度的问题．如图，点E、H、G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度．若，，，则海岛的高为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
9．若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为　 　．
10．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米，则近视眼镜的度数减少了　 　度．
11．如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板上的C、D两点反射到天花板上形成光斑A、B．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β．由光的反射原理可知，，．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当，时，光斑移动的距离为　 　米．
12．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图1 是发动机的实物剖面图，图2 是其示意图，图2中，点A在直线l上往复运动，推动点 B 做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时， 点B到达D． 若，， 当与相切时，的长度是　 　．
图1 图2
13．如图，在中，，，，平分交于点D，过C作交的延长线于点E，则线段的长为　 　．
三、解答题
14．计算：．
15．嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分．
（1）嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值；
（2）若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？
16．新能源车的续航里程是指汽车在动力电池完全充电（仪表显示充满）的状态下，以一定的行驶情况连续行驶的最大距离．为调查1年及以内纯电动新能源车（以下简称纯电车）的续航里程，福田区某学校数学兴趣小组在社区内随机对m辆纯电车的车主进行了问卷调查，并对这些纯电车的续航里程进行了收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
①m辆纯电车续航里程s（单位：公里）的不完整的扇形统计图，如图1：（数据分成5组，A：，B：，C：，D：，E：）；
②新能源纯电动车续航里程条形统计图，如图2；
③纯电车续航里程在C组的里程数据绘制散点统计图，如图3；
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这次被调查的纯电车数量______；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角度数为______°；
（4）C组电动车的续航里程的极差是______公里，中位数是______公里；
（5）若该小区有500辆电动车，请估计续航里程满足公里的电动车的数量为______辆
17．“滨滨”和“妮妮”是2025年第九届亚洲冬季运动会的吉祥物．某亚冬会官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“滨滨”和“妮妮”手办，连续两个月的销售情况如下表：
月份 销售量/个 销售额/元
滨滨 妮妮
月
月
（1）求该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价；
（2）为了扩大销量，增加盈利，该店对两种手办进行降价促销，其中“滨滨”手办八折销售，“妮妮”手办七五折销售，某学校欲购买若干个“滨滨”和“妮妮”手办作为亚冬会知识竞赛活动的奖品，且“滨滨”手办的数量恰好是“妮妮”手办数量的倍，若总费用不超过元，那么该校最多可购买多少个“滨滨”手办？
18．在正方形中，O为对角线的中点，点E是对角线上的动点，连接，点F在直线上（点F不与点D重合），连接，．
（1）如图1，当E在线段上时，求证：；
（2）如图2，若，当E在线段上，且时，求的长．
19．项目式学习：圆弧在建筑中的应用
项目主题：圆弧在建筑中的应用
素材1 我国历史上著名的赵州桥，是现存世界上跨径最大、建造最早的单肩石拱桥，这是单圆弧设计在我国古代建筑中的一种成功典范．如图1，赵州桥主桥拱成圆弧形，跨度约，拱高约．
素材2 在西方建筑中，也有很多应用圆弧设计的元素．例如巴黎圣母院是典型的哥特式建筑．如图2，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形，叫做两心尖拱．其中，点A、B称为起拱处，点C称为拱尖，C到的距离称为拱高．两心尖拱的几何特征就是、的圆心落在直线上．
素材3 如图3是古塔建筑中的方圆设计，寓意天圆地方．据古塔示意图，以塔底座宽为边作正方形（图4），塔高，分别以点A，B为圆心，为半径作圆弧，交于点G．正方形内部由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．
问题解决
任务1 确定半径 （1）图1中赵州桥主桥拱半径约为______．（结果保留整数）
任务2 计算拱高 （2）①请根据两心圆拱的几何特征利用尺规作出图2中、的圆心、．（不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若，，求拱高．
任务3 计算比值 （3）如图4，若点G落在AM的延长线上，连接交于点T，则的值为______．
20．我们规定：在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”．例如，都是“整点”．
（1）请你写出一次函数图象上的一个“整点”：　 　；
（2）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在x轴、y轴上，，，P是矩形内部（不含边界）一个“整点”，经过点P的反比例函数的图象与、分别交于D、E两点，若在线段、及反比例函数段的部分所围成的封闭区域（不含边界）中恰好有5个整点，求k的值．
（3）如图2，抛物线的图象与x轴分别交于A、B两点，沿抛物线x轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点，请直接写出a的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：100亿，
故答案为：C．
【分析】由题意，先将单位亿元化为元，然后根据科学记数法的定义“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a10n的形式，其中，n=整数位数-1.”并结合题意可求解．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是轴对称图形，
∴此选项符合题意；
B、图案是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．根据轴对称图形的定义并结合各选项即可判断求解．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解；A、，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：B，
【分析】根据幂的乘方计算法则判断A项；根据同底数幂的乘法计算法则判断B项；根据同底数幂的除法计算法则判断C项；根据完全平方公式即可判断D项.
4．【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：光线平行，
，
水面和玻璃底部平行，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将这四部春节档影片分别记为A，B，C，D，列表如下：
　 A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果，其中小明和小红看同一部影片的结果有4种，
小明、小红看同一部影片的概率为，
故答案为：B．
【分析】列表得出所有等可能的结果数以及小明和小红看同一部影片的结果数，进而得到小明和小红看同一部影片的结果有4种，然后根据概率计算公式计算即可.
6．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：二次函数（，）的顶点坐标为，选项C、D错误
对称轴为y轴，它的开口方向向下，选项B错误．
故选：A．
【分析】根据二次函数（，）的顶点坐标为，即可判断C、D不符合题意，再根据它的开口方向向下，即可判断A、B，即可解答．
7．【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：连接，相交于O，
∴
∴
∴，
∵校门关闭时，伸缩门的宽度为．
∵校门部分打开时，每个菱形中的原的角缩小为，
∴，
∴校门部分打开时，伸缩门的宽度为，
∴校门打开了．
故选：C．
【分析】连接，相交于O，根据含有30°角的直角三角形性质先求出，得到校门关闭时，伸缩门的宽度为，同理求出校门部分打开时，伸缩门的宽度为，进而求解即可．
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度．
，，，
，，
，，
，即，
解得，，
故．
故选：D．
【分析】根据相似三角形的判定和性质可以得到 ，，进而可得到，据此得到，，进而即可计算出AB的长度.
9．【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入，得：，
解得：；
故答案为：。
【分析】把x的值代入 ，然后再进行求解即可。
10．【答案】150
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
把代入，
，
函数解析式为，
当时，，
当时，，
度数减少了（度，
故答案为：．
【分析】由已知设，则有图象知点满足解析式，进而得到解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可．
11．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：过点作，垂足为E，过点作，垂足为F，
由题意得：，和都是等腰三角形，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴光斑移动的距离为，
故答案为：．
【分析】过点作，垂足为E，过点作，垂足为F，根据题意可得：，和都是等腰三角形，，进而根据平行线的性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
12．【答案】4
【知识点】勾股定理；切线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：当与相切时，连接，如图，
∵当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时， 点B到达D，
∴EC=AB=FD=12，CO=OB=5，
∴，
而，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题结合条件“当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时， 点B到达D”，分析得出EC=AB=FD=12，CO=OB=5，从而计算出EO=17，然后根据切线的性质并利用勾股定理求出OA=13，最后作差即可求出EA=4。
13．【答案】
【知识点】解直角三角形；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】过A作于点F，交于点G，则，
∵，，，
∴，，，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
．
故答案为：．
【分析】过A作于点F，交于点G，则，由已知得到，，，，再根据角平分线得到，，再根据得到，即可解答．
14．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值意义，进行计算即可．
15．【答案】（1）解：根据题意可得：
，
∵，
∴，
∴从，0，1中选取0作为a值代入求值，原式.
（2）解：∵，
∴
，
∴被墨水遮住的式子是．

【知识点】分式的加减法；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将a的值代入计算即可；
（2）先根据题意可得，再利用分式的混合运算的计算方法及步骤求出的值即可.
（1）
，
∵，
∴，
∴从，0，1中选取0作为a值代入求值，
原式；
（2）∵，
∴
，
则被墨水遮住的式子是．
16．【答案】（1）
（2）解：组人数为（人），
补全图形如下：
（3）
（4）80，440
（5）190
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）这次被调查的纯电车数量，
故答案为：50；
（3）扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：36；
（4）组电动车的续航里程的极差是（公里），
从小到大排列位于第七，八位的都是440公里，
故中位数为（公里），
故答案为：80、440；
（5）估计续航里程满足公里的电动车的数量为（辆），
故答案为：190．
【分析】（1）用组数量及其所占百分比即可得出的值；
（2）利用圆心角求出组数量，即可补全图形；
（3）用乘以组对应的百分比即可得出答案；
（4）根据极差和中位数的定义求解即可；
（5）总数量乘以、组数量所占比例即可．
（1）解：这次被调查的纯电车数量，
故答案为：50；
（2）解：组人数为（人），
补全图形如下：
（3）解：扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：36；
（4）解：组电动车的续航里程的极差是（公里），从小到大排列位于第七，八位的都是440公里，故中位数为（公里），
故答案为：80、440；
（5）解：估计续航里程满足公里的电动车的数量为（辆），
故答案为：190．
17．【答案】（1）解：设该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为元和元，
由题意得，，
解得，
答：该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为元和元；
（2）解：设购买个“妮妮”手办，则购买个“滨滨”手办，
由题意得，，
解得：，
∵为正整数，
∴，
∴该校最多可购买2×10=20个“滨滨”手办.
答：最多可以购买个“滨滨”手办．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为元和元，根据表格中的两个相等关系列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（）设购买个“妮妮”手办，则购买个“滨滨”手办，根据题中的不等关系“购买个“妮妮”手办的费用+购买个“滨滨”手办的费用≤1300”列出关于a的一元一次不等式，解不等式可得a的范围，根据a是正整数即可求解.
（1）解：设该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为元和元，
由题意得，，
解得，
答：该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为元和元；
（2）解：设购买个“妮妮”手办，则购买个“滨滨”手办，
由题意得，，
解得，
∵为正整数，
∴，
答：最多可以购买个“滨滨”手办．
18．【答案】（1）解：如图1，过点作于点， 于点．
四边形是正方形， ，
又点E是对角线上的点，，
，．
和 都是等腰直角三角形，即 ，，
，
四边形是正方形．
在和中，，，
，．
，，即，
．
（2）解：如图2，连接，过E作于H．
∵四边形为正方形，点E是对角线上的点，
，，，，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴．
又∵，∴，
∴是等腰三角形，
∴．
在中
，
设，
在中
，
则，，
∴，，，．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）过点作于点， 于点，即可得到是正方形，然后利用“”得到，即可得到，进而推出证明结论；
（2）连接，过E作于H．即可得到出是等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出，设，根据列方程求出的值，解答即可．
（1）解：如图1，过点作于点， 于点．
四边形是正方形， ，
又点E是对角线上的点，，
，．
和 都是等腰直角三角形，即 ，，
，
四边形是正方形．
在和中，，，
，．
，，即，
．
（2）解：如图2，连接，过E作于H．
∵四边形为正方形，点E是对角线上的点，
，，，，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴．
又∵，∴，
∴是等腰三角形，
∴．
在中
，
设，
在中
，
则，，
∴，，，．
19．【答案】解：（1）；
（2）①如图1，点M、点N即为所求；
②如图2，连接、，
∵，
∴，，，
∴，在中：
，
∴
答：拱高为
（3）

【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，，，设主桥拱半径为，
∴，
∵是半径，，
∴（），
在中，，
∴，
解得；
故答案为.
（3）如图3，连接、，过点G作，垂足分别为H、K，
∴四边形是矩形，
∴，
设正方形边长为a，由题意可知：，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∵，AD=BC，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
故答案为.
【分析】
（1）设主桥拱半径为，得到OD=R-7，由垂径定理得到AD=，在中根据勾股定理，列出方程解方程即可解答；
（2）①作的垂直平分线交于点，则即为所求，解答即可；
②如图2，连接、，在中，勾股定理求得，即可求解．
（3）连接、，过点G作，垂足分别为H、K，设正方形边长为a，利用AA证明，得出，根据同角的余角相等利用AAS进而证明，结合勾股定理得到MG，再计算线段的和差得，进而根据相似三角形的性质即可求解．
20．【答案】（1）
（2）解：如图1，当反比例函数经过点时，内部区域刚好有5个整点，，，，，
将代入反比例函数得，，
此时，．

（3）．
【知识点】一次函数的概念；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）将代入，则，
则一次函数图象上的一个“整点”为：（答案不唯一）；
（3）如图2，抛物线经过，，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，
只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，，，，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”，此时，．
根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点，
此时是临界位置，，，
∴．
【分析】（1）根据整点的定义将代入中求出y的值即可；
（2）画出示意图，结合整点个数找到临界点，即可解答；
（3）画出示意图，利用对称的性质结合整点个数找到临界点，即可解答．
（1）解：将代入，则，
则一次函数图象上的一个“整点”为：（答案不唯一）；
（2）解：如图1，当反比例函数经过点时，内部区域刚好有5个整点，，，，，
将代入反比例函数得，，
此时，．
（3）解：如图2，抛物线经过，，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，
只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，，，，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”，此时，．
根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点，
此时是临界位置，，，
所以．
1 / 1广东省深圳市南山区育才教育集团2025年3月初三第一次质量监测数学试题
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．截至2025年2月13日19时11分，《哪吒之魔童闹海》总票房（含预售）突破100亿元，用时仅仅16天，是中国影史上首个破百亿大关的电影．数据100亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：100亿，
故答案为：C．
【分析】由题意，先将单位亿元化为元，然后根据科学记数法的定义“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a10n的形式，其中，n=整数位数-1.”并结合题意可求解．
2．中国“二十四节气”已被列人联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案不是轴对称图形，
∴此选项符合题意；
B、图案是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
C、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．根据轴对称图形的定义并结合各选项即可判断求解．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解；A、，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：B，
【分析】根据幂的乘方计算法则判断A项；根据同底数幂的乘法计算法则判断B项；根据同底数幂的除法计算法则判断C项；根据完全平方公式即可判断D项.
4．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：光线平行，
，
水面和玻璃底部平行，
，
，
，
故选：D．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
5．如图是2025年春节档万达影院某天影院排档期的四部影片，小明和小红各随机购买一张电影票，则他们看同一部影片的概率是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：将这四部春节档影片分别记为A，B，C，D，列表如下：
　 A B C D
A
B
C
D
共有16种等可能的结果，其中小明和小红看同一部影片的结果有4种，
小明、小红看同一部影片的概率为，
故答案为：B．
【分析】列表得出所有等可能的结果数以及小明和小红看同一部影片的结果数，进而得到小明和小红看同一部影片的结果有4种，然后根据概率计算公式计算即可.
6．在平面直角坐标系中，二次函数（，）的图象可能是下图中的（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：二次函数（，）的顶点坐标为，选项C、D错误
对称轴为y轴，它的开口方向向下，选项B错误．
故选：A．
【分析】根据二次函数（，）的顶点坐标为，即可判断C、D不符合题意，再根据它的开口方向向下，即可判断A、B，即可解答．
7．某学校的校门是伸缩门，伸缩门中的每一行菱形有25个，每个菱形的边长为．校门关闭时，每个菱形的钝角度数为．校门部分打开时，每个菱形原的角缩小为．则校门打开了（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】菱形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：连接，相交于O，
∴
∴
∴，
∵校门关闭时，伸缩门的宽度为．
∵校门部分打开时，每个菱形中的原的角缩小为，
∴，
∴校门部分打开时，伸缩门的宽度为，
∴校门打开了．
故选：C．
【分析】连接，相交于O，根据含有30°角的直角三角形性质先求出，得到校门关闭时，伸缩门的宽度为，同理求出校门部分打开时，伸缩门的宽度为，进而求解即可．
8．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于数学测量的数学著作．其中第一题是测量海岛高度的问题．如图，点E、H、G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度．若，，，则海岛的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度．
，，，
，，
，，
，即，
解得，，
故．
故选：D．
【分析】根据相似三角形的判定和性质可以得到 ，，进而可得到，据此得到，，进而即可计算出AB的长度.
二、填空题（每小题3分，共15分）
9．若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为　 　．
【答案】
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：把代入，得：，
解得：；
故答案为：。
【分析】把x的值代入 ，然后再进行求解即可。
10．验光师通过检测发现近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例函数关系，关于的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米，则近视眼镜的度数减少了　 　度．
【答案】150
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
把代入，
，
函数解析式为，
当时，，
当时，，
度数减少了（度，
故答案为：．
【分析】由已知设，则有图象知点满足解析式，进而得到解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可．
11．如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板上的C、D两点反射到天花板上形成光斑A、B．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β．由光的反射原理可知，，．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为，当，时，光斑移动的距离为　 　米．
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图：过点作，垂足为E，过点作，垂足为F，
由题意得：，和都是等腰三角形，，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴光斑移动的距离为，
故答案为：．
【分析】过点作，垂足为E，过点作，垂足为F，根据题意可得：，和都是等腰三角形，，进而根据平行线的性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
12．发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，如图1 是发动机的实物剖面图，图2 是其示意图，图2中，点A在直线l上往复运动，推动点 B 做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点C，D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时， 点B到达D． 若，， 当与相切时，的长度是　 　．
图1 图2
【答案】4
【知识点】勾股定理；切线的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：当与相切时，连接，如图，
∵当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时， 点B到达D，
∴EC=AB=FD=12，CO=OB=5，
∴，
而，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题结合条件“当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时， 点B到达D”，分析得出EC=AB=FD=12，CO=OB=5，从而计算出EO=17，然后根据切线的性质并利用勾股定理求出OA=13，最后作差即可求出EA=4。
13．如图，在中，，，，平分交于点D，过C作交的延长线于点E，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】过A作于点F，交于点G，则，
∵，，，
∴，，，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，．
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
．
故答案为：．
【分析】过A作于点F，交于点G，则，由已知得到，，，，再根据角平分线得到，，再根据得到，即可解答．
三、解答题
14．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂和零指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值意义，进行计算即可．
15．嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分．
（1）嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值；
（2）若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？
【答案】（1）解：根据题意可得：
，
∵，
∴，
∴从，0，1中选取0作为a值代入求值，原式.
（2）解：∵，
∴
，
∴被墨水遮住的式子是．

【知识点】分式的加减法；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将a的值代入计算即可；
（2）先根据题意可得，再利用分式的混合运算的计算方法及步骤求出的值即可.
（1）
，
∵，
∴，
∴从，0，1中选取0作为a值代入求值，
原式；
（2）∵，
∴
，
则被墨水遮住的式子是．
16．新能源车的续航里程是指汽车在动力电池完全充电（仪表显示充满）的状态下，以一定的行驶情况连续行驶的最大距离．为调查1年及以内纯电动新能源车（以下简称纯电车）的续航里程，福田区某学校数学兴趣小组在社区内随机对m辆纯电车的车主进行了问卷调查，并对这些纯电车的续航里程进行了收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
①m辆纯电车续航里程s（单位：公里）的不完整的扇形统计图，如图1：（数据分成5组，A：，B：，C：，D：，E：）；
②新能源纯电动车续航里程条形统计图，如图2；
③纯电车续航里程在C组的里程数据绘制散点统计图，如图3；
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这次被调查的纯电车数量______；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中，D组所对应扇形的圆心角度数为______°；
（4）C组电动车的续航里程的极差是______公里，中位数是______公里；
（5）若该小区有500辆电动车，请估计续航里程满足公里的电动车的数量为______辆
【答案】（1）
（2）解：组人数为（人），
补全图形如下：
（3）
（4）80，440
（5）190
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）这次被调查的纯电车数量，
故答案为：50；
（3）扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：36；
（4）组电动车的续航里程的极差是（公里），
从小到大排列位于第七，八位的都是440公里，
故中位数为（公里），
故答案为：80、440；
（5）估计续航里程满足公里的电动车的数量为（辆），
故答案为：190．
【分析】（1）用组数量及其所占百分比即可得出的值；
（2）利用圆心角求出组数量，即可补全图形；
（3）用乘以组对应的百分比即可得出答案；
（4）根据极差和中位数的定义求解即可；
（5）总数量乘以、组数量所占比例即可．
（1）解：这次被调查的纯电车数量，
故答案为：50；
（2）解：组人数为（人），
补全图形如下：
（3）解：扇形统计图中，组所对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：36；
（4）解：组电动车的续航里程的极差是（公里），从小到大排列位于第七，八位的都是440公里，故中位数为（公里），
故答案为：80、440；
（5）解：估计续航里程满足公里的电动车的数量为（辆），
故答案为：190．
17．“滨滨”和“妮妮”是2025年第九届亚洲冬季运动会的吉祥物．某亚冬会官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“滨滨”和“妮妮”手办，连续两个月的销售情况如下表：
月份 销售量/个 销售额/元
滨滨 妮妮
月
月
（1）求该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价；
（2）为了扩大销量，增加盈利，该店对两种手办进行降价促销，其中“滨滨”手办八折销售，“妮妮”手办七五折销售，某学校欲购买若干个“滨滨”和“妮妮”手办作为亚冬会知识竞赛活动的奖品，且“滨滨”手办的数量恰好是“妮妮”手办数量的倍，若总费用不超过元，那么该校最多可购买多少个“滨滨”手办？
【答案】（1）解：设该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为元和元，
由题意得，，
解得，
答：该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为元和元；
（2）解：设购买个“妮妮”手办，则购买个“滨滨”手办，
由题意得，，
解得：，
∵为正整数，
∴，
∴该校最多可购买2×10=20个“滨滨”手办.
答：最多可以购买个“滨滨”手办．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（）设该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为元和元，根据表格中的两个相等关系列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（）设购买个“妮妮”手办，则购买个“滨滨”手办，根据题中的不等关系“购买个“妮妮”手办的费用+购买个“滨滨”手办的费用≤1300”列出关于a的一元一次不等式，解不等式可得a的范围，根据a是正整数即可求解.
（1）解：设该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为元和元，
由题意得，，
解得，
答：该店“滨滨”和“妮妮”手办的单价分别为元和元；
（2）解：设购买个“妮妮”手办，则购买个“滨滨”手办，
由题意得，，
解得，
∵为正整数，
∴，
答：最多可以购买个“滨滨”手办．
18．在正方形中，O为对角线的中点，点E是对角线上的动点，连接，点F在直线上（点F不与点D重合），连接，．
（1）如图1，当E在线段上时，求证：；
（2）如图2，若，当E在线段上，且时，求的长．
【答案】（1）解：如图1，过点作于点， 于点．
四边形是正方形， ，
又点E是对角线上的点，，
，．
和 都是等腰直角三角形，即 ，，
，
四边形是正方形．
在和中，，，
，．
，，即，
．
（2）解：如图2，连接，过E作于H．
∵四边形为正方形，点E是对角线上的点，
，，，，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴．
又∵，∴，
∴是等腰三角形，
∴．
在中
，
设，
在中
，
则，，
∴，，，．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质
【解析】【分析】（1）过点作于点， 于点，即可得到是正方形，然后利用“”得到，即可得到，进而推出证明结论；
（2）连接，过E作于H．即可得到出是等腰直角三角形，然后根据勾股定理求出，设，根据列方程求出的值，解答即可．
（1）解：如图1，过点作于点， 于点．
四边形是正方形， ，
又点E是对角线上的点，，
，．
和 都是等腰直角三角形，即 ，，
，
四边形是正方形．
在和中，，，
，．
，，即，
．
（2）解：如图2，连接，过E作于H．
∵四边形为正方形，点E是对角线上的点，
，，，，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴．
又∵，∴，
∴是等腰三角形，
∴．
在中
，
设，
在中
，
则，，
∴，，，．
19．项目式学习：圆弧在建筑中的应用
项目主题：圆弧在建筑中的应用
素材1 我国历史上著名的赵州桥，是现存世界上跨径最大、建造最早的单肩石拱桥，这是单圆弧设计在我国古代建筑中的一种成功典范．如图1，赵州桥主桥拱成圆弧形，跨度约，拱高约．
素材2 在西方建筑中，也有很多应用圆弧设计的元素．例如巴黎圣母院是典型的哥特式建筑．如图2，哥特式尖拱是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形，叫做两心尖拱．其中，点A、B称为起拱处，点C称为拱尖，C到的距离称为拱高．两心尖拱的几何特征就是、的圆心落在直线上．
素材3 如图3是古塔建筑中的方圆设计，寓意天圆地方．据古塔示意图，以塔底座宽为边作正方形（图4），塔高，分别以点A，B为圆心，为半径作圆弧，交于点G．正方形内部由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．
问题解决
任务1 确定半径 （1）图1中赵州桥主桥拱半径约为______．（结果保留整数）
任务2 计算拱高 （2）①请根据两心圆拱的几何特征利用尺规作出图2中、的圆心、．（不写作法，保留作图痕迹）； ②在①的条件下，若，，求拱高．
任务3 计算比值 （3）如图4，若点G落在AM的延长线上，连接交于点T，则的值为______．
【答案】解：（1）；
（2）①如图1，点M、点N即为所求；
②如图2，连接、，
∵，
∴，，，
∴，在中：
，
∴
答：拱高为
（3）

【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：（1）由题意可知，，，设主桥拱半径为，
∴，
∵是半径，，
∴（），
在中，，
∴，
解得；
故答案为.
（3）如图3，连接、，过点G作，垂足分别为H、K，
∴四边形是矩形，
∴，
设正方形边长为a，由题意可知：，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，
∴
∴
∵，AD=BC，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
故答案为.
【分析】
（1）设主桥拱半径为，得到OD=R-7，由垂径定理得到AD=，在中根据勾股定理，列出方程解方程即可解答；
（2）①作的垂直平分线交于点，则即为所求，解答即可；
②如图2，连接、，在中，勾股定理求得，即可求解．
（3）连接、，过点G作，垂足分别为H、K，设正方形边长为a，利用AA证明，得出，根据同角的余角相等利用AAS进而证明，结合勾股定理得到MG，再计算线段的和差得，进而根据相似三角形的性质即可求解．
20．我们规定：在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为“整点”．例如，都是“整点”．
（1）请你写出一次函数图象上的一个“整点”：　 　；
（2）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在x轴、y轴上，，，P是矩形内部（不含边界）一个“整点”，经过点P的反比例函数的图象与、分别交于D、E两点，若在线段、及反比例函数段的部分所围成的封闭区域（不含边界）中恰好有5个整点，求k的值．
（3）如图2，抛物线的图象与x轴分别交于A、B两点，沿抛物线x轴向下翻折，所得新抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰好有13个整点，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：如图1，当反比例函数经过点时，内部区域刚好有5个整点，，，，，
将代入反比例函数得，，
此时，．

（3）．
【知识点】一次函数的概念；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）将代入，则，
则一次函数图象上的一个“整点”为：（答案不唯一）；
（3）如图2，抛物线经过，，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，
只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，，，，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”，此时，．
根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点，
此时是临界位置，，，
∴．
【分析】（1）根据整点的定义将代入中求出y的值即可；
（2）画出示意图，结合整点个数找到临界点，即可解答；
（3）画出示意图，利用对称的性质结合整点个数找到临界点，即可解答．
（1）解：将代入，则，
则一次函数图象上的一个“整点”为：（答案不唯一）；
（2）解：如图1，当反比例函数经过点时，内部区域刚好有5个整点，，，，，
将代入反比例函数得，，
此时，．
（3）解：如图2，抛物线经过，，对称轴为直线，围成的区域关于x轴对称，x轴上有5个“整点”，则x轴的上下部分各有四个“整点”，
只用考虑x轴上方的四个整点，只能是，，，，当抛物线恰好经过时，刚好有13个“整点”，此时，．
根据对称性，当抛物线经过点时必然会经过点，因此抛物线不能经过这两个点，
此时是临界位置，，，
所以．
1 / 1

展开更多......

收起↑