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广东省深圳市文汇学校2025年中考模拟数学试卷
一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．若气温升高记作“”，则气温下降可记作（　　）
A． B． C． D．
2．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．截至3月17日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含港澳台及海外）突破15100000000元，位居全球影史票房第5位．数据15100000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．据记载，幻方起源于我国古代的洛书．如图是一个三阶幻方，要求每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等．已知都是正整数，，且满足，则其中的值为（　　）
a
c m
d b
A．6 B．7 C．8 D．9
6．深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=15°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为(　　)
(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64)
A．1.2m B．1.3m C．1.5m D．2.0m
8．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连结DP并延长交AB于点E，交CB的延长线于点F，若DP=3，EF=，则PE的长是（　　）
A． B． C．2 D．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．因式分解： =　 　．
10．非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是　 　．
11．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为　 　．
12．如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的面积为，则k的值为　 　．
13．如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则　 　．
三、解答题（共7小题，满分61分）
14．计算：．
15．化简求值：，其中．
16．我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．
根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：
（1）本次抽测了_____名九年级学生，______；
（2）若该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？
（3）在本次抽测的优秀学生中抽取5名学生，其中有3名男生．若从所抽取的5名学生中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率．
17．某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，每次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
　 购进数量（件） 所需费用（元）
　 A B
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）为满足市场需求，商场在售完前期所有商品之后，决定再次以同样的价格购进A、B两种商品共1000件，其中A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，且A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．请你为商场确定获得最大利润的进货方案，并求出最大利润．
18．如图，已知等腰，，作的外接圆为，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点，
②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交于点M，
③以点M为圆心，以两弧交点间的距离为半径，交第一个弧于点N；过点C作的垂线交射线于点D，为∠CAD的角平分线；
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的面积．
19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C ▲ （填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为 ▲ ；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．
20．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”．
（1）①在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项妙点”；
②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点M（的中点除外）．
（2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”．
①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”；
②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若气温升高记作““，则气温下降可记作，
故答案为：B．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，另一个为负，结合题意即可求解.
2．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a5+a2 不是同类项不能合并，故A选项错误；
B、（a3）2 =a6 ，故B选项错误；
C、（-2a）3 .a5 =-8a3 .a5=-8a8，故C选项正确；
D、a6 ÷a2 =a4 ，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】本题A选项考察的是正确判断运用同类项知识；B选项要运用幂的乘方的法则；C选项要运用到积的乘方、同底数幂的乘法；D选项考察的是同底数幂的除法的运用.
5．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：已知都是正整数，，
∵，
∴，
∴第一行第3个方格中的数为，
∵第2行及对角线上的三个数之和相等，
∴，
即，
解得，
故选：B．
【分析】由题意可得，根据每行和对角线上的数字之和相等，建立方程，解方程即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设进书城人次的年平均增长率为，
根据题意得：，
故答案为：C．
【分析】根据第一年的人次和第三年的人次，增长率为，根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列方程求解．
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】如图，过点F作FG⊥AC于点G，
根据题意可知：
当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，
∴∠BEP=90°．
∵∠A=90°，∠B=65°，
∴∠EPA=360°﹣90°﹣90°﹣65°=115°．
∵∠DPE=15°，
∴∠APD=130°，
∴∠CPF=50°．
∵F为PD的中点，
∴DF=PFPD=1，
∴CF=PF=1，
∴PG=PFcos50°=1×0.64=0.64，
∴CP=2PG=2×PF cos50°≈2×1×0.64≈1.28，
∴AP=AC﹣PC=2.8﹣1.28≈1.5(m)．
所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米．
故答案为：C．
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，根据题意知：∠BEP=90°， 遮阳效果最佳， 再根据四边形内角和定理可得∠CPF的度数，然后通过计算可知 CF=PF=1， 进而根据等腰三角形三线合一的性质可得出CP=2PG，然后在直角三角形PGF中，通过解直角三角形可得出PG=0.64，进而可得出CP=2PG=1.28，进而得出AP=AC-CP，即可得出AP的长度。
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BP，如图
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP．
∵AP=AP，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴∠ABP=∠ADP，BP=PD
∵AD∥BC，
∴∠F=∠ADP=∠ABP，
∵∠BPE=∠BPF，
∴△PFB∽△PBE，
∴，即PB2=PE PF．
∴PD2=PE PF，
∵DP=3，EF=2，
∴PE=，
∵PE＞0，
解得PE=，
故，答案为：B．
【分析】做辅助线连接BP，根据菱形的性质并利用SAS可以先证明△ABP≌△APD，从而得出∠ABP=∠ADP，结合“两直线平行、内错角相等”综合得出∠F=∠ADP=∠ABP，此时结合图中信息利用AA证明△PFB∽△PBE，根据相似三角形对应边成比例得到PB2=PE PF，将BP=PD，DP=3，EF=2代入，求出PE的值取正数即可。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：
．
故答案为：
.
【分析】因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，先用提取公因式a后，再运用平方差公式对商式进行第二次分解即可.
10．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种非物质文化遗产分别记为
画出树状图如下：
一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种，
（两人恰好选中同一种）．
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两人恰好选中同一种的结果，再根据概率公式即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，，
由折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
=
=
=
故答案为：
【分析】连接，，由折叠可知，，则，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，则，再根据，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；等边三角形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，
，
∵等边和菱形的边、都在x轴上，
∴，，轴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】连接，由题意可得，，轴，根据菱形判定定理可得四边形是菱形，再根据三角形面积，结合反比例函数k的几何意义即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：
如图，过作于，过作于，过作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】先根据∠ABD的正切值，求出，，再利用等面积法，求出，，，再根据题目所给条件，得到，利用勾股定理，求出，再利用等面积法，求出，进一步求解，证明，再利用相似三角形的对应边成比例解答即可.
14．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据0指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的乘除法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x=3代入即可求出答案.
16．【答案】（1），
（2）解：E组人数所占的比例为：，
（人），
∴该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有3300人。
（3）解：∵抽取5名学生有3名男生，
∴E组的女生人数为（人），
画出树状图如下：
从图中得知，共有20种等可能出现的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种，
∴恰好抽取一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：名，
，
即本次抽测了300名九年级学生，108；
故答案为：（1）300，108；
【分析】（1）结合两个统计图发现，A组的人数是30人，对应的占比为，因此用组的人数除以所占百分比，即可得出本次调查的学生人数为300名学生，然后用组人数90人除以调查总人数300，即为所占百分比，再乘以即可得出的值；
（2）结合扇形统计图中的数据以及（1）的计算结果，可以先求出组人数所占的比例，然后再乘以22000即可得出答案；
（3）先求出组的女生人数为2人，然后结合条件画出树状图，一共有（男，男）、（男，男）、（男，女）、（男，女）、（男，男）、（男，男）、（男，女）、（男，女）、（男，男）、（男，男）、（男，女）、（男，女）、（女，男）、（女，男）、（女，男）、（女，女）、（女，男）、（女，男）、（女，男）、（女，女），即20种等可能结果；而其中一男一女的有12种，最后根据概率公式列式即可得出答案。
（1）解：本次抽测了名九年级学生，
，
故答案为：300，108；
（2）解：E组人数所占的比例为：，
（人），
故该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有3300人；
（3）解：∵抽取5名学生有3名男生，
∴E组的女生人数为：（人），
画出树状图如下：
由树状图可得，共有20种等可能出现的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种，
故恰好抽取一男一女的概率为．
17．【答案】（1）解：设A种商品每件的进价是x元，B种商品每件的进价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种商品每件的进价是20元，B种商品每件的进价是80元；
（2）解：设购进B种商品m件，则购进A种商品件，
由题意得：，
解得：，
设获得的利润为w元，
由题意得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，
此时，，
答：当购进A种商品800件，B种商品200件时，获得利润最大，最大利润为12000元
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，B种商品每件的进价是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购进B种商品m件，则购进A种商品件，根据A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，列出不等式求出的范围，设获得的利润为w元，根据总利润等于两种商品的利润和，列出一次函数解析式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设A种商品每件的进价是x元，B种商品每件的进价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种商品每件的进价是20元，B种商品每件的进价是80元；
（2）设购进B种商品m件，则购进A种商品件，
由题意得：，
解得：，
设获得的利润为w元，
由题意得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，
此时，，
答：当购进A种商品800件，B种商品200件时，获得利润最大，最大利润为12000元
18．【答案】（1）证明：连接并延长，交于H，
∵是的外接圆，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴
由作图可知，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线.
（2）解：过E作交于F，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∵，平分，
∴=1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴

【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）连接并延长，交于H，根据三角形外接圆性质可得平分，根据角之间的关系可得，由作图可知，再根据角之间的关系可得∠HAD=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）过E作交于F，根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据角平分线定义可得，根据边之间的关系可得DF，根据相似三角形性质可得，根据勾股定理可得AH，则，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：连接并延长，交于H，
∵是的外接圆，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴
由作图可知，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线.
（2）解：过E作交于F，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∵，平分，
∴=1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
19．【答案】（1）解：将点和代入抛物线，
则，解得：，
抛物线的解析式为；

（2）解：①，
顶点C的坐标为；
抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点，
联立，解得：或（舍），
，
分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，
当时，，则，
，
，
点D与点C关于直线对称，
，
，
，，
矩形的面积；
②如图，作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，
由①可知，
，
由题意可知，，
则，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
边与心形图的左、右边缘各相切于一点，
即直线与抛物线只有一个交点，
联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，解得：，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点，联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
同理可求，
，
矩形的面积为，
，
方案二的矩形面积更小．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点和代入解析式即可求出答案.
（2）①将解析式转换为顶点式可得顶点C的坐标为，再联立一次函数，解方程组可得，分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，将x=1代入一次函数解析式可得，根据两点间距离可得，再根据对称性质可得，根据点的坐标可得，则，，再根据矩形面积即可求出答案.
②作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，由①可知，，根据两点间距离可得OA，根据直线平行判定定理可得，由题意可得直线的解析式为，联立抛物线解析式可得直线的解析式为，再联立一次函数y=x，解方程组可得，根据两点间距离可得OK，再根据边之间的关系可得AK，再根据直线平行判定定理可得，设直线的解析式为，联立抛物线解析式，解方程组可得直线的解析式为，同理可求，再根据矩形面积求出面积，再比较大小即可求出答案.
（1）解：将点和代入抛物线，
则，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：①，
顶点C的坐标为；
抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点，
联立，解得：或（舍），
，
分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，
当时，，则，
，
，
点D与点C关于直线对称，
，
，
，，
矩形的面积；
②如图，作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，
由①可知，
，
由题意可知，，
则，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
边与心形图的左、右边缘各相切于一点，
即直线与抛物线只有一个交点，
联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，解得：，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点，联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
同理可求，
，
矩形的面积为，
，
方案二的矩形面积更小．
20．【答案】（1）解：①∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D是中边上的“比中项妙点”，
故答案为：是；
②如图2，点M即为所求，
理由：
由网格图可得：，，，
在△ACB和△DEC中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴由①知：点M是中边上的“比中项妙点”；
（2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F也是中边上的“比中项妙点”；
②解：如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∵点是中边上的“比中项妙点”，
∴，即，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质可得出，然后根据“比中项妙点”的定义判断即可；
②取格点D，连接交于M即可；
（2）①根据“比中项妙点”的定义可得出，证明，可得出，则，，然后据“比中项妙点”的定义即可得证；
②由题意易得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△CGF∽△ABF，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△EFB∽△GFD，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式可求解.
（1）解：①∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D是中边上的“比中项妙点”，
故答案为：是；
②如图2，点M即为所求，
理由：
由网格知：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴由①知：点M是中边上的“比中项妙点”；
（2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F也是中边上的“比中项妙点”；
②解：如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∵点是中边上的“比中项妙点”，
∴，即，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
1 / 1广东省深圳市文汇学校2025年中考模拟数学试卷
一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．若气温升高记作“”，则气温下降可记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：若气温升高记作““，则气温下降可记作，
故答案为：B．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，另一个为负，结合题意即可求解.
2．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3．截至3月17日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含港澳台及海外）突破15100000000元，位居全球影史票房第5位．数据15100000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．下列运算正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a5+a2 不是同类项不能合并，故A选项错误；
B、（a3）2 =a6 ，故B选项错误；
C、（-2a）3 .a5 =-8a3 .a5=-8a8，故C选项正确；
D、a6 ÷a2 =a4 ，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】本题A选项考察的是正确判断运用同类项知识；B选项要运用幂的乘方的法则；C选项要运用到积的乘方、同底数幂的乘法；D选项考察的是同底数幂的除法的运用.
5．据记载，幻方起源于我国古代的洛书．如图是一个三阶幻方，要求每行、每列、每条对角线上三个数的和都相等．已知都是正整数，，且满足，则其中的值为（　　）
a
c m
d b
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：已知都是正整数，，
∵，
∴，
∴第一行第3个方格中的数为，
∵第2行及对角线上的三个数之和相等，
∴，
即，
解得，
故选：B．
【分析】由题意可得，根据每行和对角线上的数字之和相等，建立方程，解方程即可求出答案.
6．深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设进书城人次的年平均增长率为，
根据题意得：，
故答案为：C．
【分析】根据第一年的人次和第三年的人次，增长率为，根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列方程求解．
7．如图，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=15°．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，在上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，若要遮阳效果最佳AP的长约为(　　)
(参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64)
A．1.2m B．1.3m C．1.5m D．2.0m
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】如图，过点F作FG⊥AC于点G，
根据题意可知：
当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳，
∴∠BEP=90°．
∵∠A=90°，∠B=65°，
∴∠EPA=360°﹣90°﹣90°﹣65°=115°．
∵∠DPE=15°，
∴∠APD=130°，
∴∠CPF=50°．
∵F为PD的中点，
∴DF=PFPD=1，
∴CF=PF=1，
∴PG=PFcos50°=1×0.64=0.64，
∴CP=2PG=2×PF cos50°≈2×1×0.64≈1.28，
∴AP=AC﹣PC=2.8﹣1.28≈1.5(m)．
所以要遮阳效果最佳AP的长约为1.5米．
故答案为：C．
【分析】过点F作FG⊥AC于点G，根据题意知：∠BEP=90°， 遮阳效果最佳， 再根据四边形内角和定理可得∠CPF的度数，然后通过计算可知 CF=PF=1， 进而根据等腰三角形三线合一的性质可得出CP=2PG，然后在直角三角形PGF中，通过解直角三角形可得出PG=0.64，进而可得出CP=2PG=1.28，进而得出AP=AC-CP，即可得出AP的长度。
8．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连结DP并延长交AB于点E，交CB的延长线于点F，若DP=3，EF=，则PE的长是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BP，如图
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP．
∵AP=AP，
∴△ABP≌△ADP（SAS），
∴∠ABP=∠ADP，BP=PD
∵AD∥BC，
∴∠F=∠ADP=∠ABP，
∵∠BPE=∠BPF，
∴△PFB∽△PBE，
∴，即PB2=PE PF．
∴PD2=PE PF，
∵DP=3，EF=2，
∴PE=，
∵PE＞0，
解得PE=，
故，答案为：B．
【分析】做辅助线连接BP，根据菱形的性质并利用SAS可以先证明△ABP≌△APD，从而得出∠ABP=∠ADP，结合“两直线平行、内错角相等”综合得出∠F=∠ADP=∠ABP，此时结合图中信息利用AA证明△PFB∽△PBE，根据相似三角形对应边成比例得到PB2=PE PF，将BP=PD，DP=3，EF=2代入，求出PE的值取正数即可。
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．因式分解： =　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：
．
故答案为：
.
【分析】因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，先用提取公因式a后，再运用平方差公式对商式进行第二次分解即可.
10．非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种非物质文化遗产分别记为
画出树状图如下：
一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种，
（两人恰好选中同一种）．
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两人恰好选中同一种的结果，再根据概率公式即可求出答案.
11．如图一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，，
由折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
=
=
=
故答案为：
【分析】连接，，由折叠可知，，则，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，，则，再根据，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
12．如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的面积为，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积；等边三角形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接，
，
∵等边和菱形的边、都在x轴上，
∴，，轴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵的面积为，
∴，
∴，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】连接，由题意可得，，轴，根据菱形判定定理可得四边形是菱形，再根据三角形面积，结合反比例函数k的几何意义即可求出答案.
13．如图，为等腰三角形，，，以为斜边作Rt△ADB，，，连接，交于点E，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：
如图，过作于，过作于，过作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∵
∴，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】先根据∠ABD的正切值，求出，，再利用等面积法，求出，，，再根据题目所给条件，得到，利用勾股定理，求出，再利用等面积法，求出，进一步求解，证明，再利用相似三角形的对应边成比例解答即可.
三、解答题（共7小题，满分61分）
14．计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据0指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．化简求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的乘除法；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再将x=3代入即可求出答案.
16．我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，而且还在持续下降．为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀．
根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：
（1）本次抽测了_____名九年级学生，______；
（2）若该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？
（3）在本次抽测的优秀学生中抽取5名学生，其中有3名男生．若从所抽取的5名学生中随机选取2名学生参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率．
【答案】（1），
（2）解：E组人数所占的比例为：，
（人），
∴该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有3300人。
（3）解：∵抽取5名学生有3名男生，
∴E组的女生人数为（人），
画出树状图如下：
从图中得知，共有20种等可能出现的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种，
∴恰好抽取一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：名，
，
即本次抽测了300名九年级学生，108；
故答案为：（1）300，108；
【分析】（1）结合两个统计图发现，A组的人数是30人，对应的占比为，因此用组的人数除以所占百分比，即可得出本次调查的学生人数为300名学生，然后用组人数90人除以调查总人数300，即为所占百分比，再乘以即可得出的值；
（2）结合扇形统计图中的数据以及（1）的计算结果，可以先求出组人数所占的比例，然后再乘以22000即可得出答案；
（3）先求出组的女生人数为2人，然后结合条件画出树状图，一共有（男，男）、（男，男）、（男，女）、（男，女）、（男，男）、（男，男）、（男，女）、（男，女）、（男，男）、（男，男）、（男，女）、（男，女）、（女，男）、（女，男）、（女，男）、（女，女）、（女，男）、（女，男）、（女，男）、（女，女），即20种等可能结果；而其中一男一女的有12种，最后根据概率公式列式即可得出答案。
（1）解：本次抽测了名九年级学生，
，
故答案为：300，108；
（2）解：E组人数所占的比例为：，
（人），
故该地区有2.2万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有3300人；
（3）解：∵抽取5名学生有3名男生，
∴E组的女生人数为：（人），
画出树状图如下：
由树状图可得，共有20种等可能出现的结果，其中恰好抽取一男一女的结果有12种，
故恰好抽取一男一女的概率为．
17．某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，每次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：
　 购进数量（件） 所需费用（元）
　 A B
第一次 30 40 3800
第二次 40 30 3200
（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）为满足市场需求，商场在售完前期所有商品之后，决定再次以同样的价格购进A、B两种商品共1000件，其中A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，且A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．请你为商场确定获得最大利润的进货方案，并求出最大利润．
【答案】（1）解：设A种商品每件的进价是x元，B种商品每件的进价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种商品每件的进价是20元，B种商品每件的进价是80元；
（2）解：设购进B种商品m件，则购进A种商品件，
由题意得：，
解得：，
设获得的利润为w元，
由题意得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，
此时，，
答：当购进A种商品800件，B种商品200件时，获得利润最大，最大利润为12000元
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种商品每件的进价是x元，B种商品每件的进价是y元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设购进B种商品m件，则购进A种商品件，根据A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，列出不等式求出的范围，设获得的利润为w元，根据总利润等于两种商品的利润和，列出一次函数解析式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设A种商品每件的进价是x元，B种商品每件的进价是y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种商品每件的进价是20元，B种商品每件的进价是80元；
（2）设购进B种商品m件，则购进A种商品件，
由题意得：，
解得：，
设获得的利润为w元，
由题意得：，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w取最大值，
此时，，
答：当购进A种商品800件，B种商品200件时，获得利润最大，最大利润为12000元
18．如图，已知等腰，，作的外接圆为，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
①以点C为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于两点，
②再以点A为圆心，以相同长度为半径画弧交于点M，
③以点M为圆心，以两弧交点间的距离为半径，交第一个弧于点N；过点C作的垂线交射线于点D，为∠CAD的角平分线；
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：连接并延长，交于H，
∵是的外接圆，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴
由作图可知，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线.
（2）解：过E作交于F，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∵，平分，
∴=1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴

【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形的外接圆与外心；切线的判定；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）连接并延长，交于H，根据三角形外接圆性质可得平分，根据角之间的关系可得，由作图可知，再根据角之间的关系可得∠HAD=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）过E作交于F，根据角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据角平分线定义可得，根据边之间的关系可得DF，根据相似三角形性质可得，根据勾股定理可得AH，则，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）证明：连接并延长，交于H，
∵是的外接圆，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
∴
由作图可知，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线.
（2）解：过E作交于F，
∴
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∵，平分，
∴=1，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C ▲ （填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为 ▲ ；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．
【答案】（1）解：将点和代入抛物线，
则，解得：，
抛物线的解析式为；

（2）解：①，
顶点C的坐标为；
抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点，
联立，解得：或（舍），
，
分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，
当时，，则，
，
，
点D与点C关于直线对称，
，
，
，，
矩形的面积；
②如图，作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，
由①可知，
，
由题意可知，，
则，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
边与心形图的左、右边缘各相切于一点，
即直线与抛物线只有一个交点，
联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，解得：，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点，联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
同理可求，
，
矩形的面积为，
，
方案二的矩形面积更小．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点和代入解析式即可求出答案.
（2）①将解析式转换为顶点式可得顶点C的坐标为，再联立一次函数，解方程组可得，分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，将x=1代入一次函数解析式可得，根据两点间距离可得，再根据对称性质可得，根据点的坐标可得，则，，再根据矩形面积即可求出答案.
②作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，由①可知，，根据两点间距离可得OA，根据直线平行判定定理可得，由题意可得直线的解析式为，联立抛物线解析式可得直线的解析式为，再联立一次函数y=x，解方程组可得，根据两点间距离可得OK，再根据边之间的关系可得AK，再根据直线平行判定定理可得，设直线的解析式为，联立抛物线解析式，解方程组可得直线的解析式为，同理可求，再根据矩形面积求出面积，再比较大小即可求出答案.
（1）解：将点和代入抛物线，
则，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：①，
顶点C的坐标为；
抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点，
联立，解得：或（舍），
，
分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，
当时，，则，
，
，
点D与点C关于直线对称，
，
，
，，
矩形的面积；
②如图，作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，
由①可知，
，
由题意可知，，
则，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
边与心形图的左、右边缘各相切于一点，
即直线与抛物线只有一个交点，
联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，解得：，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点，联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
同理可求，
，
矩形的面积为，
，
方案二的矩形面积更小．
20．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”．如图1，中，点D是边上一点，连接，若，则称点D是中边上的“比中项妙点”．
（1）①在中，，于点D，则点D______（填“是”或“不是”）中边上的“比中项妙点”；
②如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点M（的中点除外）．
（2）如图3，平行四边形中，点E为边上一点，连接交对角线于点F，点F恰好是中边上的“比中项妙点”．
①求证：点F也是中边上的“比中项妙点”；
②连接并延长交于点G，若点F是中边上的“比中项妙点”，且，求的值．
【答案】（1）解：①∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D是中边上的“比中项妙点”，
故答案为：是；
②如图2，点M即为所求，
理由：
由网格图可得：，，，
在△ACB和△DEC中
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴由①知：点M是中边上的“比中项妙点”；
（2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F也是中边上的“比中项妙点”；
②解：如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∵点是中边上的“比中项妙点”，
∴，即，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）①证明，根据相似三角形的性质可得出，然后根据“比中项妙点”的定义判断即可；
②取格点D，连接交于M即可；
（2）①根据“比中项妙点”的定义可得出，证明，可得出，则，，然后据“比中项妙点”的定义即可得证；
②由题意易得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△CGF∽△ABF，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，根据“两组对应边的比相等且这两边的夹角相等的两个三角形相似”可得△EFB∽△GFD，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式可求解.
（1）解：①∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点D是中边上的“比中项妙点”，
故答案为：是；
②如图2，点M即为所求，
理由：
由网格知：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴由①知：点M是中边上的“比中项妙点”；
（2）①证明：∵点F恰好是中边上的“比中项妙点”
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F也是中边上的“比中项妙点”；
②解：如图3，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∵点是中边上的“比中项妙点”，
∴，即，
又∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，即，
，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
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