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广东省深圳市南山区部分学校2024-2025学年九年级下学期适应性检测数学（4月）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（　　）
A． B． C． D．
2．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．截至3月17日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含港澳台及海外）突破15100000000元，位居全球影史票房第5位．数据15100000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．方程的根是（　　）
A． B．
C．， D．，
5．如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（　　）
A． B． C． D．
6．小明依据从网上找的花架图片（图1）设计了如图2的花架简易图，已知，若，，则的长度为（　　）
图1 图2
A． B． C． D．无法确定
7．中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一，而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展，其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目．其自话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．大理崇圣寺三塔主塔千寻塔是中国四大名塔之一．某校数学实践小组开展测量千寻塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，部分报告内容如表：
测量千寻塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； ②沿着方向走到处，用皮尺测得米； ③在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角．
．．．．．．
已知测角仪的高度为米，点在同一水平直线上．根据以上信息，则千寻塔的高度约为（　　）（参考数据：）
A．米 B．米 C．米 D．米
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．2024年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋谷21号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据：
种子数 30 75 150 200 400 800 1200 2500
发芽数 28 69 141 192 388 778 1167 2435
发芽频率 0.933 0.920 0.940 0.960 0.970 0.973 0.973 0.974
根据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是　 　．（结果精确到0.01）
10．如图所示，正方形的边长为1，则数轴上的点 P表示的实数为　 　．
11．我国古代的“九宫图”是由方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是　 　．
　 　
　
　 　
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是　 　．
13．如图，已知，，上一点，满足，，则　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．计算：
15．“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．“碳达峰”是二氧化碳排放量达到历史峰值后开始逐步下降的趋势，“碳中和”指通过节能减排、植树造林等措施，使二氧化碳排放量与吸收量达到平衡，实现净零排放．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下：
【收集整理】
七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，100．
八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100．
九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100．
【描述分析】
（1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如下表：
　 平均数 中位数 众数
七年级 70 70
八年级 86 87.5
九年级 85 80
直接写出________，________，________．
【分析解决】
（2）①该校七、八、九年级分别有400名、300名和300名学生参加了此次测试．根据样本数据，估算该校全体学生的平均得分．
②依据数据分析结果，任选一个角度，对三个年级学生的全球气候变化基础知识的掌握程度作出评价与建议．
16．如图，有三摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，图中标注了相关数据，请根据这些信息解答下列问题．
（1）最下面的碗的高度是 ，每增加一个碗增加的高度是 ．
（2）求第三摞碗的总高度与碗的总个数x(个)之间的函数关系式，并通过计算判断这摞碗的高度能否是．
（3）已知买一个碗需要2元，对于第三摞碗，若其高度不低于，求买这摞碗至少需要多少钱．
17．如图，内接于，为的直径，平分交于点D，交于点F，过点D作的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）连接，如果，，求的长．
18．数学兴趣小组在设计一个表面积为，底面为正方形的长方体盒子（有底也有盖）时，发现了一个有趣的问题：盒子的体积与底面边长之间有某种函数关系．
他们开展了如下的探究过程，请你将其补充完整：
（1）建立模型：设长方体的高为，表面积为，根据长方体的表面积公式：，
①
将①代入长方体的体积公式，得：_________②
可知，是的函数，自变量的取值范围是．
（2）探究函数：根据函数解析式②，按照下表中自变量的值计算（精确到0.01），得到了与的几组对应值：
… 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.40 …
… 0.74 1.44 2.04 2.50 2.77 2.81 2.57 2.00 1.05 0.29 …
在下面的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象：
（3）解决问题：结合表中数据，并利用所画的函数图象推断：
①当底面边长为_________（精确到0.01）时，这个盒子的体积最大；
②这个盒子的体积为2时，底面边长为_________（精确到0.01）．
19．如图1，在平行四边形中，于点，且．点从点出发，沿向终点运动，设点在该折线上运动的路径长为，连接．
（1）的长为________，当点在上运动时，的最小值为_______；
（2）点是的中点，如图2，
①请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）；
②求证：；
（3）延长到点，使得，以，为邻边作平行四边形，当点在上，平行四边形对角线所在的直线恰好经过点时，如图3，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，所以，“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为．
故选：A．
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得：，
直接开平方，得：，
即方程的解为：，，
故选：C．
【分析】根据直接开平方法解方程即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
根据作图过程可知：平分，
∴，
∴。
故答案为：B．
【分析】首先根据两直线平行，同位角相等得出， 然后再根据角平分线的作法可知平分， 进而由角平分线的定义得出．
6．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设规定时间为天，
由题意得，．
故选：．
【分析】设规定时间为天，根据题意建立方程即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得，米，米，，，
在中，，
，
在中，，
，
米，
，
解得米，
（米），
故选：B．
【分析】由题意得，米，米，，，解直角三角形可得GD，根据等腰直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
9．【答案】0.97
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意知，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是0.97，
故答案为：0.97．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，
由图形可知∶，，
由勾股定理得∶
，
∴
∵点B表示的数为2，
点P表示的数为∶，
故答案为∶
【分析】由图形可知∶，，根据勾股定理可得AB，则，再结合两点间距离即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设左上角的数为m，则 2025+m=1+5，
解得：m=-2019，
∵x+1=m+5，
∴x=-2015，
故答案为：．
【分析】依据题意，结合图示可知，设左上角的数为m，根据“ 每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等 ”列出方程求解即可.
12．【答案】（6，）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图
∵D（3，4），
∴OM＝3，DM＝4，OD＝＝5，
∵四边形OBCD是菱形，
∴OB＝BC＝CD＝OD＝5，
∴B（5，0），C（5+3，4），即C（8，4）
∵A是菱形OBCD的对角线交点，
∴A（），即A（4，2），
将A点坐标代入反比例函数y＝中，得4＝，解得k＝8，
∴反比例函数的关系式为y＝，
设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入，得：，解得：k＝，b＝-，
∴直线BC的关系式为y＝x-，
将反比例函数与直线BC联立方程组得：，解得：，（舍去），
∴F（6，），
故答案为：（6，）．
【分析】做辅助线后，结合图中信息以及D点的坐标，可以确定OM＝3，DM＝4，此时即可利用勾股定理求出菱形的边长OD=5，根据菱形的性质即可得到点B、C的坐标，进而求得点A的坐标；此时利用待定系数法将A点坐标代入可求出反比例函数的解析式y＝，再利用待定系数法将B、C坐标代入求出直线BC的解析式y＝x-，最后将直线BC和反比例函数的解析式组成的方程组，求出x和y之后均取正数，即可求出F点的坐标.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作交于，作于，令（个单位长度）
则
，
HE=
故答案为：
【分析】作交于，作于，令，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得BE，解直角三角形可得AH，BH，根据边之间的关系，结合勾股定理可得HE，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；求算术平方根
【解析】【分析】根据算术平方根性质，0指数幂，有理数的乘方，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】（1）77；90；85；
（2）①，
∴该校学生的平均得分为；
②从平均数看，，因此八年级对全球气候变化基础知识的了解最好，九年级次之，七年级较差．建议七年级学生可通过兴趣课堂加强对全球气候变化的了解，增强社会责任感．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）；
八年级10个数据中90出现的次数最多，即众数；
将九年级10个数据从小到大进行排序排在第5的是80，第6的是90，即中位数；
故答案为：（1）77；90；85；
【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，所得的结果就是平均数。
中位数是指把一组数据从小到大排列，最中间的那个数，如果这组数据的个数是奇数，那最中间那个就是中位数，如果这组数据的个数为偶数，那就把中间的两个数之和除以2，所得的结果就是中位数。
众数是指一组数据中出现次数量多的那个数。
本题根据平均数、中位数和众数的定义进行求解即可；
（2）①结合（1）计算出来的平均数，利用加权平均法进行计算即可得出该校学生的平均得分；
②可以从平均数的大小进行比较，也可以选择中位数和众数进行分析，任选一个分析即可。
16．【答案】（1）；
（2）解：，
当时，即，
解得：，
不是整数，
∴这摞碗的高度不能是．
（3）解：对于，当，即时，
解得：，
∴若这摞碗的高度不低于，则这摞碗不少于个，
∴买这摞碗至少需要（元）．
【知识点】一元一次不等式的应用；函数自变量的取值范围；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：第一摞有个碗，高度是，第二摞有个碗，高度为，
∴每增加一个碗增加的高度为，
∴最下面的碗的高度是，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意，结合有理数的混合运算即可求出答案.
（2）将y=100代入解析式即可求出答案.
（3）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：第一摞有个碗，高度是，第二摞有个碗，高度为，
∴每增加一个碗增加的高度为，
∴最下面的碗的高度是，
故答案为：；
（2）解：，
当时，即，
解得：，
不是整数，
∴这摞碗的高度不能是．
（3）解：对于，当，即时，
解得：，
∴若这摞碗的高度不低于，则这摞碗不少于个，
∴买这摞碗至少需要（元）．
17．【答案】（1）证明：连接，如图．
∵AB为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接BD，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．

【知识点】平行线的判定；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理的推论可得，根据角平分线定义可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOD，再根据切线性质可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）连接BD，根据圆周角定理的推论可得，根据等腰直角三角形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）证明：连接，如图．
∵AB为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接BD，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
18．【答案】（1）；
（2）解：作图如下，
（3）①，②或.
【知识点】分式的乘除法；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：①∵当时，，此时处于最高点，
∴结合图像可得，底面边长为时，这个盒子的体积最大，
故答案为：，
②∵当时，，当时，，
∴结合图形得这个盒子的体积为2时，底面边长为或。
故答案为：或.
【分析】（1）根据长方体的体积公式建立关系式即可求出答案.
（2）根据描点法作出函数图象即可.
（3）①根据二次函数性质即可求出答案.
②结合函数图象信息即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：作图如下，
（3）解：①∵当时，，此时处于最高点，
∴结合图像可得，底面边长为时，这个盒子的体积最大，
故答案为：，
②∵当时，，当时，，
∴结合图形得这个盒子的体积为2时，底面边长为或。
故答案为：或.
19．【答案】（1），
（2）解：①所作图形如图，
②由作图知，
∵，即，
∵，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：D落在对角线上，如图，
由题意得，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；等积变换
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，取得最小值，
∵，即，
∴，即的最小值为；
故答案为：，；
【分析】（1）根据正弦定义可得，根据勾股定理可得BE，当时，取得最小值，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）①根据垂线定义作图即可.
②由作图知，根据边之间的关系可得AE，再根据线段中点可得EF，再根据边之间的关系可得BF，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（3）由题意得，，，，解直角三角形可得BQ，PQ，根据边之间的关系可得QE，根据平行四边形性质可得，，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，取得最小值，
∵，即，
∴，即的最小值为；
故答案为：，；
（2）解：①所作图形如图，
②由作图知，
∵，即，
∵，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：D落在对角线上，如图，
由题意得，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
1 / 1广东省深圳市南山区部分学校2024-2025学年九年级下学期适应性检测数学（4月）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．刘徽在《九章算术注》中有“今两算得失相反，要令正负以名之．”可翻译为“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．”“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：“正”和“负”相对，所以，“如果水位上升”记作，那么“水位下降”应表示为．
故选：A．
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，故符合题意；
D、不是轴对称图形，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可得．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
3．截至3月17日，动画电影《哪吒之魔童闹海》全球总票房（含港澳台及海外）突破15100000000元，位居全球影史票房第5位．数据15100000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
4．方程的根是（　　）
A． B．
C．， D．，
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得：，
直接开平方，得：，
即方程的解为：，，
故选：C．
【分析】根据直接开平方法解方程即可求出答案.
5．如图，已知，以点O为圆心，以任意长为半径画弧，与，分别交于点C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点F，过射线上一点M作，与相交于点N，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵，
∴，
根据作图过程可知：平分，
∴，
∴。
故答案为：B．
【分析】首先根据两直线平行，同位角相等得出， 然后再根据角平分线的作法可知平分， 进而由角平分线的定义得出．
6．小明依据从网上找的花架图片（图1）设计了如图2的花架简易图，已知，若，，则的长度为（　　）
图1 图2
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
7．中国的电商市场蓬勃发展，成为世界上最大的电商市场之一，而电商行业的繁荣也推动了快递行业的高速发展，其实早在我国汉代开始就设有“驿传”制度，也可以理解为最早的“快递”雏形．九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目．其自话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设规定时间为天，
由题意得，．
故选：．
【分析】设规定时间为天，根据题意建立方程即可求出答案.
8．大理崇圣寺三塔主塔千寻塔是中国四大名塔之一．某校数学实践小组开展测量千寻塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，部分报告内容如表：
测量千寻塔高度
测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位
测量示意图 测量步骤及结果
如图，步骤如下： ①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； ②沿着方向走到处，用皮尺测得米； ③在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角．
．．．．．．
已知测角仪的高度为米，点在同一水平直线上．根据以上信息，则千寻塔的高度约为（　　）（参考数据：）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得，米，米，，，
在中，，
，
在中，，
，
米，
，
解得米，
（米），
故选：B．
【分析】由题意得，米，米，，，解直角三角形可得GD，根据等腰直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．2024年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋谷21号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以下部分数据：
种子数 30 75 150 200 400 800 1200 2500
发芽数 28 69 141 192 388 778 1167 2435
发芽频率 0.933 0.920 0.940 0.960 0.970 0.973 0.973 0.974
根据上面的数据，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是　 　．（结果精确到0.01）
【答案】0.97
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意知，估计这种粮食种子在该实验条件下发芽的概率是0.97，
故答案为：0.97．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
10．如图所示，正方形的边长为1，则数轴上的点 P表示的实数为　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；数轴上两点之间的距离；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，
由图形可知∶，，
由勾股定理得∶
，
∴
∵点B表示的数为2，
点P表示的数为∶，
故答案为∶
【分析】由图形可知∶，，根据勾股定理可得AB，则，再结合两点间距离即可求出答案.
11．我国古代的“九宫图”是由方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是　 　．
　 　
　
　 　
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设左上角的数为m，则 2025+m=1+5，
解得：m=-2019，
∵x+1=m+5，
∴x=-2015，
故答案为：．
【分析】依据题意，结合图示可知，设左上角的数为m，根据“ 每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等 ”列出方程求解即可.
12．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是　 　．
【答案】（6，）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，如图
∵D（3，4），
∴OM＝3，DM＝4，OD＝＝5，
∵四边形OBCD是菱形，
∴OB＝BC＝CD＝OD＝5，
∴B（5，0），C（5+3，4），即C（8，4）
∵A是菱形OBCD的对角线交点，
∴A（），即A（4，2），
将A点坐标代入反比例函数y＝中，得4＝，解得k＝8，
∴反比例函数的关系式为y＝，
设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入，得：，解得：k＝，b＝-，
∴直线BC的关系式为y＝x-，
将反比例函数与直线BC联立方程组得：，解得：，（舍去），
∴F（6，），
故答案为：（6，）．
【分析】做辅助线后，结合图中信息以及D点的坐标，可以确定OM＝3，DM＝4，此时即可利用勾股定理求出菱形的边长OD=5，根据菱形的性质即可得到点B、C的坐标，进而求得点A的坐标；此时利用待定系数法将A点坐标代入可求出反比例函数的解析式y＝，再利用待定系数法将B、C坐标代入求出直线BC的解析式y＝x-，最后将直线BC和反比例函数的解析式组成的方程组，求出x和y之后均取正数，即可求出F点的坐标.
13．如图，已知，，上一点，满足，，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作交于，作于，令（个单位长度）
则
，
HE=
故答案为：
【分析】作交于，作于，令，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得BE，解直角三角形可得AH，BH，根据边之间的关系，结合勾股定理可得HE，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则；求算术平方根
【解析】【分析】根据算术平方根性质，0指数幂，有理数的乘方，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．“碳达峰”是二氧化碳排放量达到历史峰值后开始逐步下降的趋势，“碳中和”指通过节能减排、植树造林等措施，使二氧化碳排放量与吸收量达到平衡，实现净零排放．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下：
【收集整理】
七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95，100．
八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100．
九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100．
【描述分析】
（1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如下表：
　 平均数 中位数 众数
七年级 70 70
八年级 86 87.5
九年级 85 80
直接写出________，________，________．
【分析解决】
（2）①该校七、八、九年级分别有400名、300名和300名学生参加了此次测试．根据样本数据，估算该校全体学生的平均得分．
②依据数据分析结果，任选一个角度，对三个年级学生的全球气候变化基础知识的掌握程度作出评价与建议．
【答案】（1）77；90；85；
（2）①，
∴该校学生的平均得分为；
②从平均数看，，因此八年级对全球气候变化基础知识的了解最好，九年级次之，七年级较差．建议七年级学生可通过兴趣课堂加强对全球气候变化的了解，增强社会责任感．
【知识点】平均数及其计算；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）；
八年级10个数据中90出现的次数最多，即众数；
将九年级10个数据从小到大进行排序排在第5的是80，第6的是90，即中位数；
故答案为：（1）77；90；85；
【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数，所得的结果就是平均数。
中位数是指把一组数据从小到大排列，最中间的那个数，如果这组数据的个数是奇数，那最中间那个就是中位数，如果这组数据的个数为偶数，那就把中间的两个数之和除以2，所得的结果就是中位数。
众数是指一组数据中出现次数量多的那个数。
本题根据平均数、中位数和众数的定义进行求解即可；
（2）①结合（1）计算出来的平均数，利用加权平均法进行计算即可得出该校学生的平均得分；
②可以从平均数的大小进行比较，也可以选择中位数和众数进行分析，任选一个分析即可。
16．如图，有三摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，图中标注了相关数据，请根据这些信息解答下列问题．
（1）最下面的碗的高度是 ，每增加一个碗增加的高度是 ．
（2）求第三摞碗的总高度与碗的总个数x(个)之间的函数关系式，并通过计算判断这摞碗的高度能否是．
（3）已知买一个碗需要2元，对于第三摞碗，若其高度不低于，求买这摞碗至少需要多少钱．
【答案】（1）；
（2）解：，
当时，即，
解得：，
不是整数，
∴这摞碗的高度不能是．
（3）解：对于，当，即时，
解得：，
∴若这摞碗的高度不低于，则这摞碗不少于个，
∴买这摞碗至少需要（元）．
【知识点】一元一次不等式的应用；函数自变量的取值范围；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：第一摞有个碗，高度是，第二摞有个碗，高度为，
∴每增加一个碗增加的高度为，
∴最下面的碗的高度是，
故答案为：；
【分析】（1）根据题意，结合有理数的混合运算即可求出答案.
（2）将y=100代入解析式即可求出答案.
（3）根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
（1）解：第一摞有个碗，高度是，第二摞有个碗，高度为，
∴每增加一个碗增加的高度为，
∴最下面的碗的高度是，
故答案为：；
（2）解：，
当时，即，
解得：，
不是整数，
∴这摞碗的高度不能是．
（3）解：对于，当，即时，
解得：，
∴若这摞碗的高度不低于，则这摞碗不少于个，
∴买这摞碗至少需要（元）．
17．如图，内接于，为的直径，平分交于点D，交于点F，过点D作的切线交的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）连接，如果，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图．
∵AB为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接BD，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．

【知识点】平行线的判定；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理的推论可得，根据角平分线定义可得，再根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOD，再根据切线性质可得，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）连接BD，根据圆周角定理的推论可得，根据等腰直角三角形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）证明：连接，如图．
∵AB为的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接BD，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
18．数学兴趣小组在设计一个表面积为，底面为正方形的长方体盒子（有底也有盖）时，发现了一个有趣的问题：盒子的体积与底面边长之间有某种函数关系．
他们开展了如下的探究过程，请你将其补充完整：
（1）建立模型：设长方体的高为，表面积为，根据长方体的表面积公式：，
①
将①代入长方体的体积公式，得：_________②
可知，是的函数，自变量的取值范围是．
（2）探究函数：根据函数解析式②，按照下表中自变量的值计算（精确到0.01），得到了与的几组对应值：
… 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.40 …
… 0.74 1.44 2.04 2.50 2.77 2.81 2.57 2.00 1.05 0.29 …
在下面的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象：
（3）解决问题：结合表中数据，并利用所画的函数图象推断：
①当底面边长为_________（精确到0.01）时，这个盒子的体积最大；
②这个盒子的体积为2时，底面边长为_________（精确到0.01）．
【答案】（1）；
（2）解：作图如下，
（3）①，②或.
【知识点】分式的乘除法；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：①∵当时，，此时处于最高点，
∴结合图像可得，底面边长为时，这个盒子的体积最大，
故答案为：，
②∵当时，，当时，，
∴结合图形得这个盒子的体积为2时，底面边长为或。
故答案为：或.
【分析】（1）根据长方体的体积公式建立关系式即可求出答案.
（2）根据描点法作出函数图象即可.
（3）①根据二次函数性质即可求出答案.
②结合函数图象信息即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：作图如下，
（3）解：①∵当时，，此时处于最高点，
∴结合图像可得，底面边长为时，这个盒子的体积最大，
故答案为：，
②∵当时，，当时，，
∴结合图形得这个盒子的体积为2时，底面边长为或。
故答案为：或.
19．如图1，在平行四边形中，于点，且．点从点出发，沿向终点运动，设点在该折线上运动的路径长为，连接．
（1）的长为________，当点在上运动时，的最小值为_______；
（2）点是的中点，如图2，
①请用无刻度的直尺和圆规过点作的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）；
②求证：；
（3）延长到点，使得，以，为邻边作平行四边形，当点在上，平行四边形对角线所在的直线恰好经过点时，如图3，求的值．
【答案】（1），
（2）解：①所作图形如图，
②由作图知，
∵，即，
∵，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：D落在对角线上，如图，
由题意得，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线；等积变换
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，取得最小值，
∵，即，
∴，即的最小值为；
故答案为：，；
【分析】（1）根据正弦定义可得，根据勾股定理可得BE，当时，取得最小值，再根据三角形面积即可求出答案.
（2）①根据垂线定义作图即可.
②由作图知，根据边之间的关系可得AE，再根据线段中点可得EF，再根据边之间的关系可得BF，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（3）由题意得，，，，解直角三角形可得BQ，PQ，根据边之间的关系可得QE，根据平行四边形性质可得，，则，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，取得最小值，
∵，即，
∴，即的最小值为；
故答案为：，；
（2）解：①所作图形如图，
②由作图知，
∵，即，
∵，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：D落在对角线上，如图，
由题意得，，，，
∴，
∴，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得．
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