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甘肃省渭源县第三高级中学2025-2026年第二学期期中试题
高一 数学
注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．
一、单选题（共8个小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求.）
1．已知复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
4．在中，内角的对边分别为，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是奇函数，则的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．在等腰中，，，以点为圆心作半径为的圆，点为此圆上的动点，若动点满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图是索菲亚教堂建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（ ）m
A． B．20 C． D．30
二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分.在每题给出的四个选项中，有多个选项符合要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．已知，，则的最小值为6
B．在中，若，则为钝角三角形
C．在中，已知，则向量在上的投影向量为
D．在中，若点满足，则为的垂心
10．对于复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．在中，角的对边分别为，外接圆的半径为2，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．面积的最大值为 D．若，角的平分线交于点，则
三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分.）
12．已知均是第一象限角，，则______．
13．已知向量满足与的夹角为，则_____．
14．已知为锐角，，是第四象限角，，则__________.
四、解答题:本题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域答题。
15（15分）．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P．
(1)求中线的长；
(2)求的余弦值．
(3)设，求t的值，并用向量方法证明．
16（13分）．记的内角的对边分别为，若．
(1)求的值；
(2)求的最大值．
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)证明：.
(2)若，，D，E是边上的两个点，且，求的面积的最小值.
18（17分）．已知函数.
(1)求最小正周期与单调递减区间；
(2)求函数在上的值域；
(3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围.
19（17分）．如果三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称它为倍角三角形．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)判断是否为倍角三角形，并说明理由；
(2)已知．
①证明：是锐角三角形；
第1页共6页 第2页共6页
第5页共6页 第6页共6页K3-25A1-B
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普通高等学校招生全国统一考试
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(续15题)
17.
数学答题卡
▲准考证号
姓名
考场号
0
座位号
请勿折叠答
23
2
2
9
卡
条形码粘贴处
(正面朝上，切勿贴出虑线边板)
6
5区
56
5
6
续考标记口结
8
7
8
8
999
9
99999
选择题（请使用B笔填途，正确填涂示例：
1234567
91011
16.
AAAAAAA
AAA
保特字迹清晰卡面清洁
CCOC 四C四C四CC
CaCCa
D IDI D D DI ID D]D
DD]D
选择题请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹
非选择题（请使用0.5毫米黑色水签字笔书写）
填空题
13
14.
15
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Column.
a
K3-25A1-B
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18
（续18题)
续19题)
请勿折叠管
卡保特字迹清晰卡面清洁
19.
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请在各题指定区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效可
Column.
a参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A D B A B D ACD AB
题号 11
答案 ABC
12．
13．
14．.
15．（1）因为为BC的中点，，
，
.
（2）因为，
,
，
.
（3），证明如下：
，
因为三点共线，
所以，又，
所以，
所以，解得.
16．（1）由余弦定理可得，
整理得，
由正弦定理得，，
又，.
（2）在中，由余弦定理得，
，
由均值不等式可得：，
，，当且仅当时等号成立，
故的最大值为.
17．（1）因为，
所以，即，
由正弦定理可得，
因为，即，所以，
所以，化简可得，
则，即，
所以或（舍去）
故成立；
（2）若，则，，
因为，所以，，
设，则，
在中，，由正弦定理可得：
，即，
在中，，由正弦定理可得：
，即，
所以的面积为，
令，
则
因为，所以，
由余弦函数性质可知，
当，即时，有最大值为，
此时的面积有最小值为.
18．（1）由
，最小正周期为.
令，，.
所以函数的单调递减区间为：，.
（2）当时，，，
，所以函数在上的值域为.
（3）因为，
，
所以可化为
.
设，因为，
所以，所以，
即，则，.
要使原方程在上有四个不同的实数根，
等价于方程在上有两个不同的实数根.
设，
由.
即实数的取值范围为.
19．（1）△ABC是倍角三角形，理由如下：
由正弦定理得，结合已知条件可得，交叉相乘得： ，
由余弦定理，联立两式化简得，
由正弦定理可得，
又，，
代入整理得因为，所以或，
若得，不符合三角形内角和，舍去；
故，即，符合倍角三角形定义，因此是倍角三角形.
（2）① 证明是锐角三角形：
由，得，
由正弦定理，
已知，故，又，得，即，
因为，，，
因此三个内角均为锐角，是锐角三角形.
②因为，所以，
由正弦定理及得，所以，
所以，又，所以，
所以，
又，所以，
因为函数在单调递增，，
所以，所以.

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