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广东省深圳市南山区深圳湾学校2025年中考数学第三次模拟测试试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分）
1．手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　）
转账——来自小明 微信红包——发给小红
A． B． C． D．
2．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：估计这一类新品种苹果树成活的概率为（　　）
移植总数n 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000
成活总数m 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782
成活率
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（　　）
A．8 B．10 C．15 D．30
6．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
7．一艘轮船在静止中的最大航速为 ，它以最大航速沿江顺流航行 所用时间，与以最大航速逆流航行 所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为 ，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（　　）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
二、填空题（共5小题，每小题3分）
9．因式分解： =　 　．
10．点A，B，C在数轴上的位置如图，点A表示的数是，点B表示的数是3，点C是的中点，则点C表示的数是　 　．
11．如图，边长为4的正方形ABCD内接于，则的长是　 　（结果保留）
12．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为　 　
13．如图，在正方形纸片中，E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连接并延长交于点F．则　 　．
三、解答题（共7小题，第14小题6分，第15小题7分，第16小题7分，第17小题10分，第18小题8分，第19小题11分，第20小题12分）
14．计算：
15．先化简，再求值：，其中．
16．某区域快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
分拣快递数量（万件）
机器人台数（台）
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差
A型号 和 b
B型号
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中_____________，_______________；
（2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议．
（3）若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率．
17．
背景 【竞飞“低空经济第一城”】打开手机外卖软件下单，最快仅用时10分钟，便有无人机将奶茶、汉堡等商品“空投”到指定地点，这是记者日前在深圳中心公园亲身体验到的一幕．从理想照进现实，低空经济如今从概念逐渐落地，成为城市新质生产力的一部分，助力深圳竞飞“低空经济第一城”．
素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元．
素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售．
问题解决
任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？
任务2 某南山科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（）； ①若使用无人机配送商品，共需要_________元； ②若不使用无人机配送商品，共需要_________元．（结果均用含a的代数式表示）；
任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A产品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？
18．如图，在四边形中，对角线，相交于点F，且，．过点A作，交的延长线于点C，________．
请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求线段的长．
19．对于平面直角坐标系中的点，若x，y満足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”．
（1）下列是平衡点的是______；(填序号)
①， ②③④
（2）已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标；
（3）已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围．
20．数学课上，张老师提出如下数学问题．
如图1，在菱形中，是边上一点，是边上一点，且满足．试探究与之间的数量关系．
两个学习小组经过讨论后给出了下面两种添加辅助线的方法：
方法1：以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接．
方法2：连接，过点作交于点．
（1）请你选择以上两种方法中的一种解答张老师提出的问题；
（2）借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题：
如图2，在正方形中，是延长线上的一点，是边下方的一点．若，求证：；
（3）如图3，在矩形中，是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转后，点落在边上的点处．若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据题意可知，收入为正，支出为负，且（元）
则最终结果收入6元应表示为，
故选：B
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形，
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解题即可．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不能合并，无法相减；
B、；
C、；
D、；
故选C．
【分析】
根据相关运算法则，逐一进行计算即可．
4．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴估计这一类新品种苹果树成活的概率为，
故选：A．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；中心对称的性质
【解析】【解答】解：由图可知，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，
则阴影部分的面积为，
故选：C．
【分析】图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，结合中心对称图形，平行四边形性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题意，，
由图可知，，
，
故符合要求的作图是作线段的垂直平分线，
由作图痕迹可知，只有B选项符合题意．
故选：B．
【分析】
要使PA+PB=BC，由图可知BC=PB+PC，所以需要PA=PC。根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。那么当点P在AC的垂直平分线上时，PA=PC。据此分析选项即可得出结论．
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A．
【分析】根据题意可得顺水速度为（30+x）km/h，逆水速度为（30-x）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行 所用时间，与以最大航速逆流航行 所用时间相等，根据等量关系列出方程即可．
8．【答案】B
【知识点】矩形的判定；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵FD⊥AB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，
∴AC＝AB sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，
∴tan∠PEB＝≈0.4，
∴DE≈＝2.8（m），
故答案为：B．
【分析】先证出四边形ACDF是平行四边形，再结合∠ACD＝90°，证出四边形ACDF是矩形，可得DF＝AC，利用解直角三角形的方法求出AC的长，可得DF＝AC＝1.12（m），再结合tan∠PEB＝≈0.4，最后求出DE的长即可.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式a，得 = .
故答案为：
【分析】用直接提公因事发即可将原式分解因式。
10．【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；线段的中点；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：点表示的数是，点表示的数是3，
线段的中点表示的数为：，
故答案为：．
【分析】本题根据中点坐标公式，分别将A点和B点坐标代入计算即可得出中点表示的数．
11．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB．
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，AO＝BO，
∴，
∴∠AOB＝×360°＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO2＋BO2＝2AO2＝42＝16，
解得：AO＝2，
∴的长＝，
故答案为：．
【分析】连接OA、OB，根据正方形的性质得到∠AOB＝90°，利用勾股定理求出AO，再根据弧长公式解答即可．
12．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过B点作BE⊥y轴于E点，如图
∵四边形为矩形，
∴E、A、B三点共线，
即四边形AEOD是矩形、BEOC是矩形，
∵ 点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，
∴S矩形AEOD=4，S矩形BEOC=12，
∴矩形ABCD的面积=S矩形BEOC-S矩形AEOD=12-4=8，
故答案为：8.
【分析】本题做出辅助线后，得出四边形AEOD是矩形、BEOC是矩形，然后根据反比例函数k的几何意义，即可得出S矩形AEOD=4，S矩形BEOC=12，最后结合图形面积作差计算即可。
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵在正方形纸片中，E是边的中点，
．
由折叠性质可得，
，
由折叠可得，
．
，
设，正方形的边长设为，
，
∴由勾股定理可得：，
解得：，
∴，
由折叠性质可得，
∴，即
故答案为：．
【分析】连接，根据正方形性质可得，根据折叠性质可得，则，再根据折叠性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，设，正方形的边长设为，根据边之间的关系可得QD，CQ，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据折叠性质可得，则，根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】解：
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据有理数的乘方，特殊角的三角函数值，0指数幂化简，再根据有理数的混合运算即可求出答案.
15．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式四则运算的法则：同分母分式相减，分母不变分子相减；除以一个分式相当于乘以这个分式的倒数，为了找到能够约分项化简，就要把能分解因式的都分解，将式子化到最简再代入求值。
16．【答案】（1），；
（2）解：合理化建议：
型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人．
（3）解：画树状图如下图所示，
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，
（抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：由统计表可知，型机器人每天分拣快递数量的众数是，
由条形统计图可知，
型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列为：、、、、、、、、、，
其中第名和第名都是万件，
型机器人分拣快递数量的中位数是，
故答案为：，；
【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据各统计量的意义分析即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：由统计表可知，型机器人每天分拣快递数量的众数是，
由条形统计图可知，
型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列为：、、、、、、、、、，
其中第名和第名都是万件，
型机器人分拣快递数量的中位数是，
故答案为：，；
（2）解：合理化建议：
型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人．
（3）解：画树状图如下图所示，
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，
（抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）．
17．【答案】任务1：在该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元；任务2：①；②；任务3：当时，使用无人机配送商品更合算
解：任务1：在该商店在无促销活动时，设A商品的销售单价是x元，设B商品的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：在该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元；
任务2：∵某南山科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，
∴B商品购买件．
①若使用无人机配送商品，共需要元；
②若不使用无人机配送商品，共需要元．
故答案为：①；②；
任务3：根据题意得：，
解得：，
又∵，
∴．
答：当时，使用无人机配送商品更合算
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设A商品的销售单价是x元，设B商品的销售单价是y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解；
任务2：分别根据题意列代数式即可；
任务3：根据题意建立不等式，解不等式即可得到答案．
18．【答案】（1）解：选择①．
证明：四边形的对角线，相交于点，且，，
四边形的是平行四边形，
，，
又，
，
四边形为矩形．
（2）解：由（1）已证明四边形矩形，
，，
又，
．
在中，，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分，则四边形的是平行四边形，若选择①，可证明，根据矩形的判定可得结论；
（2）根据矩形性质求出，进而求出，然后再根据平行线的性质和正切函数的定义可求得，最后再利用勾股定理求得即可求解．
19．【答案】（1）①④
（2）解：将点代入关系式，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为.
∵一次函数的图象上有另一个“平衡点”，
∴，
即或，
解得或，
则，
所以另一个“平衡点”的坐标是；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】（1）解：点，因为，所以点是“平衡点”；
点，因为，所以点不是“平衡点”；
点，因为，所以点不是“平衡点”；
点，因为，所以点是“平衡点”．
故答案为：①④；
（3）解：或．
∵二次函数的图象上有且仅有两个“平衡点”，
∴，
∴或，
即或
当，且时，
解得；
当，且时，
解得．
所以a的取值范围是或．
【分析】（1）根据平衡点的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点代入关系式可得一次函数的关系式为，根据平衡点的定义建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据平衡点的定义建立方程可得即或，分别求解即可求出答案.
（1）解：点，因为，所以点是“平衡点”；
点，因为，所以点不是“平衡点”；
点，因为，所以点不是“平衡点”；
点，因为，所以点是“平衡点”．
故答案为：①④；
（2）解：将点代入关系式，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为.
∵一次函数的图象上有另一个“平衡点”，
∴，
即或，
解得或，
则，
所以另一个“平衡点”的坐标是；
（3）解：或．
∵二次函数的图象上有且仅有两个“平衡点”，
∴，
∴或，
即或
当，且时，
解得；
当，且时，
解得．
所以a的取值范围是或．
20．【答案】（1）解：方法1：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接．
，
是等边三角形．
．
．
四边形是菱形，
．
．
．
，
．
．
．
方法2：连接，过点作交于点．
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长到点，使，连接．
四边形是正方形，
．
．
．
，
．
，
．
，
．
，
，即，
，
；
（3）解：如图，连接，过点作于点，过点作交于点，交于点．
，
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
是矩形．
．
．
，
．
，
．
．
．
．
．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质
【解析】【分析】（1）方法1：以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据补角可得∠DMP，再根据菱形性质可得，则，根据边之间的关系可得，再根据三角形内角和定理，结合角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
方法2：连接，过点作交于点，根据菱形性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，，则，再根据直线平行性质可得，根据三角形内角和定理可得∠BMP，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）延长到点，使，连接，根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）连接，过点作于点，过点作交于点，交于点，根据边之间的关系可得，再根据平行线分线段成比例定理可得，则，根据矩形判定定理可得是矩形，则，再根据边之间的关系可得QC，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：方法1：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接．
，
是等边三角形．
．
．
四边形是菱形，
．
．
．
，
．
．
．
方法2：连接，过点作交于点．
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长到点，使，连接．
四边形是正方形，
．
．
．
，
．
，
．
，
．
，
，即，
，
；
（3）解：如图，连接，过点作于点，过点作交于点，交于点．
，
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
是矩形．
．
．
，
．
，
．
．
．
．
．
1 / 1广东省深圳市南山区深圳湾学校2025年中考数学第三次模拟测试试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分）
1．手机移动支付给生活带来便捷．如表是小颖某天微信账单的收支明细（单位：元），若小颖当天微信收支的最终结果是收入6元，则应表示为（　　）
转账——来自小明 微信红包——发给小红
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：根据题意可知，收入为正，支出为负，且（元）
则最终结果收入6元应表示为，
故选：B
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标志等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列常见的运动图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，所以是轴对称图形，
故答案为：A．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解题即可．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的加减法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、不能合并，无法相减；
B、；
C、；
D、；
故选C．
【分析】
根据相关运算法则，逐一进行计算即可．
4．2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前，中国苹果产量世界第一，当前我国已培育自主产权苹果新品种152个．某科学研究院为研究一类新品种苹果树的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：估计这一类新品种苹果树成活的概率为（　　）
移植总数n 50 270 400 750 1500 3500 7000 10000 14000
成活总数m 47 235 369 682 1359 3203 6398 9102 12782
成活率
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴估计这一类新品种苹果树成活的概率为，
故选：A．
【分析】根据频率估计概率即可求出答案.
5．如图，在平行四边形中，，为对角线，，边上的高为5，则阴影部分的面积为（　　）
A．8 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；中心对称的性质
【解析】【解答】解：由图可知，图中阴影部分的每一块关于平行四边形的中心对称图形都在平行四边形上，且都是非阴影的部分，
则阴影部分的面积为，
故选：C．
【分析】图中阴影部分的每一块都与非阴影部分的某一块关于平行四边形的中心对称，结合中心对称图形，平行四边形性质即可求出答案.
6．已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：根据题意，，
由图可知，，
，
故符合要求的作图是作线段的垂直平分线，
由作图痕迹可知，只有B选项符合题意．
故选：B．
【分析】
要使PA+PB=BC，由图可知BC=PB+PC，所以需要PA=PC。根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。那么当点P在AC的垂直平分线上时，PA=PC。据此分析选项即可得出结论．
7．一艘轮船在静止中的最大航速为 ，它以最大航速沿江顺流航行 所用时间，与以最大航速逆流航行 所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为 ，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意得：
故答案为：A．
【分析】根据题意可得顺水速度为（30+x）km/h，逆水速度为（30-x）km/h，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行 所用时间，与以最大航速逆流航行 所用时间相等，根据等量关系列出方程即可．
8．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（　　）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）
A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
【答案】B
【知识点】矩形的判定；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵FD⊥AB，AC⊥EB，
∴DF∥AC，
∵AF∥EB，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，
∴AC＝AB sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），
∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，
∴tan∠PEB＝≈0.4，
∴DE≈＝2.8（m），
故答案为：B．
【分析】先证出四边形ACDF是平行四边形，再结合∠ACD＝90°，证出四边形ACDF是矩形，可得DF＝AC，利用解直角三角形的方法求出AC的长，可得DF＝AC＝1.12（m），再结合tan∠PEB＝≈0.4，最后求出DE的长即可.
二、填空题（共5小题，每小题3分）
9．因式分解： =　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】直接提公因式a，得 = .
故答案为：
【分析】用直接提公因事发即可将原式分解因式。
10．点A，B，C在数轴上的位置如图，点A表示的数是，点B表示的数是3，点C是的中点，则点C表示的数是　 　．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；线段的中点；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：点表示的数是，点表示的数是3，
线段的中点表示的数为：，
故答案为：．
【分析】本题根据中点坐标公式，分别将A点和B点坐标代入计算即可得出中点表示的数．
11．如图，边长为4的正方形ABCD内接于，则的长是　 　（结果保留）
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OB．
∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，AO＝BO，
∴，
∴∠AOB＝×360°＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO2＋BO2＝2AO2＝42＝16，
解得：AO＝2，
∴的长＝，
故答案为：．
【分析】连接OA、OB，根据正方形的性质得到∠AOB＝90°，利用勾股定理求出AO，再根据弧长公式解答即可．
12．如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，若四边形为矩形，则它的面积为　 　
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：过B点作BE⊥y轴于E点，如图
∵四边形为矩形，
∴E、A、B三点共线，
即四边形AEOD是矩形、BEOC是矩形，
∵ 点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，点、在轴上，
∴S矩形AEOD=4，S矩形BEOC=12，
∴矩形ABCD的面积=S矩形BEOC-S矩形AEOD=12-4=8，
故答案为：8.
【分析】本题做出辅助线后，得出四边形AEOD是矩形、BEOC是矩形，然后根据反比例函数k的几何意义，即可得出S矩形AEOD=4，S矩形BEOC=12，最后结合图形面积作差计算即可。
13．如图，在正方形纸片中，E是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点B落在点P处，延长交于点Q，连接并延长交于点F．则　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵在正方形纸片中，E是边的中点，
．
由折叠性质可得，
，
由折叠可得，
．
，
设，正方形的边长设为，
，
∴由勾股定理可得：，
解得：，
∴，
由折叠性质可得，
∴，即
故答案为：．
【分析】连接，根据正方形性质可得，根据折叠性质可得，则，再根据折叠性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，设，正方形的边长设为，根据边之间的关系可得QD，CQ，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据折叠性质可得，则，根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（共7小题，第14小题6分，第15小题7分，第16小题7分，第17小题10分，第18小题8分，第19小题11分，第20小题12分）
14．计算：
【答案】解：
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则
【解析】【分析】根据有理数的乘方，特殊角的三角函数值，0指数幂化简，再根据有理数的混合运算即可求出答案.
15．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】根据分式四则运算的法则：同分母分式相减，分母不变分子相减；除以一个分式相当于乘以这个分式的倒数，为了找到能够约分项化简，就要把能分解因式的都分解，将式子化到最简再代入求值。
16．某区域快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
分拣快递数量（万件）
机器人台数（台）
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差
A型号 和 b
B型号
请你根据以上数据，解答下列问题：
（1）填空：表中_____________，_______________；
（2）若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议．
（3）若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率．
【答案】（1），；
（2）解：合理化建议：
型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人．
（3）解：画树状图如下图所示，
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，
（抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：由统计表可知，型机器人每天分拣快递数量的众数是，
由条形统计图可知，
型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列为：、、、、、、、、、，
其中第名和第名都是万件，
型机器人分拣快递数量的中位数是，
故答案为：，；
【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据各统计量的意义分析即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：由统计表可知，型机器人每天分拣快递数量的众数是，
由条形统计图可知，
型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列为：、、、、、、、、、，
其中第名和第名都是万件，
型机器人分拣快递数量的中位数是，
故答案为：，；
（2）解：合理化建议：
型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人．
（3）解：画树状图如下图所示，
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种，
（抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）．
17．
背景 【竞飞“低空经济第一城”】打开手机外卖软件下单，最快仅用时10分钟，便有无人机将奶茶、汉堡等商品“空投”到指定地点，这是记者日前在深圳中心公园亲身体验到的一幕．从理想照进现实，低空经济如今从概念逐渐落地，成为城市新质生产力的一部分，助力深圳竞飞“低空经济第一城”．
素材1 某商店在无促销活动时，若买5件A商品，8件B商品，共需要2400元；若买8件A商品，5件B商品，共需2280元．
素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务，开展促销活动： ①若消费者用250元购买无人机配送服务卡，商品一律按标价的七五折出售； ②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品，一律按照标价的八折出售．
问题解决
任务1 在该商店在无促销活动时，求A，B商品的销售单价分别是多少元？
任务2 某南山科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，其中A商品购买a件（）； ①若使用无人机配送商品，共需要_________元； ②若不使用无人机配送商品，共需要_________元．（结果均用含a的代数式表示）；
任务3 请你帮该科技公司算一算，在任务2的条件下，购买A产品的数量在什么范围内时，使用无人机配送商品更合算？
【答案】任务1：在该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元，B商品的销售单价是200元；任务2：①；②；任务3：当时，使用无人机配送商品更合算
解：任务1：在该商店在无促销活动时，设A商品的销售单价是x元，设B商品的销售单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：在该商店在无促销活动时，A商品的销售单价是160元；
任务2：∵某南山科技公司计划在促销期间购买A，B两款商品共30件，
∴B商品购买件．
①若使用无人机配送商品，共需要元；
②若不使用无人机配送商品，共需要元．
故答案为：①；②；
任务3：根据题意得：，
解得：，
又∵，
∴．
答：当时，使用无人机配送商品更合算
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设A商品的销售单价是x元，设B商品的销售单价是y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解；
任务2：分别根据题意列代数式即可；
任务3：根据题意建立不等式，解不等式即可得到答案．
18．如图，在四边形中，对角线，相交于点F，且，．过点A作，交的延长线于点C，________．
请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）解：选择①．
证明：四边形的对角线，相交于点，且，，
四边形的是平行四边形，
，，
又，
，
四边形为矩形．
（2）解：由（1）已证明四边形矩形，
，，
又，
．
在中，，
，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分，则四边形的是平行四边形，若选择①，可证明，根据矩形的判定可得结论；
（2）根据矩形性质求出，进而求出，然后再根据平行线的性质和正切函数的定义可求得，最后再利用勾股定理求得即可求解．
19．对于平面直角坐标系中的点，若x，y満足，则点就称为“平衡点”．例如：，因为，所以是“平衡点”．
（1）下列是平衡点的是______；(填序号)
①， ②③④
（2）已知一次函数 (k为常数)图像上有一个“平衡点”的坐标是，求出一次函数 (k为常数)图像上另一个“平衡点”的坐标；
（3）已知二次函数的图像上有且仅有两个“平衡点”，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）①④
（2）解：将点代入关系式，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为.
∵一次函数的图象上有另一个“平衡点”，
∴，
即或，
解得或，
则，
所以另一个“平衡点”的坐标是；
（3）或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】（1）解：点，因为，所以点是“平衡点”；
点，因为，所以点不是“平衡点”；
点，因为，所以点不是“平衡点”；
点，因为，所以点是“平衡点”．
故答案为：①④；
（3）解：或．
∵二次函数的图象上有且仅有两个“平衡点”，
∴，
∴或，
即或
当，且时，
解得；
当，且时，
解得．
所以a的取值范围是或．
【分析】（1）根据平衡点的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点代入关系式可得一次函数的关系式为，根据平衡点的定义建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据平衡点的定义建立方程可得即或，分别求解即可求出答案.
（1）解：点，因为，所以点是“平衡点”；
点，因为，所以点不是“平衡点”；
点，因为，所以点不是“平衡点”；
点，因为，所以点是“平衡点”．
故答案为：①④；
（2）解：将点代入关系式，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为.
∵一次函数的图象上有另一个“平衡点”，
∴，
即或，
解得或，
则，
所以另一个“平衡点”的坐标是；
（3）解：或．
∵二次函数的图象上有且仅有两个“平衡点”，
∴，
∴或，
即或
当，且时，
解得；
当，且时，
解得．
所以a的取值范围是或．
20．数学课上，张老师提出如下数学问题．
如图1，在菱形中，是边上一点，是边上一点，且满足．试探究与之间的数量关系．
两个学习小组经过讨论后给出了下面两种添加辅助线的方法：
方法1：以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接．
方法2：连接，过点作交于点．
（1）请你选择以上两种方法中的一种解答张老师提出的问题；
（2）借助上面解决问题的方法或用自己的方法解答下面问题：
如图2，在正方形中，是延长线上的一点，是边下方的一点．若，求证：；
（3）如图3，在矩形中，是边上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转后，点落在边上的点处．若，求的长．
【答案】（1）解：方法1：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接．
，
是等边三角形．
．
．
四边形是菱形，
．
．
．
，
．
．
．
方法2：连接，过点作交于点．
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长到点，使，连接．
四边形是正方形，
．
．
．
，
．
，
．
，
．
，
，即，
，
；
（3）解：如图，连接，过点作于点，过点作交于点，交于点．
，
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
是矩形．
．
．
，
．
，
．
．
．
．
．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；旋转的性质
【解析】【分析】（1）方法1：以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据补角可得∠DMP，再根据菱形性质可得，则，根据边之间的关系可得，再根据三角形内角和定理，结合角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
方法2：连接，过点作交于点，根据菱形性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，，则，再根据直线平行性质可得，根据三角形内角和定理可得∠BMP，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）延长到点，使，连接，根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）连接，过点作于点，过点作交于点，交于点，根据边之间的关系可得，再根据平行线分线段成比例定理可得，则，根据矩形判定定理可得是矩形，则，再根据边之间的关系可得QC，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：方法1：如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接．
，
是等边三角形．
．
．
四边形是菱形，
．
．
．
，
．
．
．
方法2：连接，过点作交于点．
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长到点，使，连接．
四边形是正方形，
．
．
．
，
．
，
．
，
．
，
，即，
，
；
（3）解：如图，连接，过点作于点，过点作交于点，交于点．
，
．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
是矩形．
．
．
，
．
，
．
．
．
．
．
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