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广东省深圳市南山区2025年中考三模数学试题
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1．下列四张新能源图标是中心对称图形的是（　　）
A．水能 B．风能
C．太阳能 D．氢能
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．正方体表面展开图如图所示，每个面上分别写着“初三中考加油”，如果将这个展开图还原为正方体，其中和“初”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．中 B．加 C．考 D．油
4．对联是一种传统的中国文化艺术形式，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．一副对联包括上下两联，小鑫无意间将两副内容不同的对联打乱，他从中随机抽取两张，则恰好是一副对联的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）
A．2，3，3 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，4，5
6．某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（　　）
A．水平向右移动 B．水平向左移动
C．水平向右移动 D．水平向左移动
8．如图，已知位于第一象限，点A，B，C的坐标分别为，，．若双曲线与有交点，则k的最大值是（　　）
A．1 B．2 C．5 D．
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
9．若，则的值为　 　．
10．在数轴上，介于和之间的整数是　 　．
11．若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可能是　 　（写出一个即可）．
12．如图所示是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成．小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到约，即，最小能达到约 ，即，已知该三脚架的支柱，则该三脚架可调节的部分的长度为　 　．（答案精确到，已知，，，）
13．如图，线段与相交于点，，，则的最小值为　 　．
三、解答题
14．计算：
15．下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）第一步去分母的依据是 ．
（2）在解答过程中，从第___步开始出错，错误原因是 ．
（3）原不等式的正确解集为 ．
16．2025 年初，某省共发生电动自行车事故 96 起，从已调查完毕事故原因看，绝大部分的事故源于电动车不遵守交通规则造成；广大初中生及家长作为电动车的使用群体之一，教会他们规范骑行成为校园安全的重要任务．深圳市某中学制作了时长 100 分钟的电动车交通安全知识的教育视频并组织学生周末观看，学校随机抽查了部分学生观看视频的时长，并绘制如下不完整的统计图表．
部分学生观看教育视频时长频数分布表
组别 时长 x/分钟 频数
A 20
B 40
C ▲
D 60
E 10
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查属于____调查，本次调查的样本容量为_____；
（2）样本数据的中位数落在___组；
（3）若本校共 2000 人，观看视频时长低于 40 分钟即为“不合格”，请估算本校有多少同学的成绩是“不合格”，并根据调查结果对类似自行观看教育视频的活动提出一条合理化建议．
17．“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．某商家连续两周销售“滨滨”和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示．
销售量（个） 销售额（元）
滨滨 妮妮
第1周 25 10 3080
第2周 40 15 4840
（1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格；
（2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，设购进“滨滨”摆件个，两种摆件全部售完时所获的利润为元．
①求与的函数关系式；
②该商家如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少元？
18．如图 1，点 为 上一点，点 在直径 的延长线上．
（1）请你添加一个条件： ，使得直线 与 相切并写出你的证明过程；
（2）如图 2，， 是圆的切线，， 为切点．求作：这个圆的圆心 （请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．
19．镁在燃烧时发出耀眼的白光．某兴趣小组在操场上做镁球的发射与燃烧实验：质量、大小均相同的镁球从发射器（发射器的高度忽略不计）中竖直向上发射（镁球离开发射器即开始燃烧），以下是镁球发射后的相关数据：
已知镁球到达最高处后再过会燃烧完．
发射时间 0 2 5 9 12 13 …
离地面的高度 0 92 200 288 312 312 …
（1）① 请利用表格数据描点，画出 y 与 x 的大致图像，根据图像估计 y 与 x 之间的函数关系是______（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）．
② 求 y 与 x 之间的函数关系式．
（2）直接写出发射时间为多少秒时，镁球到达最高处．
（3）已知每个镁球发射后的运动轨迹均相同．该小组先后连续发射了2 个镁球，第1个镁球燃烧完时，第2 个镁球刚好和它处于对称位置，求这2 个镁球发射时间相隔多少秒．
20．在一次数学课上，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第 1 步：如图 1，将边长为6的正方形纸片对折，使点A与点 B 重合，展开铺平，折痕为； 第 2 步：再将边沿翻折得到；
第 3 步：延长交于点H，则点H为边的三等分点．
证明如下：连接，正方形沿折叠， ，， 又， （①） ．设， ∵E是的中点，则， 在中，可列方程： ② ， 解得： ，即H是边的三等分点．
“破浪”小组进行如下操作：
第 1 步：如图 2 所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，展开铺平，折痕为；
第 2 步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，展开铺平，折痕与折痕交于点G； 第 3 步：过点G 折叠正方形纸片，使折痕．
【过程思考】
（1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是 ；
②处所列方程是 ；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
（3）①如图 3，将矩形纸片对折，使点A和点D重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点G折叠矩形纸片，使折痕 ，若，求的值．
②在边长为6的正方形中，点E是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点H．若，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算；求算术平方根
【解析】【解答】解：、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
【分析】根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，算术平方根，单项式乘单项式逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体展开图特点可知：“初”与“加”相对，
故答案为：B．
【分析】本题利用正方体及其表面展开图的特点，得出“初”与“加”相对，“三”与“考”相对，“中”与“油”相对，从而得出答案。
4．【答案】B
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：设一张对联的两联为A，a，另一副对联的两联为B，b，从中随机抽取两张的结果为(A，a)(A，B)，(A，b)，(a，B)，(a，b)，(B，b)，其中 恰好是一副对联结果为(A，a)，(B，b)，
∴ 恰好是一副对联的概率是，
故答案为：B.
【分析】利用列举法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算解题.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵ = ＞3，2+3＞3，∴能组成锐角三角形；
B、∵ = ＜4，2+3＞4，∴不能组成锐角三角形；
C、∵2+3=5，∴不能组成三角形；
D、∵ =5，是直角三角形，∴不能组成锐角三角形．
故选：A．
【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据题意得：
故答案为：A．
【分析】设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据时间=路程÷速度，最后再根据“乙同学比甲同学提前到达活动地点”，建立分式方程：，即可求解
7．【答案】B
【知识点】位似图形的性质；位似图形的概念
【解析】【解答】解：过点作于点，延长交于点，
∵和成位似图形，位似中心为点，
∴，
∴，
∴、分别为和对应边、上的高，
∴，
∵和成位似图形，，，
∴，即，
∴，
∴，
∵像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，设，则，，
又∵，即，
∴，
此时，
∵，
∴可以将遮挡板水平向左移动．
故选：B．
【分析】过点作于点，延长交于点，根据位似图形性质可得，则，再根据三角形的高可得，根据位似图形性质可得，代值计算可得OE，根据边之间的关系可得EF，设，则，，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别为，，．
∴设直线解析式为：，
将，代入可得：，解得：，
∴直线解析式为：，联立可得：，
∵双曲线与有交点，
∴，即，
∴k的最大值为．
故选：D
【分析】利用待定系数法求出直线解析式，联立可得：，利用双曲线与有交点，利用根的判别式解答即可．
9．【答案】20
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∴当 时，
原式
故答案为：20.
【分析】先将原代数式化简为 再将 整体代入求解.
10．【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，
∴介于、之间的整数是3，
故答案为：3．
【分析】先估算出、的范围，即可得出答案.
11．【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：1（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，
∵，，，
∴在中，，
在中，，
∴，
故答案为：．
【分析】解直角三角形可得BG，CG，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，沿方向平移得，连接，，作于点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，，
∴在中，，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，且，
∴的最小值为，即的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】沿方向平移得，连接，，作于点，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据含30°角的直角三角形性质可得BG，根据勾股定理可得AG，根据边之间的关系可得FG，再根据勾股定理可得BF，根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】解：

【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】（1）不等式的基本性质
（2）四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）
（3）
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质．
故答案为：不等式的基本性质；
（2）在解答过程中，从第四步开始出错，错误原因是不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）．
故答案为：四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）；
（3），
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
即原不等式的正确解集为．
故答案为：．
【分析】（1）根据不等式的性质即可求出答案.
（2）根据不等式的性质即可求出答案.
（3）去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质．
故答案为：不等式的基本性质；
（2）在解答过程中，从第四步开始出错，错误原因是不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）．
故答案为：四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）；
（3），
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
即原不等式的正确解集为．
故答案为：．
16．【答案】（1）抽样；200
（2）C
（3）解：从以上信息可看出，估计全校有的学生观看时间 低于40分钟.
建议：学生的思想上还不够重视，要加强教育．（答案不唯一）
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查属于抽样调查，本次调查的样本容量为（人），
故答案为：抽样；200；
（2）解：C 组的频数为，
∵样本数据的中位数为第 100 和 101 个数的平均数，，
∴样本数据的中位数落在 C 组，
故答案为：C；
【分析】（1）结合题意，根据调查的方法可得本次调查属于抽样调查，再根据B组的人数与占比可得总人数.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：本次调查属于抽样调查，本次调查的样本容量为（人），
故答案为：抽样；200；
（2）解：C 组的频数为，
∵样本数据的中位数为第 100 和 101 个数的平均数，，
∴样本数据的中位数落在 C 组，
故答案为：C；
（3）解：从以上信息可看出，估计全校有的学生观看时间 低于40分钟.
建议：学生的思想上还不够重视，要加强教育．（答案不唯一）
17．【答案】（1）解：设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，
根据题意，列得方程组，
解得，
答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价格都为88元/件；
（2）解：①设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件（100－m）个，
根据题意得：，
所以与的函数关系式；
②“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，
，解得：，
由①知，为正整数，
随的增大而减小，
当取最小值67时，有最大值，最大值为2330，
此时，，
所以购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大，最大利润为2330元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）①设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件（100－m）个，根据题意建立函数关系式即可求出答案.
②根据题意建立不等式，解不等式求出m的范围，再结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，
根据题意，列得方程组，
解得，
答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价格都为88元/件；
（2）①设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件（100－m）个，
根据题意得：，
所以与的函数关系式；
②“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，
，解得：，
由①知，为正整数，
随的增大而减小，
当取最小值67时，有最大值，最大值为2330，
此时，，
所以购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大，最大利润为2330元．
18．【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：如图，过分别走的垂线，交于点，则点即为所求；
【知识点】切线的判定；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：（答案不唯一）条件：
证明：连接，
是 直径
∴
∴ ，
∴即
是半径
∴ 是 的切线
故答案为：
【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，再根据角之间的关系可得即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）过分别走的垂线，交于点，则点即为所求.
（1）解：（答案不唯一）条件：
证明：连接，
是 直径

，
即
是半径
是 的切线
（2）如图，过分别走的垂线，交于点，则点即为所求；
19．【答案】（1）解；①如图所示函数图象即为所求；
由函数图象的性质可得，估计 y 与 x 之间的函数关系是二次函数；
②设，
把，，，代入得，
∴，
∴；
（2）秒
（3）解：∵镁球到达最高处后再过会燃烧完．
∴第个镁球燃烧完的时间为，
∵1个镁球燃烧完时，第2 个镁球刚好和它处于对称位置，
∴第2个镁球发射时间为秒，
∴2个镁球发射时间相隔秒．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（2）解：二次函数的对称轴为直线，
∴发射时间为秒时，镁球到达最高处；
【分析】（1）①根据描点法作出函数图象即可.
②设，根据待定系数法将点，，，代入解析式即可求出答案.
（2）根据二次函数性质即可求出答案.
（3）根据二次函数对称性即可求出答案.
（1）解；①如图所示函数图象即为所求；
由函数图象的性质可得，估计 y 与 x 之间的函数关系是二次函数；
②设，
把，，，代入得，
∴，
∴；
（2）解：解：二次函数的对称轴为直线，
∴发射时间为秒时，镁球到达最高处；
（3）解：∵镁球到达最高处后再过会燃烧完．
∴第个镁球燃烧完的时间为，
∵1个镁球燃烧完时，第2 个镁球刚好和它处于对称位置，
∴第2个镁球发射时间为秒，
∴2个镁球发射时间相隔秒．
20．【答案】（1）①HL
②
解：（2）点M是边的三等分点，
证明如下：
分别是的中点，正方形，
∴，
，，
，
，
∵，
∴，
，即．
∴点M是边的三等分点．
（3）①分别是的中点，
∴，
结合折叠的性质可得：．，，
∴，
∵，
．
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，，则，，，，
∴，
∴，整理得：，解得：或（舍弃），
∴，
∴；
②3或12
【知识点】三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图：连接，
∵正方形沿折叠，
∴，，
又，
∴（）
∴．设，
∵E是的中点，则，
在中，可列方程：．
解得： ，即H是边的三等分点．
故答案为：，．
（3）②如图∶当点H在线段上时，则，
设，则
∴在中，由勾股定理得，，解得：；
；
如图∶当点H在的延长线上时，连接，
∵正方形的边长为6，
，．
由折叠的性质得∶，
又∵，
，
．
设．
，．
在，由勾股定理，可知，
，解得．
综上所述，的长为3或12．
【分析】（1）根据折叠性质可得，，根据全等三角形判定定理可得（），则，设，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得DH，再根据三等分点即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，则，，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据平行线分线段成比例定理可得，即，再根据三等分点即可求出答案.
（3）①根据线段中点可得，根据折叠性质可得．，，则，根据直线平行性质可得，根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，，则，，，，根据勾股定理可得MG，再代入，解方程可得x，再根据边之间的关系即可求出答案.
②分情况讨论：当点H在线段上时，则，设，则
，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当点H在的延长线上时，连接，根据正方形性质可得，，根据折叠性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，根据边之间的关系可得AE，EH，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市南山区2025年中考三模数学试题
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分）
1．下列四张新能源图标是中心对称图形的是（　　）
A．水能 B．风能
C．太阳能 D．氢能
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意．
B．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算；求算术平方根
【解析】【解答】解：、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算正确，符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
、，原选项计算错误，不符合题意；
故选：．
【分析】根据合并同类项，积的乘方，幂的乘方，算术平方根，单项式乘单项式逐项进行判断即可求出答案.
3．正方体表面展开图如图所示，每个面上分别写着“初三中考加油”，如果将这个展开图还原为正方体，其中和“初”字所在面相对的面上的汉字是（　　）
A．中 B．加 C．考 D．油
【答案】B
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体展开图特点可知：“初”与“加”相对，
故答案为：B．
【分析】本题利用正方体及其表面展开图的特点，得出“初”与“加”相对，“三”与“考”相对，“中”与“油”相对，从而得出答案。
4．对联是一种传统的中国文化艺术形式，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．一副对联包括上下两联，小鑫无意间将两副内容不同的对联打乱，他从中随机抽取两张，则恰好是一副对联的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：设一张对联的两联为A，a，另一副对联的两联为B，b，从中随机抽取两张的结果为(A，a)(A，B)，(A，b)，(a，B)，(a，b)，(B，b)，其中 恰好是一副对联结果为(A，a)，(B，b)，
∴ 恰好是一副对联的概率是，
故答案为：B.
【分析】利用列举法得到所有等可能结果，找出符合条件的结果数，再根据概率公式计算解题.
5．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（　　）
A．2，3，3 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，4，5
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵ = ＞3，2+3＞3，∴能组成锐角三角形；
B、∵ = ＜4，2+3＞4，∴不能组成锐角三角形；
C、∵2+3=5，∴不能组成三角形；
D、∵ =5，是直角三角形，∴不能组成锐角三角形．
故选：A．
【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较长的边进行比较作出判断即可．
6．某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据题意得：
故答案为：A．
【分析】设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据时间=路程÷速度，最后再根据“乙同学比甲同学提前到达活动地点”，建立分式方程：，即可求解
7．如图，这是物理学中的小孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点，透过小孔在光屏上成的像是倒立放大的实像，和成位似图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为，，此时，像的长为，为了使像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，可以将遮挡板（　　）
A．水平向右移动 B．水平向左移动
C．水平向右移动 D．水平向左移动
【答案】B
【知识点】位似图形的性质；位似图形的概念
【解析】【解答】解：过点作于点，延长交于点，
∵和成位似图形，位似中心为点，
∴，
∴，
∴、分别为和对应边、上的高，
∴，
∵和成位似图形，，，
∴，即，
∴，
∴，
∵像的长度变成的倍，在物体和屏幕位置不变的情况下，设，则，，
又∵，即，
∴，
此时，
∵，
∴可以将遮挡板水平向左移动．
故选：B．
【分析】过点作于点，延长交于点，根据位似图形性质可得，则，再根据三角形的高可得，根据位似图形性质可得，代值计算可得OE，根据边之间的关系可得EF，设，则，，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
8．如图，已知位于第一象限，点A，B，C的坐标分别为，，．若双曲线与有交点，则k的最大值是（　　）
A．1 B．2 C．5 D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点A，B，C的坐标分别为，，．
∴设直线解析式为：，
将，代入可得：，解得：，
∴直线解析式为：，联立可得：，
∵双曲线与有交点，
∴，即，
∴k的最大值为．
故选：D
【分析】利用待定系数法求出直线解析式，联立可得：，利用双曲线与有交点，利用根的判别式解答即可．
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
9．若，则的值为　 　．
【答案】20
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
∴当 时，
原式
故答案为：20.
【分析】先将原代数式化简为 再将 整体代入求解.
10．在数轴上，介于和之间的整数是　 　．
【答案】3
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，，
∴介于、之间的整数是3，
故答案为：3．
【分析】先估算出、的范围，即可得出答案.
11．若方程有两个不相等的实数根，则实数的值可能是　 　（写出一个即可）．
【答案】1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
故答案为：1（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
12．如图所示是在摄影时常用的一种可调节高度的三脚架，它主要由三根长度相等的支柱构成．小深同学通过测量发现，在保持三脚架稳定的前提下，它的每一根支柱与地面之间的夹角最大能达到约，即，最小能达到约 ，即，已知该三脚架的支柱，则该三脚架可调节的部分的长度为　 　．（答案精确到，已知，，，）
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，，
∵，，，
∴在中，，
在中，，
∴，
故答案为：．
【分析】解直角三角形可得BG，CG，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．如图，线段与相交于点，，，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，沿方向平移得，连接，，作于点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，，
∴在中，，
∴，，
∴，
在中，，
在中，，且，
∴的最小值为，即的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】沿方向平移得，连接，，作于点，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，根据含30°角的直角三角形性质可得BG，根据勾股定理可得AG，根据边之间的关系可得FG，再根据勾股定理可得BF，根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题
14．计算：
【答案】解：

【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值性质化简，再计算加减即可求出答案.
15．下面是某同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）第一步去分母的依据是 ．
（2）在解答过程中，从第___步开始出错，错误原因是 ．
（3）原不等式的正确解集为 ．
【答案】（1）不等式的基本性质
（2）四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）
（3）
【知识点】解一元一次不等式；不等式的性质
【解析】【解答】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质．
故答案为：不等式的基本性质；
（2）在解答过程中，从第四步开始出错，错误原因是不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）．
故答案为：四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）；
（3），
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
即原不等式的正确解集为．
故答案为：．
【分析】（1）根据不等式的性质即可求出答案.
（2）根据不等式的性质即可求出答案.
（3）去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可求出答案.
（1）解：第一步去分母的依据是不等式的基本性质．
故答案为：不等式的基本性质；
（2）在解答过程中，从第四步开始出错，错误原因是不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）．
故答案为：四；不等号的方向没有改变（或不等式基本性质运用错误）；
（3），
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
即原不等式的正确解集为．
故答案为：．
16．2025 年初，某省共发生电动自行车事故 96 起，从已调查完毕事故原因看，绝大部分的事故源于电动车不遵守交通规则造成；广大初中生及家长作为电动车的使用群体之一，教会他们规范骑行成为校园安全的重要任务．深圳市某中学制作了时长 100 分钟的电动车交通安全知识的教育视频并组织学生周末观看，学校随机抽查了部分学生观看视频的时长，并绘制如下不完整的统计图表．
部分学生观看教育视频时长频数分布表
组别 时长 x/分钟 频数
A 20
B 40
C ▲
D 60
E 10
结合以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查属于____调查，本次调查的样本容量为_____；
（2）样本数据的中位数落在___组；
（3）若本校共 2000 人，观看视频时长低于 40 分钟即为“不合格”，请估算本校有多少同学的成绩是“不合格”，并根据调查结果对类似自行观看教育视频的活动提出一条合理化建议．
【答案】（1）抽样；200
（2）C
（3）解：从以上信息可看出，估计全校有的学生观看时间 低于40分钟.
建议：学生的思想上还不够重视，要加强教育．（答案不唯一）
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查属于抽样调查，本次调查的样本容量为（人），
故答案为：抽样；200；
（2）解：C 组的频数为，
∵样本数据的中位数为第 100 和 101 个数的平均数，，
∴样本数据的中位数落在 C 组，
故答案为：C；
【分析】（1）结合题意，根据调查的方法可得本次调查属于抽样调查，再根据B组的人数与占比可得总人数.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
（1）解：本次调查属于抽样调查，本次调查的样本容量为（人），
故答案为：抽样；200；
（2）解：C 组的频数为，
∵样本数据的中位数为第 100 和 101 个数的平均数，，
∴样本数据的中位数落在 C 组，
故答案为：C；
（3）解：从以上信息可看出，估计全校有的学生观看时间 低于40分钟.
建议：学生的思想上还不够重视，要加强教育．（答案不唯一）
17．“滨滨”和“妮妮”是2025年哈尔滨亚冬会的吉祥物．某商家连续两周销售“滨滨”和“妮妮”摆件，销售情况如下表所示．
销售量（个） 销售额（元）
滨滨 妮妮
第1周 25 10 3080
第2周 40 15 4840
（1）分别求出“滨滨”和“妮妮”摆件的零售价格；
（2）根据消费者需求，该商家决定购进这两种摆件100个，其中“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，若“滨滨”和“妮妮”摆件的进价分别是68元/个和58元/个，设购进“滨滨”摆件个，两种摆件全部售完时所获的利润为元．
①求与的函数关系式；
②该商家如何进货才能获得最大利润，最大利润为多少元？
【答案】（1）解：设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，
根据题意，列得方程组，
解得，
答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价格都为88元/件；
（2）解：①设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件（100－m）个，
根据题意得：，
所以与的函数关系式；
②“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，
，解得：，
由①知，为正整数，
随的增大而减小，
当取最小值67时，有最大值，最大值为2330，
此时，，
所以购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大，最大利润为2330元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
（2）①设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件（100－m）个，根据题意建立函数关系式即可求出答案.
②根据题意建立不等式，解不等式求出m的范围，再结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设“滨滨”摆件的零售价格为元/件，“妮妮”摆件的零售价格为元/件，
根据题意，列得方程组，
解得，
答：“滨滨”“妮妮”摆件的零售价格都为88元/件；
（2）①设购进“滨滨”摆件个，则购进“妮妮”摆件（100－m）个，
根据题意得：，
所以与的函数关系式；
②“滨滨”摆件的数量不低于“妮妮”摆件数量的2倍，
，解得：，
由①知，为正整数，
随的增大而减小，
当取最小值67时，有最大值，最大值为2330，
此时，，
所以购进“滨滨”摆件67个，“妮妮”摆件33个时利润最大，最大利润为2330元．
18．如图 1，点 为 上一点，点 在直径 的延长线上．
（1）请你添加一个条件： ，使得直线 与 相切并写出你的证明过程；
（2）如图 2，， 是圆的切线，， 为切点．求作：这个圆的圆心 （请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）解：如图，过分别走的垂线，交于点，则点即为所求；
【知识点】切线的判定；尺规作图-垂直平分线；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：（答案不唯一）条件：
证明：连接，
是 直径
∴
∴ ，
∴即
是半径
∴ 是 的切线
故答案为：
【分析】（1）根据圆周角定理的推论可得，再根据角之间的关系可得即，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）过分别走的垂线，交于点，则点即为所求.
（1）解：（答案不唯一）条件：
证明：连接，
是 直径

，
即
是半径
是 的切线
（2）如图，过分别走的垂线，交于点，则点即为所求；
19．镁在燃烧时发出耀眼的白光．某兴趣小组在操场上做镁球的发射与燃烧实验：质量、大小均相同的镁球从发射器（发射器的高度忽略不计）中竖直向上发射（镁球离开发射器即开始燃烧），以下是镁球发射后的相关数据：
已知镁球到达最高处后再过会燃烧完．
发射时间 0 2 5 9 12 13 …
离地面的高度 0 92 200 288 312 312 …
（1）① 请利用表格数据描点，画出 y 与 x 的大致图像，根据图像估计 y 与 x 之间的函数关系是______（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）．
② 求 y 与 x 之间的函数关系式．
（2）直接写出发射时间为多少秒时，镁球到达最高处．
（3）已知每个镁球发射后的运动轨迹均相同．该小组先后连续发射了2 个镁球，第1个镁球燃烧完时，第2 个镁球刚好和它处于对称位置，求这2 个镁球发射时间相隔多少秒．
【答案】（1）解；①如图所示函数图象即为所求；
由函数图象的性质可得，估计 y 与 x 之间的函数关系是二次函数；
②设，
把，，，代入得，
∴，
∴；
（2）秒
（3）解：∵镁球到达最高处后再过会燃烧完．
∴第个镁球燃烧完的时间为，
∵1个镁球燃烧完时，第2 个镁球刚好和它处于对称位置，
∴第2个镁球发射时间为秒，
∴2个镁球发射时间相隔秒．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；描点法画函数图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（2）解：二次函数的对称轴为直线，
∴发射时间为秒时，镁球到达最高处；
【分析】（1）①根据描点法作出函数图象即可.
②设，根据待定系数法将点，，，代入解析式即可求出答案.
（2）根据二次函数性质即可求出答案.
（3）根据二次函数对称性即可求出答案.
（1）解；①如图所示函数图象即为所求；
由函数图象的性质可得，估计 y 与 x 之间的函数关系是二次函数；
②设，
把，，，代入得，
∴，
∴；
（2）解：解：二次函数的对称轴为直线，
∴发射时间为秒时，镁球到达最高处；
（3）解：∵镁球到达最高处后再过会燃烧完．
∴第个镁球燃烧完的时间为，
∵1个镁球燃烧完时，第2 个镁球刚好和它处于对称位置，
∴第2个镁球发射时间为秒，
∴2个镁球发射时间相隔秒．
20．在一次数学课上，老师请同学们思考如何通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点．
【操作探究】
“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：
第 1 步：如图 1，将边长为6的正方形纸片对折，使点A与点 B 重合，展开铺平，折痕为； 第 2 步：再将边沿翻折得到；
第 3 步：延长交于点H，则点H为边的三等分点．
证明如下：连接，正方形沿折叠， ，， 又， （①） ．设， ∵E是的中点，则， 在中，可列方程： ② ， 解得： ，即H是边的三等分点．
“破浪”小组进行如下操作：
第 1 步：如图 2 所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，展开铺平，折痕为；
第 2 步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，展开铺平，折痕与折痕交于点G； 第 3 步：过点G 折叠正方形纸片，使折痕．
【过程思考】
（1）“乘风”小组的证明过程中，①处的推理依据是 ；
②处所列方程是 ；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为边的三等分点，并证明你的结论；
【拓展提升】
（3）①如图 3，将矩形纸片对折，使点A和点D重合，展开铺平，折痕为，将沿翻折得到，过点G折叠矩形纸片，使折痕 ，若，求的值．
②在边长为6的正方形中，点E是射线上一动点，连接，将沿翻折得到，直线与直线交于点H．若，请直接写出的长．
【答案】（1）①HL
②
解：（2）点M是边的三等分点，
证明如下：
分别是的中点，正方形，
∴，
，，
，
，
∵，
∴，
，即．
∴点M是边的三等分点．
（3）①分别是的中点，
∴，
结合折叠的性质可得：．，，
∴，
∵，
．
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，，则，，，，
∴，
∴，整理得：，解得：或（舍弃），
∴，
∴；
②3或12
【知识点】三角形全等及其性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）如图：连接，
∵正方形沿折叠，
∴，，
又，
∴（）
∴．设，
∵E是的中点，则，
在中，可列方程：．
解得： ，即H是边的三等分点．
故答案为：，．
（3）②如图∶当点H在线段上时，则，
设，则
∴在中，由勾股定理得，，解得：；
；
如图∶当点H在的延长线上时，连接，
∵正方形的边长为6，
，．
由折叠的性质得∶，
又∵，
，
．
设．
，．
在，由勾股定理，可知，
，解得．
综上所述，的长为3或12．
【分析】（1）根据折叠性质可得，，根据全等三角形判定定理可得（），则，设，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据勾股定理建立方程，解方程可得DH，再根据三等分点即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，则，，再根据相似三角形判定定理可得，则，根据平行线分线段成比例定理可得，即，再根据三等分点即可求出答案.
（3）①根据线段中点可得，根据折叠性质可得．，，则，根据直线平行性质可得，根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，，则，，，，根据勾股定理可得MG，再代入，解方程可得x，再根据边之间的关系即可求出答案.
②分情况讨论：当点H在线段上时，则，设，则
，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案；当点H在的延长线上时，连接，根据正方形性质可得，，根据折叠性质可得，，再根据全等三角形判定定理可得，则，设，根据边之间的关系可得AE，EH，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
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