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广东省广州市海珠区第五中学2025年中考三模数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列各数中，无理数是(　　)
A． B． C． D．0
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．骑行共享单车这种“低碳”出行方式已融入我旗的日常生活．如图是共享单车车架的示意图．已知，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．用配方法解方程 时，配方后所得的方程为（　　）
A． B． C． D．
5．已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，点A，B，C在半径为3的上，，则的长为（　　）
A． B． C． D．3
7．如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，是线段上一动点，，，，，，点，分别是，的中点，随着点的运动，下列说法正确的是（　　）
A．的长随着点的位置变化而变化
B．的长保持不变，长为
C．的长保持不变，长为
D．的长保持不变，长为
9．如图，在四边形中，，，，，．动点沿路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为．设点运动的时间为（单位：），的面积为，则关于的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点，，都是“相反点”，若二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．据统计，2025年“五·一”假期广州接待游客近11400000人次，再创新高．数11400000用科学记数法表示为　 　．
12．分解因式：2x2﹣8=　 　
13．若一个正多边形的内角和为，则该正多边形一个外角的度数为　 　．
14．某工厂为了提高生产效率，更新了工厂设备，现在每台机器平均每天比原来多生产25件产品，若该工厂的机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件，求原来每台机器平均每天生产多少件产品？设原来每台机器每天生产件产品，根据题意可列方程为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴于点C，则周长的最小值为　 　．
16．如图，在中，，点D是边上一动点（不与B、C重合），，交线段于点E，且．
（1）若，则的长度是　 　；（2）线段的取值范围是　 　．
三、解答题
17．解方程组：
18．如图，点在直线上，，且，求证：．
19．已知．
（1）化简；
（2）若，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，求的值．
20．新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是________名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为____；
（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
21．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与通电时间（）成反比例关系.当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示.
（1）请求出一次函数与反比例函数表达式；
（2）求在一个加热周期内水温不低于的时间范围？
22．无人机在实际生活中应用越来越广泛．如图所示，某校数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得地面点的俯角，测得楼顶点处的俯角为，点到点的距离为80米，已知点与大楼的距离为70米（点，，，在同一平面内）．
（1）填空：_____度，_____度；
（2）求此时无人机距离地面的高度；
（3）求大楼的高度．（结果保留根号）
23．如图，已知在中，．
（1）已知点在边上，请用尺规作图作出：使经过点，且与相切于点，与的另一个交点为点（保留作图痕迹，不写做法）；
（2）若，若，求劣弧与线段，所围成的图形的面积；（结果保留根号）
（3）若，，求的半径．
24．如图，在菱形中，，，点E为线段上一个动点，边关于对称的线段为，连接．
（1）当平分时，的度数为　 　．
（2）延长，交射线于点G，当时，求的长．
（3）连接，点H为线段上一动点（不与点A，C重合），且，求的最小值．
25．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点B在x轴正半轴），与y轴交于点C，连接，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在点B，C之间的抛物线上运动（不与点B，C重合），连接交于点E，连接．记的面积分别为，求的最大值；
（3）已知抛物线的顶点的为G，过点G的直线l与抛物线的另一个交点为P，直线l与直线：交于点F，过点F作的垂线，交抛物线于点Q，过的中点M作于点N．求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、-2是负整数，是有理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
C、是开方开不尽的数，是无理数，故此选项符合题意；
D、0是整数，是有理数，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数（有限小数和无限循环小数），无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式对选项逐一运算即可求解。
3．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
∵
∴∠DEC=67°，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质可知，再根据计算即可得出答案.
4．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】根据配方的正确结果作出判断：
。
故答案为：D。
【分析】先将常数项移到等号右边，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，最后左边写成完全平方式即可.
5．【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据数轴可知，，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用数轴可知，即可确定出b-a的符号，然后化简绝对值即可.
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故选：D．
【分析】连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，过点C作轴垂线，垂足为点E，
∵
∴
∵
∴
在和中，
，
∴，
∴ ，
∵点，
∴AO=3，OB=1，
∴ ，
∵点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到点C，且线段平移得到线段，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D坐标为(0+6，3+2)，即 (6，5) 。
故答案为：D
【分析】本题先根据直角三角形锐角互余以及平角的定义，推出，然后结合AA证明得出，从而推出，结合条件计算出BE=6、EC=2，再根据平移的性质以及点的坐标计算即可得出D点的坐标．
8．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
在中，点分别是的中点，则是中位线，
∴，
∴随着点的运动，的长保持不变，长为，
故答案为：B ．
【分析】过点作于点，连接，易证四边形是矩形，利用矩形的性质可求出AE、CE的长，在中，利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形的中位线定理可求出MN的长.
9．【答案】D
【知识点】分段函数；解直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点P在AB边上，即0≤x≤4时，如图1，
∵AP=x，，
∴，
∴；
当点P在BC边上，即4＜x≤10时，如图2，
过点B作BM⊥AD于点M，则，
∴；
当点P在CD边上，即10＜x≤12时，如图3，
AD=，，
∴；
综上，y与x的函数关系式是：，
其对应的函数图象应为：
．
故答案为：D．
【分析】分类讨论：①当点P在AB边上，即0≤x≤4时，②当点P在BC边上，即4＜x≤10时，③当点P在CD边上，即10＜x≤12时，再分别求解即可.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，
，
解得：，
即二次函数为，
当时，函数有最大值为，
当x=-1时，，
当时，二次函数的最小值为，
当时，代入二次函数，即：
解得：或（舍）
综上，的取值范围为
故答案为：C．
【分析】本题结合条件以及二次函数有且只有一个实数根的特点，利用待定系数法和△=b2-4ac，列式求出a和c的值，从而得出二次函数，这时结合二次函数的性质分析出，当时，函数有最大值为；而条件“ 当时，二次函数的最小值为 ”，可以先将x=-1代入，求出y=-8正好是最小值；这时将y=-8代入二次函数中，求出x的两个值后取正数，因此m的取值范围就在对称轴和x的正值之间，从而得出答案。
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数11400000用科学记数法表示为，
故答案为：．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数.
12．【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
13．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解；设这个正多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
∴这个正多边形的边数为9，
∴该正多边形一个外角的度数为，
故答案为：．
【分析】设这个正多边形的边数为n，根据多边形内角和公式建立方程，解方程可得n=9，再根据正多边形外角和即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来每台机器每天生产件产品，则现在每台机器平均每天生产件产品，
根据条件列式，
故答案为：
【分析】原来生产2000件，需要台机器；现在生产3000件，需要台机器，而“机器台数不变”，因此列出分式方程，从而得出答案。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意，可设点P的坐标为
∴周长为
则求周长的最小值只要求出求的最小值即可，
如图，过点O作
则的最小值为，即此时点P与点D重合，
由直线的解析式得，
当时，，
当时，，解得，
∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴，则
∴是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，，
解得，
则周长的最小值为，
故答案为：．
【分析】设点P的坐标为，则，再根据三角形周长可得求周长的最小值只要求出求的最小值即可，过点O作，则的最小值为，即此时点P与点D重合，根据坐标轴上点的坐标特征可得，则，再根据等腰直角三角形性质可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得，即可求出答案.
16．【答案】；
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）作于，如图，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，即，
，
而，
，
，即，
，
当时，；
（2），
故当时，最大，最大值为6.4，
当时，，
点D是边上一动点（不与B、C重合），
．
故答案为：，．
【分析】（1）作于，根据边之间的关系可得，再根据余弦定义可得BG=8，则，设，则，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，当时，，即可求出答案；
（2）由（1）可得，结合二次函数性质可得故当时，最大，最大值为6.4，当时，，即可求出答案.
17．【答案】解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
18．【答案】证明：∵点在直线上，，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据边之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：∵，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，
∴，
∴，
∴．
∴的值为．
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；菱形的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据单项式乘多项式，完全平方公式去括号，再合并同类项化简即可求出答案.
（2）根据菱形面积可得，再整体代入代数式即可求出答案.
（1）解：
；
（2）∵，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，
∴，
∴，
∴．
∴的值为．
20．【答案】（1）40；
（2）54°，
∵C级频数为：40－6－12－8＝14（人），据此补条形图；
（3）75；
（4）画树状图得
∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，
∴选中小明的概率为＝
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）∵条形统计图知B级的频数为12，扇形统计图中B级的百分比为30%，
∴12÷30%＝40（名）；
故答案为：40
（2）∵A组的频数为6，
∴A级的扇形圆心角α的度数为：×360°＝54°．
故答案为：54°
（3）该校八年级学生中成绩为优秀的有：
故答案为：75
【分析】（1）根据条形统计图得到B级12名，扇形统计图知B级占比30%，进而相除即可得到总人数；
（2）根据题意计算A级所占百分比，进而乘以360°即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识用A级所占百分比乘以全校总人数即可求解；
（4）先根据题意画出树状图，进而得到共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，再根据等可能事件的概率即可求解。
21．【答案】（1）开机加热时每分钟上升，
水温从加热到，所需时间为，
设水温上升过程中，与的函数关系式为，
由题意得：，
解得，
所以水温上升过程中，与的函数关系式为，
设水温下降过程中，与的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
水温下降过程中，与的函数关系式是；
（2）在加热过程中，水温为时，，
解得：，
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
，
一个加热周期内水温不低于的时间为．
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意运用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据题意分别求在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，进而即可求解。
22．【答案】（1）90，120
（2）解：如图，
∵米，，
∴（米），
即此时无人机距离地面的高度米；
（3）解：如图
∵米，米，，
∴（米），
∴米，
由（1）可得：四边形为矩形，
∴米，，
∴（米），
∴（米），
∴大楼的高度为米．
【知识点】矩形的判定与性质；已知正弦值求边长；已知余弦值求边长；已知正切值求边长；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
如图，作于，于，
∴，
∵，
∴EF∥CQ，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴；
故答案为：（1）90，120；
【分析】（1）根据平角的定义直接列式计算即可求出，然后做辅助线得到EF∥CQ，此时利用“两直线平行、内错角相等”得到，然后利用矩形的判断得出四边形为矩形，从而得出，最后结合图形列式，代入计算即可；
（2）结合图中信息，放到Rt△PHA中，结合条件米，，最后利用三角函数列式，代入计算即可得出答案；
（3）利用三角函数求出米，从而结合矩形的性质得出米，再利用三角函数求出=米，最后再次利用矩形的性质以及线段的和差列式，代入计算即可．
23．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图，连接，
是的切线，
，
，，
在中，．，
．
∴劣弧与线段，所围成的图形的面积为；
（3）解：设的半径为，
∵．
∴，
∴是的切线，
∵是的切线，
∴，，
∴，
，
．
，，．
，，
．
．
．
，
．
解得或（不合题意，舍去）．
的半径为．
【知识点】勾股定理；切线的判定；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据作图-角的平分线，作的角平分线交于点，以为圆心，为半径作圆交于点即可求解；
（2）连接，根据切线的性质得到，进而根据正切函数得到从而即可求解；
（3）设的半径为，根据题意解直角三角形得到，根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而即可得到，再根据勾股定理即可求解。
24．【答案】（1）
（2）解：∵菱形，
∴，，
∴，
如图：过E作交其延长上点H，延长交于M
设，连接
由轴对称的性质可得：，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∵
∴，即
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
（3）解：如图：过B作，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
如图：过B作交延长线于K，连接，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
当D、E、K三点不共线时，，
当D、E、K三点共线时，，
∴，即，
∴的最小值为8．
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；胡不归模型
【解析】【解答】（1）解：∵边关于对称的线段为，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
【分析】（1）根据对称性质可得，根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，根据补角可得∠ABC，过E作交其延长上点H，延长交于M，设，连接，由轴对称的性质可得：，，，根据角之间的关系可得∠DAF，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ADF，根据直线平行性质可得，，根据角之间的关系可得，根据含30°角的直角三角形性质可得BH，根据勾股定理可得HE，AE，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得EG，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过B作，根据菱形性质可得，，根据含30°角的直角三角形性质可得BG，根据勾股定理可得CG，再根据边之间的关系可得AC，过B作交延长线于K，连接，则，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵边关于对称的线段为，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
（2）解：∵菱形，
∴，，
∴，
如图：过E作交其延长上点H，延长交于M
设，连接
由轴对称的性质可得：，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∵
∴，即
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
（3）解：如图：过B作，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
如图：过B作交延长线于K，连接，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
当D、E、K三点不共线时，，
当D、E、K三点共线时，，
∴，即，
∴的最小值为8．
25．【答案】（1）解：∵抛物线，
∴当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
将，代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：过点作于点，点作于点，如图：
的面积为，，
的面积为，，
∴，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则直线的解析式为，
设，则直线的解析式为，
即，
整理得：，
则，
∵，
故当时，有最大值为，
即的最大值是．
（3）证明：∵，
∴顶点；
连接和，过点作与点，如图：
设直线的解析式为：，将代入求得：，
故直线的解析式为：；
∵直线与直线：交于点F，
∴将点的纵坐标代入，
得：，
解得：，
故，
则点的横坐标，故，
∴；
∵直线与抛物线交于，两点，
则，
整理得：，
故，
∵，
∴，
即点的横坐标，故，
∴；
∴，
，
∵，为的中点，
∴，
即，
∵，
∴；
在中，，
在中，，
即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故，
即为直角三角形，
又∵为的中点，
∴是斜边上的中线，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征可得，根据两点间距离可得，根据等腰直角三角形性质可得，根据点的坐标可得，，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点作于点，点作于点，根据三角形面积可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，设，则直线的解析式为，设，则直线的解析式为，根据边之间的关系可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）将解析式转换为顶点式可得顶点，连接和，过点作与点，设直线的解析式为：，将代入可得直线的解析式为：；将点的纵坐标代入，可得，根据点的坐标可得，联立直线与抛物线解析式可得，根据两点间距离可得PH，QF，根据平行线分线段成比例定理可得，即，再根据正切定义可得，根据角之间的关系可得，即为直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
（1）解：∵抛物线，
∴当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
将，代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：过点作于点，点作于点，如图：
的面积为，，
的面积为，，
∴，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则直线的解析式为，
设，则直线的解析式为，
即，
整理得：，
则，
∵，
故当时，有最大值为，
即的最大值是．
（3）解：∵，
∴顶点；
连接和，过点作与点，如图：
设直线的解析式为：，将代入求得：，
故直线的解析式为：；
∵直线与直线：交于点F，
∴将点的纵坐标代入，
得：，
解得：，
故，
则点的横坐标，故，
∴；
∵直线与抛物线交于，两点，
则，
整理得：，
故，
∵，
∴，
即点的横坐标，故，
∴；
∴，
，
∵，为的中点，
∴，
即，
∵，
∴；
在中，，
在中，，
即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故，
即为直角三角形，
又∵为的中点，
∴是斜边上的中线，
∴．
1 / 1广东省广州市海珠区第五中学2025年中考三模数学试卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列各数中，无理数是(　　)
A． B． C． D．0
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、-2是负整数，是有理数，故此选项不符合题意；
B、是分数，是有理数，故此选项不符合题意；
C、是开方开不尽的数，是无理数，故此选项符合题意；
D、0是整数，是有理数，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数（有限小数和无限循环小数），无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有四类：①开方开不尽的数，②与π有关的数，③规律性的数，如0.101001000100001000001…（每两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，④锐角三角函数，如sin60°等，根据定义即可逐个判断得出答案.
2．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
A、，A符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式对选项逐一运算即可求解。
3．骑行共享单车这种“低碳”出行方式已融入我旗的日常生活．如图是共享单车车架的示意图．已知，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，
，
∵
∴∠DEC=67°，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据平行线的性质可知，再根据计算即可得出答案.
4．用配方法解方程 时，配方后所得的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】根据配方的正确结果作出判断：
。
故答案为：D。
【分析】先将常数项移到等号右边，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，最后左边写成完全平方式即可.
5．已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据数轴可知，，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用数轴可知，即可确定出b-a的符号，然后化简绝对值即可.
6．如图，点A，B，C在半径为3的上，，则的长为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
故选：D．
【分析】连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
7．如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，过点C作轴垂线，垂足为点E，
∵
∴
∵
∴
在和中，
，
∴，
∴ ，
∵点，
∴AO=3，OB=1，
∴ ，
∵点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到点C，且线段平移得到线段，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D坐标为(0+6，3+2)，即 (6，5) 。
故答案为：D
【分析】本题先根据直角三角形锐角互余以及平角的定义，推出，然后结合AA证明得出，从而推出，结合条件计算出BE=6、EC=2，再根据平移的性质以及点的坐标计算即可得出D点的坐标．
8．如图，是线段上一动点，，，，，，点，分别是，的中点，随着点的运动，下列说法正确的是（　　）
A．的长随着点的位置变化而变化
B．的长保持不变，长为
C．的长保持不变，长为
D．的长保持不变，长为
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
在中，点分别是的中点，则是中位线，
∴，
∴随着点的运动，的长保持不变，长为，
故答案为：B ．
【分析】过点作于点，连接，易证四边形是矩形，利用矩形的性质可求出AE、CE的长，在中，利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形的中位线定理可求出MN的长.
9．如图，在四边形中，，，，，．动点沿路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为．设点运动的时间为（单位：），的面积为，则关于的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分段函数；解直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点P在AB边上，即0≤x≤4时，如图1，
∵AP=x，，
∴，
∴；
当点P在BC边上，即4＜x≤10时，如图2，
过点B作BM⊥AD于点M，则，
∴；
当点P在CD边上，即10＜x≤12时，如图3，
AD=，，
∴；
综上，y与x的函数关系式是：，
其对应的函数图象应为：
．
故答案为：D．
【分析】分类讨论：①当点P在AB边上，即0≤x≤4时，②当点P在BC边上，即4＜x≤10时，③当点P在CD边上，即10＜x≤12时，再分别求解即可.
10．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点，，都是“相反点”，若二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：二次函数的图象上有且只有一个“相反点”，
，
解得：，
即二次函数为，
当时，函数有最大值为，
当x=-1时，，
当时，二次函数的最小值为，
当时，代入二次函数，即：
解得：或（舍）
综上，的取值范围为
故答案为：C．
【分析】本题结合条件以及二次函数有且只有一个实数根的特点，利用待定系数法和△=b2-4ac，列式求出a和c的值，从而得出二次函数，这时结合二次函数的性质分析出，当时，函数有最大值为；而条件“ 当时，二次函数的最小值为 ”，可以先将x=-1代入，求出y=-8正好是最小值；这时将y=-8代入二次函数中，求出x的两个值后取正数，因此m的取值范围就在对称轴和x的正值之间，从而得出答案。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．据统计，2025年“五·一”假期广州接待游客近11400000人次，再创新高．数11400000用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数11400000用科学记数法表示为，
故答案为：．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数.
12．分解因式：2x2﹣8=　 　
【答案】2（x+2）（x﹣2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：2x2﹣8=2（x+2）（x﹣2）．
【分析】观察原式，找到公因式2，提出即可得出答案．
13．若一个正多边形的内角和为，则该正多边形一个外角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解；设这个正多边形的边数为n，
由题意得，，
解得，
∴这个正多边形的边数为9，
∴该正多边形一个外角的度数为，
故答案为：．
【分析】设这个正多边形的边数为n，根据多边形内角和公式建立方程，解方程可得n=9，再根据正多边形外角和即可求出答案.
14．某工厂为了提高生产效率，更新了工厂设备，现在每台机器平均每天比原来多生产25件产品，若该工厂的机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件，求原来每台机器平均每天生产多少件产品？设原来每台机器每天生产件产品，根据题意可列方程为　 　．
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来每台机器每天生产件产品，则现在每台机器平均每天生产件产品，
根据条件列式，
故答案为：
【分析】原来生产2000件，需要台机器；现在生产3000件，需要台机器，而“机器台数不变”，因此列出分式方程，从而得出答案。
15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴于点C，则周长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意，可设点P的坐标为
∴周长为
则求周长的最小值只要求出求的最小值即可，
如图，过点O作
则的最小值为，即此时点P与点D重合，
由直线的解析式得，
当时，，
当时，，解得，
∵一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴，则
∴是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，，
解得，
则周长的最小值为，
故答案为：．
【分析】设点P的坐标为，则，再根据三角形周长可得求周长的最小值只要求出求的最小值即可，过点O作，则的最小值为，即此时点P与点D重合，根据坐标轴上点的坐标特征可得，则，再根据等腰直角三角形性质可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得，即可求出答案.
16．如图，在中，，点D是边上一动点（不与B、C重合），，交线段于点E，且．
（1）若，则的长度是　 　；（2）线段的取值范围是　 　．
【答案】；
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）作于，如图，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，即，
，
而，
，
，即，
，
当时，；
（2），
故当时，最大，最大值为6.4，
当时，，
点D是边上一动点（不与B、C重合），
．
故答案为：，．
【分析】（1）作于，根据边之间的关系可得，再根据余弦定义可得BG=8，则，设，则，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，当时，，即可求出答案；
（2）由（1）可得，结合二次函数性质可得故当时，最大，最大值为6.4，当时，，即可求出答案.
三、解答题
17．解方程组：
【答案】解：
得：，解得，
把代入①得：，解得，
∴原方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
18．如图，点在直线上，，且，求证：．
【答案】证明：∵点在直线上，，
∴，
即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据边之间的关系可得，再根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
19．已知．
（1）化简；
（2）若，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：∵，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，
∴，
∴，
∴．
∴的值为．
【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；菱形的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）根据单项式乘多项式，完全平方公式去括号，再合并同类项化简即可求出答案.
（2）根据菱形面积可得，再整体代入代数式即可求出答案.
（1）解：
；
（2）∵，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为，
∴，
∴，
∴．
∴的值为．
20．新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是________名；
（2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是________，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为____；
（4）某班有4名优秀的同学（分别记为E，F，G，H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率．
【答案】（1）40；
（2）54°，
∵C级频数为：40－6－12－8＝14（人），据此补条形图；
（3）75；
（4）画树状图得
∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，
∴选中小明的概率为＝
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）∵条形统计图知B级的频数为12，扇形统计图中B级的百分比为30%，
∴12÷30%＝40（名）；
故答案为：40
（2）∵A组的频数为6，
∴A级的扇形圆心角α的度数为：×360°＝54°．
故答案为：54°
（3）该校八年级学生中成绩为优秀的有：
故答案为：75
【分析】（1）根据条形统计图得到B级12名，扇形统计图知B级占比30%，进而相除即可得到总人数；
（2）根据题意计算A级所占百分比，进而乘以360°即可求解；
（3）根据样本估计总体的知识用A级所占百分比乘以全校总人数即可求解；
（4）先根据题意画出树状图，进而得到共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况，再根据等可能事件的概率即可求解。
21．如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与通电时间（）成反比例关系.当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示.
（1）请求出一次函数与反比例函数表达式；
（2）求在一个加热周期内水温不低于的时间范围？
【答案】（1）开机加热时每分钟上升，
水温从加热到，所需时间为，
设水温上升过程中，与的函数关系式为，
由题意得：，
解得，
所以水温上升过程中，与的函数关系式为，
设水温下降过程中，与的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
水温下降过程中，与的函数关系式是；
（2）在加热过程中，水温为时，，
解得：，
在降温过程中，水温为时，，
解得：，
，
一个加热周期内水温不低于的时间为．
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意运用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据题意分别求在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，进而即可求解。
22．无人机在实际生活中应用越来越广泛．如图所示，某校数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点处，测得地面点的俯角，测得楼顶点处的俯角为，点到点的距离为80米，已知点与大楼的距离为70米（点，，，在同一平面内）．
（1）填空：_____度，_____度；
（2）求此时无人机距离地面的高度；
（3）求大楼的高度．（结果保留根号）
【答案】（1）90，120
（2）解：如图，
∵米，，
∴（米），
即此时无人机距离地面的高度米；
（3）解：如图
∵米，米，，
∴（米），
∴米，
由（1）可得：四边形为矩形，
∴米，，
∴（米），
∴（米），
∴大楼的高度为米．
【知识点】矩形的判定与性质；已知正弦值求边长；已知余弦值求边长；已知正切值求边长；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
如图，作于，于，
∴，
∵，
∴EF∥CQ，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴；
故答案为：（1）90，120；
【分析】（1）根据平角的定义直接列式计算即可求出，然后做辅助线得到EF∥CQ，此时利用“两直线平行、内错角相等”得到，然后利用矩形的判断得出四边形为矩形，从而得出，最后结合图形列式，代入计算即可；
（2）结合图中信息，放到Rt△PHA中，结合条件米，，最后利用三角函数列式，代入计算即可得出答案；
（3）利用三角函数求出米，从而结合矩形的性质得出米，再利用三角函数求出=米，最后再次利用矩形的性质以及线段的和差列式，代入计算即可．
23．如图，已知在中，．
（1）已知点在边上，请用尺规作图作出：使经过点，且与相切于点，与的另一个交点为点（保留作图痕迹，不写做法）；
（2）若，若，求劣弧与线段，所围成的图形的面积；（结果保留根号）
（3）若，，求的半径．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图，连接，
是的切线，
，
，，
在中，．，
．
∴劣弧与线段，所围成的图形的面积为；
（3）解：设的半径为，
∵．
∴，
∴是的切线，
∵是的切线，
∴，，
∴，
，
．
，，．
，，
．
．
．
，
．
解得或（不合题意，舍去）．
的半径为．
【知识点】勾股定理；切线的判定；解直角三角形；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据作图-角的平分线，作的角平分线交于点，以为圆心，为半径作圆交于点即可求解；
（2）连接，根据切线的性质得到，进而根据正切函数得到从而即可求解；
（3）设的半径为，根据题意解直角三角形得到，根据相似三角形的判定与性质证明得到，从而即可得到，再根据勾股定理即可求解。
24．如图，在菱形中，，，点E为线段上一个动点，边关于对称的线段为，连接．
（1）当平分时，的度数为　 　．
（2）延长，交射线于点G，当时，求的长．
（3）连接，点H为线段上一动点（不与点A，C重合），且，求的最小值．
【答案】（1）
（2）解：∵菱形，
∴，，
∴，
如图：过E作交其延长上点H，延长交于M
设，连接
由轴对称的性质可得：，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∵
∴，即
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
（3）解：如图：过B作，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
如图：过B作交延长线于K，连接，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
当D、E、K三点不共线时，，
当D、E、K三点共线时，，
∴，即，
∴的最小值为8．
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；胡不归模型
【解析】【解答】（1）解：∵边关于对称的线段为，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
【分析】（1）根据对称性质可得，根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，，根据补角可得∠ABC，过E作交其延长上点H，延长交于M，设，连接，由轴对称的性质可得：，，，根据角之间的关系可得∠DAF，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ADF，根据直线平行性质可得，，根据角之间的关系可得，根据含30°角的直角三角形性质可得BH，根据勾股定理可得HE，AE，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得EG，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）过B作，根据菱形性质可得，，根据含30°角的直角三角形性质可得BG，根据勾股定理可得CG，再根据边之间的关系可得AC，过B作交延长线于K，连接，则，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵边关于对称的线段为，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
（2）解：∵菱形，
∴，，
∴，
如图：过E作交其延长上点H，延长交于M
设，连接
由轴对称的性质可得：，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∵
∴，即
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
（3）解：如图：过B作，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
如图：过B作交延长线于K，连接，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
当D、E、K三点不共线时，，
当D、E、K三点共线时，，
∴，即，
∴的最小值为8．
25．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点B在x轴正半轴），与y轴交于点C，连接，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D在点B，C之间的抛物线上运动（不与点B，C重合），连接交于点E，连接．记的面积分别为，求的最大值；
（3）已知抛物线的顶点的为G，过点G的直线l与抛物线的另一个交点为P，直线l与直线：交于点F，过点F作的垂线，交抛物线于点Q，过的中点M作于点N．求证：．
【答案】（1）解：∵抛物线，
∴当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
将，代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：过点作于点，点作于点，如图：
的面积为，，
的面积为，，
∴，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则直线的解析式为，
设，则直线的解析式为，
即，
整理得：，
则，
∵，
故当时，有最大值为，
即的最大值是．
（3）证明：∵，
∴顶点；
连接和，过点作与点，如图：
设直线的解析式为：，将代入求得：，
故直线的解析式为：；
∵直线与直线：交于点F，
∴将点的纵坐标代入，
得：，
解得：，
故，
则点的横坐标，故，
∴；
∵直线与抛物线交于，两点，
则，
整理得：，
故，
∵，
∴，
即点的横坐标，故，
∴；
∴，
，
∵，为的中点，
∴，
即，
∵，
∴；
在中，，
在中，，
即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故，
即为直角三角形，
又∵为的中点，
∴是斜边上的中线，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征可得，根据两点间距离可得，根据等腰直角三角形性质可得，根据点的坐标可得，，根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点作于点，点作于点，根据三角形面积可得，设直线的解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线的解析式为，设，则直线的解析式为，设，则直线的解析式为，根据边之间的关系可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）将解析式转换为顶点式可得顶点，连接和，过点作与点，设直线的解析式为：，将代入可得直线的解析式为：；将点的纵坐标代入，可得，根据点的坐标可得，联立直线与抛物线解析式可得，根据两点间距离可得PH，QF，根据平行线分线段成比例定理可得，即，再根据正切定义可得，根据角之间的关系可得，即为直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
（1）解：∵抛物线，
∴当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
将，代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：过点作于点，点作于点，如图：
的面积为，，
的面积为，，
∴，
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则直线的解析式为，
设，则直线的解析式为，
即，
整理得：，
则，
∵，
故当时，有最大值为，
即的最大值是．
（3）解：∵，
∴顶点；
连接和，过点作与点，如图：
设直线的解析式为：，将代入求得：，
故直线的解析式为：；
∵直线与直线：交于点F，
∴将点的纵坐标代入，
得：，
解得：，
故，
则点的横坐标，故，
∴；
∵直线与抛物线交于，两点，
则，
整理得：，
故，
∵，
∴，
即点的横坐标，故，
∴；
∴，
，
∵，为的中点，
∴，
即，
∵，
∴；
在中，，
在中，，
即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故，
即为直角三角形，
又∵为的中点，
∴是斜边上的中线，
∴．
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