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广东省广州一中2025年中考数学三模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，
∵BC=4，
∴DE=2，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
2．一组数据2，4，3，5，2的中位数是（　　）
A．5 B．35 C．3 D．25
【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】把这组数据从小到大的顺序排列：2，2，3，4，5，处于最中间位置的数是3，
∴这组数据的中位数是3，
故答案为：C．
【分析】把这组数据从小到大的顺序排列，取最中间位置的数就是中位数．
3．如图，已知，为角平分线，下列说法错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；三角形的外角和
【解析】【解答】解：∵l1∥AB，∴∠2=∠4，∵AC为角平分线，∴∠1=∠2，∴，A正确；
∵∠5=∠4+∠1，而∠4＞0，∴，B错误；
∵∠3=∠4，∠1=∠2，∴，C正确；
∵，∠3=∠4，∴，D正确。
故答案为：B．
【分析】本题先根据“两直线平行、内错角相等”得出∠2=∠4，根据角平分线的定义得到∠1=∠2，从而推出，即可判断A选项；结合三角形外角和得出∠5=∠4+∠1，从而判断B选项；结合对顶角相等以及角平分线的定义，综合判断C选项；结合A的判断结果以及对顶角相等，即可判断D选项。
4．下列哪个图形是正方体的展开图（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：根据正方体展开图的特征，选项A、C、D不是正方体展开图；选项B是正方体展开图．
故答案为：B．
【分析】根据正方体展开图的11种特征，分四种类型，即：第一种：“1-4-1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2-2-2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3-3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1-3-2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．据此分析可得，选项A、C、D不是正方体展开图；选项B是正方体展开图的“1-4-1”型．
5．为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∴一共有12种等可能的情况，抽取到甲的有6种，
∴P（抽到甲）= ．
故答案为：A．
【分析】先画树状图求出一共有12种等可能的情况，抽取到甲的有6种， 再求概率即可。
6．把函数 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平移的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】把函数 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
，
故答案为：C．
【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
7．如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（　　）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，令与的交点为，
为半径，为弦，且，
，
，
在中，，，，
，即的半径为4，
，
点在外，
故答案为：C．
【分析】本题先根据垂径定理可得，然后结合图形和圆周角定理得，放到中，结合正弦值列式求出OA的长度，即可得出的半径，最后和5比较大小即可。
8．下列说法错误的是（　　）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，故B选项不符合题意；
C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，故C选项符合题意；
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用菱形，矩形，正方形的判定，圆周角对每个选项一一判断即可。
9．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，
圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5，
扇形的弧长为，
圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，
，
，
圆锥的高为，
故选：D．
【分析】设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式，结合圆锥特征可得r=1，再根据勾股定理即可求出答案.
10．设O为坐标原点，点A、B为抛物线 上的两个动点，且 ．连接点A、B，过O作 于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D，
故答案为：A．
【分析】本题属于隐形圆，先证出点C在以点E为圆心，OD长为半径的圆上，再结合图象可知，当点H和点E重合时，CH最大，也就是半径。
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．“染色体”是人类“生命之书”中最长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体中共有223000000个碱基对.223000000用科学记数法可表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，本题先确定=2.23，然后计算确定=8，从而用科学记数法表示即可。
12．已知二次函数，当时，随的增大而　 　（填“增大”或“减小”）.
【答案】增大
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：二次函数，开口向上，对称轴为x=0，
当时，随的增大而增大，
故答案为：增大．
【分析】本题根据二次函数的二次项系数及对称轴，判断函数的增减性，即x＞0时，随的增大而增大；x＜0时，随的增大而减小。从而得到答案．
13．如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则　 　°．
【答案】35
【知识点】圆周角定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵是的直径，C为圆上一点，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为：35．
【分析】本题先根据圆周角性质得出、，然后结合直角三角形锐角互余得出，最后依据角平分线的定义即可得出答案。
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC=　 　．
【答案】9
【知识点】三角形内角和定理；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A，
在Rt△ACB中，
∵tanA=tan∠BCD==，
∴BC=AC=×12=9．
故答案为：9．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，则∠BCD=∠A，再根据正切定义即可求出答案.
15．如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD=21，求k=　 　．
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过A作AE⊥x轴于点E，如图
∵Rt△BOC中，BC⊥OC，
∴AE∥BC，
∴△OAE∽△OBC，且，
∵，
∴，
∵A点和D点都在双曲线y=上，且AE⊥x轴，DC⊥OC，
∴，
∴
∴，
解得k=8．
故答案为：8.
【分析】本题先做辅助线，利用平行线判定△OAE∽△OBC，从而得出，结合条件以及图中信息，即可得出，然后利用反比例函数系数k的几何意义，得出，并进一步推出，此时将代入中，即可求出k的值。
16．在 中， ．点D为平面上一个动点， ，则线段 长度的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】如图所示
由题意可知：∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小。
∵∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AO=BO=sin45°×AB=。
∵∠OBA=45°，∠ABC=90°，∴∠OBC=45°，作OE⊥BC于点E，∴△OBE为等腰直角三角形。∴OE=BE=sin45°×OB=1，∴CE=BC-BE=3-1=2，在Rt△OCD中，OC=，当O、D、C三点共线时，CD最小为CD=OC-OD=。
故答案为：
【分析】本题属于隐形圆中的一种题型，先画出草图，再利用圆周角和草图可以将题目转换成圆外一点到圆上的最短距离求解即可。
三、计算题：本大题共1小题，共4分．
17．解方程：
【答案】解：
（x－4）（x－2）＝0
x－4＝0 或x－2＝0
∴x1＝4，x2＝2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
四、解答题：本题共8小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．如图，点E，F在AB上，.
求证：.
【答案】证明：∵AE＝BF，
∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE，
在△ADF和△BCE中，
∴（SAS）．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】先结合图中信息以及条件AE=BF，计算得出AF＝BE，然后利用SAS即可证明两个三角形全等．
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的图形；
（2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所作，
（2）即为所作，
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】（2）解：如图
∵位似比为，且在y轴的左侧，
∴得到点，
即
顺次连接点即可得，且；
【分析】（1）利用点关于y轴对称的性质，即“纵坐标不变、横坐标互为相反数”，得出坐标，顺次连接点即可得出所求图形；
（2）利用关于原点位似图形的性质先分别求出的坐标，最后顺次连接点即可得出所求图形．
（1）如图，即为所作，
利用点关于y轴对称的性质得出坐标，
顺次连接点即可得；
（2）如图，即为所作，
∵位似比为，
又要求在y轴的左侧，
∴得到点，
顺次连接点即可得．
20．已知代数式．
（1）化简；
（2）原代数式的值能等于1吗？为什么？
【答案】（1）解：
；
（2）解：，
，
解得，
当时，，原分式无意义，
原代数式的值能不能等于．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】(1) 先对括号内的分式进行通分化简，再将除法转化为乘法并约分，得到化简结果
(2) 假设 列方程求解，发现解 会使原分式分母为0，因此原代数式的值不能等于1。
（1）解：
；
（2）解：，
，
解得，
当时，，原分式无意义，
原代数式的值能不能等于．
21．重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．
（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 ▲ 度，并补全条形统计图；
（2）经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．
【答案】（1）126；
（2）解：假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文．
画树状图法：
共有12种可能的结果，七年级特等奖作文被选登在校刊上的结果有6种，
∴P（七年级特等奖作文被选登在校刊上）= ．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）20÷20%=100篇，
九年级参赛作文篇数对应的圆心角=360°×=126°；
100-20-35=45篇，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：（1）126；
【分析】（1）结合两个统计图发现，七年级的20篇参赛作文对应的占比为20%，因此列式计算得出三个年级参赛作文一共有100篇，此时可以列式求出九年级参赛作文篇数对应的圆心角以及八年级对应的参赛作文数量，最后补全条形统计图即可；
（2）画出树状图，一共有（A，B）、（A，C）、（A，D）、（B，A）、（B，C）、（B，D）、（C，A）、（C，B）、（C，D）、（D，A）、（D，B）、（D，C），共12种等可能的结果，而其中七年级特等奖作文被选登在校刊上的结果有（A，B）、（A，C）、（A，D）、（B，A）、（C，A）、（D，A），共6种，次数李丽媛概率公式列式计算即可。
22．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【答案】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元．
根据题意列式，
解得：，
经检验是方程的解．
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
（2）结合条件，当时，每天可售100盒．
当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，每盒的利润为()，
∴=，
当时，y取最大值=-2×25+1800=1750元．
∴，最大利润为1750元．
即y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元．
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）商家用8000元购进的猪肉粽，需要盒，而用6000元购进的豆沙粽，需要盒，根据条件“某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同”，即可列方程，求解后进行检验，并进一步计算即可；
（2）根据条件“ 猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒 ”，得出当时，每天可售100盒，然后假设猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，从而列出二次函数关系式并化简得到y，然后配方后得出当时，y取最大1750元，从而得出答案。
23．如图，在中，是钝角，以上一点O为圆心，为弦作．
（1）在图中作出交于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若．
①求证：是的切线；
②，，求弦的长．
【答案】（1）解：如图，，点D即为所求；
（2）①证明：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
②解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，则有，
∴（负根已经舍去），
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作交于点D；
（2）①根据题意先求出，再求出，最后根据切线的判定方法证明求解即可；
②根据相似三角形的判定方法求出，再利用锐角三角函数求出，最后利用勾股定理计算求解即可.
（1）解：如图，，点D即为所求；
（2）①证明：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
②解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，则有，
∴（负根已经舍去），
∴．
24．已知抛物线G：有最低点．
（1）求二次函数的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图像交于点P，结合图像，求点P的纵坐标的取值范围.
【答案】解：（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，
∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3.
（2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，
∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3，
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3），
∴x=m+1，y=-m-3，
∴x+y=m+1-m-3=-2.
即x+y=-2，变形得y=-x-2.
∵m＞0，m=x-1.
∴x-1＞0，
∴x＞1，
∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x＞1）.
（3）如图，
函数H：y=-x-2（x＞1）图象为射线，
x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4，
∴函数H的图象恒过点B（2，-4），
∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，
x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3.
∴抛物线G恒过点A（2，-3），
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA，
∴点P纵坐标的取值范围为-4＜yP＜-3.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）先利用配方法将二次函数的一般式换为顶点式，再求解即可；
（2）先求出平移后得到的抛物线G1的顶点式，从而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，-m-3），再利用x=m+1，y=-m-3，x+y=-2消去m，得到y与x的函数关系式，再结合m＞0，求得x的取值范围即可；
（3）先求出抛物线恒过点B（2，-4），函数H图象恒过点A（2，-3），再结合图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间，从而得解.
25．如图，等边中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），关于DE的轴对称图形为.
（1）当点F在AC上时，求证：DF//AB；
（2）设的面积为S1，的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．
【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，
∴∠DFC=∠C=60°，
∴∠DFC=∠A，
∴DF∥AB；
（2）存在，如图，
过点D作DM⊥AB交AB于点M，
∵AB=BC=6，BD=4，
∴CD=2，
∴DF=2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，
∴当点F在DM上时，S△ABF最小，
∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°，
∴MD=2 ，
∴S△ABF的最小值= ，
∴S最大值=.
（3）如图，过点作于点G，过点E作EH⊥CD于点H，
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，
∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°，
∵GD⊥EF，∠EFD=60°，
∴FG=1，DG=FG=，
∵BD2=BG2+DG2，
∴16=3+（BF+1）2，
∴BF=-1，
∴BG=，
∵EH⊥BC，∠C=60°，
∴CH=，EH=HC=，
∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°，
∴△BGD∽△BHE，
∴，
∴，
∴EC=
∴AE=AC-EC=
【知识点】平行线的判定；三角形的面积；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得∠A=∠B=∠C=60°，根据折叠性质可得DF=DC，且点F在AC上，根据等边对等角可得∠DFC=∠C=60°，则∠DFC=∠A，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，根据边之间的关系可得CD，DF，当点F在DM上时，S△ABF最小，根据勾股定理可得MD，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）过点作于点G，过点E作EH⊥CD于点H，根据对称性质可得DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°，根据勾股定理可得FG=1，DG=，再根据勾股定理建立方程，解方程可得BF，再根据含30°角的直角三角形性质可得CH，EH，再根据相似三角形判定定理可得△BGD∽△BHE，则，代值计算可得EC=，再根据边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广东省广州一中2025年中考数学三模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（　　）
A． B． C．1 D．2
2．一组数据2，4，3，5，2的中位数是（　　）
A．5 B．35 C．3 D．25
3．如图，已知，为角平分线，下列说法错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列哪个图形是正方体的展开图（　　）
A． B．
C． D．
5．为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．把函数 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（　　）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
8．下列说法错误的是（　　）
A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
9．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的高是（　　）
A． B． C． D．
10．设O为坐标原点，点A、B为抛物线 上的两个动点，且 ．连接点A、B，过O作 于点C，则点C到y轴距离的最大值（　　）
A． B． C． D．1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．“染色体”是人类“生命之书”中最长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体中共有223000000个碱基对.223000000用科学记数法可表示为　 　．
12．已知二次函数，当时，随的增大而　 　（填“增大”或“减小”）.
13．如图，在中，为直径，C为圆上一点，的角平分线与交于点D，若，则　 　°．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC=　 　．
15．如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD=21，求k=　 　．
16．在 中， ．点D为平面上一个动点， ，则线段 长度的最小值为　 　．
三、计算题：本大题共1小题，共4分．
17．解方程：
四、解答题：本题共8小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．如图，点E，F在AB上，.
求证：.
19．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）画出关于y轴对称的图形；
（2）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标．
20．已知代数式．
（1）化简；
（2）原代数式的值能等于1吗？为什么？
21．重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．
（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是 ▲ 度，并补全条形统计图；
（2）经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．
22．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
23．如图，在中，是钝角，以上一点O为圆心，为弦作．
（1）在图中作出交于点D（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若．
①求证：是的切线；
②，，求弦的长．
24．已知抛物线G：有最低点．
（1）求二次函数的最小值（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图像交于点P，结合图像，求点P的纵坐标的取值范围.
25．如图，等边中，AB=6，点D在BC上，BD=4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），关于DE的轴对称图形为.
（1）当点F在AC上时，求证：DF//AB；
（2）设的面积为S1，的面积为S2，记S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴，
∵BC=4，
∴DE=2，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】中位数
【解析】【解答】把这组数据从小到大的顺序排列：2，2，3，4，5，处于最中间位置的数是3，
∴这组数据的中位数是3，
故答案为：C．
【分析】把这组数据从小到大的顺序排列，取最中间位置的数就是中位数．
3．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；三角形的外角和
【解析】【解答】解：∵l1∥AB，∴∠2=∠4，∵AC为角平分线，∴∠1=∠2，∴，A正确；
∵∠5=∠4+∠1，而∠4＞0，∴，B错误；
∵∠3=∠4，∠1=∠2，∴，C正确；
∵，∠3=∠4，∴，D正确。
故答案为：B．
【分析】本题先根据“两直线平行、内错角相等”得出∠2=∠4，根据角平分线的定义得到∠1=∠2，从而推出，即可判断A选项；结合三角形外角和得出∠5=∠4+∠1，从而判断B选项；结合对顶角相等以及角平分线的定义，综合判断C选项；结合A的判断结果以及对顶角相等，即可判断D选项。
4．【答案】B
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：根据正方体展开图的特征，选项A、C、D不是正方体展开图；选项B是正方体展开图．
故答案为：B．
【分析】根据正方体展开图的11种特征，分四种类型，即：第一种：“1-4-1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2-2-2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3-3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1-3-2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形．据此分析可得，选项A、C、D不是正方体展开图；选项B是正方体展开图的“1-4-1”型．
5．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图得：
∴一共有12种等可能的情况，抽取到甲的有6种，
∴P（抽到甲）= ．
故答案为：A．
【分析】先画树状图求出一共有12种等可能的情况，抽取到甲的有6种， 再求概率即可。
6．【答案】C
【知识点】平移的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】把函数 的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
，
故答案为：C．
【分析】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
7．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，令与的交点为，
为半径，为弦，且，
，
，
在中，，，，
，即的半径为4，
，
点在外，
故答案为：C．
【分析】本题先根据垂径定理可得，然后结合图形和圆周角定理得，放到中，结合正弦值列式求出OA的长度，即可得出的半径，最后和5比较大小即可。
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；圆心角、弧、弦的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故A选项不符合题意；
B．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等，故B选项不符合题意；
C．对角线相等的四边形是不一定是矩形，故C选项符合题意；
D．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故D选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用菱形，矩形，正方形的判定，圆周角对每个选项一一判断即可。
9．【答案】D
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，
圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5，
扇形的弧长为，
圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，
，
，
圆锥的高为，
故选：D．
【分析】设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式，结合圆锥特征可得r=1，再根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】圆-动点问题
【解析】【解答】解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D，
故答案为：A．
【分析】本题属于隐形圆，先证出点C在以点E为圆心，OD长为半径的圆上，再结合图象可知，当点H和点E重合时，CH最大，也就是半径。
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，本题先确定=2.23，然后计算确定=8，从而用科学记数法表示即可。
12．【答案】增大
【知识点】二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：二次函数，开口向上，对称轴为x=0，
当时，随的增大而增大，
故答案为：增大．
【分析】本题根据二次函数的二次项系数及对称轴，判断函数的增减性，即x＞0时，随的增大而增大；x＜0时，随的增大而减小。从而得到答案．
13．【答案】35
【知识点】圆周角定理；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵是的直径，C为圆上一点，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为：35．
【分析】本题先根据圆周角性质得出、，然后结合直角三角形锐角互余得出，最后依据角平分线的定义即可得出答案。
14．【答案】9
【知识点】三角形内角和定理；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A，
在Rt△ACB中，
∵tanA=tan∠BCD==，
∴BC=AC=×12=9．
故答案为：9．
【分析】根据三角形内角和定理可得∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，则∠BCD=∠A，再根据正切定义即可求出答案.
15．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过A作AE⊥x轴于点E，如图
∵Rt△BOC中，BC⊥OC，
∴AE∥BC，
∴△OAE∽△OBC，且，
∵，
∴，
∵A点和D点都在双曲线y=上，且AE⊥x轴，DC⊥OC，
∴，
∴
∴，
解得k=8．
故答案为：8.
【分析】本题先做辅助线，利用平行线判定△OAE∽△OBC，从而得出，结合条件以及图中信息，即可得出，然后利用反比例函数系数k的几何意义，得出，并进一步推出，此时将代入中，即可求出k的值。
16．【答案】
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】如图所示
由题意可知：∠ADB=45°，AB=2，作△ABD的外接圆O，连接OC，当O、D、C三点共线时，CD的值最小。
∵∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∴△AOB为等腰直角三角形，∴AO=BO=sin45°×AB=。
∵∠OBA=45°，∠ABC=90°，∴∠OBC=45°，作OE⊥BC于点E，∴△OBE为等腰直角三角形。∴OE=BE=sin45°×OB=1，∴CE=BC-BE=3-1=2，在Rt△OCD中，OC=，当O、D、C三点共线时，CD最小为CD=OC-OD=。
故答案为：
【分析】本题属于隐形圆中的一种题型，先画出草图，再利用圆周角和草图可以将题目转换成圆外一点到圆上的最短距离求解即可。
17．【答案】解：
（x－4）（x－2）＝0
x－4＝0 或x－2＝0
∴x1＝4，x2＝2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用十字相乘法求解一元二次方程即可。
18．【答案】证明：∵AE＝BF，
∴AE＋EF＝BF＋EF，即AF＝BE，
在△ADF和△BCE中，
∴（SAS）．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】先结合图中信息以及条件AE=BF，计算得出AF＝BE，然后利用SAS即可证明两个三角形全等．
19．【答案】（1）解：如图，即为所作，
（2）即为所作，
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】（2）解：如图
∵位似比为，且在y轴的左侧，
∴得到点，
即
顺次连接点即可得，且；
【分析】（1）利用点关于y轴对称的性质，即“纵坐标不变、横坐标互为相反数”，得出坐标，顺次连接点即可得出所求图形；
（2）利用关于原点位似图形的性质先分别求出的坐标，最后顺次连接点即可得出所求图形．
（1）如图，即为所作，
利用点关于y轴对称的性质得出坐标，
顺次连接点即可得；
（2）如图，即为所作，
∵位似比为，
又要求在y轴的左侧，
∴得到点，
顺次连接点即可得．
20．【答案】（1）解：
；
（2）解：，
，
解得，
当时，，原分式无意义，
原代数式的值能不能等于．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】(1) 先对括号内的分式进行通分化简，再将除法转化为乘法并约分，得到化简结果
(2) 假设 列方程求解，发现解 会使原分式分母为0，因此原代数式的值不能等于1。
（1）解：
；
（2）解：，
，
解得，
当时，，原分式无意义，
原代数式的值能不能等于．
21．【答案】（1）126；
（2）解：假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D，其中A代表七年级获奖的特等奖作文．
画树状图法：
共有12种可能的结果，七年级特等奖作文被选登在校刊上的结果有6种，
∴P（七年级特等奖作文被选登在校刊上）= ．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）20÷20%=100篇，
九年级参赛作文篇数对应的圆心角=360°×=126°；
100-20-35=45篇，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：（1）126；
【分析】（1）结合两个统计图发现，七年级的20篇参赛作文对应的占比为20%，因此列式计算得出三个年级参赛作文一共有100篇，此时可以列式求出九年级参赛作文篇数对应的圆心角以及八年级对应的参赛作文数量，最后补全条形统计图即可；
（2）画出树状图，一共有（A，B）、（A，C）、（A，D）、（B，A）、（B，C）、（B，D）、（C，A）、（C，B）、（C，D）、（D，A）、（D，B）、（D，C），共12种等可能的结果，而其中七年级特等奖作文被选登在校刊上的结果有（A，B）、（A，C）、（A，D）、（B，A）、（C，A）、（D，A），共6种，次数李丽媛概率公式列式计算即可。
22．【答案】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元．
根据题意列式，
解得：，
经检验是方程的解．
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
（2）结合条件，当时，每天可售100盒．
当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，每盒的利润为()，
∴=，
当时，y取最大值=-2×25+1800=1750元．
∴，最大利润为1750元．
即y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元．
【知识点】分式方程的实际应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）商家用8000元购进的猪肉粽，需要盒，而用6000元购进的豆沙粽，需要盒，根据条件“某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同”，即可列方程，求解后进行检验，并进一步计算即可；
（2）根据条件“ 猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒 ”，得出当时，每天可售100盒，然后假设猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，从而列出二次函数关系式并化简得到y，然后配方后得出当时，y取最大1750元，从而得出答案。
23．【答案】（1）解：如图，，点D即为所求；
（2）①证明：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
②解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，则有，
∴（负根已经舍去），
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作交于点D；
（2）①根据题意先求出，再求出，最后根据切线的判定方法证明求解即可；
②根据相似三角形的判定方法求出，再利用锐角三角函数求出，最后利用勾股定理计算求解即可.
（1）解：如图，，点D即为所求；
（2）①证明：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
②解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，则有，
∴（负根已经舍去），
∴．
24．【答案】解：（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，
∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3.
（2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，
∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3，
∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3），
∴x=m+1，y=-m-3，
∴x+y=m+1-m-3=-2.
即x+y=-2，变形得y=-x-2.
∵m＞0，m=x-1.
∴x-1＞0，
∴x＞1，
∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x＞1）.
（3）如图，
函数H：y=-x-2（x＞1）图象为射线，
x=1时，y=-1-2=-3；x=2时，y=-2-2=-4，
∴函数H的图象恒过点B（2，-4），
∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，
x=1时，y=-m-3；x=2时，y=m-m-3=-3.
∴抛物线G恒过点A（2，-3），
由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA，
∴点P纵坐标的取值范围为-4＜yP＜-3.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数的最值；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）先利用配方法将二次函数的一般式换为顶点式，再求解即可；
（2）先求出平移后得到的抛物线G1的顶点式，从而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，-m-3），再利用x=m+1，y=-m-3，x+y=-2消去m，得到y与x的函数关系式，再结合m＞0，求得x的取值范围即可；
（3）先求出抛物线恒过点B（2，-4），函数H图象恒过点A（2，-3），再结合图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间，从而得解.
25．【答案】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠可知：DF=DC，且点F在AC上，
∴∠DFC=∠C=60°，
∴∠DFC=∠A，
∴DF∥AB；
（2）存在，如图，
过点D作DM⊥AB交AB于点M，
∵AB=BC=6，BD=4，
∴CD=2，
∴DF=2，
∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，
∴当点F在DM上时，S△ABF最小，
∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°，
∴MD=2 ，
∴S△ABF的最小值= ，
∴S最大值=.
（3）如图，过点作于点G，过点E作EH⊥CD于点H，
∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE，
∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°，
∵GD⊥EF，∠EFD=60°，
∴FG=1，DG=FG=，
∵BD2=BG2+DG2，
∴16=3+（BF+1）2，
∴BF=-1，
∴BG=，
∵EH⊥BC，∠C=60°，
∴CH=，EH=HC=，
∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°，
∴△BGD∽△BHE，
∴，
∴，
∴EC=
∴AE=AC-EC=
【知识点】平行线的判定；三角形的面积；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得∠A=∠B=∠C=60°，根据折叠性质可得DF=DC，且点F在AC上，根据等边对等角可得∠DFC=∠C=60°，则∠DFC=∠A，再根据直线平行判定定理即可求出答案.
（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，根据边之间的关系可得CD，DF，当点F在DM上时，S△ABF最小，根据勾股定理可得MD，再根据三角形面积即可求出答案.
（3）过点作于点G，过点E作EH⊥CD于点H，根据对称性质可得DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°，根据勾股定理可得FG=1，DG=，再根据勾股定理建立方程，解方程可得BF，再根据含30°角的直角三角形性质可得CH，EH，再根据相似三角形判定定理可得△BGD∽△BHE，则，代值计算可得EC=，再根据边之间的关系即可求出答案.
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