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广东省广州市南武中学2024-2025学年下学期七年级数学期末模拟卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）．
A． B．
C． D．
2．下列各选项中，属于无理数的是（　　）
A．3.14 B． C． D．
3．若，则下列不等式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列调查中，调查方式选择合理的是（　　）
A．为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择全面调查.
B．为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查.
C．为了了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查.
D．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查.
5．若点在第二象限，则点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．北京2024年二十四节气日的白昼时长如图：
从图中可知下列表述是错误的是（　　）
A．白昼时长全年呈山形分布，以夏至为顶点
B．夏至白昼时长最长
C．从小寒至夏至，白昼时长持续减少
D．冬至白昼时长最短
7．我国明代《算法统宗》书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
8．小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800千克，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据以下信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总路程皆为20千米，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（　　）
每人使用各种交通工具，每移动1千米产生的碳排放量：
●自行车：0千克 ●公交车：千克 ●机车：千克 ●汽车：千克
A．305天 B．306天 C．307天 D．308天
9．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（-1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，……，依此规律跳动下去，点P第200次跳动至点P200的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为　 　．
12．已知，满足方程组，则的值为　 　．
13．若关于的方程：，则　 　．
14．在平面直角坐标系中，已知点，是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标是　 　．
15．如图，把三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线、上，已知，则的度数为　 　（用含x的式子表示）．
16．小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么的取值范围是　 　．
三、解答题（共9题，102分）
17．计算．
（1）；
（2）．
18．（1）解方程组；
（2）解不等式组．
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
（1）将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，请在平面直角坐标系中画出平移后的；
（2）直接写出点的坐标为________；
（3）的面积为________；
20．某中学为了提高学生对航天知识的了解，在全校开展了主题为“弘扬航天精神”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（单位：分），整理后分为六组（A．，B．，C．，D．，E．，F．），并绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了　 　名参赛学生的成绩．在扇形图中，E组所在扇形圆心角的度数是　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）估计全校1600名学生中，知识竞赛成绩达到优秀（）的学生约多少人？
21．如图，平分交于点D，，交于点E．
（1）请说明．
（2）如果，求的度数．
22．某中学组织七年级师生参加研学实践活动（活动为期1天）．在这次活动中，学校打算与公交公司合作租车出行，公交公司提供了两种客车：第一种为可以乘坐17名乘客的小型客车，租金为200元/辆，第二种为可以乘坐20名乘客的中型客车，租金为250元/辆．学校计划租10辆客车前往．
（1）若要保证租车费用不超过2100元，请问学校有哪几种租车方案？
（2）在（1）的条件下，若七年级师生共有173人，问哪种租车方案最省钱？
23．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为．
（1）求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解；
（2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
24．阅读下面材料：
在数轴上5与所对的两点之间的距离：；
在数轴上与3所对的两点之间的距离：；
在数轴上与所对的两点之间的距离：；
在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离．
回答下列问题：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是___________；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为___________；数轴上表示数___________和___________的两点之间的距离表示为；
（2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究：
①请你借助数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，求的值；
②要使，请你求出数轴上表示点的数x的值．
25．【知识初探】王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平；
②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．
（1）通过上述的折纸过程，图2的折痕与直线的位置关系是________；
如图4，________，则与的位置关系为________．
【深入探究】
（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）；
【拓展延伸】
（3）王伟同学改变直线和点的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点，，，分别在线段，，，上），再画出和的角平分线、，、所在的直线交于点，请求出的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠1的两边不是∠2的两边的反向延长线，∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
B、∠1的两边不是∠2的两边的反向延长线，∠1与∠2是不对顶角，故此选项不符合题意；
C、∠1的两边分别是∠2的两边的反向延长线，∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
D、∠1的两边不是∠2的两边的反向延长线，∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据对顶角的概念，对选项逐个判断即可．
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.3.14是有限小数，属于有理数．
B.是开方开不尽的数为无理数．
C.，是分数形式，属于有理数．
D.，结果为整数，属于有理数．
故选：B．
【分析】根据绝对值，算术平方根，立方根化简每个选项，再根据无理数的定义，无理数包含①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个），对选项逐个判断即可．
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴选项、、不符合题意，
∵，
∴，
∴，
∴选项符合题意，
故选：．
【分析】根据不等式的基本性质，对选项逐个进行判断，即可求解．
4．【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：由题意知，A中为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择抽样调查，故不符合要求；
B中为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查，故符合要求；
C中为了了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择全面调查，故不符合要求；
D中为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择抽样调查，故不符合要求；
故答案为：B．
【分析】根据全面调查和抽样调查的适用范围对各选项判断作答即可．
5．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第二象限，
，，
，，
点一定在第三象限.
故答案为：C.
【分析】第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；第三象限的点横坐标、纵坐标都小于0.
6．【答案】C
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：A.由图得白昼时长全年呈山形分布，以夏至为顶点，表述正确，不符合题意；
B.由图得夏至白昼时长最长，表述正确，不符合题意；
C.由图得从小寒至夏至，白昼时长持续增加，表述错误，符合题意；
D.由图得冬至白昼时长最短，表述正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】理解题意，读懂折线图，再根据折线图的信息，对选项逐个进行判断，即可求解．
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设竿长尺，绳索长尺，
由题意可得，，
故选：．
【分析】设竿长尺，绳索长尺，根据题意，列出方程组即可．
8．【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设至少改搭公交车上下班天；
汽车每千米碳排放量为千克，公交车为千克，每千米减少（千克）；
每天上下班总路程为20千米，因此每天减少碳排放量（千克），
则：，
解得：
，为整数，
∴最小为，
即她至少要改搭公交车上下班308天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量；
故选：D．
【分析】设至少改搭公交车上下班天，根据题意，列出不等式，求解即可．
9．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为7，
∴，
∵，
∴，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为，
故选：D．
【分析】根据题意可得，正方形边长为，即，根据，可以得到，即可求解．
10．【答案】A
【知识点】点的坐标；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：经过观察可得：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第200次跳动后，纵坐标为200÷2=100；
其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第200次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．
P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1.
故点P200的横坐标为：200÷4+1=51，纵坐标为：200÷2=100，点P第200次跳动至点的坐标是(51，100).
故选A.
【分析】根据题意，找到规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第200次跳动得到的横坐标也在y轴右侧，P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到P200的横坐标．
11．【答案】
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：一个正数的两个平方根分别是与，
∴，
解得：
故答案为：．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，即可求解．
12．【答案】2
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①＋②得：5a+5b=10，
∴a+b=2，
故答案是：2．
【分析】根据二元一次方程组，将两个方程相加，得到5a+5b=10，即可求解．
13．【答案】4
【知识点】立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据立方根的定义可以得到，即可求解．
14．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：如图，当轴时，取最小值．
，
．
故答案是：．
【分析】根据垂线段最短的性质可得，当轴时，取最小值，据此求解即可．
15．【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b上，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据角的和差关系可以得到，再根据平行线的性质可以得到，即可求解．
16．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【解答】解：由得，
则，
由，，得关于的一元一次不等式组
，
解该不等式组得到的取值范围为，
则的取值范围是；
故答案为：．
【分析】根据题意可得，不等式组，从而得到，再根据题意可得，从而求解即可．
17．【答案】解：（1）原式=7-3+3
=7；
（2）原式=
=24
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先分别化简算术平方根，立方根，然后再计算；
（2）先化简绝对值，有理数的乘方，然后再计算．
18．【答案】解：（1），②-①，得：x=6，
将x=6代入①，得：6+y=5，
解得y=-1，
∴方程组的解为；
（2）解不等式2（x-1）＜x，得：x＜2，
解不等式，得：x≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜2．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法求解二元一次方程组，即可求解；
（2）根据题意，先分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，即可求解．
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）
（3）15
【知识点】点的坐标；三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）解：由图可知，点的坐标为；
故答案为：．
（3）解：如图，
．
故答案为：．
【分析】（1）根据平移方式确定的位置，然后顺次连接，即可求解；
（2）根据点的位置，确定坐标即可；
（3）根据三角形面积公式求解即可．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由图可知，点的坐标为；
故答案为：．
（3）解：如图，
．
故答案为：．
20．【答案】（1）；
（2）解：组人数为：（人），
补全直方图如图：
；
（3）解：（名）；
答：知识竞赛成绩达到优秀的学生有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（名）；
；
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意可以得到组学生人数以及所占的百分比，即可求出调查人数；再求出组所占的百分比，再乘以360度即可求出；
（2）根据总人数，确定出组人数，然后补全条形图即可；
（3）先确定出样本中成绩达到优秀（）学生的百分比，然后乘以总数，即可求解．
（1）解：（名）；
；
故答案为：，；
（2）解：组人数为：（人），
补全直方图如图：
；
（3）解：（名）；
答：知识竞赛成绩达到优秀的学生有人．
21．【答案】（1）证明：∵平分，
，
．
．
.
（2）解：∵，
∴，，
，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质和等量代换可得；
（2）先利用角的运算求出∠BDE的度数，再结合，最后求出的度数即可.
（1）证明：∵平分
，
．
．
；
（2）解：∵，
∴，，
，
∴．
22．【答案】（1）解：设租小型客车辆，则租中型客车辆．
由题意可得，
解得，
所以，
因为x取整数，所以x可取8，9，10，
所以该校有3种租车方案：租小型客车8辆，中型客车2辆；租小型客车9辆，中型客车1辆；全部租小型客车．
（2）解：设租小型客车辆，则租中型客车辆．
依题意，得，
解得，所以．
因为x为整数，
所以x可取8和9，
当时，租车费用：（元）．
当时，租车费用：（元）．
因为，
所以当租小型客车9辆，中型客车1辆时，租车费用最低．
【知识点】一元一次不等式的应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）设租小型客车辆，则租中型客车辆．根据题意，列出不等式，确定x的取值范围，即可求解；
（2）根据题意，得到不等式，确定出x的取值范围，再求出每种方案的租车费用，即可求解．
（1）解：设租小型客车辆，则租中型客车辆．
由题意可得，
解得，
所以，
因为x取整数，所以x可取8，9，10，
所以该校有3种租车方案：租小型客车8辆，中型客车2辆；租小型客车9辆，中型客车1辆；全部租小型客车．
（2）解：设租小型客车辆，则租中型客车辆．
依题意，得，
解得，所以．
因为x为整数，
所以x可取8和9，
当时，租车费用：（元）．
当时，租车费用：（元）．
因为，
所以当租小型客车9辆，中型客车1辆时，租车费用最低．
23．【答案】（1）解：方程的“变更方程”为，
②①得，
将代入①得，
解得：
方程组的解为：
（2）解：∵，
∴，
方程与它的“变更方程”组成的方程组为，解得，
∴把代入可得，即，，
∴．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【分析】（1）理解变更方程的含义，可以得到二元一次方程组，然后利用加减消元法求解即可；
（3）根据题意，可以得到方程组，得到，代入方程得到，化简代数式，再整体代入求解即可．
（1）解：方程的“变更方程”为，
②①得，
将代入①得，
解得：
方程组的解为：
（2）解：∵，
∴，
方程与它的“变更方程”组成的方程组为，解得，
∴把代入可得，即，，
∴．
24．【答案】（1）3，，x，
（2）解：①如图：
由数轴可知：当表示数x的点在-2与3之间移动时，|x-3|+|x+2|=5.
② 表示x的点不可能在表示-2和3的点之间，
当表示x的点在表示-2的点的左侧时，如图：
此时x=-3；
当表示x的点在表示3的点的右侧时，如图：
此时x=4．
故x的值为-3或4.
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：（1）数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是|（-2）-（-5）|=3；
数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为|x-3|；
数轴上表示数x和-2的两点之间的距离表示为|x+2|，
故答案为：3，|x-3|，x，-2.
【分析】
（1） 根据阅读材料直接计算即可求解；
（2） ①画出数轴，结婚绝对值的几何意义解答即可；
②画出数轴，结合绝对值的几何意义即可求解.
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是；
数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为；
数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为，
故答案为：3，，x，．
（2）①∵，
∴．
②当时，，
∵，
∴，
解得，符合题意；
当时，，
∵，
∴，
解得，符合题意；
当时，，
∵，
∴矛盾，不成立，
故或．
25．【答案】（1），，；
（2）解：作，则：，
∴，，
∴，
∵，（正方形的一个内角为90度），
∴；
（3）解：当点在直线的下方时，如图：过点作，则：，
∴，
∴，
∵分别平分和，
∴，
由（2）可知：，
∴；
当点在上方时，如图，作，则：，
则：，
∴，
∵分别平分和，
∴，
由（2）知：，
∴；
综上：或．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）证明：由折叠可知：
又∵
∴
∴
如图4，由折叠可知：，则与的位置关系为
故答案为：，，．
【分析】（1）根据折叠的性质可得，，根据平行线的判定方法可得，即可求解；
（2）作，可以得到，进而得到，即可求解；
（3）分两种情况，当交点在的上方和点在的下方，然后利用角平分线的定义和平行线的性质求解即可．
1 / 1广东省广州市南武中学2024-2025学年下学期七年级数学期末模拟卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、∠1的两边不是∠2的两边的反向延长线，∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
B、∠1的两边不是∠2的两边的反向延长线，∠1与∠2是不对顶角，故此选项不符合题意；
C、∠1的两边分别是∠2的两边的反向延长线，∠1与∠2是对顶角，故此选项符合题意；
D、∠1的两边不是∠2的两边的反向延长线，∠1与∠2不是对顶角，故此选项不符合题意；
故选：C．
【分析】根据对顶角的概念，对选项逐个判断即可．
2．下列各选项中，属于无理数的是（　　）
A．3.14 B． C． D．
【答案】B
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.3.14是有限小数，属于有理数．
B.是开方开不尽的数为无理数．
C.，是分数形式，属于有理数．
D.，结果为整数，属于有理数．
故选：B．
【分析】根据绝对值，算术平方根，立方根化简每个选项，再根据无理数的定义，无理数包含①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个），对选项逐个判断即可．
3．若，则下列不等式中成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，，
∴选项、、不符合题意，
∵，
∴，
∴，
∴选项符合题意，
故选：．
【分析】根据不等式的基本性质，对选项逐个进行判断，即可求解．
4．下列调查中，调查方式选择合理的是（　　）
A．为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择全面调查.
B．为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查.
C．为了了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择抽样调查.
D．为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查.
【答案】B
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：由题意知，A中为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择抽样调查，故不符合要求；
B中为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查，故符合要求；
C中为了了解神舟飞船设备零件的质量情况，选择全面调查，故不符合要求；
D中为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择抽样调查，故不符合要求；
故答案为：B．
【分析】根据全面调查和抽样调查的适用范围对各选项判断作答即可．
5．若点在第二象限，则点一定在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第二象限，
，，
，，
点一定在第三象限.
故答案为：C.
【分析】第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0；第三象限的点横坐标、纵坐标都小于0.
6．北京2024年二十四节气日的白昼时长如图：
从图中可知下列表述是错误的是（　　）
A．白昼时长全年呈山形分布，以夏至为顶点
B．夏至白昼时长最长
C．从小寒至夏至，白昼时长持续减少
D．冬至白昼时长最短
【答案】C
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：A.由图得白昼时长全年呈山形分布，以夏至为顶点，表述正确，不符合题意；
B.由图得夏至白昼时长最长，表述正确，不符合题意；
C.由图得从小寒至夏至，白昼时长持续增加，表述错误，符合题意；
D.由图得冬至白昼时长最短，表述正确，不符合题意；
故选：C．
【分析】理解题意，读懂折线图，再根据折线图的信息，对选项逐个进行判断，即可求解．
7．我国明代《算法统宗》书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短尺，则绳索长几尺？设竿长尺，绳索长尺，根据题意可列方程组为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设竿长尺，绳索长尺，
由题意可得，，
故选：．
【分析】设竿长尺，绳索长尺，根据题意，列出方程组即可．
8．小玲搭飞机旅游，已知她搭飞机产生的碳排放量为800千克，为了弥补这些碳排放量，她决定上下班时从驾驶汽车改成搭公交车．依据以下信息，假设小玲每日上下班驾驶汽车或搭公交车的来回总路程皆为20千米，则与驾驶汽车相比，她至少要改搭公交车上下班几天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量？（　　）
每人使用各种交通工具，每移动1千米产生的碳排放量：
●自行车：0千克 ●公交车：千克 ●机车：千克 ●汽车：千克
A．305天 B．306天 C．307天 D．308天
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设至少改搭公交车上下班天；
汽车每千米碳排放量为千克，公交车为千克，每千米减少（千克）；
每天上下班总路程为20千米，因此每天减少碳排放量（千克），
则：，
解得：
，为整数，
∴最小为，
即她至少要改搭公交车上下班308天，减少产生的碳排放量才会超过她搭飞机产生的碳排放量；
故选：D．
【分析】设至少改搭公交车上下班天，根据题意，列出不等式，求解即可．
9．如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧）且，则点所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为7，
∴，
∵，
∴，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为，
故选：D．
【分析】根据题意可得，正方形边长为，即，根据，可以得到，即可求解．
10．如图，在平面直角坐标系上有个点P（1，0），点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（-1，1），第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，……，依此规律跳动下去，点P第200次跳动至点P200的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；用代数式表示图形变化规律
【解析】【解答】解：经过观察可得：以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第200次跳动后，纵坐标为200÷2=100；
其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第200次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．
P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1.
故点P200的横坐标为：200÷4+1=51，纵坐标为：200÷2=100，点P第200次跳动至点的坐标是(51，100).
故选A.
【分析】根据题意，找到规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第200次跳动得到的横坐标也在y轴右侧，P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到P200的横坐标．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为　 　．
【答案】
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：一个正数的两个平方根分别是与，
∴，
解得：
故答案为：．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，即可求解．
12．已知，满足方程组，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
①＋②得：5a+5b=10，
∴a+b=2，
故答案是：2．
【分析】根据二元一次方程组，将两个方程相加，得到5a+5b=10，即可求解．
13．若关于的方程：，则　 　．
【答案】4
【知识点】立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
【分析】根据立方根的定义可以得到，即可求解．
14．在平面直角坐标系中，已知点，是轴上一动点，当的值最小时，点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：如图，当轴时，取最小值．
，
．
故答案是：．
【分析】根据垂线段最短的性质可得，当轴时，取最小值，据此求解即可．
15．如图，把三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线、上，已知，则的度数为　 　（用含x的式子表示）．
【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b上，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据角的和差关系可以得到，再根据平行线的性质可以得到，即可求解．
16．小明的数学研学作业单上有这样一道题：已知，且，，设，那么的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；不等式的性质
【解析】【解答】解：由得，
则，
由，，得关于的一元一次不等式组
，
解该不等式组得到的取值范围为，
则的取值范围是；
故答案为：．
【分析】根据题意可得，不等式组，从而得到，再根据题意可得，从而求解即可．
三、解答题（共9题，102分）
17．计算．
（1）；
（2）．
【答案】解：（1）原式=7-3+3
=7；
（2）原式=
=24
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先分别化简算术平方根，立方根，然后再计算；
（2）先化简绝对值，有理数的乘方，然后再计算．
18．（1）解方程组；
（2）解不等式组．
【答案】解：（1），②-①，得：x=6，
将x=6代入①，得：6+y=5，
解得y=-1，
∴方程组的解为；
（2）解不等式2（x-1）＜x，得：x＜2，
解不等式，得：x≥1，
则不等式组的解集为1≤x＜2．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法求解二元一次方程组，即可求解；
（2）根据题意，先分别求出每一个不等式的解集，再根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，即可求解．
19．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
（1）将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到，请在平面直角坐标系中画出平移后的；
（2）直接写出点的坐标为________；
（3）的面积为________；
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）
（3）15
【知识点】点的坐标；三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【解答】（2）解：由图可知，点的坐标为；
故答案为：．
（3）解：如图，
．
故答案为：．
【分析】（1）根据平移方式确定的位置，然后顺次连接，即可求解；
（2）根据点的位置，确定坐标即可；
（3）根据三角形面积公式求解即可．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由图可知，点的坐标为；
故答案为：．
（3）解：如图，
．
故答案为：．
20．某中学为了提高学生对航天知识的了解，在全校开展了主题为“弘扬航天精神”的知识竞赛．为了解学生的竞赛情况，学校从中随机抽取了部分参赛学生的成绩（单位：分），整理后分为六组（A．，B．，C．，D．，E．，F．），并绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了　 　名参赛学生的成绩．在扇形图中，E组所在扇形圆心角的度数是　 　；
（2）补全频数分布直方图；
（3）估计全校1600名学生中，知识竞赛成绩达到优秀（）的学生约多少人？
【答案】（1）；
（2）解：组人数为：（人），
补全直方图如图：
；
（3）解：（名）；
答：知识竞赛成绩达到优秀的学生有人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（名）；
；
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意可以得到组学生人数以及所占的百分比，即可求出调查人数；再求出组所占的百分比，再乘以360度即可求出；
（2）根据总人数，确定出组人数，然后补全条形图即可；
（3）先确定出样本中成绩达到优秀（）学生的百分比，然后乘以总数，即可求解．
（1）解：（名）；
；
故答案为：，；
（2）解：组人数为：（人），
补全直方图如图：
；
（3）解：（名）；
答：知识竞赛成绩达到优秀的学生有人．
21．如图，平分交于点D，，交于点E．
（1）请说明．
（2）如果，求的度数．
【答案】（1）证明：∵平分，
，
．
．
.
（2）解：∵，
∴，，
，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先利用角平分线的定义可得，再利用平行线的性质和等量代换可得；
（2）先利用角的运算求出∠BDE的度数，再结合，最后求出的度数即可.
（1）证明：∵平分
，
．
．
；
（2）解：∵，
∴，，
，
∴．
22．某中学组织七年级师生参加研学实践活动（活动为期1天）．在这次活动中，学校打算与公交公司合作租车出行，公交公司提供了两种客车：第一种为可以乘坐17名乘客的小型客车，租金为200元/辆，第二种为可以乘坐20名乘客的中型客车，租金为250元/辆．学校计划租10辆客车前往．
（1）若要保证租车费用不超过2100元，请问学校有哪几种租车方案？
（2）在（1）的条件下，若七年级师生共有173人，问哪种租车方案最省钱？
【答案】（1）解：设租小型客车辆，则租中型客车辆．
由题意可得，
解得，
所以，
因为x取整数，所以x可取8，9，10，
所以该校有3种租车方案：租小型客车8辆，中型客车2辆；租小型客车9辆，中型客车1辆；全部租小型客车．
（2）解：设租小型客车辆，则租中型客车辆．
依题意，得，
解得，所以．
因为x为整数，
所以x可取8和9，
当时，租车费用：（元）．
当时，租车费用：（元）．
因为，
所以当租小型客车9辆，中型客车1辆时，租车费用最低．
【知识点】一元一次不等式的应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）设租小型客车辆，则租中型客车辆．根据题意，列出不等式，确定x的取值范围，即可求解；
（2）根据题意，得到不等式，确定出x的取值范围，再求出每种方案的租车费用，即可求解．
（1）解：设租小型客车辆，则租中型客车辆．
由题意可得，
解得，
所以，
因为x取整数，所以x可取8，9，10，
所以该校有3种租车方案：租小型客车8辆，中型客车2辆；租小型客车9辆，中型客车1辆；全部租小型客车．
（2）解：设租小型客车辆，则租中型客车辆．
依题意，得，
解得，所以．
因为x为整数，
所以x可取8和9，
当时，租车费用：（元）．
当时，租车费用：（元）．
因为，
所以当租小型客车9辆，中型客车1辆时，租车费用最低．
23．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：“变更方程”为．
（1）求方程与它的“变更方程”组成的方程组的解；
（2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
【答案】（1）解：方程的“变更方程”为，
②①得，
将代入①得，
解得：
方程组的解为：
（2）解：∵，
∴，
方程与它的“变更方程”组成的方程组为，解得，
∴把代入可得，即，，
∴．
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题
【解析】【分析】（1）理解变更方程的含义，可以得到二元一次方程组，然后利用加减消元法求解即可；
（3）根据题意，可以得到方程组，得到，代入方程得到，化简代数式，再整体代入求解即可．
（1）解：方程的“变更方程”为，
②①得，
将代入①得，
解得：
方程组的解为：
（2）解：∵，
∴，
方程与它的“变更方程”组成的方程组为，解得，
∴把代入可得，即，，
∴．
24．阅读下面材料：
在数轴上5与所对的两点之间的距离：；
在数轴上与3所对的两点之间的距离：；
在数轴上与所对的两点之间的距离：；
在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离．
回答下列问题：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是___________；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为___________；数轴上表示数___________和___________的两点之间的距离表示为；
（2）七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究：
①请你借助数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，求的值；
②要使，请你求出数轴上表示点的数x的值．
【答案】（1）3，，x，
（2）解：①如图：
由数轴可知：当表示数x的点在-2与3之间移动时，|x-3|+|x+2|=5.
② 表示x的点不可能在表示-2和3的点之间，
当表示x的点在表示-2的点的左侧时，如图：
此时x=-3；
当表示x的点在表示3的点的右侧时，如图：
此时x=4．
故x的值为-3或4.
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：（1）数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是|（-2）-（-5）|=3；
数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为|x-3|；
数轴上表示数x和-2的两点之间的距离表示为|x+2|，
故答案为：3，|x-3|，x，-2.
【分析】
（1） 根据阅读材料直接计算即可求解；
（2） ①画出数轴，结婚绝对值的几何意义解答即可；
②画出数轴，结合绝对值的几何意义即可求解.
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是；
数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为；
数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为，
故答案为：3，，x，．
（2）①∵，
∴．
②当时，，
∵，
∴，
解得，符合题意；
当时，，
∵，
∴，
解得，符合题意；
当时，，
∵，
∴矛盾，不成立，
故或．
25．【知识初探】王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．
①如图1，在正方形纸上画出一条直线，在外取一点过点折叠纸片，使得点的对应点落在直线上（如图），记折痕与的交点为，将纸片展开铺平；
②再过点将纸片进行折叠，使得点的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．
（1）通过上述的折纸过程，图2的折痕与直线的位置关系是________；
如图4，________，则与的位置关系为________．
【深入探究】
（2）李明同学在王芳同学折纸（图4）中量得，请你求出的大小（用含的代数式表示）；
【拓展延伸】
（3）王伟同学改变直线和点的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点，，，分别在线段，，，上），再画出和的角平分线、，、所在的直线交于点，请求出的度数．
【答案】（1），，；
（2）解：作，则：，
∴，，
∴，
∵，（正方形的一个内角为90度），
∴；
（3）解：当点在直线的下方时，如图：过点作，则：，
∴，
∴，
∵分别平分和，
∴，
由（2）可知：，
∴；
当点在上方时，如图，作，则：，
则：，
∴，
∵分别平分和，
∴，
由（2）知：，
∴；
综上：或．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（1）证明：由折叠可知：
又∵
∴
∴
如图4，由折叠可知：，则与的位置关系为
故答案为：，，．
【分析】（1）根据折叠的性质可得，，根据平行线的判定方法可得，即可求解；
（2）作，可以得到，进而得到，即可求解；
（3）分两种情况，当交点在的上方和点在的下方，然后利用角平分线的定义和平行线的性质求解即可．
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