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广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2025年中考数学三检试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：由数轴知点A表示数3，而3的相反数为；
故答案为：A．
【分析】根据相反数的定义，即可得出答案。
2．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“传”字所在面相对面上的汉字是（　　）
A．文 B．统 C．化 D．弘
【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：在原正方体中，与“扬”字所在面相对面上的汉字是“统”，与“传”字所在面相对面上的汉字是“化”，
与“弘”字所在面相对面上的汉字是“文”．
故答案为：C．
【分析】根据相对面的特点是上下隔一行，左右隔一列，即可得出答案。
3．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】首先根据乘方的意义可得出原式为(a6)3，进而根据幂的乘方法则即可得出答案。
4．如图，是一款吸管杯的截面示意图，已知，吸管看作一条直线，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图
，，
，
，
故答案为：D．
【分析】本题先根据“两直线平行、内错角相等”得出=64°，再根据邻补角的定义即可求出的度数．
5．中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律．十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为x，频率为y，选取5组数对，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵十二根竹管的管长和频率乘积为定值，即管长和频率为反比例关系，
设管长为x，频率为y，则，
即，
根据反比例函数的图象可知，只有选项C符合题意，
故答案为：C
【分析】本题首先根据条件“管长和频率乘积为定值”，即可得知管长和频率为反比例关系，然后列出反比例关系式，根据反比例函数的定义和图象即可得到答案．
6．在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失.现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以进行以下哪项操作（　　）
A．先逆时针旋转90°，再向左平移
B．先顺时针旋转90°，再向左平移
C．先逆时针旋转90°，再向右平移
D．先顺时针旋转90°，再向右平移
【答案】A
【知识点】图形的旋转；图形的平移；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，可以先逆时针旋转90°，再向左平移．
故答案为：A．
【分析】先逆时针旋转90°，再向左平移到最左边即可。
7．在物理学中，压强p等于物体所受压力F的大小与受力面积S之比，即．小明将底面积为、重100N的均匀长方体铁块A和底面积为、重150N的均匀长方体铁块B放置在水平桌面上，A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求底面积S为多少？则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：结合条件列式，
整理得：；
故答案为：A．
【分析】本题根据公式，结合条件“ 底面积为、重100N的均匀长方体铁块A ”，则压强p=；“ 底面积为、重150N的均匀长方体铁块B ”，则压强p=；而“ A、B两个铁块对桌面的压强之比为 ”，因此列式，整理后即可得出答案。
8．已知二次函数可以通过配方转化为的形式，定义如下：对于一个二次函数中存在一点，使得，称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：，则，
即；
∴抛物线的顶点坐标为；
由题意得：；
而，
∴，
解得：（舍去），
则抛物线的开口大小为：；
故答案为：A．
【分析】首先通过二次函数的两种表达式确定参数(m)和(c)的值，进而求出函数的顶点坐标。接着，根据条件建立方程并求解。
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9．现有四个有理数3，4，－6，10，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其运算的结果是24，请你写出一个符合条件的算式　 　．
【答案】3×（10-4）-（-6）=24
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】3×[（-6）+4+10]=24；4-（-6）÷3×10=24；3×（10-4）-（-6）=24．
【分析】首先认真分析找出规律，然后根据有理数的运算法则列式．
10．某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为　 　．
【答案】8
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该学生的课堂评价成绩=
故答案为：．
【分析】本题结合图中信息“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”，对应的分数分别为8、7、8、6、10，然后结合“ 按 ”以及加权平均数的计算方法，列式计算即可解答本题．
11．一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号、、、的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的情况，其中所标元素能组成“（一氧化氮）”的情况有2种，
即所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是，
故答案为：
【分析】首先根据列表可得出共有12种等可能的情况，其中所标元素能组成“（一氧化氮）”的情况有2种，进而根据概率计算公式即可得出答案。
12．如图，两扇相同的窗户从关闭状态．向外推开相同的角度后，形成通风的缝隙，已知米．，则点，之间的距离是　 　米．（参考数据：）
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：如图所示，作于点，于点，
则，
，
所以．
故答案为．
【分析】分别作于点，于点构造直角三角形ACE和BDF，再分别解直角三角形求出、的长，再利用线段的和差关系求出CD即可．
13．五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由一个正方形按如图1方式分割而成，其中图形①是正方形、小明发现可以将五巧板拼搭成如图2所示的“三角形”与“飞机”模型．在“飞机”模型中宽与高的比值　 　．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；正方形的性质
【解析】【解答】解：设图形1中小正方形①的边长为，
根据题中图形拼凑的方式可知，，
，
故答案是：．
【分析】设图形1中小正方形①的边长为， 根据题中图形拼凑的方式可知，，进一步即可得出。
三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题先通分计算括号内的部分，同时利用完全平方公式变形，得到，然后将除法运算转化为乘法运算，最后约分化简得出结果后，再代入的值求值即可．
15．某校从甲，乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲，乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表：
学生 平均分（分） 中位数（分） 方差
甲 95
4
乙
95 5
（1）这6次测试中，成绩更稳定的学生是__________（填“甲”或“乙”）；甲学生成绩的中位数为__________分；
（2）求乙学生成绩的平均分；
（3）学校为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议．
【答案】（1）甲；95.5
（2）解：乙的平均分为：（分）；
（3）甲乙的平均分相同，但甲的中位数比乙高，方差比乙小，成绩更稳定，且从统计图的趋势可以看出甲的成绩在稳步上升，所以推荐甲参加．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）∵由统计图可知，甲的成绩比乙的成绩波动幅度小，
∴成绩更稳定的学生是甲．
∵将甲的6次成绩从小到大进行排序，排在第3位和第4位的是分别是95和96，
∴甲的中位数为：（分）；
故答案为：甲；95.5；
【分析】（1）根据折线图可得出甲的波动比较小，即可得出成绩更稳定的学生是甲；进一步运用中位数的定义即可得出 甲学生成绩的中位数为95.5；
（2）根据平均数的定义即可得出乙的平均分为：（分）；
（3）根据平均数、中位数、方差和统计图的走势进行分析可得出结论，提出合理建议．
（1）∵由统计图可知，甲的成绩比乙的成绩波动幅度小，
∴成绩更稳定的学生是甲．
∵将甲的6次成绩从小到大进行排序，排在第3位和第4位的是分别是95和96，
∴甲的中位数为：（分）；
故答案为：甲；95.5；
（2）乙的平均分为：（分）；
（3）甲乙的平均分相同，但甲的中位数比乙高，方差比乙小，成绩更稳定，且从统计图的趋势可以看出甲的成绩在稳步上升，所以推荐甲参加．
16．【操作与探究】下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，请认真阅读并完成相应任务：
已知：如图1，直线和直线外一点． 求作：直线，使直线． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接； ②作的垂直平分线，分别交直线、线段于点、； ③以为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点； ④作直线，则直线为所求作的直线．
任务：
（1）小明完成的作图如图2所示，写出作图过程中步骤③中确定两个三角形全等时所用的几何定理：①　 　，步骤④中确定两直线平行所用的几何定理：②　 　；
（2）请你用不同于小明的方法，在图1中过点作出直线的平行线（要求：尺规作图．不写作法．不证明，但要保留作图痕迹）．
【答案】（1）或边角边；内错角相等，两直线平行
（2）
【知识点】菱形的判定；作图-平行线；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-直线、射线、线段；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：（1）由作图知，，且，∴，
∴，
∴；
故第③步骤所用的几何定理是：或边角边，第④步骤所用的几何定理是：内错角相等，两直线平行；
故答案为：①或边角边；②内错角相等，两直线平行；
（2）解：在直线l上取点A，连接，以A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B，分别以P，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，连接，则直线为所作的平行线；
由作法知，，则四边形是菱形，
∴，
则直线为所作的平行线．
【分析】（1）根据题目中的作图步骤可知，，，并且。因此，根据边角边（SAS）全等判定定理，可以证明。由此可得，进而说明两直线平行。这一过程确定了步骤③与步骤④中所应用的几何定理。
（2）在直线l上选取一点A，连接。以A为圆心，的长度为半径画弧，交直线l于点B。接着，分别以P和B为圆心，的长度为半径画弧，两弧的交点为C。最后，连接即可完成作图。
（1）解：由作图知，，且，
∴，
∴，
∴；
故第③步骤所用的几何定理是：或边角边，第④步骤所用的几何定理是：内错角相等，两直线平行；
故答案为：①或边角边；②内错角相等，两直线平行；
（2）解：在直线l上取点A，连接，以A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B，分别以P，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，连接，则直线为所作的平行线；
由作法知，，则四边形是菱形，
∴，
则直线为所作的平行线．
17．（1）【生活与应用】：为加强居民节水意识，决定对居民用水实行“阶梯价”，见价目表；
问题：若该居民2、3月份共用水30吨（3月份用水超过2月份），共交水费97元，则该居民2、3月份各用水多少吨？
价目表
每月用水量 单价
不超出15吨的部分 3元/吨
超15吨的部分 4元/吨
注：水费按月结算
（2）【观察与思考】：
①根据图1流程图中的运算程序，当输入数据时，输出结果为_____；
②根据图2所示的计算程序，若输出的值，则输入的值_____．
该同学进行综合复习时，产生能否用流程图设计自动运算的想法，请你帮助该同学补全流程图
（3）问题：若该居民1月用水量为吨，请设计“计算框图”，使得输入数据为用水量，输出数为水费；补全“计算框图”则①_____②_____；
【答案】（1）2月份用水吨，则3月份用水吨；（2）9；或；（3），
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-计费问题；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】（1）解：设2月份用水吨，则3月份用水吨，
∵3月份用水超过2月份，
∴，解得：，
根据题意得：，
解得：，
∴3月份用水吨，
答：2月份用水吨，则3月份用水吨；
（2）当时，，即输出结果为9，
故答案为：9．
当时，输出的值，则，解得：；
当时，输出的值，则，解得：，（舍去），
综上所述，的值为或；
（3）当时，水费为；当时，水费为，由此可得①入填，②处填．
故答案为：，．
【分析】（1）设2月份用水量为吨，则3月份用水量为吨。根据题意，列出不等式，确定的范围后，进一步建立方程求解，最终求出3月份的用水量。
（2）当输入时，按照计算流程代入，求出输出值；
若输出，则需建立关于的方程并求解。
（3）根据第（1）问的条件，分别讨论和两种情况，列出对应的代数表达式，并结合流程图进行计算。
18．如图，在中，以为直径的与边、分别交于、两点，于．
（1）①；；③；请从以上三个条件中选择一个：_____，求证：为的切线；
（2）若为的切线，，求的长．
【答案】（1）证明：选①，即；
∵为直径，
∴，
∴点D是边的中点；
∵，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是圆的半径，
∴为的切线；
选②，即；
∵，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是圆的半径，
∴为的切线；
选③，即；
∵为直径，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
从而由①的证明知，为的切线；
（2）解：如图，连接；
∵，
∴在中，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵为直径，
∴，
∴；
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴．

【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；已知正切值求边长
【解析】证明：选①，即；∵为直径，
∴，
∴点D是边的中点；
∵，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是圆的半径，
∴为的切线；
选②，即；
∵，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是圆的半径，
∴为的切线；
选③，即；
∵为直径，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
从而由①的证明知，为的切线；
【分析】（1）选①：因为是直径，所以点D是的中点。因此，是三角形ABC的中位线。由于，可以推出，从而证明结论。选②：是中位线，结合，同样可以推出，完成证明。选③：由条件可得，进而得出，所以。此时可以按照①的方法完成证明。（2）连接：在中，利用余弦函数关系求出。证明，从而求出。根据辅助线的作法，，所以，从而可以求出的长度。
（1）证明：选①，即；
∵为直径，
∴，
∴点D是边的中点；
∵，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是圆的半径，
∴为的切线；
选②，即；
∵，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是圆的半径，
∴为的切线；
选③，即；
∵为直径，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
从而由①的证明知，为的切线；
（2）解：如图，连接；
∵，
∴在中，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵为直径，
∴，
∴；
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴．
19．
（1）特殊情况，探索结论：
在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点的中心对称点的坐标是　 　；
在平面直角坐标系中已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是　 　；
在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是　 　；
（2）特例启发，引发思考：
点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢
定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点的“中心镜像抛物线”，点为“镜像中心”．例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”．
①如图2，当时，直接写出抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的函数表达式 ▲ ；
②已知抛物线，将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点的坐标；
（3）拓展结论，思维提升：
已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当时，最大值与最小值的差为3，直接写出的值．
【答案】【解答】解：（1）点A关于原点O对称的坐标为；设点B关于对称的点的坐标为，则有，则，即点B关于对称的点的坐标为；同理可求得点C关于点对称的点的坐标为；故答案为：，；（2）①，顶点坐标为，它关于点M对称的点的坐标为，则此时关于点M对称的抛物线解析式为：，化为一般式为：；故答案为：；②，其顶点坐标为，此点平移后的坐标为，把代入中，得：，解得：，即，∴的顶点坐标为，由中点公式得：，∴；（3），其顶点坐标为，它关于M的对称点的坐标为，∴的解析式为：；其最大值为；当时，；当时，；当时，在时，函数值随自变量的增大而减小，最大值为，最小值为，由题意得：，解得；当时，函数在顶点取得最大值，最小值为或，由题意得：或，解得：或，它们均不符合题意；当时，在时，函数值随自变量的增大而增大，最小值为，最大值为，由题意得：，解得：；综上，t的取值为2或．
（1）；；
（2）①；
②，其顶点坐标为，
此点平移后的坐标为，
把代入中，得：，
解得：，即，
∴的顶点坐标为，
由中点公式得：，
∴；
（3）t的取值为2或
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质；中心对称的性质；坐标系中的中点公式；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）点A关于原点O对称的坐标为；设点B关于对称的点的坐标为，则有，
则，即点B关于对称的点的坐标为；
同理可求得点C关于点对称的点的坐标为；
故答案为：，；
（2）①，顶点坐标为，它关于点M对称的点的坐标为，则此时关于点M对称的抛物线解析式为：，
化为一般式为：；
故答案为：；
（3）解：，其顶点坐标为，
它关于M的对称点的坐标为，
∴的解析式为：；其最大值为；
当时，；当时，；
当时，在时，函数值随自变量的增大而减小，
最大值为，最小值为，
由题意得：，解得；
当时，函数在顶点取得最大值，最小值为或，
由题意得：或，
解得：或，
它们均不符合题意；
当时，在时，函数值随自变量的增大而增大，
最小值为，最大值为，
由题意得：，解得：；
综上，t的取值为2或．
【分析】（1）利用中心对称的性质：对称点的横纵坐标均互为相反数，可确定点A的坐标；再通过中点坐标公式计算得出点B和点C的坐标。
（2）①首先确定原抛物线的顶点坐标，再求出该顶点关于点M的对称点坐标，最终得到对称抛物线的解析式。②先计算抛物线的顶点坐标及其平移后的位置，再求其关于M的对称点坐标。将该对称点坐标代入抛物线的方程中，解出b的值，从而完成求解。
（3）先确定的解析式，然后分三种情况讨论：、和。结合二次函数的增减性进行分析求解。
20．【项目式学习】
项目主题：四边形的对称性研究
项目背景：我们知道，一般的四边形不一定是轴对称图形；菱形和矩形是轴对称图形，而且它们至少都有两条对称轴．小明学习完相关知识后，针对四边形对称性展开项目式研究；
问题提出：是否有一条对称轴的四边形
任务一：关于只有一条对称轴的四边形的深入研究．
【初步思考】
（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出只有一条对称轴的凸四边形，要求点是格点；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，，点是的中点，请在图2、图3中分别设计只有一条对称轴且对角线互相垂直的凸四边形，顶点别在上，且，并求出对角线的长；
任务二：折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，它是中国非物质文化遗产之一，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．在现代，折纸艺术得到了进一步的发展和创新，材料已不只限于使用纸张，而且它还与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，形成有趣的“折纸数学”．折纸也有不少关于对称的操作．
（3）乐乐用一张长为的长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图4所示，最后折成的纸飞机．为，则图中的值为_____．
（4）如图5，在用“筝形”（一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形）纸折叠制作作品时，乐乐发现“筝形”中，，，是上的三等分点，记点关于的对称点为，射线与“筝形”的边交于点，请直接写出的长_____．
【答案】解：（1）如图，取格点D，连接，
∵，，
∴点A，C在线段的垂直平分线上，
∴直线是凸四边形的对称轴．
（2）如图2，取，取的中点G，连接，，，则凸四边形是满足条件的四边形；
∵四边形是矩形，
∴，；
∵点E、点G分别是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由勾股定理得：；
∴直线是的垂直平分线，
即凸四边形是满足条件的四边形；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，；
如图3，在边上取点F，使，在上取点，分别连接、，作的垂直平分线交边于点H，连接；
∵，
∴，
∴由勾股定理得：；
∵是线段的垂直平分线，
∴，
则凸四边形是满足条件的四边形；
过G作于点M，则四边形是矩形，
∴；
∴；
在中，由勾股定理得：；
综上，的长为12或；
（3）；（4）的长为或．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）如图，由折叠，
即，
故答案为：；
（4）如图，当点是线段上靠近点B的三等分点，则，
∴；
由对称知，，，；
设交于点O；
∵四边形为筝形，
∴，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
设，则，，
∴；
∵，
∴，
解得：，
∴；
如图，当点是线段上靠近点D的三等分点时；
设交于点G；
与前一种情况相同，可以证明，
∴；
设，则，，
∴，；
∵，，
∴，
解得：；
即，；
如图，过点F作于N，过点G作于点Q；
∵，，
∴，；
∴；
∵，
∴，
∴，
即；
∵，，
∴，
∴，
∴，
即；
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为或．
故答案为：或．
【分析】取格点D，连接，根据勾股定理可得CD，AD，则点A，C在线段的垂直平分线上，即直线是凸四边形的对称轴.，
（2）取，取的中点G，连接，，，则凸四边形是满足条件的四边形，根据矩形性质可得，，再根据线段中点可得，根据边之间的关系可得，根据勾股定理可得，则直线是的垂直平分线，即凸四边形是满足条件的四边形，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，在边上取点F，使，在上取点，分别连接、，作的垂直平分线交边于点H，连接，根据边之间的关系可得CF，根据勾股定理可得FG，根据垂直平分线性质可得，则凸四边形是满足条件的四边形，过G作于点M，则四边形是矩形，根据矩形性质可得，根据边之间的关系可得EM，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）根据折叠性质即可求出答案.
（4）分情况讨论：当点是线段上靠近点B的三等分点，则，根据边之间的关系可得DE，再根据对称性质可得，，，设交于点O，由题意可得，则，根据边之间的关系可得OA，再根据勾股定理可得AB，根据等边对等角可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；当点是线段上靠近点D的三等分点时，设交于点G，同理可得，则，设，则，，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2025年中考数学三检试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（　　）
A． B．3 C． D．
2．某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种表面展开图，那么在原正方体中，与“传”字所在面相对面上的汉字是（　　）
A．文 B．统 C．化 D．弘
3．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，是一款吸管杯的截面示意图，已知，吸管看作一条直线，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律．十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为x，频率为y，选取5组数对，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．在俄罗斯方块游戏中，若某行被小方格块填满，则该行中的所有小方格会自动消失.现在游戏机屏幕下面三行已拼成如图所示的图案，屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，你可以进行以下哪项操作（　　）
A．先逆时针旋转90°，再向左平移
B．先顺时针旋转90°，再向左平移
C．先逆时针旋转90°，再向右平移
D．先顺时针旋转90°，再向右平移
7．在物理学中，压强p等于物体所受压力F的大小与受力面积S之比，即．小明将底面积为、重100N的均匀长方体铁块A和底面积为、重150N的均匀长方体铁块B放置在水平桌面上，A、B两个铁块对桌面的压强之比为，求底面积S为多少？则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．已知二次函数可以通过配方转化为的形式，定义如下：对于一个二次函数中存在一点，使得，称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9．现有四个有理数3，4，－6，10，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其运算的结果是24，请你写出一个符合条件的算式　 　．
10．某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为　 　．
11．一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号、、、的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别．从袋子中随机摸出两个小球，所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是　 　．
12．如图，两扇相同的窗户从关闭状态．向外推开相同的角度后，形成通风的缝隙，已知米．，则点，之间的距离是　 　米．（参考数据：）
13．五巧板是一种类似七巧板的智力玩具，它是由一个正方形按如图1方式分割而成，其中图形①是正方形、小明发现可以将五巧板拼搭成如图2所示的“三角形”与“飞机”模型．在“飞机”模型中宽与高的比值　 　．
三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14．先化简，再求值：，其中．
15．某校从甲，乙两名学生中选一名参加市小数学家评比，该校将甲，乙两人的6次测试成绩绘制成如下统计图，并对数据统计如下表：
学生 平均分（分） 中位数（分） 方差
甲 95
4
乙
95 5
（1）这6次测试中，成绩更稳定的学生是__________（填“甲”或“乙”）；甲学生成绩的中位数为__________分；
（2）求乙学生成绩的平均分；
（3）学校为了在小数学家评比中尽可能取得好成绩，请你从相关统计量和统计图进行分析，并给出合理的选择建议．
16．【操作与探究】下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，请认真阅读并完成相应任务：
已知：如图1，直线和直线外一点． 求作：直线，使直线． 作法：如图2， ①在直线上取一点，连接； ②作的垂直平分线，分别交直线、线段于点、； ③以为圆心，长为半径作弧，交直线于另一点； ④作直线，则直线为所求作的直线．
任务：
（1）小明完成的作图如图2所示，写出作图过程中步骤③中确定两个三角形全等时所用的几何定理：①　 　，步骤④中确定两直线平行所用的几何定理：②　 　；
（2）请你用不同于小明的方法，在图1中过点作出直线的平行线（要求：尺规作图．不写作法．不证明，但要保留作图痕迹）．
17．（1）【生活与应用】：为加强居民节水意识，决定对居民用水实行“阶梯价”，见价目表；
问题：若该居民2、3月份共用水30吨（3月份用水超过2月份），共交水费97元，则该居民2、3月份各用水多少吨？
价目表
每月用水量 单价
不超出15吨的部分 3元/吨
超15吨的部分 4元/吨
注：水费按月结算
（2）【观察与思考】：
①根据图1流程图中的运算程序，当输入数据时，输出结果为_____；
②根据图2所示的计算程序，若输出的值，则输入的值_____．
该同学进行综合复习时，产生能否用流程图设计自动运算的想法，请你帮助该同学补全流程图
（3）问题：若该居民1月用水量为吨，请设计“计算框图”，使得输入数据为用水量，输出数为水费；补全“计算框图”则①_____②_____；
18．如图，在中，以为直径的与边、分别交于、两点，于．
（1）①；；③；请从以上三个条件中选择一个：_____，求证：为的切线；
（2）若为的切线，，求的长．
19．
（1）特殊情况，探索结论：
在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标原点的中心对称点的坐标是　 　；
在平面直角坐标系中已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是　 　；
在平面直角坐标系中，已知点，点关于坐标点的中心对称点的坐标是　 　；
（2）特例启发，引发思考：
点对称有一定规律，那么由点组成的图形是否有相似规律呢
定义：对于抛物线，以点为中心，作该抛物线关于点中心对称的抛物线，则称抛物线为抛物线关于点的“中心镜像抛物线”，点为“镜像中心”．例如：如图1，抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，点为“镜像中心”．
①如图2，当时，直接写出抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的函数表达式 ▲ ；
②已知抛物线，将其顶点先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，恰好落在抛物线关于点的“中心镜像抛物线”的图象上，求“镜像中心”点的坐标；
（3）拓展结论，思维提升：
已知抛物线关于点的“中心镜像抛物线”为，当时，最大值与最小值的差为3，直接写出的值．
20．【项目式学习】
项目主题：四边形的对称性研究
项目背景：我们知道，一般的四边形不一定是轴对称图形；菱形和矩形是轴对称图形，而且它们至少都有两条对称轴．小明学习完相关知识后，针对四边形对称性展开项目式研究；
问题提出：是否有一条对称轴的四边形
任务一：关于只有一条对称轴的四边形的深入研究．
【初步思考】
（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出只有一条对称轴的凸四边形，要求点是格点；
【问题探究】
（2）如图2，在矩形中，，，点是的中点，请在图2、图3中分别设计只有一条对称轴且对角线互相垂直的凸四边形，顶点别在上，且，并求出对角线的长；
任务二：折纸是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动，它是中国非物质文化遗产之一，具有悠久的历史和丰富的文化内涵．在现代，折纸艺术得到了进一步的发展和创新，材料已不只限于使用纸张，而且它还与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支，形成有趣的“折纸数学”．折纸也有不少关于对称的操作．
（3）乐乐用一张长为的长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图4所示，最后折成的纸飞机．为，则图中的值为_____．
（4）如图5，在用“筝形”（一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形）纸折叠制作作品时，乐乐发现“筝形”中，，，是上的三等分点，记点关于的对称点为，射线与“筝形”的边交于点，请直接写出的长_____．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：由数轴知点A表示数3，而3的相反数为；
故答案为：A．
【分析】根据相反数的定义，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：在原正方体中，与“扬”字所在面相对面上的汉字是“统”，与“传”字所在面相对面上的汉字是“化”，
与“弘”字所在面相对面上的汉字是“文”．
故答案为：C．
【分析】根据相对面的特点是上下隔一行，左右隔一列，即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】首先根据乘方的意义可得出原式为(a6)3，进而根据幂的乘方法则即可得出答案。
4．【答案】D
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图
，，
，
，
故答案为：D．
【分析】本题先根据“两直线平行、内错角相等”得出=64°，再根据邻补角的定义即可求出的度数．
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：∵十二根竹管的管长和频率乘积为定值，即管长和频率为反比例关系，
设管长为x，频率为y，则，
即，
根据反比例函数的图象可知，只有选项C符合题意，
故答案为：C
【分析】本题首先根据条件“管长和频率乘积为定值”，即可得知管长和频率为反比例关系，然后列出反比例关系式，根据反比例函数的定义和图象即可得到答案．
6．【答案】A
【知识点】图形的旋转；图形的平移；利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】屏幕上方又出现一小方格块正向下运动，为了使屏幕下面三行中的小方格都自动消失，可以先逆时针旋转90°，再向左平移．
故答案为：A．
【分析】先逆时针旋转90°，再向左平移到最左边即可。
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：结合条件列式，
整理得：；
故答案为：A．
【分析】本题根据公式，结合条件“ 底面积为、重100N的均匀长方体铁块A ”，则压强p=；“ 底面积为、重150N的均匀长方体铁块B ”，则压强p=；而“ A、B两个铁块对桌面的压强之比为 ”，因此列式，整理后即可得出答案。
8．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：，则，
即；
∴抛物线的顶点坐标为；
由题意得：；
而，
∴，
解得：（舍去），
则抛物线的开口大小为：；
故答案为：A．
【分析】首先通过二次函数的两种表达式确定参数(m)和(c)的值，进而求出函数的顶点坐标。接着，根据条件建立方程并求解。
9．【答案】3×（10-4）-（-6）=24
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】3×[（-6）+4+10]=24；4-（-6）÷3×10=24；3×（10-4）-（-6）=24．
【分析】首先认真分析找出规律，然后根据有理数的运算法则列式．
10．【答案】8
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：该学生的课堂评价成绩=
故答案为：．
【分析】本题结合图中信息“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”，对应的分数分别为8、7、8、6、10，然后结合“ 按 ”以及加权平均数的计算方法，列式计算即可解答本题．
11．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的情况，其中所标元素能组成“（一氧化氮）”的情况有2种，
即所标元素能组成“（一氧化氮）”的概率是，
故答案为：
【分析】首先根据列表可得出共有12种等可能的情况，其中所标元素能组成“（一氧化氮）”的情况有2种，进而根据概率计算公式即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：如图所示，作于点，于点，
则，
，
所以．
故答案为．
【分析】分别作于点，于点构造直角三角形ACE和BDF，再分别解直角三角形求出、的长，再利用线段的和差关系求出CD即可．
13．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作；正方形的性质
【解析】【解答】解：设图形1中小正方形①的边长为，
根据题中图形拼凑的方式可知，，
，
故答案是：．
【分析】设图形1中小正方形①的边长为， 根据题中图形拼凑的方式可知，，进一步即可得出。
14．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】本题先通分计算括号内的部分，同时利用完全平方公式变形，得到，然后将除法运算转化为乘法运算，最后约分化简得出结果后，再代入的值求值即可．
15．【答案】（1）甲；95.5
（2）解：乙的平均分为：（分）；
（3）甲乙的平均分相同，但甲的中位数比乙高，方差比乙小，成绩更稳定，且从统计图的趋势可以看出甲的成绩在稳步上升，所以推荐甲参加．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）∵由统计图可知，甲的成绩比乙的成绩波动幅度小，
∴成绩更稳定的学生是甲．
∵将甲的6次成绩从小到大进行排序，排在第3位和第4位的是分别是95和96，
∴甲的中位数为：（分）；
故答案为：甲；95.5；
【分析】（1）根据折线图可得出甲的波动比较小，即可得出成绩更稳定的学生是甲；进一步运用中位数的定义即可得出 甲学生成绩的中位数为95.5；
（2）根据平均数的定义即可得出乙的平均分为：（分）；
（3）根据平均数、中位数、方差和统计图的走势进行分析可得出结论，提出合理建议．
（1）∵由统计图可知，甲的成绩比乙的成绩波动幅度小，
∴成绩更稳定的学生是甲．
∵将甲的6次成绩从小到大进行排序，排在第3位和第4位的是分别是95和96，
∴甲的中位数为：（分）；
故答案为：甲；95.5；
（2）乙的平均分为：（分）；
（3）甲乙的平均分相同，但甲的中位数比乙高，方差比乙小，成绩更稳定，且从统计图的趋势可以看出甲的成绩在稳步上升，所以推荐甲参加．
16．【答案】（1）或边角边；内错角相等，两直线平行
（2）
【知识点】菱形的判定；作图-平行线；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-直线、射线、线段；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：（1）由作图知，，且，∴，
∴，
∴；
故第③步骤所用的几何定理是：或边角边，第④步骤所用的几何定理是：内错角相等，两直线平行；
故答案为：①或边角边；②内错角相等，两直线平行；
（2）解：在直线l上取点A，连接，以A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B，分别以P，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，连接，则直线为所作的平行线；
由作法知，，则四边形是菱形，
∴，
则直线为所作的平行线．
【分析】（1）根据题目中的作图步骤可知，，，并且。因此，根据边角边（SAS）全等判定定理，可以证明。由此可得，进而说明两直线平行。这一过程确定了步骤③与步骤④中所应用的几何定理。
（2）在直线l上选取一点A，连接。以A为圆心，的长度为半径画弧，交直线l于点B。接着，分别以P和B为圆心，的长度为半径画弧，两弧的交点为C。最后，连接即可完成作图。
（1）解：由作图知，，且，
∴，
∴，
∴；
故第③步骤所用的几何定理是：或边角边，第④步骤所用的几何定理是：内错角相等，两直线平行；
故答案为：①或边角边；②内错角相等，两直线平行；
（2）解：在直线l上取点A，连接，以A为圆心，长为半径画弧交直线l于点B，分别以P，B为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C，连接，则直线为所作的平行线；
由作法知，，则四边形是菱形，
∴，
则直线为所作的平行线．
17．【答案】（1）2月份用水吨，则3月份用水吨；（2）9；或；（3），
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-计费问题；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】（1）解：设2月份用水吨，则3月份用水吨，
∵3月份用水超过2月份，
∴，解得：，
根据题意得：，
解得：，
∴3月份用水吨，
答：2月份用水吨，则3月份用水吨；
（2）当时，，即输出结果为9，
故答案为：9．
当时，输出的值，则，解得：；
当时，输出的值，则，解得：，（舍去），
综上所述，的值为或；
（3）当时，水费为；当时，水费为，由此可得①入填，②处填．
故答案为：，．
【分析】（1）设2月份用水量为吨，则3月份用水量为吨。根据题意，列出不等式，确定的范围后，进一步建立方程求解，最终求出3月份的用水量。
（2）当输入时，按照计算流程代入，求出输出值；
若输出，则需建立关于的方程并求解。
（3）根据第（1）问的条件，分别讨论和两种情况，列出对应的代数表达式，并结合流程图进行计算。
18．【答案】（1）证明：选①，即；
∵为直径，
∴，
∴点D是边的中点；
∵，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是圆的半径，
∴为的切线；
选②，即；
∵，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是圆的半径，
∴为的切线；
选③，即；
∵为直径，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
从而由①的证明知，为的切线；
（2）解：如图，连接；
∵，
∴在中，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵为直径，
∴，
∴；
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴．

【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；三角形的中位线定理；已知正切值求边长
【解析】证明：选①，即；∵为直径，
∴，
∴点D是边的中点；
∵，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是圆的半径，
∴为的切线；
选②，即；
∵，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是圆的半径，
∴为的切线；
选③，即；
∵为直径，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
从而由①的证明知，为的切线；
【分析】（1）选①：因为是直径，所以点D是的中点。因此，是三角形ABC的中位线。由于，可以推出，从而证明结论。选②：是中位线，结合，同样可以推出，完成证明。选③：由条件可得，进而得出，所以。此时可以按照①的方法完成证明。（2）连接：在中，利用余弦函数关系求出。证明，从而求出。根据辅助线的作法，，所以，从而可以求出的长度。
（1）证明：选①，即；
∵为直径，
∴，
∴点D是边的中点；
∵，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是圆的半径，
∴为的切线；
选②，即；
∵，
∴是的中位线，
∴；
∵，
∴；
∵是圆的半径，
∴为的切线；
选③，即；
∵为直径，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴，
∴，
从而由①的证明知，为的切线；
（2）解：如图，连接；
∵，
∴在中，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵为直径，
∴，
∴；
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴．
19．【答案】【解答】解：（1）点A关于原点O对称的坐标为；设点B关于对称的点的坐标为，则有，则，即点B关于对称的点的坐标为；同理可求得点C关于点对称的点的坐标为；故答案为：，；（2）①，顶点坐标为，它关于点M对称的点的坐标为，则此时关于点M对称的抛物线解析式为：，化为一般式为：；故答案为：；②，其顶点坐标为，此点平移后的坐标为，把代入中，得：，解得：，即，∴的顶点坐标为，由中点公式得：，∴；（3），其顶点坐标为，它关于M的对称点的坐标为，∴的解析式为：；其最大值为；当时，；当时，；当时，在时，函数值随自变量的增大而减小，最大值为，最小值为，由题意得：，解得；当时，函数在顶点取得最大值，最小值为或，由题意得：或，解得：或，它们均不符合题意；当时，在时，函数值随自变量的增大而增大，最小值为，最大值为，由题意得：，解得：；综上，t的取值为2或．
（1）；；
（2）①；
②，其顶点坐标为，
此点平移后的坐标为，
把代入中，得：，
解得：，即，
∴的顶点坐标为，
由中点公式得：，
∴；
（3）t的取值为2或
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的性质；中心对称的性质；坐标系中的中点公式；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）点A关于原点O对称的坐标为；设点B关于对称的点的坐标为，则有，
则，即点B关于对称的点的坐标为；
同理可求得点C关于点对称的点的坐标为；
故答案为：，；
（2）①，顶点坐标为，它关于点M对称的点的坐标为，则此时关于点M对称的抛物线解析式为：，
化为一般式为：；
故答案为：；
（3）解：，其顶点坐标为，
它关于M的对称点的坐标为，
∴的解析式为：；其最大值为；
当时，；当时，；
当时，在时，函数值随自变量的增大而减小，
最大值为，最小值为，
由题意得：，解得；
当时，函数在顶点取得最大值，最小值为或，
由题意得：或，
解得：或，
它们均不符合题意；
当时，在时，函数值随自变量的增大而增大，
最小值为，最大值为，
由题意得：，解得：；
综上，t的取值为2或．
【分析】（1）利用中心对称的性质：对称点的横纵坐标均互为相反数，可确定点A的坐标；再通过中点坐标公式计算得出点B和点C的坐标。
（2）①首先确定原抛物线的顶点坐标，再求出该顶点关于点M的对称点坐标，最终得到对称抛物线的解析式。②先计算抛物线的顶点坐标及其平移后的位置，再求其关于M的对称点坐标。将该对称点坐标代入抛物线的方程中，解出b的值，从而完成求解。
（3）先确定的解析式，然后分三种情况讨论：、和。结合二次函数的增减性进行分析求解。
20．【答案】解：（1）如图，取格点D，连接，
∵，，
∴点A，C在线段的垂直平分线上，
∴直线是凸四边形的对称轴．
（2）如图2，取，取的中点G，连接，，，则凸四边形是满足条件的四边形；
∵四边形是矩形，
∴，；
∵点E、点G分别是的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
由勾股定理得：；
∴直线是的垂直平分线，
即凸四边形是满足条件的四边形；
∵，
∴四边形是矩形，
∴，；
如图3，在边上取点F，使，在上取点，分别连接、，作的垂直平分线交边于点H，连接；
∵，
∴，
∴由勾股定理得：；
∵是线段的垂直平分线，
∴，
则凸四边形是满足条件的四边形；
过G作于点M，则四边形是矩形，
∴；
∴；
在中，由勾股定理得：；
综上，的长为12或；
（3）；（4）的长为或．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）如图，由折叠，
即，
故答案为：；
（4）如图，当点是线段上靠近点B的三等分点，则，
∴；
由对称知，，，；
设交于点O；
∵四边形为筝形，
∴，
∴；
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
设，则，，
∴；
∵，
∴，
解得：，
∴；
如图，当点是线段上靠近点D的三等分点时；
设交于点G；
与前一种情况相同，可以证明，
∴；
设，则，，
∴，；
∵，，
∴，
解得：；
即，；
如图，过点F作于N，过点G作于点Q；
∵，，
∴，；
∴；
∵，
∴，
∴，
即；
∵，，
∴，
∴，
∴，
即；
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为或．
故答案为：或．
【分析】取格点D，连接，根据勾股定理可得CD，AD，则点A，C在线段的垂直平分线上，即直线是凸四边形的对称轴.，
（2）取，取的中点G，连接，，，则凸四边形是满足条件的四边形，根据矩形性质可得，，再根据线段中点可得，根据边之间的关系可得，根据勾股定理可得，则直线是的垂直平分线，即凸四边形是满足条件的四边形，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，在边上取点F，使，在上取点，分别连接、，作的垂直平分线交边于点H，连接，根据边之间的关系可得CF，根据勾股定理可得FG，根据垂直平分线性质可得，则凸四边形是满足条件的四边形，过G作于点M，则四边形是矩形，根据矩形性质可得，根据边之间的关系可得EM，再根据勾股定理即可求出答案.
（3）根据折叠性质即可求出答案.
（4）分情况讨论：当点是线段上靠近点B的三等分点，则，根据边之间的关系可得DE，再根据对称性质可得，，，设交于点O，由题意可得，则，根据边之间的关系可得OA，再根据勾股定理可得AB，根据等边对等角可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；当点是线段上靠近点D的三等分点时，设交于点G，同理可得，则，设，则，，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
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