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第6练　函数的概念及其表示
1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中,y不是x的函数的是 (　 )
A B C D
2.[2025·南昌一模] 已知f(x)=则方程f(x)=8所有的根之和为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2
C.5 D.7
3.若函数y=f(2x)的定义域为[-2,4],则y=f(x)-f(-x)的定义域为 (　 )
A.[-2,2] B.[-2,4]
C.[-4,4] D.[-8,8]
4.(多选题)下列两个函数是同一个函数的有 (　 )
A.f(x)=x-1与g(x)=
B.f(x)=与g(x)=
C.f(x)=x0与g(x)=1
D.f(x)=|x|与g(x)=
5.已知函数f(x)满足f(1-x)=(x≠0),则f(x)= (　 )
A.-1(x≠0) B.-1(x≠1)
C.-1(x≠0) D.-1(x≠1)
6.已知函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3],则y=的定义域为 (　 )
A.[-5,5] B.(1,5]
C. D.
7.[2025·安徽黄山二模] 已知函数f(x)=则f(-5)=　　　　.
8.定义在R上的函数f(x)的值域为[-3,2],则函数y=f(x+a)的值域为　　　　.
9.设函数f(x)=若f(m)=f(m-2),则f(|3-m|)= (　 )
A.2或4 B.1或9
C.1 D.9
10.[2025·重庆南开中学月考] 已知函数f(x)的定义域为R,2f(x+2)+f(1-x)=x2,则f(1)= (　 )
A. B.
C. D.
11.(多选题)下列对应关系f满足函数定义的有 (　 )
A.f(x2)=|x| B.f(x2)=x
C.f(cos x)=x D.f(ex)=x
12.(多选题)德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一,他提出了著名的狄利克雷函数:D(x)=以下对D(x)的说法正确的是 (　 )
A.D[D(x)]=1
B.D(x)的值域为{0,1}
C.存在x是无理数,使得D(x+1)=D(x)+1
D.对任意x∈R,总有D(x+1)=D(-x-1)
13.已知函数f(x)=则满足f(x-1)14.[2025·辽宁五校期末] 已知符号函数sgn(x)=f(x)=[x-sgn(x)·(2x2+x)],若f[f(a)]≤2,则实数a的取值范围是　　　　.
15.(多选题)定义在[0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)=f,其值域是M.若对于任何满足上述条件的f(x)都有{y|y=f(x),x∈[0,1]}=M,则实数a的取值可以为 (　 )
A. B. C. D.1
第6练　函数的概念及其表示
1.C　[解析] 根据函数的定义知,对定义域内任意x值,y都有唯一值与之对应,只有C不满足.故选C.
2.A　[解析] 若x<0,由x2-2x=8,得(x+2)(x-4)=0,所以x=-2;若x>0,由2x=8,得x=3.因为-2+3=1,所以方程f(x)=8的所有根之和为1.故选A.
3.C　[解析] 由函数y=f(2x)的定义域为[-2,4],可得-4≤2x≤8,所以函数y=f(x)的定义域为[-4,8],对于函数y=f(x)-f(-x),则有解得-4≤x≤4,因此函数y=f(x)-f(-x)的定义域为[-4,4].故选C.
4.BD　[解析] 对于A,f(x)=x-1的定义域为R,g(x)=的定义域为{x|x≠-1},两函数的定义域不同,不是同一个函数,故A错误;对于B,f(x)===1(x>0),g(x)===1(x>0),两函数的定义域和对应关系均相同,为同一个函数,故B正确;对于C,f(x)=x0,x∈(-∞,0)∪(0,+∞)与g(x)=1,x∈R的定义域不同,不是同一个函数,故C错误;对于D,f(x)=|x|,g(x)==|x|,函数的定义域、对应关系均相同,所以两函数是同一个函数,故D正确.故选BD.
5.B　[解析] 令t=1-x,则x=1-t,又x≠0,所以t≠1,则f(t)==-1(t≠1),所以f(x)=-1(x≠1).故选B.
6.C　[解析] 由题意可知函数y=f(x+1)的定义域为[-2,3],即-2≤x≤3,故-1≤x+1≤4,则y=f(x)的定义域为[-1,4].要使y=有意义,则
解得17.0　[解析] 由f(x)=
可得f(-5)=f(-5+3)=f(-2)=f(-2+3)=f(1)=log31=0.
8.[-3,2]　[解析] 令x+a=t,因为x∈R,所以t∈R,y=f(x+a)=f(t),所以y=f(t)与y=f(x)为同一个函数,因此y=f(t)的值域为[-3,2],即函数y=f(x+a)的值域为[-3,2].
9.C　[解析] 当0≤x<2时,f(x)=x2,函数f(x)在[0,2)上单调递增,当x≥2时,f(x)=2(x-2),函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,又f(m)=f(m-2),若m-2≥2,则m≥4,此时f(m)>f(m-2),不合题意,所以0≤m-2<2,即2≤m<4,由f(m)=f(m-2),可得(m-2)2=2(m-2),整理得m2-6m+8=0,解得m=2或m=4(舍去),所以f(|3-m|)=f(1)=1.故选C.
10.A　[解析] 方法一:令x=0,则2f(2)+f(1)=0,令x=-1,则2f(1)+f(2)=1,所以
解得即f(1)=.故选A.
方法二:用-1-x代替x得方程2f(1-x)+f(2+x)=(-1-x)2,与已知联立得f(x+2)=,用x-2代替x可得f(x)=,令x=1,得f(1)==.
11.AD　[解析] 对于A,令t=x2(t≥0),则f(t)=|±|=,满足函数定义;对于B,令t=x2(t≥0),则f(t)=±,设t=4,则f(4)=±2,一个自变量对应两个函数值,不满足函数定义;对于C,设t=cos x,当t=时,x可以取,-等无数多个值,不满足函数定义;对于D,令t=ex(t>0),则x=ln t,f(t)=ln t,满足函数定义.故选AD.
12.ABD　[解析] 由D(x)=
可得D(x)的值域为{0,1},所以D[D(x)]=1,故选项A,B正确.因为当x是无理数时,D(x)=0且x+1是无理数,所以D(x+1)=0,所以D(x+1)≠D(x)+1,故选项C错误.当x是无理数时,x+1,-x-1均为无理数,此时有D(x+1)=D(-x-1)=0;当x是有理数时,x+1,-x-1均为有理数,此时有D(x+1)=D(-x-1)=1.所以对任意x∈R,总有D(x+1)=D(-x-1),故选项D正确.故选ABD.
13.(0,+∞)　[解析] 方法一:由题意可得或解得0方法二:画出函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,要使f(x-1)0,故x的取值范围是(0,+∞).
14.(-∞,]
[解析] 由sgn(x)=得f(x)=[x-sgn(x)·(2x2+x)]=所以f(x)的图象如图所示.若f[f(a)]≤2(*),由分段函数可知当f(a)<0时,由(*)可得[f(a)]2+f(a)≤2,即[f(a)+2][f(a)-1]≤0,可得-2≤f(a)<0;当f(a)=0时,由(*)可得0≤2恒成立;当f(a)>0时,由(*)可得-[f(a)]2≤2恒成立.综上可得f(a)≥-2.若a<0,则a2+a≥-2,即≥-恒成立;若a=0,则0≥-2恒成立;若a>0,则-a2≥-2,可得015.AB　[解析] 当a=时,f(x)=f,令t(x)=,当x∈(1,+∞)时,t(x)=∈ [0,1],满足条件;当a=时,f(x)=f,令m(x)=,当x∈(1,+∞)时,m(x)=∈(0,1) [0,1],满足条件;当a=时,f(x)=f,令n(x)=,当x∈(1,+∞)时,n(x)=∈ [0,1],不满足条件;当a=1时,f(x)=f,令g(x)=,当x∈(1,+∞)时,g(x)=∈ [0,1],不满足条件.故选AB.

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