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第7练　函数的单调性
1.[2023·北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)=-ln x
B.f(x)=
C.f(x)=-
D.f(x)=3|x-1|
2.函数f(x)=|x-1|+|x-2|的单调递增区间是 (　 )
A.[1,+∞) B.(-∞,1]
C.[1,2] D.[2,+∞)
3.函数y=的单调递增区间为 (　 )
A. B.[2,+∞)
C.(-∞,-3] D.
4.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上满足对任意的x1,x2∈(-1,1),且x1≠x2,都有<0,若f(2a-1)A. B.
C.(0,2) D.(0,+∞)
5.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,-2) B.(-∞,0)
C.(-3,-2] D.[-3,-2]
6.设函数f(x)在R上为增函数,则下列结论正确的是 (　 )
A.y=在R上为减函数
B.y=|f(x)|在R上为增函数
C.y=-在R上为增函数
D.y=-f(x)在R上为减函数
7.已知函数f(x)=2x+sin x,若f(ln a)8.设函数f(x)=lo(x2-ax+3)在(2,3)上单调递减,则a的取值范围是　　　　.
9.已知函数f(x)=且f(1)=5,f(2)=6.
(1)求f(x)的解析式;
(2)写出f(x)的单调递增区间和单调递减区间.
10.已知函数f(x)=ex+4x+1,a=f(ln 4),b=f(ln 3),c=f(1),则a,b,c的大小关系为 (　 )
A.b>c>a B.c>b>a
C.b>a>c D.a>b>c
11.[2025·河北唐山二模] 已知a=log23+log32,b=log45+log54,则下列结论正确的是 (　 )
A.a>b>2 B.a>2>b
C.b>a>2 D.2>a>b
12.(多选题)已知函数f(x)=,则下列叙述正确的是 (　 )
A.当a=1时,函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增
B.当a=1时,函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递减
C.若函数f(x)有最大值2,则a=1
D.若函数f(x)在区间(-∞,2)上单调递增,则a的取值范围是[0,1]
13.对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2,当00,②f>成立,则满足条件的函数f(x)的解析式可以是　　　　.
14.已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且f[f(x)-2x-2x]=10,则f(x)在[-2,2]上的最大值为　　　　.
15.已知函数f(x)的定义域为R,对任意的a,b∈R,都有f(a)f(b)=f(a+b).当x<0时,f(x)>1,且f(0)≠0.
(1)求f(0)的值,并证明当x>0时,0(2)判断f(x)的单调性;
(3)若f(2)=,求不等式f(5t2-6t)>的解集.
16.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有(x2-x1)·<0,且f(2)=4ln 2,则满足不等式f(x-2022)>2ln(2x-4044)的x的取值范围是 (　 )
A.(-∞,2022) B.(2022,2024)
C.[2022,+∞) D.[2024,+∞)
17.[2025·安徽江淮十校4月联考] 已知x,y∈R,且9x+(x-2)·3x=1,9y-1+y·3y=9,则x+y= (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
第7练　函数的单调性
1.C　[解析] 对于A,因为u=ln x在(0,+∞)上单调递增,y=-u在R上单调递减,所以f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,故A错误;对于B,因为u=2x在(0,+∞)上单调递增,y=在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=在(0,+∞)上单调递减,故B错误;对于C,因为u=在(0,+∞)上单调递减,y=-u在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,故C正确;对于D,因为f===,f(1)=3|1-1|=30=1,f(2)=3|2-1|=3,所以f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不单调,故D错误.故选C.
2.D　[解析] 因为f(x)=|x-1|+|x-2|=所以f(x)的单调递增区间为[2,+∞),故选D.
3.B　[解析] 由题意可得x2+x-6≥0,解得x≥2或x≤-3,又y=x2+x-6的单调递增区间为,y=在[0,+∞)上单调递增,故函数y=的单调递增区间为[2,+∞).故选B.
4.B　[解析] 由题知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,则有解得5.D　[解析] 因为函数f(x)=是R上的增函数,所以解得-3≤a≤-2.故选D.
6.D　[解析] 对于A,若f(x)=x,则y==,不是R上的减函数,故A错误;对于B,若f(x)=x,则y=|f(x)|=|x|,在R上不是增函数,故B错误;对于C,若f(x)=x,则y=-=-,不是R上的增函数,故C错误;对于D,函数f(x)在R上为增函数,则对于任意的x1,x2∈R,设x10,则y=-f(x)在R上为减函数,故D正确.故选D.
7.(0,e2)　[解析] 函数f(x)=2x+sin x的定义域为R,因为f'(x)=2+cos x>0恒成立,所以函数f(x)在R上单调递增.因为f(ln a)8.　[解析] 令u=x2-ax+3,因为函数y=lou在(0,+∞)上为减函数,函数f(x)=lo(x2-ax+3)在(2,3)上单调递减,所以函数u=x2-ax+3在(2,3)上单调递增,所以≤2,解得a≤4,且u>0对任意x∈(2,3)恒成立,则4-2a+3=7-2a≥0,解得a≤,所以a的取值范围是.
9.解:(1)因为
所以解得
所以f(x)=
(2)由(1)知f(x)=
画出函数f(x)的图象,如图所示.
由图可知,函数f(x)的单调递减区间是(-∞,0),[2,+∞),单调递增区间是[0,2).
10.D　[解析] 函数f(x)=ex+4x+1的定义域为R,且f(x)是增函数,因为ln 4>ln 3>1,所以f(ln 4)>f(ln 3)>f(1),即a>b>c.故选D.
11.A　[解析] 设f(x)=x+,x>0,则由对勾函数的单调性得,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(1)=2,且a=log23+log32=log23+=f(log23),b=log45+log54=log45+=f(log45),因为log23>log2=log45>1,所以f(log23)>f(log45)>f(1),即a>b>2.故选A.
12.BCD　[解析] 对于A,B,当a=1时,f(x)=,因为y=x2-4x+3在(2,+∞)上单调递增,y=在R上单调递减,所以由复合函数的单调性可得,函数f(x)=在(2,+∞)上单调递减,故A错误,B正确.对于C,显然当a=0时,f(x)没有最大值;当a≠0时,若f(x)=有最大值2,则函数y=ax2-4x+3=a+3-有最小值-1,所以解得a=1,故C正确.对于D,若函数f(x)=在(-∞,2)上单调递增,则y=ax2-4x+3在(-∞,2)上单调递减.当a=0时,显然成立;当a≠0时,由二次函数的性质可得解得013.f(x)=lg x(答案不唯一)
[解析] 由当00成立,得函数f(x)在上单调递增;由当0成立,得函数f(x)在上是上凸函数.故f(x)的解析式可以是f(x)=lg x.
14.10　[解析] 因为f(x)是定义在R上的单调函数,所以存在唯一的t∈R,使得f(t)=10,则f(x)-2x-2x=t,即f(x)=2x+2x+t,令x=t,则f(t)=2t+3t=10.因为函数y=2t+3t为增函数,且22+3×2=10,所以t=2,则f(x)=2x+2x+2.易知f(x)在[-2,2]上单调递增,所以f(x)在[-2,2]上的最大值为f(2)=10.
15.解:(1)令a=b=0,则[f(0)]2=f(0),又f(0)≠0,所以f(0)=1.
证明:当x>0时,-x<0,所以f(-x)>1,又f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1,所以f(x)=,所以0(2)令x1则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)f(x2)-f(x2)=f(x2)[f(x1-x2)-1],
又x1所以f(x1-x2)>1,所以f(x1-x2)-1>0,
又当x<0时,f(x)>1,当x>0时,0当x=0时,f(0)=1,所以f(x)>0,所以f(x2)>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)在R上单调递减.
(3)因为f(2)=,所以f(8)=f(2)f(6)=f(2)f(2)f(4)=[f(2)]4=,
所以f(5t2-6t)>=f(8),
由(2)知f(x)在R上单调递减,所以5t2-6t<8,解得-所以不等式f(5t2-6t)>的解集为.
16.B　[解析] 由(x2-x1)·<0,可得(x2-x1)·{f(x2)-2ln x2-[f(x1)-2ln x1]}<0,令g(x)=f(x)-2ln x,可得(x2-x1)·[g(x2)-g(x1)]<0,即对任意的x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有(x2-x1)·[g(x2)-g(x1)]<0,所以函数g(x)=f(x)-2ln x在(0,+∞)上单调递减.f(x-2022)>2ln(2x-4044)等价于f(x-2022)>2ln(x-2022)+2ln 2,即f(x-2022)-2ln(x-2022)>2ln 2,可得g(x-2022)>2ln 2,又f(2)=4ln 2,所以g(2)=f(2)-2ln 2=2ln 2,所以g(x-2022)>2ln 2等价于g(x-2022)>g(2),因此可得017.B　[解析] 9x+(x-2)·3x=1,两边同除以3x,得3x+x-2=3-x,即3x-3-x+x-2=0.9y-1+y·3y=9,两边同除以3y,得3y-2+y=32-y,即32-y-3y-2-y=0,整理得32-y-3y-2+(2-y)-2=0.设f(x)=3x-3-x+x-2,显然函数f(x)是R上的增函数,所以f(x)=f(2-y),所以x=2-y,因此x+y=2.故选B.

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