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第8练　函数的奇偶性、对称性
1.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,1)上单调递增的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)=2-x B.f(x)=ln|x|
C.f(x)= D.f(x)=sin x
2.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.
C.-1 D.-
3.[2025·大庆一模] 已知函数f(x)的定义域为R,则“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.若函数f(x)=是R上的偶函数,则a+b= (　 )
A.1 B.2
C.-1 D.0
5.[2023·全国乙卷] 已知f(x)=是偶函数,则a= (　 )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
6.(多选题)[2025·辽阳二模] 已知函数f(x)=sin,则下列结论正确的是 (　 )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为[-1,1]
C.f(x)是奇函数
D.f(x)在上单调递减
7.已知奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x·f(x)<0的解集是　　　　.
8.已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)=f(5),函数f(ax-1)的图象关于直线x=2对称,则a=　　　　.
9.判断下列函数的奇偶性与单调性.
(1)f(x)=ln;
(2)f(x)=+;
(3)f(x)=ln(ex-e-x);
(4)f(x)=ln(+x).
10.[2025·湖南邵阳二模] 已知函数f(x)=3x3-sin x+x,则满足f(x)+f(4-3x)<0的x的取值范围是 (　 )
A.(1,+∞) B.(-∞,1)
C.(2,+∞) D.(-∞,2)
11.[2025·深圳二模] 已知函数f(x)=aex-e-x(a为常数),则下列命题为真命题的是 (　 )
A. a∈R,f(x)为奇函数
B. a∈R,f(x)为偶函数
C. a∈R,f(x)为增函数
D. a∈R,f(x)为减函数
12.[2025·临汾三模] 已知f(x)=log2(1+4-x)+x,则满足f(2m-3)A.(1,3) B.
C.(-∞,3) D.(3,+∞)
13.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为奇函数,f(2x+1)为偶函数,则一定有 (　 )
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(x)的图象关于点(1,0)对称
C.f(x)的图象关于直线x=2对称
D.f(x)的图象关于点(2,0)对称
14.若函数y=f(1-x)的图象与函数y=f(2+x)的图象关于直线x=m对称,则m=　　　　.
15.[2026·重庆南开中学月考] 已知函数f(x)=aex+be-x.
(1)若函数f(x)为奇函数,求a2-2b的最小值;
(2)若函数f(x)为偶函数,且e2x+e-2x+f(x)≥0在R上恒成立,求实数a的取值范围.
16.[2025·德州三模] 已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且f(x+1)-2为奇函数,对任意的a∈[-3,2],不等式f(2a+t)+f(a2-1)≤4恒成立,则实数t的取值范围是 (　 )
A.(-∞,-5] B.(-∞,0]
C.[0,+∞) D.[-5,+∞)
17.[2025·湖北“新八校”协作体5月联考] 已知f(x)=ex+1-e1-x+ln(-x),且f(ln m)+f=0,则下列结论可能成立的是 (　 )
A.nC.m<1第8练　函数的奇偶性、对称性
1.D　[解析] 对于A,f(x)=2-x的定义域为R,f(-1)=2≠-f(1)=-,即函数f(x)=2-x不是奇函数,故A错误;对于B,f(x)=ln|x|的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,但f(-x)=ln|-x|=ln|x|=f(x)≠-f(x),所以函数f(x)=ln|x|不是奇函数,故B错误;对于C,函数f(x)==的定义域为R,但f(-x)===f(x)≠-f(x),所以函数f(x)=不是奇函数,故C错误;对于D,f(x)=sin x的定义域为R,且f(-x)=sin(-x)=-sin x=-f(x),即函数f(x)=sin x是奇函数,且函数f(x)=sin x在上单调递增,所以f(x)在(0,1)上单调递增,故D正确.故选D.
2.C　[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,所以f(-2)=-f(2)=-(22-3)=-1.故选C.
3.B　[解析] 取f(x)=x(x-1),x∈R,则f(0)=0,但f(1)=0,f(-1)=2,即f(-1)≠-f(1),所以函数f(x)不是奇函数,故充分性不成立;若函数f(x)为奇函数,则f(0)=-f(-0),即f(0)=0,故必要性成立.所以“f(0)=0”是“函数f(x)为奇函数”的必要不充分条件.故选B.
4.A　[解析] 若函数f(x)是R上的偶函数,则有即
解得当时,f(x)=f(0)=0,当x>0时,-x<0,f(-x)=x3+2x=f(x);当x<0时,-x>0,f(-x)=-x3-2x=f(x).所以函数f(x)是R上的偶函数,符合题意,则a+b=2-1=1,故选A.
5.D　[解析] 方法一:因为f(x)=是偶函数,所以f(x)-f(-x)=-==0,又因为x不恒为0,所以ex-e(a-1)x=0,即ex=e(a-1)x,则x=(a-1)x,即1=a-1,解得a=2.故选D.
方法二:因为f(x)=是偶函数,所以f(1)=f(-1),即=-,解得a=2,经检验符合题意.故选D.
方法三:由题设,可知f(x)=x·,且y=x为奇函数,则g(x)=为奇函数,由g(x)+g(-x)=0,解得a=2.故选D.
6.BCD　[解析] f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为[-1,1],故A错误,B正确.f(-x)=sin=-sin=-f(x),f(x)是奇函数,故C正确.当x∈时,∈,因为函数y=在上单调递减,函数y=sin x在上单调递增,所以f(x)在上单调递减,故D正确.故选BCD.
7.(-2,-1)∪(1,2)　[解析] ∵x·f(x)<0,∴当x>0时,f(x)<0,结合函数的图象可得10,根据奇函数f(x)的图象关于原点对称可得-28.2　[解析] 因为f(ax-1)的图象关于直线x=2对称,所以f(ax-1)=f[a(4-x)-1],又f(1)=f(5),所以或
解得a=2.
9.解:(1)由题意可得(1+x)(1-x)>0,解得-1又f(-x)=ln=ln=-ln=-f(x),所以函数f(x)=ln为奇函数.
又f'(x)=×=<0,所以函数f(x)为减函数.
(2)由得x2=1,则x=±1,故函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0,
所以f(-x)=f(x)=-f(x),所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
f(x)是常函数,不具有单调性.
(3)由题可知ex-e-x>0,即x>0,定义域不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.显然f(x)是增函数.
(4)函数f(x)的定义域为R,f(-x)=ln(-x)=ln=-f(x),所以f(x)为奇函数.
f'(x)=×>0,所以f(x)为增函数.
10.C　[解析] f(x)=3x3-sin x+x的定义域为R,f(-x)=-3x3+sin x-x=-f(x),故f(x)为奇函数,又f'(x)=9x2-cos x+1≥0,所以f(x)在R上单调递增,所以f(x)+f(4-3x)<0等价于f(x)<-f(4-3x)=f(3x-4),所以x<3x-4,可得x>2,故x的取值范围是(2,+∞).故选C.
11.B　[解析] 对于A,由题可知f(x)+f(-x)=(a-1)(ex+e-x),若f(x)为奇函数,则f(x)+f(-x)=0恒成立,即(a-1)(ex+e-x)=0恒成立,因为ex+e-x>0恒成立,所以a-1=0,解得a=1,所以若f(x)为奇函数,则a=1,故选项A中命题是假命题.对于B,f(x)-f(-x)=(a+1)(ex-e-x),若f(x)为偶函数,则f(x)-f(-x)=0恒成立,即(a+1)(ex-e-x)=0恒成立.因为ex-e-x不恒为0,所以a+1=0,解得a=-1,所以若f(x)为偶函数,则a=-1,故选项B中命题是真命题.对于C,D,f'(x)=.当a≥0时,ae2x+1>0,ex>0,所以f'(x)>0,则f(x)为增函数.当a<0时,令f'(x)=0,即=0,则ae2x+1=0,即e2x=-,解得x=-.当x<-时,f'(x)>0,f(x)在上单调递增;当x>-时,f'(x)<0,f(x)在上单调递减,故选项C,D中命题均为假命题.故选B.
12.A　[解析] 由f(x)=log2(1+4-x)+x,知其定义域为R,又f(-x)-f(x)=log2(1+4x)-x-log2(1+4-x)-x=log2-2x=log24x-2x=2x-2x=0,所以函数f(x)为偶函数,f(x)=log2(1+4-x)+x=log2(1+2-2x)+log22x=log2(2x+2-x),由y=2x在R上单调递增,y=x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,得y=2x+在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减.由f(2m-3)13.AD　[解析] 因为f(x+2)为奇函数,所以f(x+2)=-f(-x+2),所以函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,故C错误,D正确.因为f(2x+1)为偶函数,所以f(2x+1)=f(-2x+1),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,故A正确,B错误.故选AD.
14.-　[解析] 设点P(x,y)在函数y=f(1-x)的图象上,点P关于直线x=m的对称点为Q(x',y'),则则则y'=f(1-2m+x'),即y=f(1-2m+x)的图象与y=f(1-x)的图象关于直线x=m对称,则1-2m=2,解得m=-.
15.解:(1)函数f(x)=aex+be-x的定义域为R,由于函数f(x)为奇函数,则f(-x)+f(x)=0,即ae-x+bex+aex+be-x=0,即(a+b)(ex+e-x)=0,
因为ex+e-x>0,所以a+b=0,即b=-a,所以a2-2b=a2+2a=(a+1)2-1≥-1,当且仅当a=-1时取等号,所以a2-2b的最小值为-1.
(2)由于函数f(x)为偶函数,
则f(-x)=f(x)在R上恒成立,
即ae-x+bex=aex+be-x,即(a-b)(ex-e-x)=0,因为ex-e-x不恒等于0,所以a-b=0,即a=b.
因为e2x+e-2x+f(x)≥0在R上恒成立,所以e2x+e-2x+a(ex+e-x)≥0恒成立,令t=ex+e-x,则有t≥2=2,当且仅当x=0时取等号,
则e2x+e-2x+a(ex+e-x)≥0恒成立,等价于t2-2+at≥0,t≥2恒成立,所以-a≤t-,而y=t-在[2,+∞)上单调递增,故t-≥2-=1,所以-a≤1,所以a≥-1.
16.A　[解析] 令g(x)=f(x+1)-2,则f(x)=g(x-1)+2,由f(2a+t)+f(a2-1)≤4,可得g(2a+t-1)+2+g(a2-1-1)+2≤4,即g(2a+t-1)+g(a2-2)≤0,又因为g(x)为奇函数,所以g(2a+t-1)≤-g(a2-2)=g(2-a2).因为f(x)是定义在R上的增函数,所以g(x)也是定义在R上的增函数,故2a+t-1≤2-a2,即t≤-a2-2a+3=-(a+1)2+4恒成立.因为a∈[-3,2],所以-(a+1)2+4≥-(2+1)2+4=-5,所以t≤-5,即实数t的取值范围是(-∞,-5].故选A.
17.D　[解析] 函数f(x)的定义域为R,f(-x)=e-x+1-e1+x+ln(+x)=-[ex+1-e1-x+ln(-x)]=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.又f'(x)=ex+1+e1-x+≥2-=2e-≥2e-1>0,所以函数f(x)在R上单调递增,又f(ln m)+f=0,所以可得ln m=-=1-,画出y=ln x,y=1-的图象,如图所示,当n

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