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第16练　导数的概念及其意义、导数的运算
1.下列求导运算中正确的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.4'=2
B.(3x)'=x·3x-1
C.(ln x)'=
D.(x5)'=5x4
2.函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,则m= (　 )
A. B.1
C.2 D.
3.[2025·广东湛江二模] 已知函数f(x)=ex+2x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 (　 )
A.y=2x+1 B.y=3x+1
C.y=2x D.y=3x
4.已知函数f(x)=xln x-x2,则=(　 )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
5.曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示,则f'(1)-f(1)= (　 )
A.0 B.2
C.-2 D.-1
6.(多选题)设函数f(x)在(a,b)上的导函数为f'(x),f'(x)在(a,b)上的导函数为f″(x),若在(a,b)上f″(x)<0恒成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”.以下四个函数在上是凸函数的是 (　 )
A.f(x)=sin x+cos x
B.f(x)=ln x-2x
C.f(x)=-x3+2x-1
D.f(x)=-x
7.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且f(x)=2xf'+sin x,则f'=　　　　.
8.[2025·全国一卷] 若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=　　　　.
9.[2025·广州二模] 已知函数f(x)=e2x,g(x)=(a>0).若直线l:y=2x+m与曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都相切,求a的值.
10.若直线l与曲线y=和圆x2+y2=都相切,则l的方程为 (　 )
A.y=2x+1 B.y=2x+
C.y=x+1 D.y=x+
11.已知m>0,n>0,直线y=+m+1与曲线y=ln x-n+2相切,则+的最小值是 (　 )
A.16 B.12
C.10 D.9
12.(多选题)已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))两个不同点处的切线相互平行,则下列等式可能成立的是 (　 )
A.x1+x2=2 B.x1+x2=
C.x1x2=1 D.x1x2=
13.[2025·黑龙江哈尔滨三模] 已知函数f(x)=xex,g(x)=f(x)+f(2-x),则g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线方程为　　　　.
14.若函数f(x)的图象在不同两点处的切线重合,则称这条切线为自公切线,请写出一个有自公切线的函数f(x)=　　　　.
15.已知函数f(x)=2x3-3x.
(1)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程;
(2)若过点P(-1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围.
16.已知函数f(x)=sin x-ax.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间.
(2)直线l是曲线y=f(x)的一条切线,且l与曲线有无穷多个切点.
(i)已知O为坐标原点,直线l与y轴交于点T,求|OT|的值.
(ii)是否存在常数a使得直线l也是g(x)=e(a+1)x-ln(x+1)的图象的切线 若存在,写出直线l的一个方程并证明;若不存在,请说明理由.
第16练　导数的概念及其意义、导数的运算
1.D　[解析] 对于A,4'=0,故A错误;对于B,(3x)'=3x·ln 3,故B错误;对于C,(ln x)'=,故C错误;对于D,(x5)'=5x4,故D正确.
2.B　[解析] 函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于==2.由f(x)=x2,得f'(x)=2x,所以f'(m)=2m.因为函数f(x)=x2在区间[0,2]上的平均变化率等于x=m时的瞬时变化率,所以2=2m,解得m=1.
3.B　[解析] 由f(x)=ex+2x,得f'(x)=ex+2,则f(0)=1,f'(0)=3,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-1=3(x-0),即y=3x+1.
4.B　[解析] 由导数的定义可知,=
-=-f'(1),又f'(x)=1+ln x-2x,所以f'(1)=1+ln 1-2=-1,所以=1.故选B.
5.C　[解析] 设曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=kx+b,则解得所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x+2,则切线斜率为1,所以f'(1)=1,f(1)=1+2=3,所以f'(1)-f(1)=1-3=-2.
6.ABC　[解析] 对于A,由f(x)=sin x+cos x,得f'(x)=cos x-sin x,则f″(x)=-sin x-cos x=
-(sin x+cos x),因为x∈,所以sin x>0,cos x>0,所以f″(x)=-(sin x+cos x)<0,所以此函数在上是凸函数;对于B,由f(x)=ln x-2x,得f'(x)=-2,则f″(x)=-,因为x∈,所以f″(x)=-<0,所以此函数在上是凸函数;对于C,由f(x)=-x3+2x-1,得f'(x)=-3x2+2,则f″(x)=-6x,因为x∈,所以f″(x)=-6x<0,所以此函数在上是凸函数;对于D,由f(x)=-xe-x,得f'(x)=-e-x+xe-x,则f″(x)=e-x+e-x-xe-x=(2-x)e-x,因为x∈,所以f″(x)=(2-x)>0,所以此函数在上不是凸函数.故选ABC.
7.-　[解析] 因为f(x)=2xf'+sin x,所以f'(x)=2f'+cos x,令x=,则f'=2f'+cos,解得f'=-,令x=,则f'=2f'+cos=-1-=-.
8.4　[解析] 方法一:对于y=ex+x+a,其导函数为y'=ex+1,令y'=ex+1=2,即ex=1,解得x=0,将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5,所以切点坐标为(0,5).因为切点(0,5)在曲线y=ex+x+a上,所以5=e0+0+a,即5=1+a,解得a=4.
方法二:对于y=ex+x+a,其导函数为y'=ex+1.设直线y=2x+5与曲线y=ex+x+a的切点坐标为(x0,y0),则解得a=4.
9.解:方法一:设直线l与曲线y=f(x)的切点坐标为(x0,y0),
由f'(x)=2e2x,得f'(x0)=2=2,
解得x0=0,则y0==1,
则切点坐标为(0,1),所以直线l的方程为y-1=2x,即y=2x+1.
由得4x2+(4-a)x+1=0,则Δ=(4-a)2-16=0,解得a=8或a=0(舍去),当a=8时,x=,符合题意,所以a=8.
方法二:设直线l与曲线y=f(x)的切点坐标为(x0,y0),
由f'(x)=2e2x,得f'(x0)=2=2,
解得x0=0,则y0==1,
则切点坐标为(0,1),所以直线l的方程为y-1=2x,即y=2x+1.
当a>0时,函数g(x)=的定义域为[0,+∞),设直线l与曲线y=g(x)的切点坐标为(x1,y1),
由g'(x)=,得g'(x1)==2,得a=16x1①,
则直线l的方程为y-=2(x-x1),即y=2x-2x1+,
则-2x1+=1②.
由①②解得x1=,a=8.
10.D　[解析] 设直线l与曲线y=相切于点(x0,)(x0≥0),因为y'=,所以直线l的方程是y-=(x-x0),即x-2y+x0=0,又直线l与圆x2+y2=相切,所以==,得x0=1,所以l的方程为x-2y+1=0,故选D.
11.D　[解析] 由y=ln x-n+2得y'=.由直线y=+m+1与曲线y=ln x-n+2相切可得=,解得x=e,则+m+1=ln e-n+2,即m+n=1,又m>0,n>0,所以+=(m+n)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即m=,n=时等号成立.故选D.
12.BC　[解析] 因为f(x)=x2+2ln x,所以f'(x)=2x+,x>0,又f(x)的图象在A,B两点处的切线相互平行,所以f'(x1)=2x1+=f'(x2)=2x2+,整理得(x1-x2)=0,又x1≠x2,所以x1x2=1,故C正确,D错误;因为x1+x2≥2=2,当且仅当x1=x2时取等号,但x1≠x2,所以x1+x2>2,故A错误,B正确.故选BC.
13.y=2e　[解析] 由题意可知g(1)=2f(1)=2e,且g'(x)=f'(x)-f'(2-x)=ex(1+x)+e2-x(x-3),故g'(1)=0,故g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线方程为y=2e.
14.sin x(答案不唯一)　[解析] 正弦函数f(x)=sin x的图象是周期为2π的波浪线.因为f=sin=1,f'=cos=0,所以f(x)的图象在x=处的切线方程为y-1=0×,即y=1.因为f=sin=1,f'=cos=0,所以f(x)的图象在x=处的切线方程为y-1=0×,即y=1.显然f(x)的图象在x=和x=处的切线重合,所以f(x)=sin x有自公切线.
15.解:(1)因为f'(x)=6x2-3,
所以f'(0)=-3,又f(0)=0,所以曲线y=f(x)在x=0处的切线方程为y=-3x.
(2)设切点为(x0,y0),则f'(x0)=6-3,所以切线方程为y-y0=(6-3)(x-x0),
将y0=2-3x0代入,整理可得y=3(2-1)x-4,又点P(-1,t)在切线上,所以t=-3(2-1)-4=-4-6+3(*).
要使过点P(-1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,则方程(*)有3个解.令g(x)=-4x3-6x2+3,则g'(x)=-12x2-12x=-12x(x+1).令g'(x)>0,可得-1所以g(x)在(-1,0)上单调递增;
令g'(x)<0,可得x<-1或x>0,所以g(x)在(-∞,-1)和(0,+∞)上单调递减,所以g(x)在x=-1处取得极小值,在x=0处取得极大值,
又g(-1)=1,g(0)=3,
所以116.解:(1)函数f(x)的定义域为R,
当a=1时,f(x)=sin x-x,则f'(x)=cos x-1≤0,所以f(x)的单调递减区间为R,无单调递增区间.
(2)(i)因为直线l与曲线y=f(x)相切,且有无穷多个切点,所以不妨设其中任意两个切点为M(x1,sin x1-ax1),N(x2,sin x2-ax2),其中x1≠x2.因为f'(x)=cos x-a,所以曲线y=f(x)在点M,N处的切线方程分别为y=(cos x1-a)x+sin x1-x1cos x1,y=(cos x2-a)x+sin x2-x2cos x2,所以cos x1=
cos x2且sin x1-x1cos x1=sin x2-x2cos x2,所以x1=x2+2kπ(k∈π(k∈Z).
①当x1=x2+2kπ(k∈Z)时,sin x1=sin x2,
又因为sin x1-x1cos x1=sin x2-x2cos x2,所以(x2-x1)cos x1=0,
又x2-x1≠0,所以cos x1=0;
②当x1+x2=2kπ(k∈Z)时,sin x1=-sin x2,取异于M,N的另一切点E(x3,sin x3-ax3),则cos x1=
cos x2=cos x3,sin x1-x1cos x1=sin x2-x2cos x2=sin x3-x3cos x3,如果sin x1=sin x3,由于x1≠x3,同①可得cos x1=0,如果sin x1=-sin x3,则sin x2=sin x3,同理可得cos x2=0,则cos x1=0.
综上,cos x1=0恒成立,
所以x1=+kπ(k∈Z),此时直线l的方程为y=-ax+sin x1,
故|OT|=|sin x1|=1.
(ii)当直线l的方程为y=-ax+1时,设直线l和曲线y=g(x)相切于点Q(x0,g(x0))(x0>-1).
因为g'(x)=(a+1)e(a+1)x-,所以
则(a+1)x0-=-ax0,+(a+1)x0=ln(x0+1)+x0+1=+ln(x0+1).
构造函数φ(x)=ex+x,
因为φ(x)在R上单调递增,且φ[(a+1)x0]=φ[ln(x0+1)],
所以(a+1)x0=ln(x0+1),代入(a+1)x0-=-ax0得ln(x0+1)-=x0-ln(x0+1),
即ln(x0+1)-=0.
构造函数F(x)=ln(x+1)-,则F'(x)=-=,当x∈(-1,0)时,F'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,F'(x)>0,
所以F(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故F(x)≥F(0)=0,故由F(x0)=0可知x0=0,所以a=0.
故存在常数a=0使得直线l也是g(x)=e(a+1)x-ln(x+1)的图象的切线,此时直线l的方程为y=1.

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