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第17练　导数与函数的单调性
1.函数y=f(x)的部分图象如图所示,则 (　 )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.f'(2)>0 B.f'(6)<0
C.f'(3)=0 D.f'(3)<0
2.函数f(x)=的单调递增区间是 (　 )
A.(0,2)
B.(-∞,0),(2,+∞)
C.(-∞,-2),(0,+∞)
D.(-2,0)
3.已知f(x)在R上可导,f'(x)是函数f(x)的导函数,则“f(x)在(a,b)上单调递减”是“f'(x)<0在(a,b)上恒成立”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,3),则b+c= (　 )
A.-12 B.-10
C.8 D.10
5.[2025·长沙六校联考] 已知函数f(x)=cos x+ex,且a=f(2),b=f,c=f(ln 2),则a,b,c的大小关系为 (　 )
A.aB.aC.cD.b6.(多选题)[2026·成都零诊] 设函数f(x)=x3-3x+3,则 (　 )
A.f(x)在(-1,1)上单调递减
B.当x∈[0,2]时,f(x)的取值范围为[3,5]
C.f(x)有三个零点
D.曲线y=f(x)关于点(0,3)对称
7.函数f(x)=x+2cos x,x∈的单调递减区间为　　　　.
8.若函数f(x)=x2-9ln x在区间[m-1,m+1]上单调,则实数m的取值范围是　　　　.
9.已知函数f(x)=x2+aln x-(a+1)x(a∈R),讨论f(x)的单调性.
10.[2026·苏州开学考] “a>2”是“函数f(x)=ax-tan x在上单调递增”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.[2025·南京期末] 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(2-x)=f(x),<0,若x1+x2>2,x1A.f(x1)B.f(x1)=f(x2)
C.f(x1)>f(x2)
D.f(2026)>f(2025)
12.(多选题)若函数f(x)=aln x-ex+2在区间(1,3)上不单调,则实数a的取值可以是 (　 )
A.e B.e2
C.2e3 D.4e3
13.已知函数f(x)=2ln x-ax2-2x在上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为　　　　.
14.已知函数f(x)=3x3-2x+ex-,其中e是自然对数的底数.若f(a)+f(a2-2)<0,则实数a的取值范围是　　　　.
15.[2025·浙江Z20联盟二联] 已知函数f(x)=x(ln x+a-1).
(1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数g(x)=f(x)-ax2在区间[2,3]上单调递减,求实数a的取值范围.
16.(多选题)已知函数f(x)=,其定义域为D,导函数为f'(x),则 (　 )
A. x∈D,f(2-x)-f(x)=0
B.存在m∈D,使得f'(x-m)为奇函数
C. x∈D,f(x)<
D.方程f[f(x)]=0有4个不同的实数根
17.已知函数f(x)=x+aln x,其中a>0,若对任意实数x1,x2∈,x1≠x2,都有第17练　导数与函数的单调性
1.D　[解析] 由图象可得f(x)在[1,5]上单调递减,在(5,+∞)上单调递增,所以f'(2)<0,f'(3)<0,f'(6)>0.故选D.
2.A　[解析] 函数f(x)=的定义域为R,f'(x)=,由f'(x)>0可得03.B　[解析] 当f(x)在(a,b)上单调递减时,f'(x)<0在(a,b)上不一定恒成立,例如f(x)=-x3,显然f(x)在(-1,1)上单调递减,但f'(0)=-3×02=0;若f'(x)<0在(a,b)上恒成立,设x0∈(a,b),则f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率k=f'(x0)<0,所以f(x)在(a,b)上单调递减.所以“f(x)在(a,b)上单调递减”是“f'(x)<0在(a,b)上恒成立”的必要不充分条件.故选B.
4.A　[解析] 由题可得f'(x)=3x2+2bx+c,由题意知,-1,3是f'(x)=0的两个根,∴-1+3=-,-1×3=,∴b=-3,c=-9,∴b+c=-12.故选A.
5.D　[解析] 由题可得f'(x)=-sin x+ex,当x>0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为2>ln 2>ln=,所以f6.AD　[解析] 由f'(x)=3x2-3<0,解得-10,则f(x)在(1,2]上单调递增,又f(0)=3,f(1)=1,f(2)=5,所以当x∈[0,2]时,f(x)的取值范围为[1,5],故B错误;f(x)在(-1,1)上单调递减,在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增,f(x)极大值=f(-1)=5,f(x)极小值=f(1)=1,结合图象可知f(x)只有一个零点,故C错误;因为f(x)+f(-x)=x3-3x+3+(-x)3+3x+3=6,所以曲线y=f(x)关于点(0,3)对称,故D正确.故选AD.
7.　[解析] 由已知得f'(x)=1-2sin x,x∈,令f'(x)<0,即1-2sin x<0,可得8.19.解:f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)==.
①当a≤0时,由f'(x)<0,得00,得x>1,
所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;
②当a=1时,f'(x)≥0恒成立,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
③当00,得x>1或0④当a>1时,由f'(x)<0,得10,得x>a或0所以函数f(x)在(1,a)上单调递减,在(0,1),(a,+∞)上单调递增.
综上,当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增;
当0当a>1时,函数f(x)在(1,a)上单调递减,在(0,1),(a,+∞)上单调递增.
10.A　[解析] 函数f(x)=ax-tan x=ax-,求导得f'(x)=a-,若函数f(x)在上单调递增,则f'(x)≥0,即a≥对任意x∈恒成立,而当x∈时,2”是“函数f(x)=ax-tan x在上单调递增”的充分不必要条件.故选A.
11.C　[解析] 由题设可知函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且当x<1时,函数f(x)单调递增,当x>1时,函数f(x)单调递减,则f(2026)2,所以x2-1>1-x1,该不等式说明x2到对称轴x=1的距离比x1到对称轴x=1的距离远,即|x2-1|>|x1-1|,又函数f(x)的函数值随自变量与对称轴距离的增大而减小,所以f(x1)>f(x2),故A,B错误,C正确.故选C.
12.BC　[解析] 由题知,f'(x)=-ex=,因为f(x)在(1,3)上不单调,所以函数y=a-xex在(1,3)上存在变号零点.设g(x)=a-xex,x∈(1,3),则g'(x)=-(x+1)ex<0,则g(x)在(1,3)上单调递减,所以即解得e13.(-∞,4)　[解析] 因为函数f(x)=2ln x-ax2-2x在上存在单调递增区间,所以f'(x)=-ax-2>0在区间上有解,即->a对x∈有解.令t=∈,则2t2-2t>a对t∈有解.令h(t)=2t2-2t,t∈,由二次函数的性质可得h(t)14.(-2,1)　[解析] f(x)的定义域为R,∵函数f(x)=3x3-2x+ex-,∴f(-x)=-3x3+2x+e-x-=-3x3+2x+-ex,则f(-x)=-f(x),∴函数f(x)在R上为奇函数.
∵f'(x)=9x2-2+ex+≥9x2-2+2≥0,∴函数f(x)在R上单调递增.∵f(a)+f(a2-2)<0,
∴f(a2-2)<-f(a)=f(-a),∴a2-2<-a,解得-215.解:(1)当a=2时,f(x)=x(ln x+1),∴f'(x)=ln x+1+1=ln x+2,
∴f'(1)=2,f(1)=1,则切点为(1,1),∴所求切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
(2)g(x)=x(ln x+a-1)-ax2xln x+ax-x-ax2,
∵函数g(x)在区间[2,3]上单调递减,∴g'(x)=ln x+a-ax≤0在区间[2,3]上恒成立,∴ln x≤a(x-1)对x∈[2,3]恒成立.
由x∈[2,3],得x-1∈[1,2],则a≥对x∈[2,3]恒成立.
令h(x)=,x∈[2,3],则a≥h(x)恒成立,a≥h(x)max.
h'(x)=,令t(x)=1--ln x,则t(2)=1--ln 2=-ln 2<0,当x∈[2,3]时,t'(x)=-=<0,则t(x)在[2,3]上单调递减,故t(x)≤-ln 2<0,则h(x)在[2,3]上单调递减,∴h(x)max=h(2)=ln 2,∴实数a的取值范围为[ln 2,+∞).
16.ABC　[解析] 因为f(x+1)=,所以f(x+1)是偶函数,所以曲线y=f(x)关于直线x=1对称,则f(2-x)-f(x)=0恒成立,故A正确;由A得f(-x+1)=f(x+1),两边取导数得-f'(-x+1)=f'(x+1),所以f'(x+1)为奇函数,此时m=-1,又函数f(x)的定义域为{x|x≠1},所以存在m∈D,使得f'(x-m)为奇函数,故B正确;当x>1时,f'(x)=,由f'(x)=0,得x=1+,当x∈(1,1+)时,f'(x)>0,当x∈(1+,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,1+)上单调递增,在(1+,+∞)上单调递减,所以f(x)max=<,由曲线y=f(x)关于直线x=1对称,得 x∈D,f(x)<,故C正确;设f(x)=t,则f(t)=0,于是t=0或t=2,当t=0时,由f(x)=0,解得x1=0,x2=2,当t=2时,由C可知,方程f(x)=2无解,所以方程f[f(x)]=0有2个不同的实数根,故D错误.故选ABC.
17.　[解析] 不妨设x10,所以f(x)在上单调递增,所以f(x1)-,即f(x2)+>f(x1)+,令g(x)=f(x)+=x+aln x+,则g(x2)>g(x1),所以g'(x)=≥0在上恒成立,则a≥-x对x∈恒成立.令h(x)=-x,易知h(x)在上单调递减,所以当x∈时,h(x)|f(x1)-f(x2)|>,则a的取值范围是　　　　.

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