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第18练　导数与函数的极值、最值
1.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.1-e B.-1
C.-e D.0
2.已知函数f(x)=-xex,那么f(x)的极大值是 (　 )
A. B.-
C.-e D.e
3.函数f(x)=cos x+xsin x在[0,π]上的最大值为 (　 )
A.0 B.
C. D.π
4.下列函数中,存在极小值的是 (　 )
A.y=lg x
B.y=x(x-1)(x-2)
C.y=2x
D.y=x+sin x
5.当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)= (　 )
A.-1 B.- C. D.1
6.(多选题)[2025·全国二卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则 (　 )
A.f(0)=0
B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2
C.f(x)≥2,当且仅当x≥
D.x=-1是f(x)的极大值点
7.已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)的导函数为f'(x),若g(x)=xf'(x)的图象如图所示,则f(x)的极小值点为　　　　.
8.[2026·湖北部分学校9月模拟] 若函数f(x)=x3+2ax2+a2x+1在x=1处有极小值,则实数a的值为　　　　.
9.[2025·唐山二模] 已知x1=1,x2=2是函数f(x)=x2+ax+bln x的两个极值点.
(1)求a,b的值;
(2)若曲线y=f(x)在点T(t,f(t))处的切线为l,设直线l在y轴上的截距为g(t),求y=g(t)的最大值.
10.[2025·湘潭三模] 设函数f(x)=的两个极值点分别为x1,x2,则过(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点的直线斜率为 (　 )
A. B.
C. D.
11.[2025·宁波二模] 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)2,其中aA.(-4,5) B.(-4,5]
C. D.
12.(多选题)若函数f(x)=x3-3x2,则 (　 )
A.f(x)的极大值点为2
B.f(x)有且仅有2个零点
C.f(x)的图象关于点(1,-2)对称
D.f+f+f+…+f+f=-8094
13.已知Rt△ABC的斜边BC的长为2,若以直角边AB所在直线为旋转轴,将Rt△ABC旋转一周形成一个圆锥,则该圆锥体积的最大值为　　　　.
14.[2025·广州二模] 已知函数f(x)=sin x+sin 2x+2(x-1)在[-2π,2π]上的所有极值点从小到大依次记为x1,x2,…,xn,则=　　　　.
15.[2025·鞍山二模] 已知函数f(x)=2ln x-x2-kx+1.
(1)当k=0时,证明:f(x)≤0;
(2)若f(x)存在极大值,且极大值大于0,求k的取值范围.
16.[2025·北京西城区二模] 已知函数f(x)=4asin x+(a2+1)x2,其中a≥0.
(1)若f(x)在x=0处取得极小值,求a的值;
(2)当a=1时,求f(x)在区间上的最大值;
(3)证明:f(x)有且只有一个极值点.
第18练　导数与函数的极值、最值
1.B　[解析] 由题可得f'(x)=-1=,令f'(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,e]时,f'(x)<0,所以f(x)在区间(0,e]上的最大值为f(1)=ln 1-1=-1.故选B.
2.A　[解析] ∵f(x)=-xex,∴f'(x)=-(x+1)ex,令f'(x)=0可得x=-1,当x<-1时,f'(x)>0,当x>-1时,f'(x)<0,∴f(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,∴f(x)极大值=f(-1)=.故选A.
3.C　[解析] 由f(x)=cos x+xsin x得f'(x)=-sin x+xcos x+sin x=xcos x,当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在[0,π]上的最大值为f=.故选C.
4.B　[解析] 对于A,C,因为函数y=lg x和y=2x都是增函数,所以它们都不存在极小值,故A,C错误;对于B,y=x(x-1)(x-2)=x3-3x2+2x,求导得y'=3x2-6x+2,由y'=3x2-6x+2>0,得x<1-或x>1+,由y'=3x2-6x+2<0,得1-5.B　[解析] 由题意可知,f'(x)=-,f(1)=-2,f'(1)=0,所以b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f'(x)=-+=.令f'(x)=0,得x=1,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)在x=1处取得最大值,满足题意,所以f'(2)=-1+=-.故选B.
6.ABD　[解析] 对于A,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,故A正确;对于B,当x<0时,-x>0,则f(x)=-f(-x)=-{[(-x)2-3]e-x+2}=-(x2-3)e-x-2,故B正确;对于C,f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2,故C错误;对于D,当x<0时,f(x)=(3-x2)e-x-2,则f'(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x,令f'(x)=0,解得x=-1或x=3(舍去),当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以x=-1是f(x)的极大值点,故D正确.故选ABD.
7.3　[解析] g(x)的定义域为(0,+∞),由图可得当x∈(0,1)时,g(x)>0,则f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,3)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,故x=1为函数f(x)的极大值点.当x∈(3,10)时,g(x)≥0,则f'(x)≥0,f(x)单调递增,故x=3为函数f(x)的极小值点.当x∈(10,+∞)时,g(x)<0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,故x=10为函数f(x)的极大值点.所以f(x)的极小值点为3.
8.-1　[解析] 由f(x)=x3+2ax2+a2x+1,得f'(x)=3x2+4ax+a2,因为函数f(x)=x3+2ax2+a2x+1在x=1处有极小值,所以f'(1)=3+4a+a2=0,解得a=-1或a=-3.当a=-1时,f'(x)=3x2-4x+1=(3x-1)(x-1),当1时,f'(x)>0,所以f(x)在(1,+∞)上单调递增,所以f(1)是f(x)的极小值,符合题意.当a=-3时,f'(x)=3(x2-4x+3)=3(x-1)(x-3),当x<1时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)上单调递增,当19.解:(1)由题可得f'(x)=x+a+=,x>0,依题意,x1=1,x2=2为f'(x)=0的根,即x1=1,x2=2为方程x2+ax+b=0的根,
所以1+2=-a,1×2=b,所以a=-3,b=2.
(2)由(1)得f(x)=x2-3x+2ln x,f'(x)=,所以直线l的方程为y=(x-t)+t2-3t+2ln t.
则g(t)=-t2+2ln t-2,t>0,所以g'(t)=-t+.令g'(t)=0,得t=.当00,g(t)单调递增,当t>时,g'(t)<0,g(t)单调递减,所以当t=时,g(t)取得最大值,最大值为g()=ln 2-3.
10.A　[解析] 由题设知f'(x)=,故2x1-3ln x1-3=0,2x2-3ln x2-3=0,即ln x1=(2x1-3),ln x2=(2x2-3).而f(x1)===x1,同理f(x2)=x2,故过(x1,f(x1)),(x2,f(x2))两点的直线斜率k==.
11.D　[解析] 由题可知f'(x)=(x-b)2+2(x-a)(x-b)=3(x-b),因为ab时,f'(x)>0,即f(x)在,(b,+∞)上单调递增,当12.BCD　[解析] 对于A,由题意知f'(x)=3x2-6x,令f'(x)>0,解得x<0或x>2,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(2,+∞)上单调递增;令f'(x)<0,解得013.π　[解析] 由题意,设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有c2+b2=4,该圆锥的体积V=π·b2·c=π·(4-c2)·c.设f(x)=x·(4-x2)(00,当x∈时,f'(x)<0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)max=f,所以Vmax=π××=π.
14.-16　[解析] 令f'(x)=cos x+3cos 2x+2=cos x+3(2cos2x-1)+2=6cos2x+cos x-1=(3cos x-1)(2cos x+1)=0,得cos x=或cos x=-.如图,画出y=cos x的图象,画出直线y=,y=-,结合图象可知,在xi(i=1,2,…,n)的两侧附近f'(x)的正负相反,可得极值点有8个,并且x1与x8,x4与x5,x2与x7,x3与x6互为相反数.因为sin x+sin(-x)=0,所以
15.解:(1)证明:当k=0时,f(x)=2ln x-x2+1(x>0),则f'(x)=-2x=,
当00,当x>1时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以f(x)≤f(1)=0.
(2)由题可得f'(x)=-(k+2)x-k=(x+1)(x>0).
当k≤-2时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,此时f(x)无极值;当k>-2时,若00,若x>,则f'(x)<0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,此时f(x)的极大值为f=2ln-=2ln+-1.令g(x)=2ln x+x-1(x>0),则g'(x)=+1>0,
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(1)=0,所以由g>0,
得>1,解得k<0.
综上,k的取值范围为(-2,0).
16.解:(1)由题可得f'(x)=4acos x+2(a2+1)x,因为f(x)在x=0处取得极小值,所以f'(0)=0,即4acos 0+2(a2+1)×0=4a=0,解得a=0.
当a=0时,f(x)=x2,由二次函数的性质可得f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,满足题意,所以a=0.
(2)当a=1时,f(x)=4sin x+2x2,则f'(x)=4cos x+4x=4(cos x+x).令g(x)=f'(x)=4(cos x+x),则g'(x)=4(-sin x+1),
因为≤x≤π,所以g'(x)=4(-sin x+1)≥0,所以g(x)在区间上单调递增,
又g=4=2π>0,所以f'(x)>0,所以f(x)在区间上单调递增,所以f(x)在区间上的最大值为f(π)=4sin π+2π2=4×0+2π2=2π2.
(3)证明:由题可得f'(x)=4acos x+2(a2+1)x.
当a=0时,f(x)=x2,由二次函数的单调性可得f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
所以f(x)恰有一个极值点.
当a>0时,设h(x)=f'(x)=4acos x+2(a2+1)x,则h'(x)=-4asin x+2(a2+1)=-4a.因为=+≥2=1,且sin x≤1,
所以h'(x)≥0,即h(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
因为h=-(a2+1)π<0,h(0)=4a>0,所以存在x0∈,使得h(x0)=f'(x0)=0.
根据h(x)在(-∞,+∞)上单调递增,可知当xx0时,f'(x)=h(x)>0,所以f(x)在(x0,+∞)上单调递增,所以f(x)恰有一个极值点.综上所述,当a≥0时,f(x)有且只有一个极值点.

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