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广东省深圳市宝安中学（集团）实验学校2025-2026学年九年级（下）第2周周测数学试卷
1．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求余弦值
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，
∴
故答案为：C
【分析】根据余弦定义即可求出答案.
2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A：，为一次函数，不是二次函数；
B：，当时y=bx+c，此时不是二次函数，因此不一定为二次函数；
C：是整式，，因此是二次函数；
D：不是整式，因此不是二次函数；
故答案为：C．
【分析】二次函数的定义，即形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，需满足整式形式且最高次项为二次．本题根据二次函数的定义逐项进行分析判断即可。
3．关于二次函数y=-3（x-2）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴为直线x=-2
C．其最小值为5 D．当x＜2时，y随x的增大而增大
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A：a=-3<0，则其图象的开口向下，错误，不符合题意；
B：其图象的对称轴为直线x=2，错误，不符合题意；
C：其最小值为-5，错误，不符合题意；
D：当x＜2时，y随x的增大而增大，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
4．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=60°，⊙O的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵∠BAC=60°
∴∠BOC=2∠BAC=120°
∴
故答案为：A
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC，再根据弧长公式即可求出答案.
5．我们知道，抛物线y=（x-2）2+4可由抛物线y=（x-1）2+2经过平移得到，那么平移的方法可以是（　　）
A．先向上平移2个单位，再向左平移1个单位
B．先向上平移2个单位，再向右平移1个单位
C．先向下平移2个单位，再向左平移1个单位
D．先向下平移2个单位，再向右平移1个单位
【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
将抛物线y=（x-1）2+2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位可得抛物线y=（x-2）2+4
故答案为：B
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
6．如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M，则sin∠AMD=（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，取格点J，连接AJ，BJ
∵DJ=BC，DJ∥BC
∴四边形DJBC是平行四边形
∴CD∥BJ
∴∠AMD=∠ABJ
∵
∴
∴∠A=90°
∴
故答案为：C
【分析】取格点J，连接AJ，BJ，根据平行四边形判定定理可得四边形DJBC是平行四边形，则CD∥BJ，根据直线平行性质可得∠AMD=∠ABJ，再根据勾股定理可得AB，AJ，BJ，再根据勾股定理逆定理可得∠A=90°，再根据正弦定义即可求出答案.
7．已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是（　　）
A．a1＜a2＜a3 B．a3＜a1＜a2 C．a1＜a3＜a2 D．a3＜a2＜a1
【答案】D
【知识点】点的坐标；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：作直线x=1，与三条抛物线分别交于点A，B，C
则点A坐标为(1，a1)，点B坐标为(1，a2)，点C坐标为(1，a3)
由图象可得：a3＜a2＜a1
故答案为：D
【分析】作直线x=1，与三条抛物线分别交于点A，B，C，根据点的坐标可得点A坐标为(1，a1)，点B坐标为(1，a2)，点C坐标为(1，a3)，再结合图象即可求出答案.
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O是四边形ABCD的内切圆，CD，BC分别切⊙O于F，E两点，若AD=3，BC=6，则EF的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H
∵AD∥BC，AB⊥BC，DG⊥BC
∴四边形ABGD是矩形
∴BG=AD=3，CG=BC-BG=3
∵点E，F，H是切点
∴DF=DH，CF=CE，OC平分∠ECF
∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线
∴EM=FM
设圆O半径为R，则BE=R，DG=2R
∴CE=CF=6-R，DF=DH=3-R
∵DG2+CG2=CD2
∴(2R)2+32=[(3-R)+(6-R)]2
解得：R=2
∴CE=6-2=4
∴
∵
∴
∴
故答案为：A
【分析】连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H，根据矩形判定定理可得四边形ABGD是矩形，则BG=AD=3，CG=BC-BG=3，根据切线长定理可得DF=DH，CF=CE，OC平分∠ECF，根据等腰三角形性质可得EM=FM，设圆O半径为R，则BE=R，DG=2R，根据边之间的关系可得CE=CF=6-R，DF=DH=3-R，再根据勾股定理建立方程，解方程可得R=2，再根据勾股定理可得OC，根据三角形面积可得EM，再根据垂径定理即可求出答案.
9．抛物线的顶点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【分析】若二次函数的顶点式为，则它的顶点坐标为。本题根据二次函数顶点式即可得出抛物线的顶点坐标。
10．某扇形的面积为18π，扇形的半径为9，则此扇形圆心角为 　 　.
【答案】80°
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的面积为18π，扇形的半径为9
∴设扇形的圆心角为n
∴
解得：n=80°
故答案为：80°
【分析】根据扇形面积建立方程，解方程即可求出答案.
11．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°.让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是　 　 .
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
指针停止后落在黄色区域的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
12．如图，已知A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数的图象上，AB交x轴于点C，OA=OB，∠AOB=120°，△AOC的面积为，则k= 　 　 .
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D
∵∠AOB=120°，∠AOC=90°
∴∠BOD=∠AOB-∠AOC=30°
∴
∵
∴
∵∠BCD=∠ACO，∠AOC=∠BDC=90°
∴△AOC∽△BDC
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，根据角之间的关系可得∠BOD，根据含30°角的直角三角形性质可得，则，再根据相似三角形判定定理可得△AOC∽△BDC，则，再结合三角形面积，反比例函数k的几何意义即可求出答案.
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=10，tanB=，E，D分别为AB，AC边上的点，且∠B=2∠AED，BE=AD，则AD的长为　 　 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=10，tanB=
∴
过点B作BF∥DE，交AC于点F
∵BF∥DE
∴∠AED=∠ABF
∵∠ABC=2∠AED
∴∠ABC=2∠ABF，即BF平分∠ABC
设CF=h，则F到AB的距离为h
∵
即
解得：，故
∴
∵BF∥DE
∴△AED∽△ABF
设AD=BE=x，则AE=AB-BE=26-x
∴，即
解得：
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得AB，过点B作BF∥DE，交AC于点F，根据直线平行性质可得∠AED=∠ABF，则∠ABC=2∠ABF，即BF平分∠ABC，设CF=h，根据角平分线性质可得F到AB的距离为h，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，故，再根据边之间的关系可得AF，再根据相似三角形判定定理可得△AED∽△ABF，则，设AD=BE=x，则AE=AB-BE=26-x，代入等式，解方程即可求出答案.
14．计算：.
【答案】解：
=3×-9+（4-2）-1
=-9+4-2-1
=-6-．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．先化简，再求值：，其中x是从-1，0，1，2中选取的一个合适的数.
【答案】解：原式=
=
=，
∵x2-1≠0，x+1≠0，x-1≠0，x-2≠0
解得：x≠±1且x≠2
∴x=0，原式的值为
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再根据分式有意义的条件择值计算即可求出答案.
16．已知二次函数y=x2-4x+3.
（1）写出函数图象的顶点坐标　 　；
（2）画出此函数的图象（描5个点即可）；
（3）当-1＜x＜3时，写出y的取值范围：　 　；
（4）当y＞3时，写出x的取值范围：　 　.
【答案】（1）（2，-1）
（2）解：画图如下：
（3）-1≤y＜8
（4）x＜0或x＞4
【知识点】描点法画函数图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）y=x2-4x+3=(x-2)2-1
∴顶点坐标为（2，-1）
故答案为：（2，-1）
（3）由图象可得当-1＜x＜3时，-1≤y＜8
故答案为：-1≤y＜8
（4）由图象可得当y＞3时，x＜0或x＞4
故答案为：x＜0或x＞4
【分析】（1）将解析式转换为顶点式，可得顶点坐标.
（2）根据描点法作出函数图象即可.
（3）根据函数图象信息即可求出答案.
（4）根据函数图象信息即可求出答案.
17．如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点.在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD=∠A.
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=120°，AB=4，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）.
【答案】（1）证明：如图，连接OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠A=∠OCA．
∵OA=OC，
又∵∠A=∠BCD，
∴∠OCA=∠BCD，
∴∠OCD=∠BCD+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，
∴OC⊥CD．
又∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线
（2）解：∵∠ACB=90°，∠ACD=120°
∴∠A=∠BCD=120°-90°=30°
∴∠BOC=∠A+∠OCA=60°
∵AB=4
∴OC=2
在Rt△OCD中，∠D=90°-60°=30°
∴OD=4
∴
若∠ACD=120°，AB=4
∴
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理的推论可得∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，根据等边对等角可得∠OCA=∠BCD，再根据角之间的关系可得∠OC，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得∠A，∠BOC，再根据含30°角的直角三角形性质可得OC，根据勾股定理可得CD，再根据割补法，结合三角形，扇形面积即可求出答案.
18．“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保证学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3120元和4200元购进型和型护眼灯的数量相同，其中每台型护眼灯比型护眼灯便宜9元．
（1）求该商场购进每台型和型护眼灯的成本价．
（2）该商场经过调查发现，型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，则每天少售出2台．求每台型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？
【答案】（1）解：设型护眼灯每台的成本价是元，则型护眼灯每台的成本价是元，由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：型护眼灯每台的成本价是26元，则型护眼灯每台的成本价是35元；
（2）解：设每台型护眼灯升价元，获得利润为元，
根据题意得：
，
，
，
当时，取最大值，最大值为1800，
答：每台型护眼灯升价20元时，销售利润最大．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型护眼灯每台的成本价是元，则型护眼灯每台的成本价是元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设每台型护眼灯升价元，获得利润为元，根据题意建立关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
19．在一次设计公园休闲凉亭的数学实践课上，老师提供了两个素材.
素材1：某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱OA的高为，立柱左右两侧是关于立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面4.5m，且最高点到立柱OA的水平距离为1m.
素材2：为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的C，E（C，E两点分别在这两条抛物线上）处，分别修建了高度均为3.5m的支架CD，EF.
小艺同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他解答下列各题：
（1）求在第二象限的抛物线的表达式（不要求写自变量x的取值范围）.
（2）求CD与EF之间的距离.
（3）若P是第二象限的抛物线上一点，P'是点P关于立柱OA的对称点，且PP'在点A的下方，CE的上方，过点P，P'分别作PM⊥CE于点M，P'N⊥CE于点N.为迎接春节，在PP'，PM，P'N上悬挂迎新年的主题彩带，求彩带长（PP'+PM+P'N）的最大值.
【答案】（1）解：∵
∴点A的坐标为
∵最高点距离地面4.5m，且最高点到立柱OA的水平距离为1m
∴最高点坐标为(-1，4.5)
设抛物线的顶点式为
将A代入可得，
解得：
∴抛物线的表达式为
（2）解：∵支架高度为3.5m，即y=3.5
当y=3.5时，有
解得：
∵两抛物线对称
∴
∴CD与EF之间的距离为：
（3）解：设，x<0，PP'与x轴交于点H
∵CD=EF=3.5
∴yM=3.5
∴
∴
∵
∴当时，
∵P'是点P关于立柱OA的对称点
∴
∴彩带长最大值为
【知识点】点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；坐标系中的两点距离公式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据点的坐标可得点A的坐标为，由题意可得最高点坐标为(-1，4.5)，设抛物线的顶点式为，格努待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将y=3.5代入解析式可得x值，再根据对称性质，结合两点间距离即可求出答案.
（3）设，x<0，PP'与x轴交于点H，由题意可得yM=3.5，根据两点间距离可得PM，PH，结合二次函数性质可得当时，，再根据对称性质即可求出答案.
20．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置.如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O1的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转.
（1）【问题发现】
①线段AE，BF之间的数量关系是　 　.
②在①的基础上，连接EF，则线段AE，CF，EF之间的数量关系是　 　.
（2）【类比迁移】
如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O1的一个顶点，A1O与边AB相交点E，C1O与边BC相交于点F，连接EF，延长C1O交AD于点P，连接EP，AC，矩形A1B1C1O1可绕点O旋转.判断线段AE，CF，EF之间的数量关系并证明.
（3）【拓展应用】
如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕点D旋转.当AE=4时，请直接写出线段BF的长.
【答案】（1）AE=BF；AE2+CF2=EF2
（2）解：AE2+CF2=EF2，理由如下：
∵四边形ABCD，四边形A1B1C1O1均为矩形，矩形ABCD的中心为O
∴OA=OC，∠DAB=∠A1OC1=90°，AD∥BC
∴∠PAO=∠FCO
在△OAP和△OCF中
∴△OAP≌△OCF(ASA)
∴AP=CF，OP=OF
∵∠A1OC1=90°
∴EP=EF
在Rt△PAE中，由勾股定理可得：AE2+AP2=EP2
∴AE2+CF2=EF2
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD，四边形A1B1C1O1均为正方形
∴AB=BC，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠A1OC1=90°，OA=OB
∴∠AOE=∠BOF=90°-∠EOB
在△AOE和△BOF中
∴△AOE≌△BOF(ASA)
∴AE=BF
故答案为：AE=BF
②在Rt△EBF中，BF2+BE2=EF2
∵AE=BF，BE=CF
∴AE2+CF2=EF2
故答案为：AE2+CF2=EF2
（3）解：①当点E在边AC上时
由（2）可得，AE2+BF2=EF2
在Rt△CEF中，由勾股定理可得：CE2+CF2=EF2
即CE2+CF2=AE2+BF2
设BF=x，则CF=8-x，
∵CE=AC-AE=2
∴22+(8-x)2=42+x2
解得：，即
②当点E在C延长线上时，将Rt△ABC补成矩形ACBM，延长FD交AM延长线于点P，连接EP
同理可得，AE2+BF2=EF2
在Rt△CEF中，由勾股定理可得：CE2+CF2=EF2
即CE2+CF2=AE2+BF2
设BF=x，则CF=x-8
∵CE=AC+AE=10
∴102+(x-8)2=42+x2
解得：，即
综上所述，BF的长为或
【分析】（1）①根据正方形性质可得AB=BC，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠A1OC1=90°，OA=OB，则∠AOE=∠BOF=90°-∠EOB，根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②根据勾股定理及边之间的关系即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得OA=OC，∠DAB=∠A1OC1=90°，AD∥BC，则∠PAO=∠FCO，再根据全等三角形判定定理可得△OAP≌△OCF(ASA)，则AP=CF，OP=OF，再根据勾股定理及边之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：①根据勾股定理可得CE2+CF2=AE2+BF2，设BF=x，则CF=8-x，建立方程，解方程即可求出答案；②当点E在C延长线上时，将Rt△ABC补成矩形ACBM，延长FD交AM延长线于点P，连接EP，根据勾股定理可得CE2+CF2=AE2+BF2，设BF=x，则CF=x-8，建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市宝安中学（集团）实验学校2025-2026学年九年级（下）第2周周测数学试卷
1．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，则cosB的值为（　　）
A． B． C． D．
2．下列函数解析式中，一定为二次函数的是 ( )
A． B．
C． D．
3．关于二次函数y=-3（x-2）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴为直线x=-2
C．其最小值为5 D．当x＜2时，y随x的增大而增大
4．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=60°，⊙O的半径为5，则的长为（　　）
A． B． C． D．
5．我们知道，抛物线y=（x-2）2+4可由抛物线y=（x-1）2+2经过平移得到，那么平移的方法可以是（　　）
A．先向上平移2个单位，再向左平移1个单位
B．先向上平移2个单位，再向右平移1个单位
C．先向下平移2个单位，再向左平移1个单位
D．先向下平移2个单位，再向右平移1个单位
6．如图，在5×5正方形网格图中，AB与CD相交于点M，则sin∠AMD=（　　）
A． B． C． D．
7．已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是（　　）
A．a1＜a2＜a3 B．a3＜a1＜a2 C．a1＜a3＜a2 D．a3＜a2＜a1
8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O是四边形ABCD的内切圆，CD，BC分别切⊙O于F，E两点，若AD=3，BC=6，则EF的长是（　　）
A． B． C． D．
9．抛物线的顶点坐标是　 　．
10．某扇形的面积为18π，扇形的半径为9，则此扇形圆心角为 　 　.
11．如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°，90°，210°.让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是　 　 .
12．如图，已知A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数的图象上，AB交x轴于点C，OA=OB，∠AOB=120°，△AOC的面积为，则k= 　 　 .
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=10，tanB=，E，D分别为AB，AC边上的点，且∠B=2∠AED，BE=AD，则AD的长为　 　 .
14．计算：.
15．先化简，再求值：，其中x是从-1，0，1，2中选取的一个合适的数.
16．已知二次函数y=x2-4x+3.
（1）写出函数图象的顶点坐标　 　；
（2）画出此函数的图象（描5个点即可）；
（3）当-1＜x＜3时，写出y的取值范围：　 　；
（4）当y＞3时，写出x的取值范围：　 　.
17．如图，在⊙O中，AB是直径，点C是圆上一点.在AB的延长线上取一点D，连接CD，使∠BCD=∠A.
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=120°，AB=4，求图中阴影部分的面积（结果用含π的式子表示）.
18．“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保证学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进两种不同类型的护眼灯，若用3120元和4200元购进型和型护眼灯的数量相同，其中每台型护眼灯比型护眼灯便宜9元．
（1）求该商场购进每台型和型护眼灯的成本价．
（2）该商场经过调查发现，型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台．每涨价1元，则每天少售出2台．求每台型护眼灯升价多少元时，销售利润最大？
19．在一次设计公园休闲凉亭的数学实践课上，老师提供了两个素材.
素材1：某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱OA的高为，立柱左右两侧是关于立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面4.5m，且最高点到立柱OA的水平距离为1m.
素材2：为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的C，E（C，E两点分别在这两条抛物线上）处，分别修建了高度均为3.5m的支架CD，EF.
小艺同学建立了如图所示的平面直角坐标系，请你帮他解答下列各题：
（1）求在第二象限的抛物线的表达式（不要求写自变量x的取值范围）.
（2）求CD与EF之间的距离.
（3）若P是第二象限的抛物线上一点，P'是点P关于立柱OA的对称点，且PP'在点A的下方，CE的上方，过点P，P'分别作PM⊥CE于点M，P'N⊥CE于点N.为迎接春节，在PP'，PM，P'N上悬挂迎新年的主题彩带，求彩带长（PP'+PM+P'N）的最大值.
20．【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置.如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O1的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形OEBF为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转.
（1）【问题发现】
①线段AE，BF之间的数量关系是　 　.
②在①的基础上，连接EF，则线段AE，CF，EF之间的数量关系是　 　.
（2）【类比迁移】
如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O1的一个顶点，A1O与边AB相交点E，C1O与边BC相交于点F，连接EF，延长C1O交AD于点P，连接EP，AC，矩形A1B1C1O1可绕点O旋转.判断线段AE，CF，EF之间的数量关系并证明.
（3）【拓展应用】
如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=6，BC=8，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕点D旋转.当AE=4时，请直接写出线段BF的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求余弦值
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，BC=10，
∴
故答案为：C
【分析】根据余弦定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A：，为一次函数，不是二次函数；
B：，当时y=bx+c，此时不是二次函数，因此不一定为二次函数；
C：是整式，，因此是二次函数；
D：不是整式，因此不是二次函数；
故答案为：C．
【分析】二次函数的定义，即形如（、、为常数，且）的函数是二次函数，需满足整式形式且最高次项为二次．本题根据二次函数的定义逐项进行分析判断即可。
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：A：a=-3<0，则其图象的开口向下，错误，不符合题意；
B：其图象的对称轴为直线x=2，错误，不符合题意；
C：其最小值为-5，错误，不符合题意；
D：当x＜2时，y随x的增大而增大，正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵∠BAC=60°
∴∠BOC=2∠BAC=120°
∴
故答案为：A
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC，再根据弧长公式即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由题意可得：
将抛物线y=（x-1）2+2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位可得抛物线y=（x-2）2+4
故答案为：B
【分析】根据函数图象的平移规律：上加下减，左加右减即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，取格点J，连接AJ，BJ
∵DJ=BC，DJ∥BC
∴四边形DJBC是平行四边形
∴CD∥BJ
∴∠AMD=∠ABJ
∵
∴
∴∠A=90°
∴
故答案为：C
【分析】取格点J，连接AJ，BJ，根据平行四边形判定定理可得四边形DJBC是平行四边形，则CD∥BJ，根据直线平行性质可得∠AMD=∠ABJ，再根据勾股定理可得AB，AJ，BJ，再根据勾股定理逆定理可得∠A=90°，再根据正弦定义即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】点的坐标；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：作直线x=1，与三条抛物线分别交于点A，B，C
则点A坐标为(1，a1)，点B坐标为(1，a2)，点C坐标为(1，a3)
由图象可得：a3＜a2＜a1
故答案为：D
【分析】作直线x=1，与三条抛物线分别交于点A，B，C，根据点的坐标可得点A坐标为(1，a1)，点B坐标为(1，a2)，点C坐标为(1，a3)，再结合图象即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；三角形的内切圆与内心；切线长定理
【解析】【解答】解：连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H
∵AD∥BC，AB⊥BC，DG⊥BC
∴四边形ABGD是矩形
∴BG=AD=3，CG=BC-BG=3
∵点E，F，H是切点
∴DF=DH，CF=CE，OC平分∠ECF
∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线
∴EM=FM
设圆O半径为R，则BE=R，DG=2R
∴CE=CF=6-R，DF=DH=3-R
∵DG2+CG2=CD2
∴(2R)2+32=[(3-R)+(6-R)]2
解得：R=2
∴CE=6-2=4
∴
∵
∴
∴
故答案为：A
【分析】连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H，根据矩形判定定理可得四边形ABGD是矩形，则BG=AD=3，CG=BC-BG=3，根据切线长定理可得DF=DH，CF=CE，OC平分∠ECF，根据等腰三角形性质可得EM=FM，设圆O半径为R，则BE=R，DG=2R，根据边之间的关系可得CE=CF=6-R，DF=DH=3-R，再根据勾股定理建立方程，解方程可得R=2，再根据勾股定理可得OC，根据三角形面积可得EM，再根据垂径定理即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【分析】若二次函数的顶点式为，则它的顶点坐标为。本题根据二次函数顶点式即可得出抛物线的顶点坐标。
10．【答案】80°
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形的面积为18π，扇形的半径为9
∴设扇形的圆心角为n
∴
解得：n=80°
故答案为：80°
【分析】根据扇形面积建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
指针停止后落在黄色区域的概率是
故答案为：
【分析】根据概率公式即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；含30°角的直角三角形；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D
∵∠AOB=120°，∠AOC=90°
∴∠BOD=∠AOB-∠AOC=30°
∴
∵
∴
∵∠BCD=∠ACO，∠AOC=∠BDC=90°
∴△AOC∽△BDC
∴
∵
∴
∴
故答案为：
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，根据角之间的关系可得∠BOD，根据含30°角的直角三角形性质可得，则，再根据相似三角形判定定理可得△AOC∽△BDC，则，再结合三角形面积，反比例函数k的几何意义即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=10，tanB=
∴
过点B作BF∥DE，交AC于点F
∵BF∥DE
∴∠AED=∠ABF
∵∠ABC=2∠AED
∴∠ABC=2∠ABF，即BF平分∠ABC
设CF=h，则F到AB的距离为h
∵
即
解得：，故
∴
∵BF∥DE
∴△AED∽△ABF
设AD=BE=x，则AE=AB-BE=26-x
∴，即
解得：
故答案为：
【分析】根据勾股定理可得AB，过点B作BF∥DE，交AC于点F，根据直线平行性质可得∠AED=∠ABF，则∠ABC=2∠ABF，即BF平分∠ABC，设CF=h，根据角平分线性质可得F到AB的距离为h，再根据三角形面积建立方程，解方程可得，故，再根据边之间的关系可得AF，再根据相似三角形判定定理可得△AED∽△ABF，则，设AD=BE=x，则AE=AB-BE=26-x，代入等式，解方程即可求出答案.
14．【答案】解：
=3×-9+（4-2）-1
=-9+4-2-1
=-6-．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】解：原式=
=
=，
∵x2-1≠0，x+1≠0，x-1≠0，x-2≠0
解得：x≠±1且x≠2
∴x=0，原式的值为
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再根据分式有意义的条件择值计算即可求出答案.
16．【答案】（1）（2，-1）
（2）解：画图如下：
（3）-1≤y＜8
（4）x＜0或x＞4
【知识点】描点法画函数图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；作图-二次函数图象
【解析】【解答】解：（1）y=x2-4x+3=(x-2)2-1
∴顶点坐标为（2，-1）
故答案为：（2，-1）
（3）由图象可得当-1＜x＜3时，-1≤y＜8
故答案为：-1≤y＜8
（4）由图象可得当y＞3时，x＜0或x＞4
故答案为：x＜0或x＞4
【分析】（1）将解析式转换为顶点式，可得顶点坐标.
（2）根据描点法作出函数图象即可.
（3）根据函数图象信息即可求出答案.
（4）根据函数图象信息即可求出答案.
17．【答案】（1）证明：如图，连接OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠A=∠OCA．
∵OA=OC，
又∵∠A=∠BCD，
∴∠OCA=∠BCD，
∴∠OCD=∠BCD+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，
∴OC⊥CD．
又∵OC是⊙O的半径，
∴直线CD是⊙O的切线
（2）解：∵∠ACB=90°，∠ACD=120°
∴∠A=∠BCD=120°-90°=30°
∴∠BOC=∠A+∠OCA=60°
∵AB=4
∴OC=2
在Rt△OCD中，∠D=90°-60°=30°
∴OD=4
∴
若∠ACD=120°，AB=4
∴
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理的推论可得∠ACB=∠OCA+∠OCB=90°，根据等边对等角可得∠OCA=∠BCD，再根据角之间的关系可得∠OC，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据角之间的关系可得∠A，∠BOC，再根据含30°角的直角三角形性质可得OC，根据勾股定理可得CD，再根据割补法，结合三角形，扇形面积即可求出答案.
18．【答案】（1）解：设型护眼灯每台的成本价是元，则型护眼灯每台的成本价是元，由题意得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：型护眼灯每台的成本价是26元，则型护眼灯每台的成本价是35元；
（2）解：设每台型护眼灯升价元，获得利润为元，
根据题意得：
，
，
，
当时，取最大值，最大值为1800，
答：每台型护眼灯升价20元时，销售利润最大．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型护眼灯每台的成本价是元，则型护眼灯每台的成本价是元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设每台型护眼灯升价元，获得利润为元，根据题意建立关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：∵
∴点A的坐标为
∵最高点距离地面4.5m，且最高点到立柱OA的水平距离为1m
∴最高点坐标为(-1，4.5)
设抛物线的顶点式为
将A代入可得，
解得：
∴抛物线的表达式为
（2）解：∵支架高度为3.5m，即y=3.5
当y=3.5时，有
解得：
∵两抛物线对称
∴
∴CD与EF之间的距离为：
（3）解：设，x<0，PP'与x轴交于点H
∵CD=EF=3.5
∴yM=3.5
∴
∴
∵
∴当时，
∵P'是点P关于立柱OA的对称点
∴
∴彩带长最大值为
【知识点】点的坐标；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；坐标系中的两点距离公式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据点的坐标可得点A的坐标为，由题意可得最高点坐标为(-1，4.5)，设抛物线的顶点式为，格努待定系数法将点A坐标代入解析式即可求出答案.
（2）将y=3.5代入解析式可得x值，再根据对称性质，结合两点间距离即可求出答案.
（3）设，x<0，PP'与x轴交于点H，由题意可得yM=3.5，根据两点间距离可得PM，PH，结合二次函数性质可得当时，，再根据对称性质即可求出答案.
20．【答案】（1）AE=BF；AE2+CF2=EF2
（2）解：AE2+CF2=EF2，理由如下：
∵四边形ABCD，四边形A1B1C1O1均为矩形，矩形ABCD的中心为O
∴OA=OC，∠DAB=∠A1OC1=90°，AD∥BC
∴∠PAO=∠FCO
在△OAP和△OCF中
∴△OAP≌△OCF(ASA)
∴AP=CF，OP=OF
∵∠A1OC1=90°
∴EP=EF
在Rt△PAE中，由勾股定理可得：AE2+AP2=EP2
∴AE2+CF2=EF2
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；矩形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD，四边形A1B1C1O1均为正方形
∴AB=BC，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠A1OC1=90°，OA=OB
∴∠AOE=∠BOF=90°-∠EOB
在△AOE和△BOF中
∴△AOE≌△BOF(ASA)
∴AE=BF
故答案为：AE=BF
②在Rt△EBF中，BF2+BE2=EF2
∵AE=BF，BE=CF
∴AE2+CF2=EF2
故答案为：AE2+CF2=EF2
（3）解：①当点E在边AC上时
由（2）可得，AE2+BF2=EF2
在Rt△CEF中，由勾股定理可得：CE2+CF2=EF2
即CE2+CF2=AE2+BF2
设BF=x，则CF=8-x，
∵CE=AC-AE=2
∴22+(8-x)2=42+x2
解得：，即
②当点E在C延长线上时，将Rt△ABC补成矩形ACBM，延长FD交AM延长线于点P，连接EP
同理可得，AE2+BF2=EF2
在Rt△CEF中，由勾股定理可得：CE2+CF2=EF2
即CE2+CF2=AE2+BF2
设BF=x，则CF=x-8
∵CE=AC+AE=10
∴102+(x-8)2=42+x2
解得：，即
综上所述，BF的长为或
【分析】（1）①根据正方形性质可得AB=BC，∠OAE=∠OBF=45°，∠AOB=∠A1OC1=90°，OA=OB，则∠AOE=∠BOF=90°-∠EOB，根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
②根据勾股定理及边之间的关系即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得OA=OC，∠DAB=∠A1OC1=90°，AD∥BC，则∠PAO=∠FCO，再根据全等三角形判定定理可得△OAP≌△OCF(ASA)，则AP=CF，OP=OF，再根据勾股定理及边之间的关系即可求出答案.
（3）分情况讨论：①根据勾股定理可得CE2+CF2=AE2+BF2，设BF=x，则CF=8-x，建立方程，解方程即可求出答案；②当点E在C延长线上时，将Rt△ABC补成矩形ACBM，延长FD交AM延长线于点P，连接EP，根据勾股定理可得CE2+CF2=AE2+BF2，设BF=x，则CF=x-8，建立方程，解方程即可求出答案.
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