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广东深圳市南山区丽湖学校2025-2026学年九年级下学期数学综评试卷（3月）
一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1． 下列奥运会的运动图标中，是中心对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2． 2025年的春节档影片《哪吒2》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力. 截止到2025年 4 月 12日，该片票房已超过15600000000元，其中15600000000用科学记数法表示为（　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：15600000000用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3． 下面计算正确的是（　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，正确，符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，除法逐项进行判断即可求出答案.
4． 如图，固定木条b， c，使∠1=85°，旋转木条a，要使得a∥b，则∠2应调整为（　　)
A．85° B．90° C．95° D．100°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b
∴∠2=180°-∠1=95°
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
5．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加体育训练，近期进行了10次跳绳测试，四位同学跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，四位同学跳绳测试成绩的方差分别是，，，，则这10次跳绳测试中发挥最稳定的同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵
∴
即丙的方差最小，
∴这四个人发挥最稳定的选手是丙，
故答案为：C．
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．本题根据方差的意义，首先对方差进行大小比较，方差最小的即为最稳定的．
6．如图，的对角线交于点O，下列条件不能判定是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：A．∵、，∴四边形是菱形；
B．∵，∴，且在，∴四边形是菱形；
C．∵，且在，∴四边形是菱形；
C．，无法证明四边形是菱形．
故答案为：D．
【分析】本题根据“ 邻边相等的平行四边形是菱形 ”，可以判断A选项；“等边对等角”得出，然后利用“ 邻边相等的平行四边形是菱形 ”，可以判断B选项；“ 对角线垂直的平行四边形是菱形 ”可以判断C选项。
7． 如图，MN是正五边形ABCDE的外接圆的切线，已知点 D为切点，则∠BDM的度数为（　　)
A．36° B．54° C．72° D．144°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；切线的性质；正多边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接AD，OD，OB和OA
∵ABCDE为正五边形
∴∠BOA=360°÷5=72°，CD=CB=DE=EA，∠DCB=∠DEA
∴△DCB≌△DEA
∴BD=AD
∵
∴
设∠ODB=
∵MN为圆O的切线
∴∠BDM=90°-
∵OD=OB
∴∠OBD=，则∠DOB=180°-2
∵∠BAD=90°-
∴∠BDM=∠BAD=72°
故答案为：C
【分析】连接AD，OD，OB和OA，根据正多边形性质可得∠BOA=72°，CD=CB=DE=EA，∠DCB=∠DEA，根据全等三角形判定定理可得△DCB≌△DEA，则BD=AD，等边对等角及三角形内角和定理可得∠BAD，设∠ODB=，根据切线性质可得∠BDM=90°-，根据等边对等角可得∠OBD=，则∠DOB=180°-2，再根据角之间的关系即可求出答案.
8． 如图①，一动点P从Rt△ABC中的A 点出发，在三角形的内部运动（含边上)，沿直线运动至 P1点，再从 P1点沿直线运动至P2点，设点 P运动的路程为x， 如图②，是点 P运动时y随x变化关系图象，若 则△BP1P2的面积为（　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意可得，当x=0时
∴
∴
由题意可得AP1=1
由图①可得，当点P从P1运动到P2的过程中y=1，PB=PC，此时1≤x≤2，不变
∴此时P1P2垂直平分BC，垂足为点P2，如图
∴P1P2=1
此时
∴△BP1P2的面积为
故答案为：D
【分析】由图象可得，根据勾股定理可得BC，由题意可得AP1=1，由图①可得，当点P从P1运动到P2的过程中y=1，PB=PC，此时1≤x≤2，不变，此时P1P2垂直平分BC，垂足为点P2，P1P2=1，再根据勾股定理可得P1B，P2B，再根据三角形面积即可求出答案.
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分。)
9． 已知 的整数部分是x，小数部分是y，则 　 　.
【答案】3
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：3
【分析】估算无理数的范围可得x，y值，再代入代数式，结合平方差公式即可求出答案.
10． 如图， 点E是正方形ABCD的边AB 上的黄金分割点，且AE>EB， 以AE为边作正方形AEHF，F在AD上， 延长 EH交 CD 于点 I， 连接 BF交 EI于点 G， 连接 BI， 则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：令正方形ABCD的边长为2a
∵点E是正方形ABCD的边AB上的黄金分割点，且AE>EB
∴
∴
∴
∵FH∥BE
∴△FHG∽△BEG
∴，则
解得：
∴
∴
故答案为：
【分析】令正方形ABCD的边长为2a，根据黄金分割点定义可得，根据边之间的关系可得，再根据三角形面积可得，再根据相似三角形判定定理可得△FHG∽△BEG，则，代值计算可得，再根据三角形面积即可求出答案.
11． 如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， 分别以边AC， BC，AB为直径画圆. 记两个月牙形图案 ADCE和CGBF 面积之和（图中阴影部分) 为S1， △ABC的面积为S2， 则S1　 　S2（填“>”， “=”或“<”).
【答案】=
【知识点】三角形的面积；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中
∵BC2+AC2=AB2
∴
∴S1=S2
故答案为：=
【分析】根据勾股定理可得BC2+AC2=AB2，再根据割补法，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
12． 如图，在以O为坐标原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，将反比例函数 的图象向下平移n个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图象与BC边交于点 D，则 的值是　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A(a，0)，B(a，b)
则对角线交点的坐标为，反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为
∴，解得：
∴反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为
设D(c，d)，则
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】设A(a，0)，B(a，b)，根据矩形性质可得对角线交点的坐标为，根据函数图象平移性质可得反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为，再将点，(a，0)代入解析式可得反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为，设D(c，d)，则，，根据点的坐标可得，再根据边自检的关系即可求出答案.
13． 在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点 B，点P在以OB为半径的⊙O上，连结AP，当AP与⊙O相切时，点P坐标为（-1， 2)，则点A坐标为　 　.
【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接OP，设AP交y轴于点E，过点P作PC⊥y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D
∵点P坐标为（-1， 2)
∴PC=1，OC=2
∴
∴
∵AP与⊙O相切
∴∠APO=90°
∵PC⊥y轴于点C
∴△EPC∽△PCO
∴
∴，解得：
∴
∵BO⊥DO，AB⊥x轴于点B，AD⊥y轴于点D
∴四边形ADOB为矩形
∴
∵PC⊥y轴于点C，AD⊥y轴于点D
∴PC∥DA
∴△ADE∽△PCE
∴
∴，解得：
∴
∴点A坐标为
故答案为：
【分析】连接OP，设AP交y轴于点E，过点P作PC⊥y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，根据两点间距离可得PC=1，OC=2，根据勾股定理可得OP，则，根据切线性质可得∠APO=90°，再根据相似三角形判定定理可得△EPC∽△PCO，则，代值计算可得，根据矩形判定定理可得四边形ADOB为矩形，则，再根据相似三角形判定定理可得△ADE∽△PCE，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得AB，再根据点的坐标即可求出答案.
三、解答题（共7小题，满分61分)
14．计算：
【答案】解：原式
=3.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值，0指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．
（1）先化简，再求值： 其中x=3.
（2）先化简 再从-1，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值.
【答案】（1）解：
=x+1，
当x=3时，原式=3+1=4；
（2）解：
∵x+1≠0， x≠0，
∴x≠-1， 0，
当x=1时，原式
当x=2时，原式
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将x=3代入即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再根据分式有意义的条件择值计算即可求出答案.
16． 为应对全球气候变化的挑战，已有约130个国家和地区提出了碳中和目标，绿色低碳和可持续发展已成为国际共识. 在该目标的引导下，某校组织全校2600名学生进行了环保知识竞赛. 竞赛结束后，从甲、乙两班各随机抽取了20名学生的成绩p（百分制，单位：分)，并分组整理，制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图. 其中A组为90≤p≤100， B组为80≤p<90， C组为70≤p<80， D组为60≤p<70， E组为p<60.
已知甲班B组学生的成绩分别为83、86、85、83、89、86、86、82.
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）全校A组学生的人数是 　 　，甲班B组学生的成绩的方差为 　 　分；
（2）学校要给环保知识竞赛成绩前50名的学生发放奖励，甲、乙两班各有3名学生获得奖励，老师记录的两班环保知识竞赛班级内部排名前6的（部分)成绩如下表所示：
　 甲班 乙班
学生 a b c d e f g h i j k l
成绩 91 98 　 90 　 96 94 　 99 　 　 93
其中有5名学生的成绩还未记录，但已知甲班这6为学生的成绩的中位数为m，且92≤m<93. 判断乙班g学生是否一定能得到奖励，并说明理由；
（3）学校想要从甲、乙两班汇总后的所有A组学生中，抽取2位不同性别的学生参加街头宣传活动，已知全校男生人数：女生人数=2：3. 请用画树状图或列表的方法求出一男一女相搭档的概率.
【答案】（1）780；4.5
（2）解：能，理由如下：
设甲班第三名学生的成绩x分，
由甲班6位学生的成绩可知，甲班第四名学生的成绩≥91，
∵甲班这6位学生的成绩的中位数为m，且92≤m<93，
∴甲班第三名学生的成绩93≤x<95，
∵乙班g学生的成绩为94分，
∴乙班g学生一定能得到奖励
（3）解：用A1、A2表示男生， B1、B2、B3表示女生，
画树状图如下：
由树状图可知，共有20中等结果，其中一男一女相搭档的有12种，
∴一男一女相搭档的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） 乙班随机抽取20名学生的成绩在A组的有20×（1-10%-20%-30%-5%) =7名，
∴甲、乙两班各随机抽取了20名学生的成绩在A组的共有5+7=12名，
∴全校A组学生的人数是 名，
甲班 B 组学生的平均成绩为
∴甲班B组学生的成绩的方差为
故答案为： 780， 4. 5；
【分析】（1）求出A组所占百分比，再根据A组的人数与占比可得A组总人数，再根据方差定义即可求出答案.
（2）根据中位数的意义即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中一男一女相搭档的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．某粮食生产基地计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多2万元，用30万元购买甲种农机具的数量和用20万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过92万元，乙的数量不超过甲数量的4倍，则如何购买费用最低？最低费用是多少万元？
【答案】（1）解：设购买1件乙种农机具需x万元，则购买1件甲种农机具需万元，
根据题意列式
解得，
经检验，是原方程的解，
∴万元，
即购买1件甲种农机具需6万元，1件乙种农机具需4万元．
（2）解：设该粮食生产基地计划购买甲种农机具m件，则计划购买乙种农机具件，
根据题意列式，，
解得，
当时，购买甲4件，乙16件，费用（万元）；
当时，购买甲5件，乙15件，费用（万元）；
当时，购买甲6件，乙14件，费用（万元）；
∴购买甲4件，乙16件总费用费用最低，最低费用：（万元）
即购买甲4件，乙16件最优惠，费用为88万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）用30万元购买甲种农机具，数量为件，用20万元购买乙种农机，数量为件，而“用30万元购买甲种农机具的数量和用20万元购买乙种农机具的数量相同”，从而得出分式方程，求解后检验，并进一步计算出甲种农机具需要的金额即可；（2）结合“购买的总费用不超过92万元”，列出不等式，而“乙的数量不超过甲数量的4倍”，列出不等式，联立不等式组求出m的取值范围，因为m是正整数，所以分m=4、m=5、m=6三种情况，并分别计算出对应的费用后，找到费用最低的即可。
18．如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，格点A，B，C均在圆上，且点D，E也是格点.
（1）该圆的直径等于 　 　cm；
（2）请用无刻度的直尺按要求作图；
①作弦CF，使得CF∥DE，再作劣弧CF的中点 G，请判断四边形ABCG的形状；
②过点B作该圆的切线BH，请直接写出切线BH与弦CF 的位置关系和点C到切线BH的距离.
【答案】（1）5
（2）解：①图形如图所示，四边形 ABCG是矩形.
理由：由作图可知BG是直径，
∴∠BAG=∠BCG=90°，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCG是矩形；
②
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定与性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）圆的直径为AC，
故答案为：5；
（2）②如图，直线BH即为所求.
由作图可知BH∥CF.
设BG交CR于点 T，圆心为O.
∴点C到切线BH的距离为
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）①由作图可知BG是直径，根据圆周角定理的推论可得∠BAG=∠BCG=90°，再根据矩形判定定理即可求出答案.
②由作图可知BH∥CF，设BG交CR于点 T，圆心为O，根据勾股定理可得BG，再根据三角形面积CT，再根据勾股定理即可求出答案.
19．已知二次函数
（1）若函数图象经过点（3，1)，求抛物线的对称轴.
（2）当x≤-1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围.
（3）若 两点都在二次函数的图象上，试比较b与c的大小，并说明理由.
【答案】（1）解：将点（3， 1)代入二次函数 得：
9a-3（a-2)+1=1，
解得a=-1，
抛物线解析式为：
∴抛物线的对称轴为：
（2）解：二次函数的对称轴为直线
当a>0时，二次函数图象开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小.
已知当x≤-1时，y随x的增大而减小，所以对称轴为直线
解得：
当a<0时，二次函数图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，不符合题意，舍去. 所以a的取值范围是
（3）解：二次函数的对称轴为直线
则点A 到对称轴的距离为： 点 B 到对称轴的距离为：
即点 B 到对称轴的距离大于点A 到对称轴的距离，
故当a>0时， c>b，当a<0时， c【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将 （3，1)代入解析式可得抛物线解析式为： ，再根据对称轴公式即可求出答案.
（2）根据二次函数性质即可求出答案.
（3）根据二次函数的对称性即可求出答案.
20．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG， BE.
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是　 　；位置关系是　 　；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且. AD=2AB，AG=2AE，猜想DG与 BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3） [应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方)，若GE∥AB，且 求DG的长.
【答案】（1）BE=DG；BE⊥DG
（2）解：DG=2BE， BE⊥DG，理由如下：
如图，延长BE交AD于 K，交DG于 H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG 都为矩形，
∴∠BAD=∠EAG，
∴∠BAE=∠DAG，
∵AD=2AB， AG=2AE，
∴△ABE∽△ADG，
∴DG=2BE，
∵∠AKB+∠ABE=90°，
∴∠AKB+∠ADG=90°，
∵∠AKB=∠DKH，
∴∠DKH+∠ADG=90°，
∴∠DHB=90°，
∴BE⊥DG
（3）解：如图，设EG与AD 的交点为 M，
∵EG∥AB，
∴∠DME=∠DAB=90°，
在 Rt△AEG 中， AE=2，
∴AG=2AE=4，
根据勾股定理得
∴EG=AB，
∵EG∥AB，
∴四边形ABEG 是平行四边形， BE=AG=4，
由（2）知△ABE∽△ADG，
即
∴DG=8.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1） ∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，
∴AE=AG， AB=AD， ∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE 和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG （SAS)，
∴BE=DG；
如图，延长BE交AD于Q，交DG于 H，
∵△ABE≌△ADG，
∴∠ABE=∠ADG，
若∠AQB+∠ABE=90°，
∴∠AQB+∠ADG=90°，
∵∠AQB=∠DQH，
∴∠DQH+∠ADG=90°，
∴∠DHB=90°，
∴BE⊥DG，
故答案为： BE=DG； BE⊥DG；
【分析】（1）根据正方形性质可得AE=AG， AB=AD， ∠BAD=∠EAG=90°，则∠BAE=∠DAG，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ADG （SAS)，则BE=DG，延长BE交AD于Q，交DG于 H，根据全等三角形性质可得∠ABE=∠ADG，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）延长BE交AD于 K，交DG于 H，根据矩形性质可得∠BAD=∠EAG，再根据相似三角形判定定理可得△ABE∽△ADG，则，即DG=2BE，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）设EG与AD 的交点为 M，根据直线平行性质可得∠DME=∠DAB=90°，根据勾股定理可得EG，AB，再根据平行四边形判定定理可得四边形ABEG 是平行四边形， BE=AG=4，再根据相似三角形性质可得 ，代值计算即可求出答案.
1 / 1广东深圳市南山区丽湖学校2025-2026学年九年级下学期数学综评试卷（3月）
一、选择题（本题共有8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的)
1． 下列奥运会的运动图标中，是中心对称图形的是（　　)
A． B．
C． D．
2． 2025年的春节档影片《哪吒2》，以“我命由我不由天”的精神内核和全新的中国风审美，结合现代科技手段，诠释了中华文化的创新活力与独特魅力. 截止到2025年 4 月 12日，该片票房已超过15600000000元，其中15600000000用科学记数法表示为（　　)
A． B． C． D．
3． 下面计算正确的是（　　)
A． B． C． D．
4． 如图，固定木条b， c，使∠1=85°，旋转木条a，要使得a∥b，则∠2应调整为（　　)
A．85° B．90° C．95° D．100°
5．某校甲、乙、丙、丁四位同学参加体育训练，近期进行了10次跳绳测试，四位同学跳绳测试的平均成绩都是每分钟174个，四位同学跳绳测试成绩的方差分别是，，，，则这10次跳绳测试中发挥最稳定的同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如图，的对角线交于点O，下列条件不能判定是菱形的是（　　）
A． B． C． D．
7． 如图，MN是正五边形ABCDE的外接圆的切线，已知点 D为切点，则∠BDM的度数为（　　)
A．36° B．54° C．72° D．144°
8． 如图①，一动点P从Rt△ABC中的A 点出发，在三角形的内部运动（含边上)，沿直线运动至 P1点，再从 P1点沿直线运动至P2点，设点 P运动的路程为x， 如图②，是点 P运动时y随x变化关系图象，若 则△BP1P2的面积为（　　)
A． B． C． D．
二、填空题（本题共有5小题，每小题3分，共15分。)
9． 已知 的整数部分是x，小数部分是y，则 　 　.
10． 如图， 点E是正方形ABCD的边AB 上的黄金分割点，且AE>EB， 以AE为边作正方形AEHF，F在AD上， 延长 EH交 CD 于点 I， 连接 BF交 EI于点 G， 连接 BI， 则 的值为　 　.
11． 如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， 分别以边AC， BC，AB为直径画圆. 记两个月牙形图案 ADCE和CGBF 面积之和（图中阴影部分) 为S1， △ABC的面积为S2， 则S1　 　S2（填“>”， “=”或“<”).
12． 如图，在以O为坐标原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，将反比例函数 的图象向下平移n个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图象与BC边交于点 D，则 的值是　 　.
13． 在平面直角坐标系xOy中，点A在第一象限内，AB⊥x轴于点 B，点P在以OB为半径的⊙O上，连结AP，当AP与⊙O相切时，点P坐标为（-1， 2)，则点A坐标为　 　.
三、解答题（共7小题，满分61分)
14．计算：
15．
（1）先化简，再求值： 其中x=3.
（2）先化简 再从-1，0，1，2四个数字中选择一个你喜欢的数代入上式求值.
16． 为应对全球气候变化的挑战，已有约130个国家和地区提出了碳中和目标，绿色低碳和可持续发展已成为国际共识. 在该目标的引导下，某校组织全校2600名学生进行了环保知识竞赛. 竞赛结束后，从甲、乙两班各随机抽取了20名学生的成绩p（百分制，单位：分)，并分组整理，制成了如图所示的条形统计图和扇形统计图. 其中A组为90≤p≤100， B组为80≤p<90， C组为70≤p<80， D组为60≤p<70， E组为p<60.
已知甲班B组学生的成绩分别为83、86、85、83、89、86、86、82.
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）全校A组学生的人数是 　 　，甲班B组学生的成绩的方差为 　 　分；
（2）学校要给环保知识竞赛成绩前50名的学生发放奖励，甲、乙两班各有3名学生获得奖励，老师记录的两班环保知识竞赛班级内部排名前6的（部分)成绩如下表所示：
　 甲班 乙班
学生 a b c d e f g h i j k l
成绩 91 98 　 90 　 96 94 　 99 　 　 93
其中有5名学生的成绩还未记录，但已知甲班这6为学生的成绩的中位数为m，且92≤m<93. 判断乙班g学生是否一定能得到奖励，并说明理由；
（3）学校想要从甲、乙两班汇总后的所有A组学生中，抽取2位不同性别的学生参加街头宣传活动，已知全校男生人数：女生人数=2：3. 请用画树状图或列表的方法求出一男一女相搭档的概率.
17．某粮食生产基地计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多2万元，用30万元购买甲种农机具的数量和用20万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过92万元，乙的数量不超过甲数量的4倍，则如何购买费用最低？最低费用是多少万元？
18．如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，格点A，B，C均在圆上，且点D，E也是格点.
（1）该圆的直径等于 　 　cm；
（2）请用无刻度的直尺按要求作图；
①作弦CF，使得CF∥DE，再作劣弧CF的中点 G，请判断四边形ABCG的形状；
②过点B作该圆的切线BH，请直接写出切线BH与弦CF 的位置关系和点C到切线BH的距离.
19．已知二次函数
（1）若函数图象经过点（3，1)，求抛物线的对称轴.
（2）当x≤-1时，y随x的增大而减小，求a的取值范围.
（3）若 两点都在二次函数的图象上，试比较b与c的大小，并说明理由.
20．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG， BE.
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是　 　；位置关系是　 　；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且. AD=2AB，AG=2AE，猜想DG与 BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3） [应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方)，若GE∥AB，且 求DG的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：15600000000用科学记数法表示为
故答案为：C
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，正确，符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，除法逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b
∴∠2=180°-∠1=95°
故答案为：C
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵
∴
即丙的方差最小，
∴这四个人发挥最稳定的选手是丙，
故答案为：C．
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则与平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．本题根据方差的意义，首先对方差进行大小比较，方差最小的即为最稳定的．
6．【答案】D
【知识点】菱形的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：A．∵、，∴四边形是菱形；
B．∵，∴，且在，∴四边形是菱形；
C．∵，且在，∴四边形是菱形；
C．，无法证明四边形是菱形．
故答案为：D．
【分析】本题根据“ 邻边相等的平行四边形是菱形 ”，可以判断A选项；“等边对等角”得出，然后利用“ 邻边相等的平行四边形是菱形 ”，可以判断B选项；“ 对角线垂直的平行四边形是菱形 ”可以判断C选项。
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；切线的性质；正多边形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接AD，OD，OB和OA
∵ABCDE为正五边形
∴∠BOA=360°÷5=72°，CD=CB=DE=EA，∠DCB=∠DEA
∴△DCB≌△DEA
∴BD=AD
∵
∴
设∠ODB=
∵MN为圆O的切线
∴∠BDM=90°-
∵OD=OB
∴∠OBD=，则∠DOB=180°-2
∵∠BAD=90°-
∴∠BDM=∠BAD=72°
故答案为：C
【分析】连接AD，OD，OB和OA，根据正多边形性质可得∠BOA=72°，CD=CB=DE=EA，∠DCB=∠DEA，根据全等三角形判定定理可得△DCB≌△DEA，则BD=AD，等边对等角及三角形内角和定理可得∠BAD，设∠ODB=，根据切线性质可得∠BDM=90°-，根据等边对等角可得∠OBD=，则∠DOB=180°-2，再根据角之间的关系即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；动点问题的函数图象；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：由题意可得，当x=0时
∴
∴
由题意可得AP1=1
由图①可得，当点P从P1运动到P2的过程中y=1，PB=PC，此时1≤x≤2，不变
∴此时P1P2垂直平分BC，垂足为点P2，如图
∴P1P2=1
此时
∴△BP1P2的面积为
故答案为：D
【分析】由图象可得，根据勾股定理可得BC，由题意可得AP1=1，由图①可得，当点P从P1运动到P2的过程中y=1，PB=PC，此时1≤x≤2，不变，此时P1P2垂直平分BC，垂足为点P2，P1P2=1，再根据勾股定理可得P1B，P2B，再根据三角形面积即可求出答案.
9．【答案】3
【知识点】无理数的估值；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
故答案为：3
【分析】估算无理数的范围可得x，y值，再代入代数式，结合平方差公式即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：令正方形ABCD的边长为2a
∵点E是正方形ABCD的边AB上的黄金分割点，且AE>EB
∴
∴
∴
∵FH∥BE
∴△FHG∽△BEG
∴，则
解得：
∴
∴
故答案为：
【分析】令正方形ABCD的边长为2a，根据黄金分割点定义可得，根据边之间的关系可得，再根据三角形面积可得，再根据相似三角形判定定理可得△FHG∽△BEG，则，代值计算可得，再根据三角形面积即可求出答案.
11．【答案】=
【知识点】三角形的面积；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中
∵BC2+AC2=AB2
∴
∴S1=S2
故答案为：=
【分析】根据勾股定理可得BC2+AC2=AB2，再根据割补法，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质；平移的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设A(a，0)，B(a，b)
则对角线交点的坐标为，反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为
∴，解得：
∴反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为
设D(c，d)，则
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】设A(a，0)，B(a，b)，根据矩形性质可得对角线交点的坐标为，根据函数图象平移性质可得反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为，再将点，(a，0)代入解析式可得反比例函数的图象向下平移n个单位长度后的表达式为，设D(c，d)，则，，根据点的坐标可得，再根据边自检的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接OP，设AP交y轴于点E，过点P作PC⊥y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D
∵点P坐标为（-1， 2)
∴PC=1，OC=2
∴
∴
∵AP与⊙O相切
∴∠APO=90°
∵PC⊥y轴于点C
∴△EPC∽△PCO
∴
∴，解得：
∴
∵BO⊥DO，AB⊥x轴于点B，AD⊥y轴于点D
∴四边形ADOB为矩形
∴
∵PC⊥y轴于点C，AD⊥y轴于点D
∴PC∥DA
∴△ADE∽△PCE
∴
∴，解得：
∴
∴点A坐标为
故答案为：
【分析】连接OP，设AP交y轴于点E，过点P作PC⊥y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，根据两点间距离可得PC=1，OC=2，根据勾股定理可得OP，则，根据切线性质可得∠APO=90°，再根据相似三角形判定定理可得△EPC∽△PCO，则，代值计算可得，根据矩形判定定理可得四边形ADOB为矩形，则，再根据相似三角形判定定理可得△ADE∽△PCE，则，代值计算可得，根据边之间的关系可得AB，再根据点的坐标即可求出答案.
14．【答案】解：原式
=3.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值，0指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
15．【答案】（1）解：
=x+1，
当x=3时，原式=3+1=4；
（2）解：
∵x+1≠0， x≠0，
∴x≠-1， 0，
当x=1时，原式
当x=2时，原式
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）根据分式的混合运算，结合平方差公式化简，再将x=3代入即可求出答案.
（2）根据分式的混合运算，结合完全平方公式化简，再根据分式有意义的条件择值计算即可求出答案.
16．【答案】（1）780；4.5
（2）解：能，理由如下：
设甲班第三名学生的成绩x分，
由甲班6位学生的成绩可知，甲班第四名学生的成绩≥91，
∵甲班这6位学生的成绩的中位数为m，且92≤m<93，
∴甲班第三名学生的成绩93≤x<95，
∵乙班g学生的成绩为94分，
∴乙班g学生一定能得到奖励
（3）解：用A1、A2表示男生， B1、B2、B3表示女生，
画树状图如下：
由树状图可知，共有20中等结果，其中一男一女相搭档的有12种，
∴一男一女相搭档的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1） 乙班随机抽取20名学生的成绩在A组的有20×（1-10%-20%-30%-5%) =7名，
∴甲、乙两班各随机抽取了20名学生的成绩在A组的共有5+7=12名，
∴全校A组学生的人数是 名，
甲班 B 组学生的平均成绩为
∴甲班B组学生的成绩的方差为
故答案为： 780， 4. 5；
【分析】（1）求出A组所占百分比，再根据A组的人数与占比可得A组总人数，再根据方差定义即可求出答案.
（2）根据中位数的意义即可求出答案.
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中一男一女相搭档的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．【答案】（1）解：设购买1件乙种农机具需x万元，则购买1件甲种农机具需万元，
根据题意列式
解得，
经检验，是原方程的解，
∴万元，
即购买1件甲种农机具需6万元，1件乙种农机具需4万元．
（2）解：设该粮食生产基地计划购买甲种农机具m件，则计划购买乙种农机具件，
根据题意列式，，
解得，
当时，购买甲4件，乙16件，费用（万元）；
当时，购买甲5件，乙15件，费用（万元）；
当时，购买甲6件，乙14件，费用（万元）；
∴购买甲4件，乙16件总费用费用最低，最低费用：（万元）
即购买甲4件，乙16件最优惠，费用为88万元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）用30万元购买甲种农机具，数量为件，用20万元购买乙种农机，数量为件，而“用30万元购买甲种农机具的数量和用20万元购买乙种农机具的数量相同”，从而得出分式方程，求解后检验，并进一步计算出甲种农机具需要的金额即可；（2）结合“购买的总费用不超过92万元”，列出不等式，而“乙的数量不超过甲数量的4倍”，列出不等式，联立不等式组求出m的取值范围，因为m是正整数，所以分m=4、m=5、m=6三种情况，并分别计算出对应的费用后，找到费用最低的即可。
18．【答案】（1）5
（2）解：①图形如图所示，四边形 ABCG是矩形.
理由：由作图可知BG是直径，
∴∠BAG=∠BCG=90°，
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCG是矩形；
②
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的判定与性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：（1）圆的直径为AC，
故答案为：5；
（2）②如图，直线BH即为所求.
由作图可知BH∥CF.
设BG交CR于点 T，圆心为O.
∴点C到切线BH的距离为
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）①由作图可知BG是直径，根据圆周角定理的推论可得∠BAG=∠BCG=90°，再根据矩形判定定理即可求出答案.
②由作图可知BH∥CF，设BG交CR于点 T，圆心为O，根据勾股定理可得BG，再根据三角形面积CT，再根据勾股定理即可求出答案.
19．【答案】（1）解：将点（3， 1)代入二次函数 得：
9a-3（a-2)+1=1，
解得a=-1，
抛物线解析式为：
∴抛物线的对称轴为：
（2）解：二次函数的对称轴为直线
当a>0时，二次函数图象开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小.
已知当x≤-1时，y随x的增大而减小，所以对称轴为直线
解得：
当a<0时，二次函数图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，不符合题意，舍去. 所以a的取值范围是
（3）解：二次函数的对称轴为直线
则点A 到对称轴的距离为： 点 B 到对称轴的距离为：
即点 B 到对称轴的距离大于点A 到对称轴的距离，
故当a>0时， c>b，当a<0时， c【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将 （3，1)代入解析式可得抛物线解析式为： ，再根据对称轴公式即可求出答案.
（2）根据二次函数性质即可求出答案.
（3）根据二次函数的对称性即可求出答案.
20．【答案】（1）BE=DG；BE⊥DG
（2）解：DG=2BE， BE⊥DG，理由如下：
如图，延长BE交AD于 K，交DG于 H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG 都为矩形，
∴∠BAD=∠EAG，
∴∠BAE=∠DAG，
∵AD=2AB， AG=2AE，
∴△ABE∽△ADG，
∴DG=2BE，
∵∠AKB+∠ABE=90°，
∴∠AKB+∠ADG=90°，
∵∠AKB=∠DKH，
∴∠DKH+∠ADG=90°，
∴∠DHB=90°，
∴BE⊥DG
（3）解：如图，设EG与AD 的交点为 M，
∵EG∥AB，
∴∠DME=∠DAB=90°，
在 Rt△AEG 中， AE=2，
∴AG=2AE=4，
根据勾股定理得
∴EG=AB，
∵EG∥AB，
∴四边形ABEG 是平行四边形， BE=AG=4，
由（2）知△ABE∽△ADG，
即
∴DG=8.
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1） ∵四边形ABCD 和四边形AEFG 是正方形，
∴AE=AG， AB=AD， ∠BAD=∠EAG=90°，
∴∠BAE=∠DAG，
在△ABE 和△ADG中，
∴△ABE≌△ADG （SAS)，
∴BE=DG；
如图，延长BE交AD于Q，交DG于 H，
∵△ABE≌△ADG，
∴∠ABE=∠ADG，
若∠AQB+∠ABE=90°，
∴∠AQB+∠ADG=90°，
∵∠AQB=∠DQH，
∴∠DQH+∠ADG=90°，
∴∠DHB=90°，
∴BE⊥DG，
故答案为： BE=DG； BE⊥DG；
【分析】（1）根据正方形性质可得AE=AG， AB=AD， ∠BAD=∠EAG=90°，则∠BAE=∠DAG，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ADG （SAS)，则BE=DG，延长BE交AD于Q，交DG于 H，根据全等三角形性质可得∠ABE=∠ADG，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）延长BE交AD于 K，交DG于 H，根据矩形性质可得∠BAD=∠EAG，再根据相似三角形判定定理可得△ABE∽△ADG，则，即DG=2BE，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）设EG与AD 的交点为 M，根据直线平行性质可得∠DME=∠DAB=90°，根据勾股定理可得EG，AB，再根据平行四边形判定定理可得四边形ABEG 是平行四边形， BE=AG=4，再根据相似三角形性质可得 ，代值计算即可求出答案.
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