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广东省深圳市南山二外（集团)海德学校初中部2025—2026学年九年级下学期一模数学试题
1．手机通用的信号强度单位是dBm（毫瓦分贝)，通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强。下列信号最强的是（　　）
A．- 80 B．- 60 C．- 40 D．- 20
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得各数的绝对值分别为20，40，60，80，
∵20＜40＜60＜80，
∴信号最强的是 20，
故答案为：D．
【分析】根据绝对值的实际意义即可求得答案．
2．铜砝码作为古代计量工具，见证历史的变迁和计量技术的发展，如图是一个清代铜砝码的示意图及其俯视图，则它的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，可得选项B的图形．
故答案为：B.
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、不是同类项，不能合并，故选项B错误；
C、，故选项C正确；
D、，故选项D错误；
故选：C．
【分析】根据积的乘方，合并同类项，完全平方公式的运算法则计算，逐项判断即可．
4．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表：
抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　）
A．0.60 B．0.58 C．0.55 D．0.63
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格中的数据可知，
抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55，
故答案为：C．
【分析】根据表格中的数据，可以写出抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率．
5．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个)及方差（单位：个2)如表所示：
　 甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表知，乙、丁跳绳成绩的平均数大于甲、丙，
所以乙、丁两名同学的成绩好，
又因为乙跳绳成绩的方差小于丁，
所以乙同学成绩好且发挥稳定，
故答案为：B．
【分析】根据方差和平均数的意义求解即可．
6．如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板m和n之间，平面镜EF与挡板n形成的锐角为 一支激光笔从点A处发出的光束投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板m上的点C处。设光束AB所在直线与挡板m的交点为D，若∠DBF=∠CBE=52°，则∠BCD的度数为（　　）
A．75° B．76° C．85° D．105°
【答案】A
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：延长CB交n于K，
∵平面镜EF与挡板n形成的锐角为23°，
∴∠EFK＝23°，
∵∠FBK＝∠CBE＝52°，
∴∠CKL＝∠FBK＋∠EFK＝75°，
∵m∥n，
∴∠BCD＝∠CKL＝75°．
故答案为：A．
【分析】延长CB交n于K，由三角形的外角性质得到∠CKL＝∠FBK＋∠EFK＝75°，由平行线的性质推出∠BCD＝∠CKL＝75°．
7．如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，过点C作轴垂线，垂足为点E，
∵
∴
∵
∴
在和中，
，
∴，
∴ ，
∵点，
∴AO=3，OB=1，
∴ ，
∵点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到点C，且线段平移得到线段，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D坐标为(0+6，3+2)，即 (6，5) 。
故答案为：D
【分析】本题先根据直角三角形锐角互余以及平角的定义，推出，然后结合AA证明得出，从而推出，结合条件计算出BE=6、EC=2，再根据平移的性质以及点的坐标计算即可得出D点的坐标．
8．“综合与实践”活动小组的同学借助无人机测量AB，CD两座楼之间的距离。无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为 楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内。则楼AB与CD之间的距离AC的长为（　　）（结果精确到1m。参考数据： sin70°≈0.94， cos70°≈0.34， tan70°≈2.75， ≈1.73)
A．56m B．58m C．59m D．60m
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，
由题意得：AG＝60m，GH＝AC，OF＝24m，AG⊥OF，CH⊥OF，
在Rt△AGO中，∠AOG＝70°，
∴，
∵∠HFE是△OFE的一个外角，
∴∠OEF＝∠HFE ∠FOE＝30°，
∴∠FOE＝∠OEF＝30°，
∴OF＝EF＝24m，
在Rt△EFH中，∠HFE＝60°，
∴FH＝EF cos60°＝（m），
∴AC＝GH＝OG＋OF＋FH＝21.8＋24＋12≈58（m），
∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m.
故答案为：B．
【分析】延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，根据题意可得：AG＝60m，GH＝AC，OF＝24m，AG⊥OF，CH⊥OF，然后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义求出OG的长，再利用三角形的外角性质可得∠FOE＝∠OEF＝30°，从而可得OF＝EF＝24m，最后在Rt△EFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
9．若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是　 　(写出一个即可).
【答案】5(答案不唯一)
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设腰长为x，则底边长为12-2x，由三角形三边关系可得
解得3故填：5.
【分析】设腰长为x，则底边长为12-2x，由三角形三边关系可得，求解不等式可得x的取值范围.
10． 若点（m，n)在直线y=-2x+4上， 则代数式2m+n-1的值是　 　。
【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由条件可得 2m＋4＝n，
∴2m＋n＝4，
∴2m＋n 1＝4 1＝3，
故答案为：3．
【分析】将点（m，n）代入直线解析式，得到2m＋n＝4，再整体代入计算求值即可．
11．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程　 　。
【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得
.
故答案为：.
【分析】此题的等量关系为：第二次分钱的人数=第一次分钱的人数+6；10÷第一次分钱的人数=40÷第二次分钱的人数，设未知数，列方程即可。
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在函数 的图象上， 轴于点D，交线段OA于点C。若点C为线段OA的中点，△ABC的面积为 则k的值为　 　。
【答案】2
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，作AE⊥x轴，垂足为E，连接OB，
∵点A、B在反比例函数图象上，
∴S△OBD＝S△OAE，
∴S△BOC＝S四边形ACDE，
∵点C为线段OA的中点，△ABC的面积为，
∴S△BOC＝S四边形ACDE＝，
∵CD∥AE，
∴△OCD∽△OAE，
∴，
设S△OAE＝m，则S△OCD＝m ，
∴，
解得m＝1，
∴S△OAE＝1，
∴k＝2S△OAE＝2，
故答案为：2．
【分析】作AE⊥x轴，垂足为E，连接OB，根据反比例函数k值的几何意义解答即可．
13． 如图，在等腰△ABC中， 点D是BC边上一点，连接AD，将AD绕点D逆时针旋转90°，点A 的对应点A'恰好落在 AB延长线上，则CD 的长为　 　。
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过A作AH⊥BC于H，过A'作A'G⊥BC交直线BC于G，如图，
∴cos∠C＝，
∵AB＝AC＝5，
∴CH＝BH＝3，∠C＝∠ABC＝∠GBA'，
∴AH＝，
∵将AD绕点D逆时针旋转90°，点A的对应点A'恰好落在AB延长线上，
∴∠A'DA＝90°，AD＝A'D，
∵A'G⊥BC，AH⊥BC，
∴∠A'DG＝∠HAD＝90° ∠HDA，∠A'GD＝∠AHD＝90°，
∴△AHD≌△DGA'（ASA），
∴AH＝DG＝4，DH＝A'G，
∵∠C＝∠ABC＝∠GBA'，
∴tan∠C＝＝tan∠GBA'＝，
∴，
设A'G＝4x，则BG＝3x，
∴DH＝A'G＝4x，
∵GD＝GB＋BH＋DH，
∴4＝3x＋3＋4x，
解得x＝，
∴DH＝A'G＝4x＝，
∴CD＝CH DH＝3 ＝．
故答案为：.
【分析】过A作AH⊥BC于H，过A'作A'G⊥BC交直线BC于G，由cos∠C＝，和AB＝AC＝5得到CH＝BH＝3，∠C＝∠ABC＝∠GBA'，再证明△AHD≌△DGA'（ASA），得到AH＝DG＝4，DH＝A'G，根据tan∠C＝＝tan∠GBA'＝，设A'G＝4x，则BG＝3x，DH＝A'G＝4x，最后根据GD＝GB＋BH＋DH，列方程解得x＝，DH＝A'G＝4x＝，CD＝CH DH＝3 ＝．
14．计算：
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据实数的运算计算即可.
15．关于x的方程 有两个不相等的实数根。
（1）求m的取值范围；
（2）化简：
【答案】（1）解：根据题意得△=（-2)2-4（4-m)>0，
解得m>3
（2）解：∵m>3，
∴m-3>0，
6分
=-2.
【知识点】分式的混合运算；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（ 2）2 4（4 m）＞0，然后解不等式即可．
（2）根据m的取值范围化简即可．
16．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动。为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分)用5级记分法呈现：“x<60”记为1分，“60≤x<70”记为2分，“70≤x<80”记为3分，“80≤x<90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分。现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
　 平均数 中位数 众数
第 1 小组 3.9 4 a
第2 小组 b 3.5 5
第3 小组 3.25 c 3
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 ▲ 度；②请补全第1小组得分条形统计图；
（2） a=　 　， b=　 　， c=　 　；
（3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率。
【答案】（1）解：①18；
②
（2）5；3.5；3
（3）解：列表如下：
　 男 男 女 女
男 　 （男， 男) （男， 女) （男， 女)
男 （男， 男) 　 （男， 女) （男， 女)
女 （女， 男) （女， 男) 　 （女， 女)
女 （女， 男) （女， 男) （女， 女) 　
共有12种等可能的结果，其中所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1）①用360°乘以扇形统计图中1分的百分比可得答案．
②求出第1小组得分为4分的人数，补全第1小组得分条形统计图即可．
（2）根据众数、中位数、平均数的定义可得答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
17．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用 （单位：万元)
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件。
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，费用不超过700万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多
【答案】（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，
由题意得：
解得：
答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人（10-a)台，
由题意得： 80a+60（10-a) 700，
解得： a·5，
设每天分拣快递w件，
则w=22a+18（10-a)=22a+180-18a=4a+180，
∵4>0，
∴当a=5时， w最大，
此时10-a=5，
∴该企业需要购买A型智能机器人5台，则需要购买B型智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据信息一中的数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人（10 a）台，根据费用不超过700万元，列出一元一次不等式，解不等式求出a的取值范围，再根据A型机器人每台每天可分拣快递22万件，
B型机器人每台每天可分拣快递18万件，可列出每天分拣的件数与a的函数关系，再根据函数的性质得出结论．
18．如图
（1）请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
（2）如图2， ⊙O是△ABC的外接圆， AE是⊙O的直径，点B是CE的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D。
①求证： BD⊥AD；
②若 求⊙O的半径。
【答案】（1）解：如图1， ⊙O 即为△ABC的外接圆；
（2）解：①证明：如图2，连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴OB⊥BD，
∵点B是CE的中点，
∴∠CAB=∠EAB，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠EAB，
∴∠CAB=∠OBA，
∴OB∥AD，
∴BD⊥AD；
②解：如图2，连接EC，
由圆周角定理得： ∠AEC=∠ABC，
∵AE是⊙O 的直径，
∴∠ACE=90°，
∵AC=6，
∴EC=8，
∴⊙O的半径为5.
【知识点】勾股定理；切线的性质；圆的综合题；解直角三角形；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1）利用尺规作图分别作出AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆即可；
（2）①连接OB，根据切线的性质得到OB⊥BD，证明OB∥AD，根据平行线的性质证明结论；
②连接EC，根据圆周角定理得到∠AEC＝∠ABC，根据正切的定义求出EC，根据勾股定理求出AE，得到答案．
19．【综合与实践】
问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用。当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下（忽略空气阻力)，物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度y与距投放点的水平距离x之间的函数表达式为 其中，h表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离（单位：米)，v表示投放物资时无人机的水平初速度（单位：米/秒)，取g为10米/秒2。
实践探究：如图，1号无人机在空中以v=20米/秒的速度向平坦地面投放物资A，2号无人机在1号无人机竖直上方100米处以v=10米/秒的速度，投放物资B，已知1号，2号无人机及物资A，B的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，物资A的运动路径即为抛物线y1，物资B的运动路径即为抛物线y2。
问题解决：
（1）请结合图中相关数据，求抛物线y1的函数表达式；
（2）请求出两物资落点间的水平距离；
（3）多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题。
①若1，2号无人机同时投放物资A，B，请求出两物资相撞时与水平地面的竖直距离；
②由于实际投放需求，1，2号无人机需同时投放物资A，B，且物资落点不变，为避免A，B两物资相撞，在保持1，2号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变2号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，则2号无人机投放物资B的水平初速度v的取值范围为 ▲ 。（两无人机不能在同一点同时投放)
【答案】（1）解：∵g=10， 1号无人机的速度为： v=20，
根据图可得： x=40时，
代入 得
∴h=80，
∴抛物线y1的函数表达式为：
（2）解：∵2号无人机的速度为： v=10，高度为： h=80+100=180，
结合题意可得
当 时，
∴x=60 （负值已舍去)，
当 时，
∴x=80 （负值已舍去)，
∵80-60=20，
故两物资落点间的水平距离为20米.
（3）解：①当两物资相撞时，
即
解得：
将 代入
故两物资相撞时与水平地面的竖直距离为 米；
②15≤v≤．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）②由（2）可得：物资A的落点坐标为（80，0），物资B的落点坐标为（60，0），
将（60，0），g＝10，代入得0＝h ，
∴v2＝，
故v2随h的减小而增大，
∵物资A，B的落点不变，要使得物资A，B不相撞，
即两个抛物线无交点，
故可降低物资B的投放高度，使其低于物质A的投放高度，
当物资B的投放高度与物质A的投放高度一致时，即h＝80，
代入v2＝，得v2＝，
∴v＝15（负值已舍去），
∵无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，即h＝50，
代入v2＝，得v2＝，
解得：v＝（负值已舍去），
∴2号无人机投放物资B的水平初速度v的取值范围为15≤v≤．
【分析】（1）根据题意，列出表达式为 结合图象，根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意，求出抛物线y2的函数表达式，分别求出y2＝0与y1＝0时，x的值，即可求解；
（3）①根据题意可得当两物资相撞时，y2＝y1，据此列出方程，解方程即可求解；
②根据题意可得2号无人机的运动路径为v2＝，根据两个抛物线无交点，得出可降低物资B的投放高度，使其低于物质A的投放高度，分别计算出当物资B的投放高度与物质A的投放高度一致，以及物资B的投放高度与无人机投放物资的最低飞行高度一致，两种情况下，2号无人机投放物资B的水平初速度v，即可求解．
20．【综合探究】
（1）问题初探：如图1，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，F为BC延长线上一点。且（CE=CF，求证： BE=DF ， BE⊥DF。
（2）类比迁移：如图2，在矩形ABCD中， AB=6， AD=8，点E是CD边上一点，将 沿BE折叠得到△BEG，延长DG和BC相交于点F。当CE=2DE时，求FG的长。
（3）拓展提升：如图3，在菱形ABCD中， ∠ABC=60°，点E是CD边上一点，且DE=2CE，F为BC延长线上一点，连接DF交射线BE于点G，当线段DF与射线BE所夹的锐角为60°时，直接写出 的值。
【答案】（1）证明：延长BE交于DF于点H，如图，
在正方形ABCD中， BC=CD， ∠BCE=∠DCF=90°，
∵CE=CF，
∴△BCE≌△DCF（SAS)，
∴∠CBE=∠CDF， BE=DF.
∵∠BEC=∠DEH，
∴∠BCE=∠DHE=90°，
即BE⊥DF；
（2）解：延长BE交于DF于点H，
在矩形ABCD中， ∠BCD=90°， AB=CD， AD=BC，
∵AB=6， AD=8， CE=2DE，
∴CE=4， DE=2， BC=8，
∴在Rt△BCE中，
∵△BED沿BE折叠得到△BEG，
∴DH=HG， BH⊥DF，即∠DHE=90°，
∵∠BEC=∠DEH，
∴△BCE∽△DHE，
即
∴在Rt△DFC中，
∴CF=3，
∴在Rt△DFC中，
（3）解：或6
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）延长BE交于DF于点H，结合正方形的性质利用SAS证明△BCE≌△DCF，∠CBE＝∠CDF和BE＝DF，证明∠BCE＝∠DHE＝90°即可；
（2）延长BE交于DF于点H，结合矩形的性质得∠BCD＝90°、AB＝CD和AD＝BC，在Rt△BCE中，利用勾股定理得到BE＝，结合折叠的性质得DH＝HG和BH⊥DF，即可证明△BCE∽△DHE得到∠CBE＝∠CDH和，即可求得DG＝，利用解直角三角形得到tan∠CDH＝，在Rt△DFC中利用求得CF，在Rt△DFC中，利用勾股定理求得DF，即可得到FG；
1 / 1广东省深圳市南山二外（集团)海德学校初中部2025—2026学年九年级下学期一模数学试题
1．手机通用的信号强度单位是dBm（毫瓦分贝)，通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强。下列信号最强的是（　　）
A．- 80 B．- 60 C．- 40 D．- 20
2．铜砝码作为古代计量工具，见证历史的变迁和计量技术的发展，如图是一个清代铜砝码的示意图及其俯视图，则它的左视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如表：
抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（　　）
A．0.60 B．0.58 C．0.55 D．0.63
5．某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个)及方差（单位：个2)如表所示：
　 甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．如图，一个平面镜EF放置在两个互相平行的挡板m和n之间，平面镜EF与挡板n形成的锐角为 一支激光笔从点A处发出的光束投射到平面镜上的点B处，反射光束投射到挡板m上的点C处。设光束AB所在直线与挡板m的交点为D，若∠DBF=∠CBE=52°，则∠BCD的度数为（　　）
A．75° B．76° C．85° D．105°
7．如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．“综合与实践”活动小组的同学借助无人机测量AB，CD两座楼之间的距离。无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为 楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内。则楼AB与CD之间的距离AC的长为（　　）（结果精确到1m。参考数据： sin70°≈0.94， cos70°≈0.34， tan70°≈2.75， ≈1.73)
A．56m B．58m C．59m D．60m
9．若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是　 　(写出一个即可).
10． 若点（m，n)在直线y=-2x+4上， 则代数式2m+n-1的值是　 　。
11．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数，设第一次分钱的人数为x人，则可列方程　 　。
12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在函数 的图象上， 轴于点D，交线段OA于点C。若点C为线段OA的中点，△ABC的面积为 则k的值为　 　。
13． 如图，在等腰△ABC中， 点D是BC边上一点，连接AD，将AD绕点D逆时针旋转90°，点A 的对应点A'恰好落在 AB延长线上，则CD 的长为　 　。
14．计算：
15．关于x的方程 有两个不相等的实数根。
（1）求m的取值范围；
（2）化简：
16．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动。为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分)用5级记分法呈现：“x<60”记为1分，“60≤x<70”记为2分，“70≤x<80”记为3分，“80≤x<90”记为4分，“90≤x≤100”记为5分。现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下：
　 平均数 中位数 众数
第 1 小组 3.9 4 a
第2 小组 b 3.5 5
第3 小组 3.25 c 3
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 ▲ 度；②请补全第1小组得分条形统计图；
（2） a=　 　， b=　 　， c=　 　；
（3）从第二组中得5分的同学中选取男、女生各两人，并从这四人中随机抽取两人进行研学宣讲，请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率。
17．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用 （单位：万元)
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件。
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，费用不超过700万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多
18．如图
（1）请在图1中作出△ABC的外接圆⊙O （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
（2）如图2， ⊙O是△ABC的外接圆， AE是⊙O的直径，点B是CE的中点，过点B的切线与AC的延长线交于点D。
①求证： BD⊥AD；
②若 求⊙O的半径。
19．【综合与实践】
问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用。当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下（忽略空气阻力)，物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度y与距投放点的水平距离x之间的函数表达式为 其中，h表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离（单位：米)，v表示投放物资时无人机的水平初速度（单位：米/秒)，取g为10米/秒2。
实践探究：如图，1号无人机在空中以v=20米/秒的速度向平坦地面投放物资A，2号无人机在1号无人机竖直上方100米处以v=10米/秒的速度，投放物资B，已知1号，2号无人机及物资A，B的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为y轴，水平地面为x轴建立平面直角坐标系，物资A的运动路径即为抛物线y1，物资B的运动路径即为抛物线y2。
问题解决：
（1）请结合图中相关数据，求抛物线y1的函数表达式；
（2）请求出两物资落点间的水平距离；
（3）多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题。
①若1，2号无人机同时投放物资A，B，请求出两物资相撞时与水平地面的竖直距离；
②由于实际投放需求，1，2号无人机需同时投放物资A，B，且物资落点不变，为避免A，B两物资相撞，在保持1，2号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变2号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，则2号无人机投放物资B的水平初速度v的取值范围为 ▲ 。（两无人机不能在同一点同时投放)
20．【综合探究】
（1）问题初探：如图1，在正方形ABCD中，点E是CD边上一点，F为BC延长线上一点。且（CE=CF，求证： BE=DF ， BE⊥DF。
（2）类比迁移：如图2，在矩形ABCD中， AB=6， AD=8，点E是CD边上一点，将 沿BE折叠得到△BEG，延长DG和BC相交于点F。当CE=2DE时，求FG的长。
（3）拓展提升：如图3，在菱形ABCD中， ∠ABC=60°，点E是CD边上一点，且DE=2CE，F为BC延长线上一点，连接DF交射线BE于点G，当线段DF与射线BE所夹的锐角为60°时，直接写出 的值。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得各数的绝对值分别为20，40，60，80，
∵20＜40＜60＜80，
∴信号最强的是 20，
故答案为：D．
【分析】根据绝对值的实际意义即可求得答案．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，可得选项B的图形．
故答案为：B.
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故选项A错误；
B、不是同类项，不能合并，故选项B错误；
C、，故选项C正确；
D、，故选项D错误；
故选：C．
【分析】根据积的乘方，合并同类项，完全平方公式的运算法则计算，逐项判断即可．
4．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格中的数据可知，
抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为0.55，
故答案为：C．
【分析】根据表格中的数据，可以写出抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率．
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表知，乙、丁跳绳成绩的平均数大于甲、丙，
所以乙、丁两名同学的成绩好，
又因为乙跳绳成绩的方差小于丁，
所以乙同学成绩好且发挥稳定，
故答案为：B．
【分析】根据方差和平均数的意义求解即可．
6．【答案】A
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】解：延长CB交n于K，
∵平面镜EF与挡板n形成的锐角为23°，
∴∠EFK＝23°，
∵∠FBK＝∠CBE＝52°，
∴∠CKL＝∠FBK＋∠EFK＝75°，
∵m∥n，
∴∠BCD＝∠CKL＝75°．
故答案为：A．
【分析】延长CB交n于K，由三角形的外角性质得到∠CKL＝∠FBK＋∠EFK＝75°，由平行线的性质推出∠BCD＝∠CKL＝75°．
7．【答案】D
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：如图，过点C作轴垂线，垂足为点E，
∵
∴
∵
∴
在和中，
，
∴，
∴ ，
∵点，
∴AO=3，OB=1，
∴ ，
∵点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到点C，且线段平移得到线段，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D坐标为(0+6，3+2)，即 (6，5) 。
故答案为：D
【分析】本题先根据直角三角形锐角互余以及平角的定义，推出，然后结合AA证明得出，从而推出，结合条件计算出BE=6、EC=2，再根据平移的性质以及点的坐标计算即可得出D点的坐标．
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，
由题意得：AG＝60m，GH＝AC，OF＝24m，AG⊥OF，CH⊥OF，
在Rt△AGO中，∠AOG＝70°，
∴，
∵∠HFE是△OFE的一个外角，
∴∠OEF＝∠HFE ∠FOE＝30°，
∴∠FOE＝∠OEF＝30°，
∴OF＝EF＝24m，
在Rt△EFH中，∠HFE＝60°，
∴FH＝EF cos60°＝（m），
∴AC＝GH＝OG＋OF＋FH＝21.8＋24＋12≈58（m），
∴楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m.
故答案为：B．
【分析】延长AB，CD分别与直线OF交于点G和点H，根据题意可得：AG＝60m，GH＝AC，OF＝24m，AG⊥OF，CH⊥OF，然后在Rt△AGO中，利用锐角三角函数的定义求出OG的长，再利用三角形的外角性质可得∠FOE＝∠OEF＝30°，从而可得OF＝EF＝24m，最后在Rt△EFH中，利用锐角三角函数的定义求出FH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
9．【答案】5(答案不唯一)
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；一元一次不等式组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设腰长为x，则底边长为12-2x，由三角形三边关系可得
解得3故填：5.
【分析】设腰长为x，则底边长为12-2x，由三角形三边关系可得，求解不等式可得x的取值范围.
10．【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由条件可得 2m＋4＝n，
∴2m＋n＝4，
∴2m＋n 1＝4 1＝3，
故答案为：3．
【分析】将点（m，n）代入直线解析式，得到2m＋n＝4，再整体代入计算求值即可．
11．【答案】
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设第一次分钱的人数为x人，根据题意得
.
故答案为：.
【分析】此题的等量关系为：第二次分钱的人数=第一次分钱的人数+6；10÷第一次分钱的人数=40÷第二次分钱的人数，设未知数，列方程即可。
12．【答案】2
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，作AE⊥x轴，垂足为E，连接OB，
∵点A、B在反比例函数图象上，
∴S△OBD＝S△OAE，
∴S△BOC＝S四边形ACDE，
∵点C为线段OA的中点，△ABC的面积为，
∴S△BOC＝S四边形ACDE＝，
∵CD∥AE，
∴△OCD∽△OAE，
∴，
设S△OAE＝m，则S△OCD＝m ，
∴，
解得m＝1，
∴S△OAE＝1，
∴k＝2S△OAE＝2，
故答案为：2．
【分析】作AE⊥x轴，垂足为E，连接OB，根据反比例函数k值的几何意义解答即可．
13．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过A作AH⊥BC于H，过A'作A'G⊥BC交直线BC于G，如图，
∴cos∠C＝，
∵AB＝AC＝5，
∴CH＝BH＝3，∠C＝∠ABC＝∠GBA'，
∴AH＝，
∵将AD绕点D逆时针旋转90°，点A的对应点A'恰好落在AB延长线上，
∴∠A'DA＝90°，AD＝A'D，
∵A'G⊥BC，AH⊥BC，
∴∠A'DG＝∠HAD＝90° ∠HDA，∠A'GD＝∠AHD＝90°，
∴△AHD≌△DGA'（ASA），
∴AH＝DG＝4，DH＝A'G，
∵∠C＝∠ABC＝∠GBA'，
∴tan∠C＝＝tan∠GBA'＝，
∴，
设A'G＝4x，则BG＝3x，
∴DH＝A'G＝4x，
∵GD＝GB＋BH＋DH，
∴4＝3x＋3＋4x，
解得x＝，
∴DH＝A'G＝4x＝，
∴CD＝CH DH＝3 ＝．
故答案为：.
【分析】过A作AH⊥BC于H，过A'作A'G⊥BC交直线BC于G，由cos∠C＝，和AB＝AC＝5得到CH＝BH＝3，∠C＝∠ABC＝∠GBA'，再证明△AHD≌△DGA'（ASA），得到AH＝DG＝4，DH＝A'G，根据tan∠C＝＝tan∠GBA'＝，设A'G＝4x，则BG＝3x，DH＝A'G＝4x，最后根据GD＝GB＋BH＋DH，列方程解得x＝，DH＝A'G＝4x＝，CD＝CH DH＝3 ＝．
14．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据实数的运算计算即可.
15．【答案】（1）解：根据题意得△=（-2)2-4（4-m)>0，
解得m>3
（2）解：∵m>3，
∴m-3>0，
6分
=-2.
【知识点】分式的混合运算；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据判别式的意义得到Δ＝（ 2）2 4（4 m）＞0，然后解不等式即可．
（2）根据m的取值范围化简即可．
16．【答案】（1）解：①18；
②
（2）5；3.5；3
（3）解：列表如下：
　 男 男 女 女
男 　 （男， 男) （男， 女) （男， 女)
男 （男， 男) 　 （男， 女) （男， 女)
女 （女， 男) （女， 男) 　 （女， 女)
女 （女， 男) （女， 男) （女， 女) 　
共有12种等可能的结果，其中所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率为
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】（1）①用360°乘以扇形统计图中1分的百分比可得答案．
②求出第1小组得分为4分的人数，补全第1小组得分条形统计图即可．
（2）根据众数、中位数、平均数的定义可得答案．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
17．【答案】（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，
由题意得：
解得：
答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人（10-a)台，
由题意得： 80a+60（10-a) 700，
解得： a·5，
设每天分拣快递w件，
则w=22a+18（10-a)=22a+180-18a=4a+180，
∵4>0，
∴当a=5时， w最大，
此时10-a=5，
∴该企业需要购买A型智能机器人5台，则需要购买B型智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多.
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，根据信息一中的数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人（10 a）台，根据费用不超过700万元，列出一元一次不等式，解不等式求出a的取值范围，再根据A型机器人每台每天可分拣快递22万件，
B型机器人每台每天可分拣快递18万件，可列出每天分拣的件数与a的函数关系，再根据函数的性质得出结论．
18．【答案】（1）解：如图1， ⊙O 即为△ABC的外接圆；
（2）解：①证明：如图2，连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴OB⊥BD，
∵点B是CE的中点，
∴∠CAB=∠EAB，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠EAB，
∴∠CAB=∠OBA，
∴OB∥AD，
∴BD⊥AD；
②解：如图2，连接EC，
由圆周角定理得： ∠AEC=∠ABC，
∵AE是⊙O 的直径，
∴∠ACE=90°，
∵AC=6，
∴EC=8，
∴⊙O的半径为5.
【知识点】勾股定理；切线的性质；圆的综合题；解直角三角形；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1）利用尺规作图分别作出AB、AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆即可；
（2）①连接OB，根据切线的性质得到OB⊥BD，证明OB∥AD，根据平行线的性质证明结论；
②连接EC，根据圆周角定理得到∠AEC＝∠ABC，根据正切的定义求出EC，根据勾股定理求出AE，得到答案．
19．【答案】（1）解：∵g=10， 1号无人机的速度为： v=20，
根据图可得： x=40时，
代入 得
∴h=80，
∴抛物线y1的函数表达式为：
（2）解：∵2号无人机的速度为： v=10，高度为： h=80+100=180，
结合题意可得
当 时，
∴x=60 （负值已舍去)，
当 时，
∴x=80 （负值已舍去)，
∵80-60=20，
故两物资落点间的水平距离为20米.
（3）解：①当两物资相撞时，
即
解得：
将 代入
故两物资相撞时与水平地面的竖直距离为 米；
②15≤v≤．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（3）②由（2）可得：物资A的落点坐标为（80，0），物资B的落点坐标为（60，0），
将（60，0），g＝10，代入得0＝h ，
∴v2＝，
故v2随h的减小而增大，
∵物资A，B的落点不变，要使得物资A，B不相撞，
即两个抛物线无交点，
故可降低物资B的投放高度，使其低于物质A的投放高度，
当物资B的投放高度与物质A的投放高度一致时，即h＝80，
代入v2＝，得v2＝，
∴v＝15（负值已舍去），
∵无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，即h＝50，
代入v2＝，得v2＝，
解得：v＝（负值已舍去），
∴2号无人机投放物资B的水平初速度v的取值范围为15≤v≤．
【分析】（1）根据题意，列出表达式为 结合图象，根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意，求出抛物线y2的函数表达式，分别求出y2＝0与y1＝0时，x的值，即可求解；
（3）①根据题意可得当两物资相撞时，y2＝y1，据此列出方程，解方程即可求解；
②根据题意可得2号无人机的运动路径为v2＝，根据两个抛物线无交点，得出可降低物资B的投放高度，使其低于物质A的投放高度，分别计算出当物资B的投放高度与物质A的投放高度一致，以及物资B的投放高度与无人机投放物资的最低飞行高度一致，两种情况下，2号无人机投放物资B的水平初速度v，即可求解．
20．【答案】（1）证明：延长BE交于DF于点H，如图，
在正方形ABCD中， BC=CD， ∠BCE=∠DCF=90°，
∵CE=CF，
∴△BCE≌△DCF（SAS)，
∴∠CBE=∠CDF， BE=DF.
∵∠BEC=∠DEH，
∴∠BCE=∠DHE=90°，
即BE⊥DF；
（2）解：延长BE交于DF于点H，
在矩形ABCD中， ∠BCD=90°， AB=CD， AD=BC，
∵AB=6， AD=8， CE=2DE，
∴CE=4， DE=2， BC=8，
∴在Rt△BCE中，
∵△BED沿BE折叠得到△BEG，
∴DH=HG， BH⊥DF，即∠DHE=90°，
∵∠BEC=∠DEH，
∴△BCE∽△DHE，
即
∴在Rt△DFC中，
∴CF=3，
∴在Rt△DFC中，
（3）解：或6
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）延长BE交于DF于点H，结合正方形的性质利用SAS证明△BCE≌△DCF，∠CBE＝∠CDF和BE＝DF，证明∠BCE＝∠DHE＝90°即可；
（2）延长BE交于DF于点H，结合矩形的性质得∠BCD＝90°、AB＝CD和AD＝BC，在Rt△BCE中，利用勾股定理得到BE＝，结合折叠的性质得DH＝HG和BH⊥DF，即可证明△BCE∽△DHE得到∠CBE＝∠CDH和，即可求得DG＝，利用解直角三角形得到tan∠CDH＝，在Rt△DFC中利用求得CF，在Rt△DFC中，利用勾股定理求得DF，即可得到FG；
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