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广东东莞市石竹实验学校2025—2026学年九年级下学期3月学情自查数学试题
1．下图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列事件属于必然事件的是（　　）
A．四边形的内角和是
B．校园排球比赛，九年级1 班获得冠军
C．任意三条线段可以组成三角形
D．打开电视，正在播放神舟十八号载人飞船发射实况
3．已知⊙O半径为4，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
4．对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线
C．顶点坐标是
D．抛物线可由向右平移1个单位得到
5．根据学习函数的经验，参照研究函数的学习路径，对于函数（）的图象与性质，类比反比例函数进行探究．下列选项正确的是（　　）
A．当时，随的增大而增大
B．该函数的图象与轴有交点
C．该函数图象经过点
D．当时，的取值范围是
6．假期同学们去张大爷的鲢鱼塘参观，小刚同学问张大爷“您的鱼塘里大约有多少尾鲢鱼啊？”张大爷笑着说：“前一段时间我往鱼塘放入150尾鲤鱼，后来我打捞几次发现，每次打捞的鱼中鲤鱼的频率稳定在左右，你自己算算鱼塘原来有多少尾鲢鱼吧”，聪明的你帮小刚算一算张大爷的鱼塘大约有多少尾鲢鱼（　　）
A．7350 B．7500 C．7650 D．7800
7．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切于点C，若，则图中圆环的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，A，P，B，C是上的四点，．若四边形面积为，且，则的半径为（　　）
A．2 B． C． D．
10．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　）
A． B． C． D．
11．若一个正多边形的每一个内角比它的每一个外角都大60°，则这个多边形的边数是　 　 ．
12．如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为 　 　．
13．已知方程的一个根为2，则另一个根为　 　．
14．乡村振兴促进农民增收，李大叔抓住时机，承包了一块边长为的正方形空地进行奶牛养殖，并按如图所示的方式将这片空地划分成三部分：养殖区、挤奶棚和仓库．若挤奶棚和仓库的形状均为正方形（挤奶棚的面积大于仓库的面积），养殖区的面积为，则挤奶棚的边长为　 　．
15．如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点P，A，B两点均在y轴上，且，，则的最大值为　 　．
16．解方程：．
17．如图11，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有关－1，1，2中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，扇形恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当作指向右边的扇形）.
⑴若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；
⑵小宇和小静分别转动一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”，用列表法（或画树形图）求两人“不谋而合”的概率.
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在第三象限内画一个（A、B、C点的对应点分别是点D、E、F），使它与位似，且与的相似比为，并写出点E的坐标．
19．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，，连接，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出当取什么值时，．
20．如图，在中，为非直径弦，以为边作，边交于点D，且点D是劣弧的中点，是的角平分线．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求阴影部分的面积．
21．某校数学综合实践小组运用所学知识测量物体的高度．
（1）如图1，小明将镜子放在距离旗杆底部的点处（即），然后看着镜子沿直线前后移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与点重合，此时小明同学站在点处，测得，若小明的眼睛离地面的高度为，求旗杆的高度．（温馨提示：测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，）
（2）已知在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．如图2，小东发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为3.5米，落在地面上的影长为6米，求树的高度．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
（3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
23．如图1，在中，，点D、E分别在边、上，，连接，点F、P、G分别为、、的中点，连接，．
（1）图1中，求证：；
（2）当绕点A旋转到如图2所示的位置时，
是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；
②若，和的面积分别是，，的面积为，求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．
【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，对选项逐个判断即可．
2．【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、四边形内角和为360 ，是必然事件，符合题意；
B、校园排球比赛中九年一班获得冠军，结果不确定，是随机事件，不符合题意；
C、任意三条线段不一定能组成三角形，需满足三角形三边关系，是随机事件，不符合题意；
D、打开电视时正在播放神舟十八号发射实况，具有不确定性，是随机事件，不符合题意；
故答案为：A。
【分析】本题考查事件类型的判断，解题思路是明确必然事件、随机事件的定义，再结合选项内容逐一分析判断。
3．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），
∴
⊙O半径为4，
点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外
故答案为：C
【分析】先利用勾股定理求出OP的长，再根据OP的长与半径的大小关系即可得到点P与⊙O的位置关系。
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】已知二次函数解析式为 ，逐一分析选项：
由 ，可知抛物线开口向上，因此选项A不符合题意；
由顶点式可知对称轴为直线 ，因此选项B不符合题意；
顶点坐标为 ，因此选项C不符合题意；
根据平移规律，将 的图像向右平移1个单位，可得 ，因此选项D符合题意。
故答案为：D。
【分析】本题考查二次函数顶点式的性质与图像平移。从顶点式 入手，根据 判断开口方向；直接读出对称轴 与顶点坐标 ，排除错误选项；利用“左加右减”的平移规则，验证选项D的平移过程，得出正确答案。
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；归纳与类比
【解析】【解答】解：，
当时，随的增大而减小，故A错误；
∵，
∴函数的图象与轴没有交点，故B错误；
当时，，
∴函数图象经过点，故C错误；
当时，，
∵当时，随的增大而减小，
∴当时，的取值范围是，故D正确.
故选：．
【分析】将函数变形为，再与反比例函数类比，逐一分析四个选项，然后进行排除即可．
6．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】先根据标记重捕法的频率与概率关系，计算鱼塘中鱼的总数为尾，再减去150尾草鱼，可得鲢鱼数量为尾，
故答案为：A。
【分析】先通过样本频率估计总体概率，再利用概率公式求出鱼塘中鱼的总数，最后减去标记的草鱼数量，得到鲢鱼的数量。
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接、，
因为大圆的弦与小圆相切于点C，
则，
在中，，
∴环形的面积为，
故选：C．
【分析】连接、，根据题意可得，构造出，求出的值，再乘以即为环形的面积．
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则11月营业额为万元，12月营业额为万元，
∵按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，
∴，
故选：B．
【分析】设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，分别表示出11月、12月的营业额，再结合第四季度总营业额的等量关系列方程求解即可．
9．【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，过作于，
由题意知，，，，，
∴，是等边三角形，，
如图，连接，过作于，
∴，，
设，则，，，，
在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，（不合题意，舍去）
∴．
∴，
∴半径为，
故选：C．
【分析】如图，过作于，由题意可得是等边三角形，，连接，过作于，则，，设，则，，，，在中，由勾股定理求的值，根据，求解即可．
10．【答案】D
【知识点】圆锥的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，过B作于D，
设圆锥侧面展开图的圆心角为，
圆锥底面圆周长为，，
则，
∵，，
∴，
由，可求得，
∴，，
即这根绳子的最短长度是．
故选：D
【分析】根据题意，求得扇形的圆心角，再求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可．
11．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的概念；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为．
由多边形内角与相邻外角和为，得：
，
解得：，
则外角为，
任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等，
该多边形边数为．
故答案为：6
【分析】设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为，根据题意可得，求得正多边形外角为60°，再利用多边形外角和为即可求出边数．
12．【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵把绕点A逆时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：70．
【分析】根据旋转的性质可得，，由全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质即可求解．
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：令方程的另一个根为，
则，
所以，
即方程的另一个根为．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
14．【答案】60
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设挤奶棚的边长为，则仓库的边长为．
挤奶棚和仓库均为正方形，
∴可列方程为．
整理，得，
解得．
挤奶棚的面积大于仓库的面积，
挤奶棚的边长为．
故答案为：60
【分析】设挤奶棚边长为米，则仓库的边长为，根据题意可得
，求解一元二次方程，再根据题意求解即可．
15．【答案】34
【知识点】坐标与图形性质；圆-动点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设点坐标为，
，，
，
，
则当最大时，最大，
如图，当点P为的延长线与圆的交点时，最大，
∵点的坐标为，
，
此时，
，
的最大值为34．
故答案为：34．
【分析】设点坐标为，由两点的距离公式，，进而求出，得到，当点P在延长线上时，最大，此时最大，根据两点间距离公式求出即可．
16．【答案】解：，∵，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法求解一元二次方程即可．
17．【答案】解：（1）因为转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1，1，2，所以小静转动转盘一次，得到负数的概率为；
（2）列表得：一共有9种等可能的结果，两人得到的数相同的有3种情况，
因此两人“不谋而合”的概率为=．
-1 1 2
-1 （-1，-1） （-1，1） （-1，2）
1 （1，-1） （1，1） （1，2）
2 （2，-1） （2，1） （2，2）
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）由转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1，1，2，利用概率公式即可求解；
（2）依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．
18．【答案】解：如图，即为所求，点E的坐标为．
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】根据题意，把A、B、C的坐标都乘以得到点D、E、F的坐标，然后描点连线即可， 由图可得点E的坐标．
19．【答案】（1）解：∵在上，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
∴；
（2）解：过作于，过作于，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：的面积为6．
（3）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（3）解：由图象可得，
当或时，．
【分析】（1）求得点C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）过作于，过作于，设，根据题意求出，，，，然后利用代入求解即可；
（3）根据函数图象，直接求解即可．
（1）解：∵在上，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
∴；
（2）解：过作于，过作于，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：的面积为6．
（3）由图象可得，
当或时，．
20．【答案】（1）证明：如图，连接，，，
点D是劣弧的中点，
，
，
，
，
，
又∵是的角平分线，
，
，
即，
是的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）可知，，
在中，
，
，
，
，
设，则有
，
在中，
，
，
解得：，(舍去)，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接 、，由点是弧中点、，用垂径定理得；结合等腰三角形性质和角平分线定义，等量代换推出，从而判定为圆的切线。
（2）先由垂径定理得，再结合角的性质与勾股定理求出半径；最后用割补法，以扇形的面积减去的面积，得到阴影部分的面积。
21．【答案】（1）解：∵法线，，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（2）解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，则有，
，
解得：，
∴树的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用；平行投影
【解析】【分析】（1）由题意易得，根据相似三角形的性质可得，，即可求解；
（2）设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．则有，解得，根据题意，求解即可．
（1）解：∵法线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（2）解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．
则有，
，
解得，
∴树的高度为．
22．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，
∴将代入得，，
∴；
（2），
顶点坐标为，
点Q与此抛物线的顶点重合，点Q的横坐标为，
解得：
（3）①轴时，点A，Q关于对称轴对称，
，
解得，，
则，，
，，
点P与点Q的纵坐标的差为；
②当轴时，则A，P关于直线对称，
则，，
则，，
，；
点P与点Q的纵坐标的差为；
综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将已知点坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求出未知系数，确定抛物线表达式；（2）先将抛物线化为顶点式得到顶点坐标，再结合点 Q 的坐标特征建立方程求解 m 的值；
（3）分 AQ 平行于 x 轴、AP 平行于 x 轴两种情况，利用抛物线的对称性求出点 P、Q 的坐标，再计算两点纵坐标的差。
23．【答案】（1）证明：， AD＝AE，
，即，
∵点F、P、G分别为、、的中点，
，分别是和的中位线．
，．
．
（2）证明：仍然成立，如图，连接，，
由题意知
．
，即．
在和中
．
．
∵点F、P、G分别为、、的中点，
，分别是和的中位线．
，．
．
②如图，，
，，
，．
，
．
，
．
．
∵点F、P、G分别为、、的中点，
，．
，．
．
．
，同理可得．
，
．
．
，
∴．
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据题意可得，再由三角形中位线的性质可得，，，即可求解；
（2）①根据SAS证明得到，再利用中位线定理即可解答；②根据相似三角形判定与性质及全等三角形的性质得到即可解答．
（1）解：， AD＝AE，
，即，
∵点F、P、G分别为、、的中点，
，分别是和的中位线．
，．
．
（2）证明：仍然成立，
如图，连接，，
由题意知
．
，即．
在和中
．
．
∵点F、P、G分别为、、的中点，
，分别是和的中位线．
，．
．
②如图，，
，，
，．
，
．
，
．
．
∵点F、P、G分别为、、的中点，
，．
，．
．
．
，同理可得．
，
．
．
，
∴．
1 / 1广东东莞市石竹实验学校2025—2026学年九年级下学期3月学情自查数学试题
1．下图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：C．
【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，对选项逐个判断即可．
2．下列事件属于必然事件的是（　　）
A．四边形的内角和是
B．校园排球比赛，九年级1 班获得冠军
C．任意三条线段可以组成三角形
D．打开电视，正在播放神舟十八号载人飞船发射实况
【答案】A
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、四边形内角和为360 ，是必然事件，符合题意；
B、校园排球比赛中九年一班获得冠军，结果不确定，是随机事件，不符合题意；
C、任意三条线段不一定能组成三角形，需满足三角形三边关系，是随机事件，不符合题意；
D、打开电视时正在播放神舟十八号发射实况，具有不确定性，是随机事件，不符合题意；
故答案为：A。
【分析】本题考查事件类型的判断，解题思路是明确必然事件、随机事件的定义，再结合选项内容逐一分析判断。
3．已知⊙O半径为4，圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），则点P与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．不能确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆心O在坐标原点上，点P的坐标为（3，4），
∴
⊙O半径为4，
点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外
故答案为：C
【分析】先利用勾股定理求出OP的长，再根据OP的长与半径的大小关系即可得到点P与⊙O的位置关系。
4．对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线
C．顶点坐标是
D．抛物线可由向右平移1个单位得到
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】已知二次函数解析式为 ，逐一分析选项：
由 ，可知抛物线开口向上，因此选项A不符合题意；
由顶点式可知对称轴为直线 ，因此选项B不符合题意；
顶点坐标为 ，因此选项C不符合题意；
根据平移规律，将 的图像向右平移1个单位，可得 ，因此选项D符合题意。
故答案为：D。
【分析】本题考查二次函数顶点式的性质与图像平移。从顶点式 入手，根据 判断开口方向；直接读出对称轴 与顶点坐标 ，排除错误选项；利用“左加右减”的平移规则，验证选项D的平移过程，得出正确答案。
5．根据学习函数的经验，参照研究函数的学习路径，对于函数（）的图象与性质，类比反比例函数进行探究．下列选项正确的是（　　）
A．当时，随的增大而增大
B．该函数的图象与轴有交点
C．该函数图象经过点
D．当时，的取值范围是
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；归纳与类比
【解析】【解答】解：，
当时，随的增大而减小，故A错误；
∵，
∴函数的图象与轴没有交点，故B错误；
当时，，
∴函数图象经过点，故C错误；
当时，，
∵当时，随的增大而减小，
∴当时，的取值范围是，故D正确.
故选：．
【分析】将函数变形为，再与反比例函数类比，逐一分析四个选项，然后进行排除即可．
6．假期同学们去张大爷的鲢鱼塘参观，小刚同学问张大爷“您的鱼塘里大约有多少尾鲢鱼啊？”张大爷笑着说：“前一段时间我往鱼塘放入150尾鲤鱼，后来我打捞几次发现，每次打捞的鱼中鲤鱼的频率稳定在左右，你自己算算鱼塘原来有多少尾鲢鱼吧”，聪明的你帮小刚算一算张大爷的鱼塘大约有多少尾鲢鱼（　　）
A．7350 B．7500 C．7650 D．7800
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】先根据标记重捕法的频率与概率关系，计算鱼塘中鱼的总数为尾，再减去150尾草鱼，可得鲢鱼数量为尾，
故答案为：A。
【分析】先通过样本频率估计总体概率，再利用概率公式求出鱼塘中鱼的总数，最后减去标记的草鱼数量，得到鲢鱼的数量。
7．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切于点C，若，则图中圆环的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接、，
因为大圆的弦与小圆相切于点C，
则，
在中，，
∴环形的面积为，
故选：C．
【分析】连接、，根据题意可得，构造出，求出的值，再乘以即为环形的面积．
8．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率．设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则11月营业额为万元，12月营业额为万元，
∵按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，
∴，
故选：B．
【分析】设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，分别表示出11月、12月的营业额，再结合第四季度总营业额的等量关系列方程求解即可．
9．如图，A，P，B，C是上的四点，．若四边形面积为，且，则的半径为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：如图，过作于，
由题意知，，，，，
∴，是等边三角形，，
如图，连接，过作于，
∴，，
设，则，，，，
在中，由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，（不合题意，舍去）
∴．
∴，
∴半径为，
故选：C．
【分析】如图，过作于，由题意可得是等边三角形，，连接，过作于，则，，设，则，，，，在中，由勾股定理求的值，根据，求解即可．
10．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆锥的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，过B作于D，
设圆锥侧面展开图的圆心角为，
圆锥底面圆周长为，，
则，
∵，，
∴，
由，可求得，
∴，，
即这根绳子的最短长度是．
故选：D
【分析】根据题意，求得扇形的圆心角，再求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可．
11．若一个正多边形的每一个内角比它的每一个外角都大60°，则这个多边形的边数是　 　 ．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的概念；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为．
由多边形内角与相邻外角和为，得：
，
解得：，
则外角为，
任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等，
该多边形边数为．
故答案为：6
【分析】设这个正多边形的一个内角为，则相邻外角为，根据题意可得，求得正多边形外角为60°，再利用多边形外角和为即可求出边数．
12．如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边上，连接，则的度数为 　 　．
【答案】70
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵把绕点A逆时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：70．
【分析】根据旋转的性质可得，，由全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质即可求解．
13．已知方程的一个根为2，则另一个根为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：令方程的另一个根为，
则，
所以，
即方程的另一个根为．
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
14．乡村振兴促进农民增收，李大叔抓住时机，承包了一块边长为的正方形空地进行奶牛养殖，并按如图所示的方式将这片空地划分成三部分：养殖区、挤奶棚和仓库．若挤奶棚和仓库的形状均为正方形（挤奶棚的面积大于仓库的面积），养殖区的面积为，则挤奶棚的边长为　 　．
【答案】60
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设挤奶棚的边长为，则仓库的边长为．
挤奶棚和仓库均为正方形，
∴可列方程为．
整理，得，
解得．
挤奶棚的面积大于仓库的面积，
挤奶棚的边长为．
故答案为：60
【分析】设挤奶棚边长为米，则仓库的边长为，根据题意可得
，求解一元二次方程，再根据题意求解即可．
15．如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点P，A，B两点均在y轴上，且，，则的最大值为　 　．
【答案】34
【知识点】坐标与图形性质；圆-动点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设点坐标为，
，，
，
，
则当最大时，最大，
如图，当点P为的延长线与圆的交点时，最大，
∵点的坐标为，
，
此时，
，
的最大值为34．
故答案为：34．
【分析】设点坐标为，由两点的距离公式，，进而求出，得到，当点P在延长线上时，最大，此时最大，根据两点间距离公式求出即可．
16．解方程：．
【答案】解：，∵，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法求解一元二次方程即可．
17．如图11，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有关－1，1，2中的一个数，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，扇形恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数（若指针恰好指在等分线上，当作指向右边的扇形）.
⑴若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；
⑵小宇和小静分别转动一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”，用列表法（或画树形图）求两人“不谋而合”的概率.
【答案】解：（1）因为转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1，1，2，所以小静转动转盘一次，得到负数的概率为；
（2）列表得：一共有9种等可能的结果，两人得到的数相同的有3种情况，
因此两人“不谋而合”的概率为=．
-1 1 2
-1 （-1，-1） （-1，1） （-1，2）
1 （1，-1） （1，1） （1，2）
2 （2，-1） （2，1） （2，2）
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】（1）由转盘被等分成三个扇形，上面分别标有-1，1，2，利用概率公式即可求解；
（2）依据题意先用列表法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．
18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．以原点O为位似中心，在第三象限内画一个（A、B、C点的对应点分别是点D、E、F），使它与位似，且与的相似比为，并写出点E的坐标．
【答案】解：如图，即为所求，点E的坐标为．
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【分析】根据题意，把A、B、C的坐标都乘以得到点D、E、F的坐标，然后描点连线即可， 由图可得点E的坐标．
19．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，，连接，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）直接写出当取什么值时，．
【答案】（1）解：∵在上，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
∴；
（2）解：过作于，过作于，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：的面积为6．
（3）或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（3）解：由图象可得，
当或时，．
【分析】（1）求得点C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（2）过作于，过作于，设，根据题意求出，，，，然后利用代入求解即可；
（3）根据函数图象，直接求解即可．
（1）解：∵在上，
∴，
∴，
∵在上，
∴，
∴；
（2）解：过作于，过作于，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：的面积为6．
（3）由图象可得，
当或时，．
20．如图，在中，为非直径弦，以为边作，边交于点D，且点D是劣弧的中点，是的角平分线．
（1）求证：是的切线；
（2）当，时，求阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，，，
点D是劣弧的中点，
，
，
，
，
，
又∵是的角平分线，
，
，
即，
是的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）可知，，
在中，
，
，
，
，
设，则有
，
在中，
，
，
解得：，(舍去)，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；垂径定理；切线的判定；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）连接 、，由点是弧中点、，用垂径定理得；结合等腰三角形性质和角平分线定义，等量代换推出，从而判定为圆的切线。
（2）先由垂径定理得，再结合角的性质与勾股定理求出半径；最后用割补法，以扇形的面积减去的面积，得到阴影部分的面积。
21．某校数学综合实践小组运用所学知识测量物体的高度．
（1）如图1，小明将镜子放在距离旗杆底部的点处（即），然后看着镜子沿直线前后移动，直到看到旗杆顶端在镜子中的像与点重合，此时小明同学站在点处，测得，若小明的眼睛离地面的高度为，求旗杆的高度．（温馨提示：测量时，所使用的平面镜的大小和厚度均忽略不计，根据光的反射定律，反射角等于入射角，法线，）
（2）已知在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．如图2，小东发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为3.5米，落在地面上的影长为6米，求树的高度．
【答案】（1）解：∵法线，，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（2）解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米，则有，
，
解得：，
∴树的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用；平行投影
【解析】【分析】（1）由题意易得，根据相似三角形的性质可得，，即可求解；
（2）设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．则有，解得，根据题意，求解即可．
（1）解：∵法线，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
（2）解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．
则有，
，
解得，
∴树的高度为．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
（3）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，
∴将代入得，，
∴；
（2），
顶点坐标为，
点Q与此抛物线的顶点重合，点Q的横坐标为，
解得：
（3）①轴时，点A，Q关于对称轴对称，
，
解得，，
则，，
，，
点P与点Q的纵坐标的差为；
②当轴时，则A，P关于直线对称，
则，，
则，，
，；
点P与点Q的纵坐标的差为；
综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将已知点坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求出未知系数，确定抛物线表达式；（2）先将抛物线化为顶点式得到顶点坐标，再结合点 Q 的坐标特征建立方程求解 m 的值；
（3）分 AQ 平行于 x 轴、AP 平行于 x 轴两种情况，利用抛物线的对称性求出点 P、Q 的坐标，再计算两点纵坐标的差。
23．如图1，在中，，点D、E分别在边、上，，连接，点F、P、G分别为、、的中点，连接，．
（1）图1中，求证：；
（2）当绕点A旋转到如图2所示的位置时，
是否仍然成立？若成立请证明；若不成立，说明理由；
②若，和的面积分别是，，的面积为，求的值．
【答案】（1）证明：， AD＝AE，
，即，
∵点F、P、G分别为、、的中点，
，分别是和的中位线．
，．
．
（2）证明：仍然成立，如图，连接，，
由题意知
．
，即．
在和中
．
．
∵点F、P、G分别为、、的中点，
，分别是和的中位线．
，．
．
②如图，，
，，
，．
，
．
，
．
．
∵点F、P、G分别为、、的中点，
，．
，．
．
．
，同理可得．
，
．
．
，
∴．
【知识点】相似三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据题意可得，再由三角形中位线的性质可得，，，即可求解；
（2）①根据SAS证明得到，再利用中位线定理即可解答；②根据相似三角形判定与性质及全等三角形的性质得到即可解答．
（1）解：， AD＝AE，
，即，
∵点F、P、G分别为、、的中点，
，分别是和的中位线．
，．
．
（2）证明：仍然成立，
如图，连接，，
由题意知
．
，即．
在和中
．
．
∵点F、P、G分别为、、的中点，
，分别是和的中位线．
，．
．
②如图，，
，，
，．
，
．
，
．
．
∵点F、P、G分别为、、的中点，
，．
，．
．
．
，同理可得．
，
．
．
，
∴．
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